ल्यपुनोव फलन

साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) के सिद्धांत में, ल्यपुनोव फ़ंक्शन, जिसका नाम अलेक्जेंडर ल्यपुनोव के नाम पर रखा गया है, अदिश कार्य हैं जिनका उपयोग ओडीई के संतुलन बिंदु की स्थिरता को साबित करने के लिए किया जा सकता है। ल्यपुनोव फ़ंक्शंस (जिन्हें स्थिरता के लिए ल्यपुनोव की दूसरी विधि भी कहा जाता है) गतिशील प्रणालियों और नियंत्रण सिद्धांत के स्थिरता सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण हैं। समान अवधारणा मार्कोव श्रृंखलाओं के सामान्य राज्य स्थान के सिद्धांत में दिखाई देती है, आमतौर पर फोस्टर-लायपुनोव फ़ंक्शन नाम के तहत।

ओडीई के कुछ वर्गों के लिए, ल्यपुनोव कार्यों का अस्तित्व स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। ओडीई के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण के लिए कोई सामान्य तकनीक नहीं है, हालांकि, फॉर्मूलेशन प्रकार के आधार पर, स्वायत्त मामलों में उनके सबसे सामान्य रूप का उपयोग करके सामान्य अंतर समीकरणों के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण की व्यवस्थित विधि प्रोफेसर केम सिवेलेक द्वारा दी गई थी। हालाँकि, कई विशिष्ट मामलों में ल्यपुनोव फ़ंक्शंस का निर्माण ज्ञात है। उदाहरण के लिए, बहुत से व्यावहारिक गणितज्ञों के अनुसार, विघटनकारी जाइरोस्कोपिक प्रणाली के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन का निर्माण नहीं किया जा सका। हालाँकि, उपरोक्त प्रकाशन में व्यक्त विधि का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली के लिए भी सी. सिवेलेक और ओ द्वारा संबंधित लेख के अनुसार ल्यपुनोव फ़ंक्शन का निर्माण किया जा सकता है। सिहानबेगेंडी. इसके अलावा, अवस्था वाले सिस्टम के लिए द्विघात फ़ंक्शन फ़ंक्शन पर्याप्त हैं; विशेष रैखिक मैट्रिक्स असमानता का समाधान रैखिक प्रणालियों के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन प्रदान करता है, और संरक्षण कानून (भौतिकी) का उपयोग अक्सर भौतिक प्रणालियों के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा

स्वायत्त गतिशील प्रणाली के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन

${\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}$

संतुलन बिंदु के साथ $y=0$ अदिश फलन है $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ जो सतत है, उसका सतत प्रथम अवकलज है, उसके लिए पूर्णतः सकारात्मक है $y\neq 0$, और जिसके लिए समय व्युत्पन्न है ${\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g$ गैर सकारात्मक है (ये शर्तें मूल वाले कुछ क्षेत्र पर आवश्यक हैं)। वह (मजबूत) स्थिति $-\nabla {V}\cdot g$ के लिए पूर्णतः सकारात्मक है $y\neq 0$ कभी-कभी इस प्रकार कहा जाता है $-\nabla {V}\cdot g$ स्थानीय रूप से सकारात्मक निश्चित है, या $\nabla {V}\cdot g$ स्थानीय रूप से नकारात्मक निश्चित है.

परिभाषा में आने वाले शब्दों की आगे चर्चा

ल्यपुनोव फ़ंक्शन गतिशील प्रणालियों के संतुलन बिंदुओं के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। में $\mathbb {R} ^{n},$ मनमाना स्वायत्त गतिशील प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

${\dot {y}}=g(y)$

कुछ चिकनी के लिए $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$ संतुलन बिंदु बिंदु है $y^{*}$ ऐसा है कि $g\left(y^{*}\right)=0.$ संतुलन बिंदु दिया गया है, $y^{*},$ वहाँ सदैव समन्वयात्मक परिवर्तन विद्यमान रहता है $x=y-y^{*},$ ऐसा है कि:

${\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}$

इस प्रकार, संतुलन बिंदुओं का अध्ययन करने में, यह मान लेना पर्याप्त है कि संतुलन बिंदु घटित होता है $0$.

श्रृंखला नियम के अनुसार, किसी भी कार्य के लिए, $H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ गतिशील प्रणाली के समाधान के साथ मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन का समय व्युत्पन्न है

${\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).$

समारोह $H$ यदि दोनों हों तो इसे स्थानीय रूप से सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन (गतिशील प्रणालियों के अर्थ में) के रूप में परिभाषित किया गया है $H(0)=0$ और मूल का पड़ोस है, ${\mathcal {B}}$, ऐसा है कि:

$H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.$

स्वायत्त प्रणालियों के लिए बुनियादी ल्यपुनोव प्रमेय

Main article: Lyapunov stability

होने देना $x^{*}=0$ स्वायत्त प्रणाली का संतुलन हो

${\dot {x}}=f(x).$

और नोटेशन का उपयोग करें ${\dot {V}}(x)$ ल्यपुनोव-उम्मीदवार-फ़ंक्शन के समय व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए $V$:

${\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).$

स्थानीय रूप से स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर संतुलन

यदि संतुलन अलग किया जाता है, तो ल्यपुनोव-उम्मीदवार-कार्य करता है $V$ स्थानीय रूप से सकारात्मक निश्चित है, और ल्यपुनोव-उम्मीदवार-फ़ंक्शन का समय व्युत्पन्न स्थानीय रूप से नकारात्मक निश्चित है:

${\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}$

कुछ पड़ोस के लिए ${\mathcal {B}}$ उत्पत्ति के बाद संतुलन स्थानीय रूप से स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर साबित होता है।

स्थिर संतुलन

अगर $V$ ल्यपुनोव फ़ंक्शन है, तो संतुलन स्थिरता सिद्धांत है। इसका विपरीत भी सत्य है, और जोस लुइस मैसेरा|जे द्वारा सिद्ध किया गया था। एल मासेरा।

वैश्विक स्तर पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर संतुलन

यदि ल्यपुनोव-उम्मीदवार-कार्य $V$ विश्व स्तर पर सकारात्मक निश्चित है, रेडियल रूप से असंबद्ध फ़ंक्शन, संतुलन पृथक है और ल्यपुनोव-उम्मीदवार-फ़ंक्शन का समय व्युत्पन्न विश्व स्तर पर नकारात्मक निश्चित है:

${\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},$

तब संतुलन स्थिरता सिद्धांत सिद्ध होता है।

ल्यपुनोव-उम्मीदवार समारोह $V(x)$ यदि रेडियल रूप से असीमित है

$\|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .$

(इसे मानक-जबरदस्ती के रूप में भी जाना जाता है।)

उदाहरण

निम्नलिखित अंतर समीकरण पर विचार करें $\mathbb {R}$:

${\dot {x}}=-x.$

ध्यान में रख कर $x^{2}$ मूल के आसपास हमेशा सकारात्मक होता है, यह हमें अध्ययन में मदद करने के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन का स्वाभाविक उम्मीदवार है $x$. तो चलो $V(x)=x^{2}$ पर $\mathbb {R}$. तब,

${\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.$

यह सही ढंग से दर्शाता है कि उपरोक्त अंतर समीकरण, $x,$ उत्पत्ति के बारे में स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है। ध्यान दें कि उसी ल्यपुनोव उम्मीदवार का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि संतुलन भी विश्व स्तर पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है।

यह भी देखें

• ल्यपुनोव स्थिरता
• सामान्य अवकल समीकरण
• नियंत्रण-ल्यपुनोव फ़ंक्शन
• चेताएव समारोह
• फोस्टर का प्रमेय
• ल्यपुनोव अनुकूलन

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Lyapunov Function". MathWorld.
• Khalil, H.K. (1996). Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.
• La Salle, Joseph; Lefschetz, Solomon (1961). Stability by Liapunov's Direct Method: With Applications. New York: Academic Press.
• This article incorporates material from Lyapunov function on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
• Civelek, C. (2018). Archives of Control Sciences, volume 28 (LXIV), No. 2, pages 201–222 Doi:10.24425/123456
• Civelek, C.; Cihanbeğendi, Ö. (2020). Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering, volume 21, pages 629–634 Doi: 10.1631/FITEE.1900014

बाहरी संबंध

• Example of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function