निलपोटेंट मैट्रिक्स: Difference between revisions

Revision as of 14:27, 27 July 2023

रैखिक बीजगणित में, एक निलपोटेंट आव्यूह एक वर्ग आव्यूह N होता है जैसे कि

N^{k}=0\,

कुछ सकारात्मक पूर्णांक $k$ . के लिए इसे 𝑘 का सबसे छोटा सूचकांक 𝑁कहा जाता है इसे कभी-कभी डिग्री में भी व्यक्त किया जा सकता है ,^[1]

सामान्यतः, एक शून्य-शक्तिशाली परिवर्तन एक रैखिक परिवर्तन है $L$ एक सदिश समष्टि है कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ इस प्रकार है कि (और इस तरह, $L^{j}=0$ सभी के लिए $j\geq k$ ). $L^{k}=0$ .^[2]^[3]^[4] ये दोनों अवधारणाएँ निलपोटेंट की अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं जो रिंग (बीजगणित) के तत्वों पर लागू होती हैं।

उदाहरण

उदाहरण 1

गणित का सवाल

A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}

चूँकि सूचकांक 2 के साथ शून्यशक्ति है अतः $A^{2}=0$ .

उदाहरण 2

सामान्यतः, कोई भी $n$ -मुख्य विकर्ण के साथ और शून्य के साथ आयामी त्रिकोणीय आव्यूह, सूचकांक के साथ शून्य है $\leq n$ ^{[citation needed]}. उदाहरण के लिए, आव्यूह

B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

निलपोटेंट है, साथ में

B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

का सूचकांक $B$ 4 है.

उदाहरण 3

यद्यपि उपरोक्त उदाहरणों में बड़ी संख्या में शून्य प्रविष्टियाँ हैं, एक विशिष्ट निलपोटेंट आव्यूह में ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए,

C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}

यद्यपि आव्यूह में कोई शून्य प्रविष्टियाँ नहीं हैं।

उदाहरण 4

इसके अतिरिक्त, फॉर्म का कोई भी आव्यूह

{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}

जैसे कि

{\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}

या

{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}

वर्ग से शून्य.हैं

उदाहरण 5

शायद निलपोटेंट आव्यूह के कुछ सबसे आकर्षक उदाहरण हैं $n\times n$ प्रपत्र के वर्ग आव्यूह:

{\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}

जिनमें से पहले कुछ हैं:

{\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots

ये आव्यूह शून्यशक्तिशाली हैं लेकिन सूचकांक से कम की किसी भी घात में शून्य प्रविष्टियाँ नहीं हैं।^[5]

उदाहरण 6

परिबद्ध घात वाले बहुपदों के रैखिक समष्टि पर विचार करें। व्युत्पन्न ऑपरेटर एक रेखीय मानचित्र है। हम जानते हैं कि व्युत्पन्न को एक बहुपद पर लागू करने से इसकी डिग्री एक से कम हो जाती है, इसलिए इसे पुनरावृत्त रूप से लागू करने पर, हम अंततः शून्य प्राप्त करेंगे। इसलिए, ऐसे स्थान पर, व्युत्पन्न को एक निलपोटेंट आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है।

विशेषता

एक $n\times n$ वर्ग आव्यूह $N$ वास्तविक संख्या (या सम्मिश्र संख्या) प्रविष्टियों के साथ, निम्नलिखित प्रकार से समतुल्य हैं:

$N$ शून्यशक्तिशाली है.
$\det \left(xI-N\right)=x^{n}$ .के लिए विशेषता बहुपद $N$ है
$x^{k}$ के कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k\leq n$ .न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) $N$ है
N के लिए एकमात्र जटिल आईगेन मान $N$ 0 है.

अंतिम प्रमेय विशेषता 0 या पर्याप्त बड़ी विशेषता वाले किसी भी क्षेत्र (गणित) पर आव्यूहों के लिए यह सत्य है। (cf. न्यूटन की पहचान)

इस प्रमेय के कई परिणाम हैं, जिनमें सम्मिलित हैं:

एकn का सूचकांक $n\times n$ निलपोटेंट आव्यूह हमेशा से कम या बराबर होता है उदाहरण के लिए, प्रत्येक $2\times 2$ निलपोटेंट आव्यूह वर्ग शून्य पर।
एक निलपोटेंट आव्यूह का निर्धारक और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) हमेशा शून्य होता है। नतीजतन, एक निलपोटेंट आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं हो सकता है।
एकमात्र निलपोटेंट विकर्णीय आव्यूह शून्य आव्यूह है।

वर्गीकरण

इस पर विचार करें $n\times n$ (ऊपरी) आव्यूह:

S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.

इस आव्यूह में अतिविकर्ण के साथ 1s और बाकी सभी जगह 0s है। एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, शिफ्ट आव्यूह सदिश के घटकों को एक स्थिति से बाईं ओर स्थानांतरित करता है, अंतिम स्थिति में शून्य दिखाई देता है:

S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).

^[6]

यह आव्यूह डिग्री n के साथ शून्य-शक्तिशाली है ,और कानूनी फॉर्म निलपोटेंट आव्यूह है।

विशेष रूप से, यदि $N$ तो क्या यह कोई शून्य-शक्तिशाली आव्यूह है? $N$ फॉर्म के ब्लॉक विकर्ण आव्यूह के लिए आव्यूह समानता है

{\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}

जहां प्रत्येक ब्लॉक $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}$ एक शिफ्ट आव्यूह है (संभवतः विभिन्न आकारों का)। यह फॉर्म आव्यूह के लिए जॉर्डन विहित रूप का एक विशेष मामला है।^[7]उदाहरण के लिए, कोई भी गैरशून्य 2×2 निलपोटेंट आव्यूह आव्यूह के समान है

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.

अर्थात यदि $N$ यदि कोई शून्येतर 2 × 2 निलपोटेंट आव्यूह है, तो एक आधार B₁, B₂ ऐसे है कि N'b'₁= 0 और N'b'₂= B₁.

यह वर्गीकरण प्रमेय किसी भी क्षेत्र (गणित) पर आव्यूह के लिए लागू होता है। (फ़ील्ड को बीजगणितीय रूप से बंद करना आवश्यक नहीं है।)

उपस्थानों का ध्वज

एक निरर्थक परिवर्तन $L$ पर $\mathbb {R} ^{n}$ स्वाभाविक रूप से उप-स्थानों का एक ध्वज (रैखिक बीजगणित) निर्धारित करता है

\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}

और एक हस्ताक्षर

0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.

यह हस्ताक्षर की विशेषता $L$ एक व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तन तक है। इसके अतिरिक्त यह असमानताओं को भी संतुष्ट करता है

n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.

इसके विपरीत, इन असमानताओं को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्याओं का कोई भी क्रम एक निरर्थक परिवर्तन का हस्ताक्षर है।

अतिरिक्त गुण

सामान्यीकरण

एक रैखिक संचालिका के लिए यदि प्रत्येक सदिश के लिए T स्थानीय रूप से शून्यप्रभावी है

vवहाँ एक उपस्थिति को दर्शाता है $k\in \mathbb {N}$ ऐसा है कि

T^{k}(v)=0.\!\,

परिमित-आयामी सदिश स्थान पर ऑपरेटरों के लिए, स्थानीय निलपोटें, निलपोटें के बराबर है।

↑ Herstein (1975, p. 294)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 312)
↑ Herstein (1975, p. 268)
↑ Nering (1970, p. 274)
↑ Mercer, Idris D. (31 October 2005). "Finding "nonobvious" nilpotent matrices" (PDF). idmercer.com. self-published; personal credentials: PhD Mathematics, Simon Fraser University. Retrieved 5 April 2023.
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 312)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 312, 313)

संदर्भ

Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), John Wiley & Sons
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646

बाहरी संबंध

Nilpotent matrix and nilpotent transformation on PlanetMath.

[1] Herstein (1975, p. 294)

[2] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 312)

[3] Herstein (1975, p. 268)

[4] Nering (1970, p. 274)

[Mercer2005-5] Mercer, Idris D. (31 October 2005). "Finding "nonobvious" nilpotent matrices" (PDF). idmercer.com. self-published; personal credentials: PhD Mathematics, Simon Fraser University. Retrieved 5 April 2023.

[6] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 312)

[7] Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 312, 313)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

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 {{Short description|Mathematical concept in algebra}}
-रैखिक बीजगणित में, एक निलपोटेंट मैट्रिक्स एक [[वर्ग मैट्रिक्स]] ''एन'' होता है
+रैखिक बीजगणित में, एक निलपोटेंट आव्यूह एक वर्ग आव्यूह N होता है जैसे कि
 :<math>N^k = 0\,</math>
-कुछ सकारात्मक [[पूर्णांक]] के लिए <math>k</math>. सबसे छोटा ऐसा <math>k</math> का सूचकांक कहा जाता है <math>N</math>,<ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=294}}</ref> कभी-कभी की डिग्री <math>N</math>.
+कुछ सकारात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांक<math>k</math>.]] के लिए इसे 𝑘 का सबसे छोटा सूचकांक 𝑁कहा जाता है इसे कभी-कभी डिग्री में भी व्यक्त किया जा सकता है ,<ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=294}}</ref>
-अधिक सामान्यतः, एक शून्य-शक्तिशाली परिवर्तन एक [[रैखिक परिवर्तन]] है <math>L</math> एक सदिश समष्टि का ऐसा होना <math>L^k = 0</math> कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math> (और इस तरह, <math>L^j = 0</math> सभी के लिए <math>j \geq k</math>).<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=312}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=268}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=274}}</ref> ये दोनों अवधारणाएँ [[निलपोटेंट]] की अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं जो रिंग (बीजगणित) के तत्वों पर लागू होती हैं।
+सामान्यतः, एक शून्य-शक्तिशाली परिवर्तन एक [[रैखिक परिवर्तन]] है <math>L</math> एक सदिश समष्टि है कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>  इस प्रकार है कि (और इस तरह, <math>L^j = 0</math> सभी के लिए <math>j \geq k</math>). <math>L^k = 0</math>.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=312}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=268}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=274}}</ref> ये दोनों अवधारणाएँ [[निलपोटेंट]] की अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं जो रिंग (बीजगणित) के तत्वों पर लागू होती हैं।
-==उदाहरण==
+===उदाहरण===
 ===उदाहरण 1===
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 \end{bmatrix}
 </math>
-चूँकि सूचकांक 2 के साथ शून्यशक्ति है <math>A^2 = 0</math>.
+चूँकि सूचकांक 2 के साथ शून्यशक्ति है अतः  <math>A^2 = 0</math>.
 ===उदाहरण 2===
-अधिक सामान्यतः, कोई भी <math>n</math>-[[मुख्य विकर्ण]] के साथ शून्य के साथ आयामी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]], सूचकांक के साथ शून्य है <math>\le n</math> {{Citation needed|date=November 2022}}. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स
+सामान्यतः, कोई भी <math>n</math>-[[मुख्य विकर्ण]] के साथ और शून्य के साथ आयामी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]], सूचकांक के साथ शून्य है <math>\le n</math> {{Citation needed|date=November 2022}}. उदाहरण के लिए, आव्यूह
 :<math>
 B=\begin{bmatrix}
@@ Line 52: / Line 52: @@
 \end{bmatrix}.
 </math>
-का सूचकांक <math>B</math> इसलिए 4 है.
+का सूचकांक <math>B</math> 4 है.
 ===उदाहरण 3===
-हालाँकि उपरोक्त उदाहरणों में बड़ी संख्या में शून्य प्रविष्टियाँ हैं, एक विशिष्ट निलपोटेंट मैट्रिक्स में ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए,
+यद्यपि उपरोक्त उदाहरणों में बड़ी संख्या में शून्य प्रविष्टियाँ हैं, एक विशिष्ट निलपोटेंट आव्यूह में ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए,
 :<math>
 C=\begin{bmatrix}
@@ Line 69: / Line 69: @@
 \end{bmatrix}
 </math>
-हालाँकि मैट्रिक्स में कोई शून्य प्रविष्टियाँ नहीं हैं।
+यद्यपि आव्यूह में कोई शून्य प्रविष्टियाँ नहीं हैं।
 ===उदाहरण 4===
-इसके अतिरिक्त, फॉर्म का कोई भी मैट्रिक्स
+इसके अतिरिक्त, फॉर्म का कोई भी आव्यूह
 :<math>
@@ Line 99: / Line 99: @@
 \end{bmatrix}
 </math>
-वर्ग से शून्य.
+वर्ग से शून्य.हैं
 ===उदाहरण 5===
-शायद निलपोटेंट मैट्रिक्स के कुछ सबसे आकर्षक उदाहरण हैं <math>n\times n</math> प्रपत्र के वर्ग आव्यूह:
+शायद निलपोटेंट आव्यूह के कुछ सबसे आकर्षक उदाहरण हैं <math>n\times n</math> प्रपत्र के वर्ग आव्यूह:
 :<math>\begin{bmatrix}
@@ Line 151: / Line 151: @@
    |access-date=5 April 2023
 }}</ref>
 ===उदाहरण 6===
-परिबद्ध घात वाले [[बहुपद]]ों के रैखिक समष्टि पर विचार करें। व्युत्पन्न ऑपरेटर एक रेखीय मानचित्र है। हम जानते हैं कि व्युत्पन्न को एक बहुपद पर लागू करने से इसकी डिग्री एक से कम हो जाती है, इसलिए इसे पुनरावृत्त रूप से लागू करने पर, हम अंततः शून्य प्राप्त करेंगे। इसलिए, ऐसे स्थान पर, व्युत्पन्न को एक निलपोटेंट मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है।
+परिबद्ध घात वाले बहुपदों के रैखिक समष्टि पर विचार करें। व्युत्पन्न ऑपरेटर एक रेखीय मानचित्र है। हम जानते हैं कि व्युत्पन्न को एक बहुपद पर लागू करने से इसकी डिग्री एक से कम हो जाती है, इसलिए इसे पुनरावृत्त रूप से लागू करने पर, हम अंततः शून्य प्राप्त करेंगे। इसलिए, ऐसे स्थान पर, व्युत्पन्न को एक निलपोटेंट आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है।
-==विशेषता==
+===विशेषता===
 {{Unreferenced section|date=May 2018}}
-एक के लिए <math>n \times n</math> वर्ग मैट्रिक्स <math>N</math> [[वास्तविक संख्या]] (या सम्मिश्र संख्या) प्रविष्टियों के साथ, निम्नलिखित समतुल्य हैं:
+एक <math>n \times n</math> वर्ग आव्यूह <math>N</math> [[वास्तविक संख्या]] (या सम्मिश्र संख्या) प्रविष्टियों के साथ, निम्नलिखित प्रकार से समतुल्य हैं:
 * <math>N</math> शून्यशक्तिशाली है.
-* के लिए [[विशेषता बहुपद]] <math>N</math> है <math>\det \left(xI - N\right) = x^n</math>.
+* <math>\det \left(xI - N\right) = x^n</math>.के लिए [[विशेषता बहुपद]] <math>N</math> है
-* के लिए [[न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)]]। <math>N</math> है <math>x^k</math> कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k \leq n</math>.
+* <math>x^k</math> के कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k \leq n</math>.[[न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)]] <math>N</math> है
-* के लिए एकमात्र जटिल eigenvalue <math>N</math> 0 है.
+* N के लिए एकमात्र जटिल आईगेन मान <math>N</math> 0 है.
-अंतिम प्रमेय विशेषता 0 या पर्याप्त बड़ी विशेषता वाले किसी भी क्षेत्र (गणित) पर आव्यूहों के लिए सत्य है। (cf. न्यूटन की पहचान)
+अंतिम प्रमेय विशेषता 0 या पर्याप्त बड़ी विशेषता वाले किसी भी क्षेत्र (गणित) पर आव्यूहों के लिए यह सत्य है। (cf. न्यूटन की पहचान)
-इस प्रमेय के कई परिणाम हैं, जिनमें शामिल हैं:
+इस प्रमेय के कई परिणाम हैं, जिनमें सम्मिलित हैं:
-* एक का सूचकांक <math>n \times n</math> निलपोटेंट मैट्रिक्स हमेशा से कम या बराबर होता है <math>n</math>. उदाहरण के लिए, प्रत्येक <math>2 \times 2</math> निलपोटेंट मैट्रिक्स वर्ग शून्य पर।
+* एकn का सूचकांक <math>n \times n</math> निलपोटेंट आव्यूह हमेशा से कम या बराबर होता है  उदाहरण के लिए, प्रत्येक <math>2 \times 2</math> निलपोटेंट आव्यूह वर्ग शून्य पर।
-* एक निलपोटेंट मैट्रिक्स का निर्धारक और [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] हमेशा शून्य होता है। नतीजतन, एक निलपोटेंट मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स नहीं हो सकता है।
+* एक निलपोटेंट आव्यूह का निर्धारक और [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] हमेशा शून्य होता है। नतीजतन, एक निलपोटेंट आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं हो सकता है।
-* एकमात्र निलपोटेंट [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] शून्य मैट्रिक्स है।
+* एकमात्र निलपोटेंट [[विकर्णीय मैट्रिक्स|विकर्णीय आव्यूह]] शून्य आव्यूह है।
-यह भी देखें: जॉर्डन-शेवेल्ली अपघटन#निलपोटेंसी मानदंड।
+===वर्गीकरण===
+इस पर विचार करें <math>n \times n</math> (ऊपरी) [[शिफ्ट मैट्रिक्स|आव्यूह]]:
-==वर्गीकरण==
-इसपर विचार करें <math>n \times n</math> (ऊपरी) [[शिफ्ट मैट्रिक्स]]:
 :<math>S = \begin{bmatrix}
 & 1 & 0 & \ldots & 0  \\
@@ Line 181: / Line 177: @@
 & 0 & 0 & \ldots & 0
 \end{bmatrix}.</math>
-इस मैट्रिक्स में [[ अतिविकर्ण ]] के साथ 1s और बाकी सभी जगह 0s है। एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, शिफ्ट मैट्रिक्स वेक्टर के घटकों को एक स्थिति से बाईं ओर स्थानांतरित करता है, अंतिम स्थिति में शून्य दिखाई देता है:
+इस आव्यूह में [[ अतिविकर्ण | अतिविकर्ण]] के साथ 1s और बाकी सभी जगह 0s है। एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, शिफ्ट आव्यूह सदिश  के घटकों को एक स्थिति से बाईं ओर स्थानांतरित करता है, अंतिम स्थिति में शून्य दिखाई देता है:
 :<math>S(x_1,x_2,\ldots,x_n) = (x_2,\ldots,x_n,0).</math><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=312}}</ref>
-यह मैट्रिक्स डिग्री के साथ शून्य-शक्तिशाली है <math>n</math>, और [[ कानूनी फॉर्म ]] निलपोटेंट मैट्रिक्स है।
+यह आव्यूह डिग्री n के साथ शून्य-शक्तिशाली है ,और[[ कानूनी फॉर्म | कानूनी फॉर्म]] निलपोटेंट आव्यूह है।
-विशेष रूप से, यदि <math>N</math> तो क्या यह कोई शून्य-शक्तिशाली मैट्रिक्स है? <math>N</math> फॉर्म के ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए [[मैट्रिक्स समानता]] है
+विशेष रूप से, यदि <math>N</math> तो क्या यह कोई शून्य-शक्तिशाली आव्यूह है? <math>N</math> फॉर्म के ब्लॉक विकर्ण आव्यूह के लिए [[मैट्रिक्स समानता|आव्यूह समानता]] है
 :<math> \begin{bmatrix}
     S_1 & 0 & \ldots & 0 \\
@@ Line 192: / Line 188: @@
 & 0 & \ldots & S_r
 \end{bmatrix} </math>
-जहां प्रत्येक ब्लॉक <math>S_1,S_2,\ldots,S_r</math> एक शिफ्ट मैट्रिक्स है (संभवतः विभिन्न आकारों का)। यह फॉर्म मैट्रिसेस के लिए [[ जॉर्डन विहित रूप ]] का एक विशेष मामला है।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=312,313}}</ref>
+जहां प्रत्येक ब्लॉक <math>S_1,S_2,\ldots,S_r</math> एक शिफ्ट आव्यूह है (संभवतः विभिन्न आकारों का)। यह फॉर्म आव्यूह के लिए [[ जॉर्डन विहित रूप | जॉर्डन विहित रूप]] का एक विशेष मामला है।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=312,313}}</ref>उदाहरण के लिए, कोई भी गैरशून्य 2×2 निलपोटेंट आव्यूह आव्यूह के समान है
-उदाहरण के लिए, कोई भी गैरशून्य 2×2 निलपोटेंट मैट्रिक्स मैट्रिक्स के समान है
 :<math> \begin{bmatrix}
 & 1 \\
 & 0
 \end{bmatrix}. </math>
-अर्थात यदि <math>N</math> यदि कोई शून्येतर 2 × 2 निलपोटेंट मैट्रिक्स है, तो एक आधार मौजूद है बी<sub>1</sub>, बी<sub>2</sub> ऐसे कि N'b'<sub>1</sub>= 0 और N'b'<sub>2</sub>= बी<sub>1</sub>.
+अर्थात यदि <math>N</math> यदि कोई शून्येतर 2 × 2 निलपोटेंट आव्यूह है, तो एक आधार B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub> ऐसे है कि N'b'<sub>1</sub>= 0 और N'b'<sub>2</sub>= B<sub>1</sub>.
-यह वर्गीकरण प्रमेय किसी भी क्षेत्र (गणित) पर मैट्रिक्स के लिए लागू होता है। (फ़ील्ड को बीजगणितीय रूप से बंद करना आवश्यक नहीं है।)
+यह वर्गीकरण प्रमेय किसी भी क्षेत्र (गणित) पर आव्यूह के लिए लागू होता है। (फ़ील्ड को बीजगणितीय रूप से बंद करना आवश्यक नहीं है।)
-==उपस्थानों का ध्वज==
+===उपस्थानों का ध्वज===
 एक निरर्थक परिवर्तन <math>L</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math> स्वाभाविक रूप से उप-स्थानों का एक [[ध्वज (रैखिक बीजगणित)]] निर्धारित करता है
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 और एक हस्ताक्षर
 :<math> 0 = n_0 < n_1 < n_2 < \ldots < n_{q-1} < n_q = n,\qquad n_i = \dim \ker L^i. </math>
-हस्ताक्षर की विशेषता है <math>L</math> एक व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तन [[तक]]। इसके अलावा, यह असमानताओं को भी संतुष्ट करता है
+यह हस्ताक्षर की विशेषता<math>L</math> एक व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तन [[तक]] है। इसके अतिरिक्त यह असमानताओं को भी संतुष्ट करता है
 :<math> n_{j+1} - n_j \leq n_j - n_{j-1}, \qquad \mbox{for all } j = 1,\ldots,q-1. </math>
 इसके विपरीत, इन असमानताओं को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्याओं का कोई भी क्रम एक निरर्थक परिवर्तन का हस्ताक्षर है।
-==अतिरिक्त गुण==
+===अतिरिक्त गुण===
-{{unordered list
+===सामान्यीकरण===
-| If <math>N</math> is nilpotent of index <math>k</math> , then <math>I+N</math> and <math>I-N</math> are [[invertible matrix|invertible]], where <math>I</math> is the <math>n \times n</math> [[identity matrix]]. The inverses are given by
+एक रैखिक संचालिका के लिए यदि प्रत्येक सदिश  के लिए T स्थानीय रूप से शून्यप्रभावी है
-: <math>\begin{align}
-(I + N)^{-1} &= \displaystyle\sum^k_{m=0}\left(-N\right)^m = I - N + N^2 - N^3 + N^4 - N^5 + N^6 - N^7 + \cdots +(-N)^k \\
-(I - N)^{-1} &= \displaystyle\sum^k_{m=0}N^m = I + N + N^2 + N^3 + N^4 + N^5 + N^6 + N^7 +  \cdots + N^k \\
-\end{align}</math>
-| If <math>N</math> is nilpotent, then
-: <math>\det (I + N) = 1.</math>
-Conversely, if <math>A</math> is a matrix and
-: <math>\det (I + tA) = 1\!\,</math>
-for all values of <math>t</math>, then <math>A</math> is nilpotent. In fact, since <math>p(t) = \det (I + tA) - 1</math> is a polynomial of degree <math>n</math>, it suffices to have this hold for <math>n+1</math> distinct values of <math>t</math>.
-| Every [[singular matrix]] can be written as a product of nilpotent matrices.<ref>R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, ''Linear and Multilinear Algebra'', Vol. 56, No. 3</ref>
-| A nilpotent matrix is a special case of a [[convergent matrix]].
-}}
-==सामान्यीकरण==
+vवहाँ एक उपस्थिति को दर्शाता है<math>k\in\mathbb{N}</math> ऐसा है कि
-एक रैखिक संचालिका <math>T</math> यदि प्रत्येक वेक्टर के लिए स्थानीय रूप से शून्यप्रभावी है <math>v</math>, वहाँ एक मौजूद है <math>k\in\mathbb{N}</math> ऐसा है कि
 :<math>T^k(v) = 0.\!\,</math>
-परिमित-आयामी वेक्टर स्थान पर ऑपरेटरों के लिए, स्थानीय निलपोटेंस, निलपोटेंस के बराबर है।
+परिमित-आयामी सदिश  स्थान पर ऑपरेटरों के लिए, स्थानीय निलपोटें, निलपोटें के बराबर है।
-==टिप्पणियाँ==
+===टिप्पणियाँ===
 <references />
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 * {{citation | first1 = Raymond A. | last1 = Beauregard | first2 = John B. | last2 = Fraleigh | year = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | publisher = [[Houghton Mifflin Co.]] | location = Boston | url-access = registration | url = https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau }}
 *{{citation | first = I. N. | last = Herstein | author-link= Israel Nathan Herstein | year = 1975 | title = Topics In Algebra | edition= 2nd | publisher = [[John Wiley & Sons]] }}
-* {{ citation | first1 = Evar D. | last1 = Nering | year = 1970 | title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | lccn = 76091646 }}
+* {{citation | first1 = Evar D. | last1 = Nering | year = 1970 | title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | lccn = 76091646 }}

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
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