विकर्ण रूप से प्रभावशाली मैट्रिक्स: Difference between revisions

Revision as of 17:39, 29 July 2023

गणित में, एक वर्ग आव्यूह (गणित) को विकर्णतः प्रमुख कहा जाता है यदि, आव्यूह की प्रत्येक रोव (पंक्ति) के लिए, रोव में विकर्णतः प्रविष्टि का परिमाण उस रोव में अन्य सभी (गैर-विकर्णतः) प्रविष्टियों के परिमाण के योग से बृहत्तर या उसके बराबर है। अधिक सटीक रूप से, आव्यूह A विकर्णतः रूप से प्रमुख है यदि

|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i\,

जहाँ a_ij ith रोव और jth कॉलम में प्रविष्टि को दर्शाता है।

यह परिभाषा अशक्त असमानता का उपयोग करती है, और इसलिए इसे कभी-कभी अशक्त विकर्णतः प्रभुत्व भी कहा जाता है। यदि सख्त असमानता (>) का उपयोग किया जाता है, तो इसे सख्त विकर्णतः प्रभुत्व कहा जाता है। अयोग्य शब्द विकर्णतः प्रभुत्व का अर्थ संदर्भ के आधार पर सख्त (स्ट्रीक्ट) और अशक्त विकर्णतः प्रभुत्व दोनों हो सकता है।^[1]

भिन्नताएँ

पहले पैराग्राफ की परिभाषा प्रत्येक रोव में प्रविष्टियों का योग करती है। इसलिए इसे कभी-कभी रोव विकर्णतः प्रभुत्व भी कहा जाता है। यदि कोई प्रत्येक स्तंभ का योग करने के लिए परिभाषा बदलता है, तो इसे कॉलम विकर्णतः प्रभुत्व कहा जाता है।

कोई भी यथार्थ रूप से विकर्णतः प्रमुख आव्यूह बिना प्रयास किये एक अशक्त श्रृंखलाबद्ध विकर्णतः प्रमुख आव्यूह है। अशक्त श्रृंखलाबद्ध विकर्णतः प्रमुख आव्यूह गैर-एकवचन होते हैं और इसमें इरेड्यूसिबल विकर्णतः प्रमुख आव्यूह का समूह सम्मिलित होता है। ये इरेड्यूसिबल (गणित) आव्यूह हैं जो अशक्त विकर्णतः प्रमुख हैं, लेकिन कम से कम एक रोव में पूर्णतः से विकर्णतः प्रमुख हैं।

उदाहरण

आव्यूह

A={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}

विकर्णतः प्रमुख है क्योंकि

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

तब से

|+3|\geq |-2|+|+1|

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

तब से

|3|\geq |+1|+|+2|

|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|

तब से

|+4|\geq |-1|+|+2|

.

आव्यूह

B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}

विकर्णतः प्रमुख नहीं है क्योंकि

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

तब से

|-2|<|+2|+|+1|

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

तब से

|+3|\geq |+1|+|+2|

|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|

तब से

|+0|<|+1|+|-2|

.

अर्थात्, पहली और तीसरी रोवयाँ विकर्णतः प्रभुत्व की स्थिति को पूरा करने में विफल रहती हैं।

आव्यूह

C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}

पूर्णतः से विकर्णतः प्रमुख है क्योंकि

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

तब से

|-4|>|+2|+|+1|

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

तब से

|+6|>|+1|+|+2|

|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|

तब से

|+5|>|+1|+|-2|

.

अनुप्रयोग और गुण

निम्नलिखित परिणामों को गेर्शगोरिन वृत्त प्रमेय से बिना प्रयास किये सिद्ध किया जा सकता है। गेर्शगोरिन के वृत्त प्रमेय का अपने आप में एक बहुत ही संक्षिप्त प्रमाण है।

पूर्णतः से विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह (या एक अपरिवर्तनीय रूप से विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह^[2]) एकवचन आव्यूह है गैर-एकवचन।

हर्मिटियन आव्यूह विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह $A$ वास्तविक गैर-ऋणात्मक विकर्णतः प्रविष्टियों के साथ घनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह है। यह आइगेनवैल्यू के वास्तविक होने और गेर्शगोरिन के वृत्त प्रमेय से अनुसरण करता है। यदि समरूपता की आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो ऐसा आव्यूह आवश्यक रूप से घनात्मक अर्धनिश्चित नहीं है। उदाहरण के लिए, विचार करें

पूर्णतः

{\begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.

हालाँकि, इसके इगेनवैल्यूज (eigenvalues) के वास्तविक भाग गेर्शगोरिन के वृत्त प्रमेय द्वारा गैर-ऋणात्मक रहते हैं।

इसी प्रकार, वास्तविक घनात्मक विकर्णतः प्रविष्टियों के साथ एक हर्मिटियन पूर्णतः से विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह घनात्मक निश्चित आव्यूह है।

गाउस एलिमिनेशन (एलयू फ़ैक्टराइज़ेशन) निष्पादित करते समय पूर्णतः से कॉलम विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह के लिए कोई (आंशिक) पिवोटिंग (कीलकन) आवश्यक नहीं है।

एक रेखीय प्रणाली को हल करने के लिए जैकोबी विधि और गॉस-सीडेल विधियाँ अभिसरण होती हैं यदि आव्यूह पूर्णतः से (या अपरिवर्तनीय रूप से) विकर्णतः रूप से प्रमुख है।

परिमित तत्व विधियों में उत्पन्न होने वाले कई आव्यूह विकर्णतः रूप से प्रमुख होते हैं।

विकर्णतः प्रभुत्व के विचार पर एक साधारण बदलाव का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जाता है कि टेम्परली-लीब बीजगणित में लूप के बिना आरेखों पर युग्मन गैर-अपक्षयी है।^[3] बहुपद प्रविष्टियों वाले आव्यूह के लिए, विकर्णतः प्रभुत्व की एक उचित परिभाषा यदि उच्चतम शक्ति है $q$ प्रत्येक रोव में दिखाई देने वाला केवल विकर्णतः पर दिखाई देता है। (बड़े मूल्यों पर ऐसे आव्यूह का मूल्यांकन $q$ उपरोक्त अर्थ में विकर्णतः रूप से प्रमुख हैं।)

संदर्भ

Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations. ISBN 0-8018-5414-8.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis (Paperback ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.

बाहरी संबंध

[1] For instance, Horn and Johnson (1985, p. 349) use it to mean weak diagonal dominance.

[2] Horn and Johnson, Thm 6.2.27.

[3] K.H. Ko and L. Smolinski (1991). "A combinatorial matrix in 3-manifold theory". Pacific J. Math. 149: 319–336.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Subclass of matrices}}
-गणित में, एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)]] को विकर्ण रूप से प्रभावशाली कहा जाता है यदि, मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति के लिए, पंक्ति में विकर्ण प्रविष्टि का परिमाण उस पंक्ति में अन्य सभी (गैर-विकर्ण) प्रविष्टियों के परिमाण के योग से बड़ा या उसके बराबर है। अधिक सटीक रूप से, मैट्रिक्स ''ए'' विकर्ण रूप से प्रभावशाली है यदि
+गणित में, एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] को  विकर्णतः प्रमुख कहा जाता है यदि, आव्यूह की प्रत्येक रोव (पंक्ति) के लिए, रोव में विकर्णतः प्रविष्टि का परिमाण उस रोव में अन्य सभी (गैर-विकर्णतः) प्रविष्टियों के परिमाण के योग से  बृहत्तर या उसके बराबर है। अधिक सटीक रूप से, आव्यूह ''A'' विकर्णतः रूप से प्रमुख है यदि
 :<math>|a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{for all } i \,</math>
-जहाँ एक<sub>''ij''</sub> ith पंक्ति और jth कॉलम में प्रविष्टि को दर्शाता है।
+जहाँ a<sub>''ij''</sub> ith रोव और jth कॉलम में प्रविष्टि को दर्शाता है।
-यह परिभाषा कमजोर असमानता का उपयोग करती है, और इसलिए इसे कभी-कभी कमजोर विकर्ण प्रभुत्व भी कहा जाता है। यदि सख्त असमानता (>) का उपयोग किया जाता है, तो इसे सख्त विकर्ण प्रभुत्व कहा जाता है। अयोग्य शब्द विकर्ण प्रभुत्व का अर्थ संदर्भ के आधार पर सख्त और कमजोर विकर्ण प्रभुत्व दोनों हो सकता है।<ref>For instance, Horn and Johnson (1985, p.&nbsp;349) use it to mean weak diagonal dominance.</ref>
+यह परिभाषा अशक्त असमानता का उपयोग करती है, और इसलिए इसे कभी-कभी अशक्त विकर्णतः प्रभुत्व भी कहा जाता है। यदि सख्त असमानता (>) का उपयोग किया जाता है, तो इसे ''सख्त'' ''विकर्णतः प्रभुत्व'' कहा जाता है। अयोग्य शब्द ''विकर्णतः प्रभुत्व'' का अर्थ संदर्भ के आधार पर सख्त (स्ट्रीक्ट) और अशक्त विकर्णतः प्रभुत्व दोनों हो सकता है।<ref>For instance, Horn and Johnson (1985, p.&nbsp;349) use it to mean weak diagonal dominance.</ref>
 ==भिन्नताएँ==
-पहले पैराग्राफ की परिभाषा प्रत्येक पंक्ति में प्रविष्टियों का योग करती है। इसलिए इसे कभी-कभी पंक्ति विकर्ण प्रभुत्व भी कहा जाता है। यदि कोई प्रत्येक स्तंभ का योग करने के लिए परिभाषा बदलता है, तो इसे स्तंभ विकर्ण प्रभुत्व कहा जाता है।
+पहले पैराग्राफ की परिभाषा प्रत्येक रोव में प्रविष्टियों का योग करती है। इसलिए इसे कभी-कभी ''रोव विकर्णतः प्रभुत्व'' भी कहा जाता है। यदि कोई प्रत्येक स्तंभ का योग करने के लिए परिभाषा बदलता है, तो इसे ''कॉलम विकर्णतः प्रभुत्व'' कहा जाता है।
-कोई भी कड़ाई से विकर्ण रूप से प्रभावी मैट्रिक्स तुच्छ रूप से एक कमजोर रूप से श्रृंखलाबद्ध विकर्ण रूप से प्रमुख मैट्रिक्स है। कमजोर रूप से जंजीर वाले विकर्ण रूप से प्रमुख मैट्रिक्स गैर-एकवचन होते हैं और इसमें अपरिवर्तनीय रूप से विकर्ण रूप से प्रमुख मैट्रिक्स का परिवार शामिल होता है। ये इरेड्यूसिबल (गणित) मैट्रिक्स हैं जो कमजोर रूप से विकर्ण रूप से प्रभावी हैं, लेकिन कम से कम एक पंक्ति में सख्ती से विकर्ण रूप से प्रभावी हैं।
+कोई भी  यथार्थ रूप से ''विकर्णतः प्रमुख आव्यूह''  बिना प्रयास किये एक अशक्त श्रृंखलाबद्ध विकर्णतः प्रमुख आव्यूह है। अशक्त श्रृंखलाबद्ध विकर्णतः प्रमुख आव्यूह गैर-एकवचन होते हैं और इसमें ''इरेड्यूसिबल विकर्णतः प्रमुख'' आव्यूह का समूह सम्मिलित होता है। ये इरेड्यूसिबल (गणित) आव्यूह हैं जो अशक्त विकर्णतः प्रमुख हैं, लेकिन कम से कम एक रोव में पूर्णतः से विकर्णतः प्रमुख हैं।
 ==उदाहरण==
-गणित का सवाल
+आव्यूह
 :<math> A = \begin{bmatrix}
@@ Line 18: / Line 18: @@
 -1 & 2 & 4\end{bmatrix}
 </math>
-विकर्णतः प्रभावी है क्योंकि
+विकर्णतः प्रमुख है क्योंकि
 :<math>|a_{11}| \ge |a_{12}| + |a_{13}|</math> तब से <math>|+3| \ge |-2| + |+1|</math>
@@ Line 24: / Line 24: @@
 :<math>|a_{33}| \ge |a_{31}| + |a_{32}|</math> तब से <math>|+4| \ge |-1| + |+2|</math>.
-गणित का सवाल
+आव्यूह
 :<math> B = \begin{bmatrix}
@@ Line 31: / Line 31: @@
 & -2 & 0\end{bmatrix}
 </math>
-विकर्णतः प्रभावी नहीं है क्योंकि
+विकर्णतः प्रमुख ''नहीं'' है क्योंकि
 :<math>|b_{11}| < |b_{12}| + |b_{13}|</math> तब से <math>|-2| < |+2| + |+1|</math>
@@ Line 37: / Line 37: @@
 :<math>|b_{33}| < |b_{31}| + |b_{32}|</math> तब से <math>|+0| < |+1| + |-2|</math>.
-अर्थात्, पहली और तीसरी पंक्तियाँ विकर्ण प्रभुत्व की स्थिति को पूरा करने में विफल रहती हैं।
+अर्थात्, पहली और तीसरी रोवयाँ विकर्णतः प्रभुत्व की स्थिति को पूरा करने में विफल रहती हैं।
-गणित का सवाल
+आव्यूह
 :<math> C = \begin{bmatrix}
@@ Line 46: / Line 46: @@
 & -2 & 5\end{bmatrix}
 </math>
-सख्ती से विकर्ण रूप से प्रभावशाली है क्योंकि
+पूर्णतः से विकर्णतः प्रमुख है क्योंकि
 :<math>|c_{11}| > |c_{12}| + |c_{13}|</math> तब से <math>|-4| > |+2| + |+1|</math>
@@ Line 53: / Line 53: @@
 ==अनुप्रयोग और गुण==
-निम्नलिखित परिणामों को गेर्शगोरिन वृत्त प्रमेय|गेर्शगोरिन वृत्त प्रमेय से तुच्छ रूप से सिद्ध किया जा सकता है। गेर्शगोरिन के वृत्त प्रमेय का अपने आप में एक बहुत ही संक्षिप्त प्रमाण है।
+निम्नलिखित परिणामों को [[गेर्शगोरिन वृत्त प्रमेय]] से  बिना प्रयास किये सिद्ध किया जा सकता है। गेर्शगोरिन के वृत्त प्रमेय का अपने आप में एक बहुत ही संक्षिप्त प्रमाण है।
-एक कड़ाई से विकर्ण रूप से प्रमुख मैट्रिक्स (या एक अपरिवर्तनीय रूप से विकर्ण रूप से प्रमुख मैट्रिक्स<ref>Horn and Johnson, Thm 6.2.27.</ref>) [[एकवचन मैट्रिक्स]] है|गैर-एकवचन।
+पूर्णतः से विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह (या एक अपरिवर्तनीय रूप से विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह<ref>Horn and Johnson, Thm 6.2.27.</ref>) [[एकवचन मैट्रिक्स|एकवचन आव्यूह]] है गैर-एकवचन।
-एक [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] विकर्ण रूप से प्रभावशाली मैट्रिक्स <math> A </math> वास्तविक गैर-नकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ [[सकारात्मक अर्धनिश्चित मैट्रिक्स]] है। यह आइगेनवैल्यू के वास्तविक होने और गेर्शगोरिन के सर्कल प्रमेय से अनुसरण करता है। यदि समरूपता की आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो ऐसा मैट्रिक्स आवश्यक रूप से सकारात्मक अर्धनिश्चित नहीं है। उदाहरण के लिए, विचार करें
+[[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह <math> A </math> वास्तविक गैर-ऋणात्मक विकर्णतः प्रविष्टियों के साथ [[सकारात्मक अर्धनिश्चित मैट्रिक्स|घनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह]] है। यह आइगेनवैल्यू के वास्तविक होने और गेर्शगोरिन के वृत्त प्रमेय से अनुसरण करता है। यदि समरूपता की आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो ऐसा आव्यूह आवश्यक रूप से घनात्मक अर्धनिश्चित नहीं है। उदाहरण के लिए, विचार करें
-:<math> \begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+:पूर्णतः<math> \begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 &1&0\\
 &1&0\\
 &0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}<0.</math>
-हालाँकि, इसके eigenvalues के वास्तविक भाग गेर्शगोरिन के सर्कल प्रमेय द्वारा गैर-नकारात्मक रहते हैं।
+हालाँकि, इसके इगेनवैल्यूज (eigenvalues) के वास्तविक भाग गेर्शगोरिन के वृत्त प्रमेय द्वारा गैर-ऋणात्मक रहते हैं।
-इसी प्रकार, वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ एक हर्मिटियन सख्ती से विकर्ण रूप से प्रमुख मैट्रिक्स [[सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स]] है।
+इसी प्रकार, वास्तविक घनात्मक विकर्णतः प्रविष्टियों के साथ एक हर्मिटियन पूर्णतः से विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह [[सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स|घनात्मक निश्चित आव्यूह]] है।
-[[ गाउस विलोपन ]] (एलयू फ़ैक्टराइज़ेशन) निष्पादित करते समय सख्ती से कॉलम विकर्ण रूप से प्रभावशाली मैट्रिक्स के लिए कोई (आंशिक) [[धुरी तत्व]] आवश्यक नहीं है।
+[[ गाउस विलोपन |गाउस एलिमिनेशन]] (एलयू फ़ैक्टराइज़ेशन) निष्पादित करते समय  पूर्णतः से कॉलम विकर्णतः रूप से प्रमुख आव्यूह के लिए कोई (आंशिक) [[धुरी तत्व|पिवोटिंग]] (कीलकन) आवश्यक नहीं है।
-एक रेखीय प्रणाली को हल करने के लिए [[जैकोबी विधि]] और गॉस-सीडेल विधियाँ अभिसरण होती हैं यदि मैट्रिक्स सख्ती से (या अपरिवर्तनीय रूप से) विकर्ण रूप से प्रभावशाली है।
+एक रेखीय प्रणाली को हल करने के लिए [[जैकोबी विधि]] और गॉस-सीडेल विधियाँ अभिसरण होती हैं यदि आव्यूह पूर्णतः से (या अपरिवर्तनीय रूप से) विकर्णतः रूप से प्रमुख है।
-परिमित तत्व विधियों में उत्पन्न होने वाले कई मैट्रिक्स विकर्ण रूप से प्रभावशाली होते हैं।
+परिमित तत्व विधियों में उत्पन्न होने वाले कई आव्यूह विकर्णतः रूप से प्रमुख होते हैं।
-विकर्ण प्रभुत्व के विचार पर एक मामूली बदलाव का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जाता है कि टेम्परली-लीब बीजगणित में लूप के बिना आरेखों पर युग्मन गैर-अपक्षयी है।<ref>{{cite journal | author = K.H. Ko and L. Smolinski | title = A combinatorial matrix in 3-manifold theory | journal = [[Pacific J. Math.]] | volume = 149 | year = 1991 | pages = 319–336}}</ref> बहुपद प्रविष्टियों वाले मैट्रिक्स के लिए, विकर्ण प्रभुत्व की एक समझदार परिभाषा यदि उच्चतम शक्ति है <math>q</math> प्रत्येक पंक्ति में दिखाई देने वाला केवल विकर्ण पर दिखाई देता है। (बड़े मूल्यों पर ऐसे मैट्रिक्स का मूल्यांकन <math>q</math> उपरोक्त अर्थ में विकर्ण रूप से प्रभावशाली हैं।)
+विकर्णतः प्रभुत्व के विचार पर एक साधारण बदलाव का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जाता है कि [[टेम्परली-लीब बीजगणित]] में लूप के बिना आरेखों पर युग्मन गैर-अपक्षयी है।<ref>{{cite journal | author = K.H. Ko and L. Smolinski | title = A combinatorial matrix in 3-manifold theory | journal = [[Pacific J. Math.]] | volume = 149 | year = 1991 | pages = 319–336}}</ref> बहुपद प्रविष्टियों वाले आव्यूह के लिए, विकर्णतः प्रभुत्व की एक उचित परिभाषा यदि उच्चतम शक्ति है <math>q</math> प्रत्येक रोव में दिखाई देने वाला केवल विकर्णतः पर दिखाई देता है। (बड़े मूल्यों पर ऐसे आव्यूह का मूल्यांकन <math>q</math> उपरोक्त अर्थ में विकर्णतः रूप से प्रमुख हैं।)
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