अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध: Difference between revisions
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गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में, अर्ध-स्थानीय | गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में, '''अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध''' एक निश्चित स्थानीय जुड़ाव की स्थिति है जो रिक्त स्थान को कवर करने के सिद्धांत में उत्पन्न होती है। सामान्यतः कहें तो, एक टोपोलॉजिकल स्पेस ''X'' अर्ध-स्थानीय रूप से आसानी से जुड़ा होता है यदि ''X'' में "होल्स" के आकार पर निचली सीमा होती है। रिक्त स्थान को कवर करने के अधिकांश सिद्धांत के लिए यह स्थिति आवश्यक है, जिसमें एक [[सार्वभौमिक आवरण]] का अस्तित्व और कवरिंग रिक्त स्थान और [[मौलिक समूह]] के उपसमूहों के बीच गैलोज़ समानता शामिल है। | ||
अधिकांश "अच्छे" स्थान जैसे कि मैनिफोल्ड्स और [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सीडब्ल्यू]] [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|कॉम्प्लेक्स]] अर्ध-स्थानीय रूप से आसानी से जुड़े हुए हैं, और टोपोलॉजिकल स्थान जो इस स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं उन्हें कुछ हद तक [[पैथोलॉजिकल (गणित)|पैथोलॉजिकल]] माना जाता है। गैर-अर्ध-स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़े स्थान का मानक उदाहरण हवाईयन इयररिंग है। | अधिकांश "अच्छे" स्थान जैसे कि मैनिफोल्ड्स और [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सीडब्ल्यू]] [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|कॉम्प्लेक्स]] अर्ध-स्थानीय रूप से आसानी से जुड़े हुए हैं, और टोपोलॉजिकल स्थान जो इस स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं उन्हें कुछ हद तक [[पैथोलॉजिकल (गणित)|पैथोलॉजिकल]] माना जाता है। गैर-अर्ध-स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़े स्थान का मानक उदाहरण हवाईयन इयररिंग है। | ||
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एक स्पेस | एक स्पेस एक्स को '''अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध''' किया जाता है यदि ''X'' में हर बिंदु पर गुण के साथ एक प्रतिवैस ''U'' है कि ''U'' में हर लूप को ''X'' के भीतर एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है ( यानी ''U'' में हर लूप ''X'' में शून्य समरूपता है)। प्रतिवैस U को केवल कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है: हालांकि U में प्रत्येक लूप ''X'' के भीतर अनुबंधित होना चाहिए, संकुचन को ''U'' के अंदर ले जाने की आवश्यकता नहीं है। | ||
इस परिभाषा के | इस परिभाषा के बराबर, एक स्पेस ''X'' अर्ध-स्थानीय रूप से केवल तभी संबद्ध होता है जब ''X'' के प्रतिवैस बिंदु में एक प्रतिवैस ''U'' होता है जिसके लिए ''U'' के मूलभूत समूह से ''X'' के मूलभूत समूह में समरूपता होती है, ''U'' के ''X'' में शामिल किए जाने के मानचित्र से प्रेरित, साधारण है। | ||
रिक्त स्थान को कवर करने के बारे में अधिकांश मुख्य प्रमेय, जिसमें एक सार्वभौमिक कवर और गैलोइस पत्राचार का अस्तित्व शामिल है, को कनेक्ट करने के लिए एक स्थान की आवश्यकता होती है। ऐसी स्थिति जिसे 'अनलूपेबल' (फ़्रेंच में डिलेकेबल) कहा जाता है।{{sfn|Bourbaki|2016|p=340}} विशेष रूप से, किसी स्थान के लिए बस कनेक्टेड कवरिंग स्पेस के लिए यह शर्त आवश्यक है। | रिक्त स्थान को कवर करने के बारे में अधिकांश मुख्य प्रमेय, जिसमें एक सार्वभौमिक कवर और गैलोइस पत्राचार का अस्तित्व शामिल है, को कनेक्ट करने के लिए एक स्थान की आवश्यकता होती है। ऐसी स्थिति जिसे 'अनलूपेबल' (फ़्रेंच में डिलेकेबल) कहा जाता है।{{sfn|Bourbaki|2016|p=340}} विशेष रूप से, किसी स्थान के लिए बस कनेक्टेड कवरिंग स्पेस के लिए यह शर्त आवश्यक है। | ||
Revision as of 22:15, 13 July 2023
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध एक निश्चित स्थानीय जुड़ाव की स्थिति है जो रिक्त स्थान को कवर करने के सिद्धांत में उत्पन्न होती है। सामान्यतः कहें तो, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X अर्ध-स्थानीय रूप से आसानी से जुड़ा होता है यदि X में "होल्स" के आकार पर निचली सीमा होती है। रिक्त स्थान को कवर करने के अधिकांश सिद्धांत के लिए यह स्थिति आवश्यक है, जिसमें एक सार्वभौमिक आवरण का अस्तित्व और कवरिंग रिक्त स्थान और मौलिक समूह के उपसमूहों के बीच गैलोज़ समानता शामिल है।
अधिकांश "अच्छे" स्थान जैसे कि मैनिफोल्ड्स और सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स अर्ध-स्थानीय रूप से आसानी से जुड़े हुए हैं, और टोपोलॉजिकल स्थान जो इस स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं उन्हें कुछ हद तक पैथोलॉजिकल माना जाता है। गैर-अर्ध-स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़े स्थान का मानक उदाहरण हवाईयन इयररिंग है।
परिभाषा
एक स्पेस एक्स को अर्ध-स्थानीय पूर्णतः संबद्ध किया जाता है यदि X में हर बिंदु पर गुण के साथ एक प्रतिवैस U है कि U में हर लूप को X के भीतर एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है ( यानी U में हर लूप X में शून्य समरूपता है)। प्रतिवैस U को केवल कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है: हालांकि U में प्रत्येक लूप X के भीतर अनुबंधित होना चाहिए, संकुचन को U के अंदर ले जाने की आवश्यकता नहीं है।
इस परिभाषा के बराबर, एक स्पेस X अर्ध-स्थानीय रूप से केवल तभी संबद्ध होता है जब X के प्रतिवैस बिंदु में एक प्रतिवैस U होता है जिसके लिए U के मूलभूत समूह से X के मूलभूत समूह में समरूपता होती है, U के X में शामिल किए जाने के मानचित्र से प्रेरित, साधारण है।
रिक्त स्थान को कवर करने के बारे में अधिकांश मुख्य प्रमेय, जिसमें एक सार्वभौमिक कवर और गैलोइस पत्राचार का अस्तित्व शामिल है, को कनेक्ट करने के लिए एक स्थान की आवश्यकता होती है। ऐसी स्थिति जिसे 'अनलूपेबल' (फ़्रेंच में डिलेकेबल) कहा जाता है।[1] विशेष रूप से, किसी स्थान के लिए बस कनेक्टेड कवरिंग स्पेस के लिए यह शर्त आवश्यक है।
उदाहरण
एक ऐसे स्थान का एक सरल उदाहरण जो अर्ध-स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ नहीं है, हवाईयन बाली है: यूक्लिडियन विमान में केंद्र (1/एन, 0) और त्रिज्या 1/एन के साथ मंडलियों का संघ (सेट सिद्धांत), एन प्राकृतिक के लिए संख्या। इस स्पेस को सबस्पेस टोपोलॉजी दें। फिर उत्पत्ति (गणित) के सभी पड़ोस में ऐसे वृत्त होते हैं जो अशक्त होमोटोपिक नहीं होते हैं।
हवाईयन इयररिंग का उपयोग अर्ध-स्थानीय रूप से आसानी से जुड़े स्थान के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है जो स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ स्थान नहीं है। विशेष रूप से, हवाईयन इयररिंग पर शंकु (टोपोलॉजी) संकुचन योग्य है और इसलिए अर्ध-स्थानीय रूप से आसानी से जुड़ा हुआ है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से स्थानीय रूप से आसानी से जुड़ा नहीं है।
मौलिक समूह की टोपोलॉजी
मौलिक समूह पर प्राकृतिक टोपोलॉजी के संदर्भ में, स्थानीय रूप से पथ-जुड़ा हुआ स्थान अर्ध-स्थानीय रूप से केवल तभी जुड़ा होता है जब इसका क्वासिटोपोलॉजिकल मौलिक समूह असतत होता है।[citation needed]
संदर्भ
- ↑ Bourbaki 2016, p. 340.
- Bourbaki, Nicolas (2016). Topologie algébrique: Chapitres 1 à 4. Springer. Ch. IV pp. 339 -480. ISBN 978-3662493601.
- J.S. Calcut, J.D. McCarthy Discreteness and homogeneity of the topological fundamental group Topology Proceedings, Vol. 34,(2009), pp. 339–349
- Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
