बायोर्थोगोनल बहुपद: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, '''बायोर्थोगोनल बहुपद''' एक बहुपद है जो कई अलग-अलग मापों के लिए ऑर्थोगोनल है। बायोर्थोगोनल बहुपद [[ऑर्थोगोनल बहुपद]] का एक सामान्यीकरण है और उनके कई गुणों को साझा करते हैं। साहित्य में बायोर्थोगोनल बहुपद की दो अलग-अलग अवधारणाएँ हैं: {{harvtxt|इसरल्स|नॉरसेट|1988}} ने उपायों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल की अवधारणा पेश की, जबकि सेजेगो ने बहुपदों के दो अनुक्रमों की अवधारणा पेश की जो एक दूसरे के संबंध में बायोर्थोगोनल हैं। | ||
==मापों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल== | ==मापों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल== | ||
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==अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े== | ==अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े== | ||
दो क्रम ψ<sub>0</sub>, | दो क्रम ψ<sub>0</sub>, ''ψ''<sub>1</sub>, ... और φ<sub>0</sub>, ''φ''<sub>1</sub>, ... बहुपदों को बायोर्थोगोनल कहा जाता है (कुछ माप μ के लिए) यदि | ||
: <math>\int \phi_m(x)\psi_n(x) \, d\mu(x) = 0</math> | : <math>\int \phi_m(x)\psi_n(x) \, d\mu(x) = 0</math> | ||
जब भी | जब भी ''m ≠ n''. | ||
अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े की परिभाषा कुछ अर्थों में उपायों के अनुक्रम के संबंध में बायोर्थोगोनैलिटी की परिभाषा का एक विशेष | अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े की परिभाषा कुछ अर्थों में उपायों के अनुक्रम के संबंध में बायोर्थोगोनैलिटी की परिभाषा का एक विशेष स्थिति है। अधिक सटीक रूप से दो अनुक्रम ψ<sub>0</sub>, ψ<sub>1</sub>, ... और φ<sub>0</sub>, φ<sub>1</sub>, ...बहुपदों के माप μ के लिए बायोर्थोगोनल हैं यदि और केवल यदि अनुक्रम ψ<sub>0</sub>, ψ<sub>1</sub>, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है φ<sub>0</sub>μ, ψ<sub>1</sub>μ, ..., और अनुक्रम φ<sub>0</sub>, φ<sub>1</sub>, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है ψ<sub>0</sub>μ, ψ<sub>1</sub>μ... | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 22:19, 22 July 2023
गणित में, बायोर्थोगोनल बहुपद एक बहुपद है जो कई अलग-अलग मापों के लिए ऑर्थोगोनल है। बायोर्थोगोनल बहुपद ऑर्थोगोनल बहुपद का एक सामान्यीकरण है और उनके कई गुणों को साझा करते हैं। साहित्य में बायोर्थोगोनल बहुपद की दो अलग-अलग अवधारणाएँ हैं: इसरल्स & नॉरसेट (1988) ने उपायों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल की अवधारणा पेश की, जबकि सेजेगो ने बहुपदों के दो अनुक्रमों की अवधारणा पेश की जो एक दूसरे के संबंध में बायोर्थोगोनल हैं।
मापों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल
माप μ के अनुक्रम के संबंध में एक बहुपद p को 'बायोर्थोगोनल' कहा जाता है μ1, μ2, ... अगर
- जब भी मैं ≤ डिग्री (p)।
अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े
दो क्रम ψ0, ψ1, ... और φ0, φ1, ... बहुपदों को बायोर्थोगोनल कहा जाता है (कुछ माप μ के लिए) यदि
जब भी m ≠ n.
अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े की परिभाषा कुछ अर्थों में उपायों के अनुक्रम के संबंध में बायोर्थोगोनैलिटी की परिभाषा का एक विशेष स्थिति है। अधिक सटीक रूप से दो अनुक्रम ψ0, ψ1, ... और φ0, φ1, ...बहुपदों के माप μ के लिए बायोर्थोगोनल हैं यदि और केवल यदि अनुक्रम ψ0, ψ1, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है φ0μ, ψ1μ, ..., और अनुक्रम φ0, φ1, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है ψ0μ, ψ1μ...
संदर्भ
- Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert Paul (1988), "On the theory of biorthogonal polynomials", Transactions of the American Mathematical Society, 306 (2): 455–474, doi:10.2307/2000806, ISSN 0002-9947, JSTOR 2000806, MR 0933301
