नेट (गणित): Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से [[सामान्य टोपोलॉजी]] और संबंधित शाखाओं में, नेट या मूर-स्मिथ [[अनुक्रम]] अनुक्रम की धारणा का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, एक अनुक्रम एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसका डोमेन [[प्राकृतिक संख्या]] है। इस फ़ंक्शन का [[कोडोमेन]] आमतौर पर कुछ [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] होता है।
गणित में, विशेष रूप से [[सामान्य टोपोलॉजी|सामान्य सांस्थितिकी]] और संबंधित शाखाओं में, नेट या मूर-स्मिथ [[अनुक्रम]] अनुक्रम की धारणा का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, अनुक्रम एक ऐसा फलन है जिसका क्षेत्र [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याएं]] हैं। इस फलन का [[कोडोमेन|सहक्षेत्र]] प्रायः कुछ [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक स्थान]] होता है।  


अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए प्रेरणा यह है कि, टोपोलॉजी के संदर्भ में, अनुक्रम टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच कार्यों के बारे में सभी सूचनाओं को पूरी तरह से एन्कोड नहीं करते हैं। विशेष रूप से, निम्नलिखित दो स्थितियाँ, सामान्य रूप से, मानचित्र के समतुल्य नहीं हैं <math>f</math> टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच <math>X</math> और <math>Y</math>:
अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए प्रेरणा यह है कि, सांस्थितिकी के संदर्भ में, अनुक्रम सांस्थितिक स्थान के बीच फलनों के बारे में सभी सूचनाओं को पूरी तरह से एन्कोड नहीं करते हैं। विशेष रूप से, निम्नलिखित दो स्थितियाँ, सामान्य रूप से, सांस्थितिक स्थान <math>X</math> और <math>Y</math> के बीच के मानचित्र <math>f</math> के समतुल्य नहीं हैं-


#वो नक्शा <math>f</math> सतत कार्य है # टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर कार्य;
#मानचित्र <math>f</math> सांस्थितिक अर्थों में सतत है
# किसी भी बिंदु को दिया <math>x</math> में <math>X,</math> और किसी भी क्रम में <math>X</math> में अभिसरण <math>x,</math> की रचना <math>f</math> इस क्रम के साथ अभिसरण करता है <math>f(x)</math> निरंतर कार्य # अनुक्रमों की सीमाओं के संदर्भ में परिभाषा | (अनुक्रमिक अर्थ में निरंतर)
# किसी भी बिंदु <math>x</math> में, <math>X,</math> और <math>X</math> में किसी भी अनुक्रम को <math>x,</math> में परिवर्तित करने के लिए, इस अनुक्रम के साथ <math>f</math> की संरचना <math>f(x)</math> (अनुक्रमिक अर्थ में सतत) में परिवर्तित हो जाती है।


जबकि शर्त 1 हमेशा शर्त 2 की गारंटी देता है, यदि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान दोनों [[प्रथम-गणनीय स्थान]] नहीं हैं तो बातचीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। प्रथम-गणनीय। विशेष रूप से, दो शर्तें [[ मीट्रिक स्थान ]] के लिए समान हैं। वे स्थान जिनके लिए विलोम धारण करता है, [[अनुक्रमिक स्थान]] हैं।
जबकि शर्त 1 हमेशा शर्त 2 की गारंटी देती है, यदि सांस्थितिक स्थान दोनों [[प्रथम-गणनीय स्थान|प्रथम-गणनीय]] नहीं हैं, तो इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। विशेष रूप से, दो शर्तें [[ मीट्रिक स्थान |मेट्रिक स्थानों]] के लिए समान हैं। वे स्थान जिनके लिए व्युत्क्रम धारण करती है [[अनुक्रमिक स्थान]] हैं।


नेट की अवधारणा, पहली बार 1922 में ई. एच. मूर और हरमन एल. स्मिथ द्वारा पेश की गई थी,<ref>{{Cite journal|doi=10.2307/2370388|last1=Moore|first1=E. H.|last2=Smith|first2=H. L.|author1-link=E. H. Moore|author2-link=Herman L. Smith|year=1922|title=सीमाओं का एक सामान्य सिद्धांत|journal=American Journal of Mathematics|volume=44|issue=2|pages=102&ndash;121|jstor=2370388}}</ref> एक अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाना है ताकि उपरोक्त स्थितियाँ (स्थिति 2 में नेट द्वारा प्रतिस्थापित किए जा रहे अनुक्रम के साथ) वास्तव में टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के सभी मानचित्रों के बराबर हों। विशेष रूप से, एक [[गणनीय सेट]] कुल ऑर्डर सेट पर परिभाषित होने के बजाय, एक नेट को मनमाने ढंग से [[निर्देशित सेट]] पर परिभाषित किया जाता है। यह इस दावे के समान प्रमेय की अनुमति देता है कि ऊपर की शर्तें 1 और 2 टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के संदर्भ में धारण करने के बराबर हैं, जिनके पास एक बिंदु के आसपास एक गणनीय या रैखिक रूप से आदेशित पड़ोस आधार नहीं है। इसलिए, जबकि अनुक्रम टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच फ़ंक्शंस के बारे में पर्याप्त जानकारी को एनकोड नहीं करते हैं, नेट करते हैं, क्योंकि टोपोलॉजिकल स्पेस में ओपन सेट का संग्रह व्यवहार में निर्देशित सेट की तरह होता है। नेट शब्द जॉन एल. केली द्वारा गढ़ा गया था।<ref name="coinage">{{harv|Sundström|2010|p=16n}}</ref><ref>Megginson, p. 143</ref>
नेट की अवधारणा, प्रथम बार 1922 में ई. एच. मूर और हरमन एल. स्मिथ द्वारा पेश की गई थी,<ref>{{Cite journal|doi=10.2307/2370388|last1=Moore|first1=E. H.|last2=Smith|first2=H. L.|author1-link=E. H. Moore|author2-link=Herman L. Smith|year=1922|title=सीमाओं का एक सामान्य सिद्धांत|journal=American Journal of Mathematics|volume=44|issue=2|pages=102&ndash;121|jstor=2370388}}</ref> जो अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए है। ताकि उपरोक्त शर्तें ("अनुक्रम" को शर्त 2 में "नेट" द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है) वास्तव में सांस्थितिक स्थान के सभी मानचित्रों के बराबर हैं। विशेष रूप से, [[गणनीय सेट|गणनीय]] रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय पर परिभाषित होने के स्थान पर, नेट को मनमाने ढंग से [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] पर परिभाषित किया जाता है। यह प्रमेय के समान प्रमेय की अनुमति देता है कि उपरोक्त शर्त 1 और 2 सांस्थितिक स्थान के संदर्भ में धारण करने के बराबर हैं, जो जरूरी नहीं कि एक बिंदु के आसपास गणनीय या रैखिक रूप से क्रमित प्रतिवेश आधार हो। इसलिए, जबकि अनुक्रम सांस्थितिक स्थान के बीच फलनों के बारे में पर्याप्त जानकारी को एनकोड नहीं करते हैं, नेट करते हैं, क्योंकि सांस्थितिक स्थान में विवृत समुच्चय का संग्रह व्यवहार में निर्देशित समुच्चय की तरह होता है। "नेट" शब्द जॉन एल. केली द्वारा दिया गया था।<ref name="coinage">{{harv|Sundström|2010|p=16n}}</ref><ref>Megginson, p. 143</ref>  
नेट [[टोपोलॉजी]] में उपयोग किए जाने वाले कई उपकरणों में से एक हैं, जो कुछ अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो मीट्रिक रिक्त स्थान के संदर्भ में पर्याप्त सामान्य नहीं हो सकते हैं। एक संबंधित धारणा, [[फ़िल्टर (गणित)]] की, 1937 में [[ हेनरी कर्तन ]] द्वारा विकसित की गई थी।
 
नेट [[टोपोलॉजी|सांस्थितिकी]] में उपयोग किए जाने वाले कई उपकरणों में से एक हैं, जो कुछ अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो मेट्रिक स्थानों के संदर्भ में पर्याप्त सामान्य नहीं हो सकते हैं। संबंधित धारणा, [[फ़िल्टर (गणित)|फ़िल्टर]] की, 1937 में [[ हेनरी कर्तन |हेनरी कार्टन]] द्वारा विकसित की गई थी।  


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==


कोई भी फलन (गणित) जिसका फलन का क्षेत्र एक निर्देशित समुच्चय है, कहलाता है{{em|net}}. यदि यह फ़ंक्शन किसी सेट में मान लेता है <math>X</math> तो इसे एक के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है{{em|net in <math>X.</math>}} स्पष्ट रूप से, ए{{em|net in <math>X</math>}} प्रपत्र का एक कार्य है <math>f : A \to X</math> कहाँ <math>A</math> कुछ निर्देशित सेट है। नेट के डोमेन के तत्वों को इसके कहा जाता है {{em|indices}}.
कोई भी फलन जिसका क्षेत्र निर्देशित समुच्चय है, उसे '''नेट''' कहा जाता है। यदि यह फलन किसी समुच्चय <math>X</math> में मान लेता है तो इसे {{em|<math>X</math>}} में नेट के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है।  
ए {{em|directed set}} एक गैर-खाली सेट है <math>A</math> एक [[पूर्व आदेश]] के साथ, आमतौर पर स्वचालित रूप से इसके द्वारा चिह्नित माना जाता है <math>\,\leq\,</math> (जब तक कि अन्यथा इंगित न किया गया हो), संपत्ति के साथ कि यह भी है ({{em|upward}}) {{em|directed}}, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए <math>a, b \in A,</math> कुछ मौजूद है <math>c \in A</math> ऐसा है कि <math>a \leq c</math> और <math>b \leq c.</math> शब्दों में, इस गुण का अर्थ है कि दिए गए किन्हीं भी दो तत्वों (of <math>A</math>), हमेशा कोई न कोई तत्व होता है जो इन दोनों के ऊपर होता है (अर्थात, इनमें से प्रत्येक से बड़ा या बराबर होता है); इस तरह, निर्देशित सेट गणितीय रूप से कठोर तरीके से दिशा की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं।
प्राकृतिक संख्याएँ <math>\N</math> सामान्य पूर्णांक तुलना के साथ <math>\,\leq\,</math> पूर्व-आदेश विक्षनरी बनाते हैं: एक निर्देशित सेट का आर्किटेपिकल उदाहरण। दरअसल, एक नेट जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्या है एक अनुक्रम है क्योंकि परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रम में <math>X</math> से सिर्फ एक समारोह है <math>\N = \{1, 2, \ldots\}</math> में <math>X.</math> यह इस प्रकार है कि जाल अनुक्रमों का सामान्यीकरण है। महत्वपूर्ण रूप से हालांकि, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, निर्देशित सेट हैं {{em|not}} कुल आदेश या यहां तक ​​कि [[आंशिक आदेश]] होना आवश्यक है।
इसके अलावा, निर्देशित सेटों में सबसे बड़े तत्व और/या [[अधिकतम तत्व]] होने की अनुमति है, यही कारण है कि नेट का उपयोग करते समय, प्रेरित सख्त प्रीऑर्डर का उपयोग करते समय सावधानी बरतने की सलाह दी जाती है। <math>\,<\,</math> मूल (गैर-सख्त) प्रीऑर्डर के बजाय <math>\,\leq</math>; विशेष रूप से, यदि एक निर्देशित सेट <math>(A, \leq)</math> सबसे बड़ा तत्व है <math>a \in A</math> तो वहाँ करता है {{em|not}} कोई भी हो <math>b \in A</math> ऐसा है कि <math>a < b</math> (इसके विपरीत, वहाँ {{em|always}} कुछ मौजूद है <math>b \in A</math> ऐसा है कि <math>a \leq b</math>).


नेट को अक्सर अंकन का उपयोग करके निरूपित किया जाता है जो अनुक्रमों के साथ उपयोग किए जाने वाले (और प्रेरित) के समान होता है।
स्पष्ट रूप से, {{em|<math>X</math>}} में नेट <math>f : A \to X</math> के रूप का फलन है जहां <math>A</math> कुछ निर्देशित समुच्चय है। नेट के क्षेत्र के अल्पांशों को इसका सूचकांक कहा जाता है। एक निर्देशित समुच्चय अरिक्त समुच्चय <math>A</math> है जो [[पूर्व आदेश|पूर्वक्रम]] के साथ होता है, प्रायः स्वचालित रूप से <math>\,\leq\,</math> (जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है) द्वारा दर्शाया जाता है, गुण के साथ यह भी (ऊपर की ओर) निर्देशित होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी <math>a, b \in A,</math> के लिए कुछ <math>c \in A</math> का अस्तित्व है जैसे कि <math>a \leq c</math> और <math>b \leq c</math>। शब्दों में, इस गुण का अर्थ है कि किसी भी दो अल्पांशों (<math>A</math>) के दिए जाने पर, सदैव कुछ ऐसा अल्पांश होता है जो दोनों के "ऊपर" होता है (अर्थात, उनमें से प्रत्येक से अधिक या उसके बराबर) इस तरह, निर्देशित समुच्चय गणितीय रूप से परिशुद्ध तरीके से "एक दिशा" की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं। प्राकृतिक संख्या <math>\N</math> सामान्य पूर्णांक तुलना <math>\,\leq\,</math> पूर्वक्रम के साथ मिलकर निर्देशित समुच्चय का आदर्श उदाहरण बनाती हैं। वास्तव में, नेट जिसका क्षेत्र प्राकृतिक संख्या है, एक अनुक्रम है क्योंकि परिभाषा के अनुसार, <math>X</math> में अनुक्रम <math>\N = \{1, 2, \ldots\}</math> से <math>X</math> में केवल एक फलन है। यह इस प्रकार है कि नेट्स अनुक्रमों का सामान्यीकरण है। महत्वपूर्ण रूप से, हालांकि, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, निर्देशित समुच्चयों को कुल क्रम या [[आंशिक आदेश|आंशिक क्रम]] होने की आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, निर्देशित समुच्चय में सबसे बड़े अल्पांश और/या [[अधिकतम तत्व|अधिकतम अल्पांश]] होने की अनुमति है, यही कारण है कि नेट का उपयोग करते समय, प्रेरित विशुद्ध पूर्वक्रम <math>\,<\,</math> के स्थान पर मूल (अविशुद्ध) पर्वक्रम <math>\,\leq</math>, विशेष रूप से, यदि निर्देशित समुच्चय, <math>(A, \leq)</math> में सबसे बड़ा अल्पांश <math>a \in A</math> है तो कोई भी <math>b \in A</math> उपस्थित नहीं है, जैसे कि <math>a < b</math> (इसके विपरीत, वहाँ सदैव कुछ <math>b \in A</math> उपस्थित हैं जैसे कि <math>a \leq b</math>।
में एक जाल <math>X</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\left(x_a\right)_{a \in A},</math> जब तक अन्यथा सोचने का कोई कारण न हो, यह स्वचालित रूप से मान लिया जाना चाहिए कि सेट <math>A</math> निर्देशित है और इससे संबंधित प्रीऑर्डर द्वारा दर्शाया गया है <math>\,\leq.</math> हालाँकि, नेट के लिए अंकन कुछ लेखकों के साथ भिन्न होता है, उदाहरण के लिए, कोण वाले कोष्ठक <math>\left\langle x_a \right\rangle_{a \in A}</math> कोष्ठक के बजाय।
में एक जाल <math>X</math> रूप में भी लिखा जा सकता है <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A},</math> जो इस तथ्य को व्यक्त करता है कि यह net <math>x_\bull</math> एक कार्य है <math>x_\bull : A \to X</math> जिसका मूल्य एक तत्व पर है <math>a</math> इसके डोमेन में द्वारा दर्शाया गया है <math>x_a</math> सामान्य कोष्ठक संकेतन के बजाय <math>x_\bull(a)</math> यह आमतौर पर कार्यों के साथ प्रयोग किया जाता है (यह सबस्क्रिप्ट नोटेशन अनुक्रमों से लिया जा रहा है)। जैसा कि [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के क्षेत्र में, भरा हुआ डिस्क या बुलेट उस स्थान को दर्शाता है जहां नेट के लिए तर्क (अर्थात, तत्व <math>a \in A</math> नेट के डोमेन के) रखे गए हैं; यह जोर देने में मदद करता है कि नेट एक फ़ंक्शन है और उन इंडेक्स और अन्य प्रतीकों की संख्या को भी कम करता है जिन्हें बाद में संदर्भित करते समय लिखा जाना चाहिए।


नेट मुख्य रूप से [[गणितीय विश्लेषण]] और टोपोलॉजी के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं, जहां उनका उपयोग कई महत्वपूर्ण [[टोपोलॉजिकल संपत्ति]] को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, जो (सामान्य रूप से), अनुक्रमों को चिह्नित करने में असमर्थ हैं (अनुक्रमों की इस कमी ने अनुक्रमिक रिक्त स्थान और फ्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान के अध्ययन को प्रेरित किया ). नेट फ़िल्टर (गणित) से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं, जो अक्सर टोपोलॉजी में फ़िल्टर भी होते हैं। हर जाल एक फिल्टर से जुड़ा हो सकता है और हर फिल्टर एक जाल से जुड़ा हो सकता है, जहां इन संबद्ध वस्तुओं के गुण एक साथ बंधे होते हैं (अधिक विवरण के लिए [[टोपोलॉजी में फिल्टर]] के बारे में लेख देखें)। नेट सीधे अनुक्रमों का सामान्यीकरण करते हैं और उन्हें अक्सर अनुक्रमों के समान ही उपयोग किया जा सकता है। नतीजतन, नेट का उपयोग करने के लिए सीखने की अवस्था आमतौर पर फिल्टर की तुलना में बहुत कम होती है, यही वजह है कि कई गणितज्ञ, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण, उन्हें फिल्टर से अधिक पसंद करते हैं। हालांकि, फिल्टर, और विशेष रूप से [[ ultrafilter ]], नेट पर कुछ महत्वपूर्ण तकनीकी फायदे हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंततः विश्लेषण और टोपोलॉजी के क्षेत्र के बाहर फिल्टर की तुलना में नेट का सामना बहुत कम होता है।
नेट को प्रायः अंकन का उपयोग करके निरूपित किया जाता है जो अनुक्रमों के साथ उपयोग किए जाने वाले (और प्रेरित) के समान होता है। <math>X</math> में नेट को <math>\left(x_a\right)_{a \in A},</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां अन्यथा सोचने का कोई कारण नहीं है, यह स्वचालित रूप से माना जाना चाहिए कि समुच्चय <math>A</math> निर्देशित है और इससे संबंधित पूर्वक्रम को <math>\,\leq</math> द्वारा दर्शाया जाता है। हालाँकि, नेट के लिए अंकन कुछ लेखकों के साथ भिन्न होता है, उदाहरण के लिए, कोष्ठक के स्थान पर कोण वाले कोष्ठक <math>\left\langle x_a \right\rangle_{a \in A}</math> का उपयोग करते हैं। <math>X</math> में नेट को <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A},</math> के रूप में भी लिखा जा सकता है, जो इस तथ्य को व्यक्त करता है कि यह नेट <math>x_\bull</math>एक फलन <math>x_\bull : A \to X</math> है, जिसका मान इसके क्षेत्र में तत्व <math>a</math> पर <math>x_\bull(a)</math> द्वारा दर्शाया जाता है, बजाय सामान्य कोष्ठक संकेतन के <math>x_a</math> जिसका प्रायः उपयोग किया जाता है फलनों के साथ (यह पादांक नोटेशन अनुक्रमों से लिया जा रहा है)। जैसे कि [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थितिकी]] के क्षेत्र में, भरी हुई डिस्क या "बुलेट" उस स्थान को दर्शाती है जहां नेट के लिए तर्क (अर्थात, नेट के क्षेत्र के अल्पांश <math>a \in A</math>) रखे गए हैं यह महत्त्व देने में सहायता करता है कि नेट एक फलन है और उन सूचकांक और अन्य प्रतीकों की संख्या को भी कम करता है जिन्हें बाद में संदर्भित करते समय लिखा जाना चाहिए।


एक [[सबनेट (गणित)]] केवल एक नेट का प्रतिबंध नहीं है <math>f</math> के एक निर्देशित सबसेट के लिए <math>A;</math> परिभाषा के लिए लिंक्ड पेज देखें।
नेट मुख्य रूप से [[गणितीय विश्लेषण|विश्लेषण]] और सांस्थितिकी के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं, जहां उनका उपयोग कई महत्वपूर्ण [[टोपोलॉजिकल संपत्ति|सांस्थितिक गुणों]] को चित्रित करने के लिए किया जाता है, जो (सामान्य रूप से), अनुक्रमों को चिह्नित (अनुक्रमों की यह कमी अनुक्रमिक स्थान और फ्रेचेट-उरीसोन स्थान के अध्ययन को प्रेरित करती है) करने में असमर्थ हैं। नेट फिल्टर से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं, जिनका उपयोग प्रायः सांस्थितिकी में भी किया जाता है। प्रत्येक नेट फिल्टर से जुड़ा हो सकता है और प्रत्येक फिल्टर नेट से जुड़ा हो सकता है, जहां इन संबद्ध वस्तुओं के गुणों को एक साथ जोड़ा जाता है (अधिक विवरण के लिए [[टोपोलॉजी में फिल्टर|सांस्थितिकी में फिल्टर]] के बारे में लेख देखें)। नेट प्रत्यक्ष रूप से अनुक्रमों का सामान्यीकरण करते हैं और वे प्रायः अनुक्रमों के समान ही उपयोग किए जा सकते हैं। नतीजतन, नेट का उपयोग करने के लिए सीखने की अवस्था प्रायः फिल्टर की तुलना में बहुत कम होती है, यही वजह है कि कई गणितज्ञ, विशेष रूप से विश्लेषक, उन्हें फिल्टर पर पसंद करते हैं। हालांकि, फिल्टर, और विशेष रूप से [[ ultrafilter |अल्ट्राफिल्टर]], नेट पर कुछ महत्वपूर्ण तकनीकी लाभ हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंततः विश्लेषण और सांस्थितिकी के क्षेत्र के बाहर फिल्टर की तुलना में नेट का सामना बहुत कम होता है।


== जाल के उदाहरण ==
[[सबनेट (गणित)|सबनेट]] केवल <math>A;</math> के निर्देशित उपसमुच्चय के लिए नेट <math>f</math> का प्रतिबंध नहीं है, परिभाषा के लिए लिंक किए गए पृष्ठ को देखें।


प्रत्येक गैर-खाली कुल आदेश निर्देशित किया जाता है। इसलिए, ऐसे समुच्चय का प्रत्येक फलन एक जाल होता है। विशेष रूप से, सामान्य क्रम वाली प्राकृतिक संख्याएं इस तरह के एक सेट का निर्माण करती हैं, और एक अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं पर एक कार्य है, इसलिए प्रत्येक अनुक्रम एक जाल है।
== नेट के उदाहरण ==


एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण इस प्रकार है। एक बिंदु दिया <math>x</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस में, चलो <math>N_x</math> सभी नेबरहुड (टोपोलॉजी) वाले सेट को निरूपित करें <math>x.</math> तब <math>N_x</math> एक निर्देशित सेट है, जहां रिवर्स समावेशन द्वारा दिशा दी जाती है, ताकि <math>S \geq T</math> [[अगर और केवल अगर]] <math>S</math> में निहित है <math>T.</math> के लिए <math>S \in N_x,</math> होने देना <math>x_S</math> में एक बिंदु हो <math>S.</math> तब <math>\left(x_S\right)</math> एक जाल है। जैसा <math>S</math> के संबंध में बढ़ता है <math>\,\geq,</math> बिन्दु <math>x_S</math> नेट में के घटते पड़ोस में झूठ बोलने के लिए विवश हैं <math>x,</math> इतनी सहजता से बोलते हुए, हम इस विचार के लिए नेतृत्व कर रहे हैं <math>x_S</math> की ओर प्रवृत्त होना चाहिए <math>x</math> किसी अर्थ में। हम इस सीमित अवधारणा को सटीक बना सकते हैं।
प्रत्येक अरिक्त पूर्णतः क्रमित समुच्चय को निर्देशित किया जाता है। इसलिए, ऐसे समुच्चय का प्रत्येक फलन एक नेट होता है। विशेष रूप से, सामान्य क्रम वाली प्राकृतिक संख्याएं इस तरह के समुच्चय का निर्माण करती हैं, और अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं पर फलन होता है, इसलिए प्रत्येक अनुक्रम नेट होता है।


अनुक्रम का एक सबनेट है {{em|not}} अनिवार्य रूप से एक अनुक्रम।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}
एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण इस प्रकार है। सांस्थितिक स्थान में एक बिंदु <math>x</math> दिया गया है, माना <math>N_x</math> <math>x</math> वाले सभी प्रतिवेशों के समुच्चय को दर्शाता है। फिर <math>N_x</math> निर्देशित समुच्चय है, जहां विपरीत समावेशन द्वारा दिशा दी जाती है, ताकि <math>S \geq T</math> [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] <math>S</math>, <math>T</math> में निहित हो। माना <math>S \in N_x,</math> के लिए <math>x_S</math> को <math>S</math> में बिंदु हैं। तब <math>\left(x_S\right)</math> नेट है। जैसे ही <math>S</math> <math>\,\geq,</math> के संबंध में बढ़ता है, बिंदु <math>x_S</math> नेट में, <math>x</math> के घटते प्रतिवेश में लाई के लिए विवश हैं, इसलिए सहज रूप से बोलना, हम इस विचार की ओर अग्रसर हैं कि <math>x_S</math> को किसी अर्थ में <math>x</math> की ओर प्रवृत्त होना चाहिए। हम इस सीमित अवधारणा को सटीक बना सकते हैं।
उदाहरण के लिए, चलो <math>X = \Reals^n</math> और जाने <math>x_i = 0</math> हरएक के लिए <math>i \in \N,</math> ताकि <math>x_\bull = (0)_{i \in \N} : \N \to X</math> निरंतर शून्य क्रम है।
होने देना <math>I = \{r \in \Reals : r > 0\}</math> सामान्य आदेश द्वारा निर्देशित किया जाए <math>\,\leq\,</math> और जाने <math>s_r = 0</math> प्रत्येक के लिए <math>r \in R.</math> परिभाषित करना <math>\varphi : I \to \N</math> जैसे भी हो <math>\varphi(r) = \lceil r \rceil</math> का [[ छत समारोह ]] हो <math>r.</math> वो नक्शा <math>\varphi : I \to \N</math> एक ऑर्डर मोर्फिज्म है जिसकी छवि इसके कोडोमेन में कोफाइनल है और <math>\left(x_\bull \circ \varphi\right)(r) = x_{\varphi(r)} = 0 = s_r</math> प्रत्येक के लिए रखता है <math>r \in R.</math> इससे पता चलता है कि <math>\left(s_{r}\right)_{r \in R} = x_\bull \circ \varphi</math> अनुक्रम का एक सबनेट है <math>x_\bull</math> (जहां यह सबनेट का अनुवर्ती नहीं है <math>x_\bull</math> क्योंकि यह एक अनुक्रम भी नहीं है क्योंकि इसका डोमेन एक [[बेशुमार सेट]] है)।


== जाल की सीमा ==
एक अनुक्रम का सबनेट आवश्यक नहीं कि अनुक्रम हो।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}} उदाहरण के लिए, मान लीजिए <math>X = \Reals^n</math> और मान लीजिए <math>x_i = 0</math> प्रत्येक <math>i \in \N,</math> के लिए, ताकि <math>x_\bull = (0)_{i \in \N} : \N \to X</math> सतत शून्य क्रम हो। मान लीजिए <math>I = \{r \in \Reals : r > 0\}</math> को सामान्य क्रम <math>\,\leq\,</math> द्वारा निर्देशित किया जाता है और प्रत्येक <math>r \in R.</math> के लिए <math>s_r = 0</math> है। <math>\varphi : I \to \N</math> को <math>\varphi(r) = \lceil r \rceil</math> को <math>r</math> की [[ छत समारोह |सीमा]] मान कर परिभाषित करें। मानचित्र <math>\varphi : I \to \N</math> क्रम आकारिकी है जिसका चित्र इसके सहक्षेत्र में अंतिम है और <math>\left(x_\bull \circ \varphi\right)(r) = x_{\varphi(r)} = 0 = s_r</math> प्रत्येक <math>r \in R</math> के लिए है। इससे पता चलता है कि <math>\left(s_{r}\right)_{r \in R} = x_\bull \circ \varphi</math> अनुक्रम <math>x_\bull</math> का एक सबनेट है (जहां यह सबनेट <math>x_\bull</math> का अनुवर्ती नहीं है क्योंकि यह अनुक्रम भी नहीं है क्योंकि इसका क्षेत्र [[बेशुमार सेट|अगणनीय समुच्चय]] है)।
{{anchor|Limit of a net|Limit point of a net|Convergent net|Net convergence}}


एक शुद्ध <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> बताया गया {{em|eventually}} या {{em|residually}} {{em|in}} एक सेट <math>S</math> अगर कुछ मौजूद है <math>a \in A</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए <math>b \in A</math> साथ <math>b \geq a,</math> बिंदु <math>x_b \in S.</math> और कहा जाता है {{em|{{visible anchor|frequently in|text=frequently}}}} या {{em|{{visible anchor|cofinally in}}}} <math>S</math> यदि प्रत्येक के लिए <math>a \in A</math> कुछ मौजूद है <math>b \in A</math> ऐसा है कि <math>b \geq a</math> और <math>x_b \in S.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}
== नेट की सीमाएँ ==
एक बिंदु कहा जाता है {{em|limit point}} (क्रमश, {{em|cluster point}}) नेट का अगर वह नेट अंततः (क्रमशः, कॉफिनली) उस बिंदु के हर पड़ोस में है।
नेट <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> को समुच्चय <math>S</math> में अंततः या अवशिष्ट रूप से कहा जाता है यदि कुछ <math>a \in A</math> उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक <math>b \in A</math> के साथ <math>b \geq a,</math> बिंदु <math>x_b \in S</math>और इसे <math>S</math> में बार-बार या अंतिम रूप से कहा जाता है यदि प्रत्येक <math>a \in A</math> के लिए कुछ <math>b \in A</math> उपस्थित है जैसे कि <math>b \geq a</math> और <math>x_b \in S</math>{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}} बिंदु को नेट का एक सीमा बिंदु (क्रमशः, क्लस्टर बिंदु) कहा जाता है यदि वह नेट अंततः (क्रमशः, अंतिम रूप से) उस बिंदु के प्रत्येक प्रतिवेश में होता है।  


स्पष्ट रूप से, एक बिंदु <math>x \in X</math> एक कहा जाता है {{em|{{visible anchor|accumulation point}}}} या {{em|[[Cluster point|{{visible anchor|cluster point}}]]}} नेट का अगर हर मोहल्ले के लिए <math>U</math> का <math>x,</math> नेट अक्सर अंदर होता है <math>U.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}
स्पष्ट रूप से, बिंदु <math>x \in X</math> को नेट का संचय बिंदु या {{em|[[गुच्छ बिंदु|{{visible anchor|गुच्छ बिंदु}}]]}} कहा जाता है यदि <math>x</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>U</math> के लिए, नेट प्रायः <math>U</math> में होता है।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}


एक बिंदु <math>x \in X</math> ए कहा जाता है {{em|{{visible anchor|limit point}}}} या {{em|{{visible anchor|limit|Limit of a net}}}} नेट का <math>x_\bull</math> में <math>X</math> अगर और केवल अगर)
बिंदु <math>x \in X</math> को <math>X</math> में नेट <math>x_\bull</math> की सीमा बिंदु या सीमा कहा जाता है यदि (और केवल अगर)
: हर खुले [[टोपोलॉजिकल पड़ोस]] के लिए <math>U</math> का <math>x,</math> जाल <math>x_\bull</math> अंत में है <math>U,</math>
: <math>x</math> के प्रत्येक विवृत [[टोपोलॉजिकल पड़ोस|प्रतिवेश]] <math>U</math> के लिए, नेट <math>x_\bull</math> अंततः <math>U</math> में है,
ऐसे में इस जाल को भी कहा जाता है {{em|{{visible anchor|converge|Convergent net}} to/towards <math>x</math>}} और करने के लिए {{em|have <math>x</math> as a limit}}.
किस स्थिति में, इस नेट को तब {{em|<math>x</math>}} की ओर अभिसरण करने के लिए और {{em|<math>x</math> }} को एक सीमा के रूप में रखने के लिए भी कहा जाता है। 


सहज रूप से, एक जाल का अभिसरण <math>\left(x_a\right)_{a \in A}</math> का अर्थ है कि मान <math>x_a</math> आओ और हम जितना चाहें उतना करीब रहें <math>x</math> काफी बड़े के लिए <math>a.</math> एक बिंदु के [[पड़ोस प्रणाली]] पर ऊपर दिया गया उदाहरण नेट <math>x</math> वास्तव में अभिसरण करता है <math>x</math> इस परिभाषा के अनुसार।
सहज रूप से, नेट <math>\left(x_a\right)_{a \in A}</math> के अभिसरण का अर्थ है कि मान <math>x_a</math> आते हैं और उतने ही समीप रहते हैं जितना हम चाहते हैं कि <math>x</math> पर्याप्त बड़ा <math>a</math> के लिए हो। एक बिंदु <math>x</math> के [[पड़ोस प्रणाली|प्रतिवेश प्रणाली]] पर ऊपर दिया गया उदाहरण नेट वास्तव में इस परिभाषा के अनुसार <math>x</math> में अभिसरण करता है।


सीमा के लिए संकेतन
==== सीमाओं के लिए संकेतन ====
 
यदि नेट <math>x_\bull</math> <math>X</math> में बिंदु <math>x \in X</math> पर अभिसरित होता है तो इस तथ्य को निम्न में से किसी को लिखकर व्यक्त किया जा सकता है-<math display="block">\begin{alignat}{4}
अगर नेट <math>x_\bull</math> में विलीन हो जाता है <math>X</math> एक स्तर तक <math>x \in X</math> तो इस तथ्य को निम्नलिखित में से कोई भी लिखकर व्यक्त किया जा सकता है:
<math display=block>\begin{alignat}{4}
                   & x_\bull && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
                   & x_\bull && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
                   & x_a    && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
                   & x_a    && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
Line 62: Line 53:
\lim_{a \in A} \; & x_a    && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
\lim_{a \in A} \; & x_a    && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
\lim_{} {}_a  \; & x_a    && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
\lim_{} {}_a  \; & x_a    && \to\; && x && \;\;\text{ in } X \\
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math>जहां अगर सांस्थितिक स्थान <math>X</math> संदर्भ से स्पष्ट है तो "<math>X</math> में" शब्दों को छोड़ा जा सकता है।
जहां अगर टोपोलॉजिकल स्पेस है <math>X</math> संदर्भ से स्पष्ट है तो में शब्द <math>X</math>छोड़ा जा सकता है।
यदि <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> में <math>X</math> और यदि <math>X</math> में यह सीमा अद्वितीय है (<math>X</math> में अद्वितीयता का अर्थ है कि यदि <math>y \in X</math> ऐसा है कि <math>\lim_{} x_\bull \to y,</math> तो आवश्यक रूप से <math>x = y</math>) तो इस तथ्य को लिखकर दर्शाया जा सकता है<math display="block">\lim_{} x_\bull = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim_{} x_a = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim_{a \in A} x_a = x</math>जहां एरो <math>\to.</math> के स्थान पर बराबर चिह्न का उपयोग किया जाता है।{{sfn|Kelley|1975|pp=65-72}} [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ स्थान]] में, प्रत्येक नेट की अधिकतम एक सीमा होती है, इसलिए हॉसडॉर्फ स्थान में अभिसारी नेट की सीमा सदैव अद्वितीय होती है।{{sfn|Kelley|1975|pp=65-72}} इसके स्थान पर कुछ लेखक "<math>\lim_{} x_\bull = x</math>" का अर्थ <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> के लिए संकेतन का उपयोग करते हैं, बिना सीमा के अद्वितीय होने की आवश्यकता के बिना हालाँकि, यदि इस संकेतन को इस तरह से परिभाषित किया जाता है तो [[बराबर का चिह्न|बराबर चिह्न]] <math>=</math> अब [[सकर्मक संबंध]] को दर्शाने की गारंटी नहीं है और इसलिए अब [[समानता (गणित)|समानता]] को नहीं दर्शाता है। विशेष रूप से, विशिष्टता आवश्यकता के बिना, यदि <math>x, y \in X</math> भिन्न हैं और यदि <math>X</math> में प्रत्येक <math>x_\bull</math> की सीमा भी है तो <math>\lim_{} x_\bull = x</math> और <math>\lim_{} x_\bull = y</math> को <math>x = y</math> असत्य होने के बावजूद (बराबर चिह्न <math>=</math> का उपयोग करके) लिखा जा सकता है।
 
अगर <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> में <math>X</math> और यदि यह सीमा में <math>X</math> अद्वितीय है (अद्वितीयता में <math>X</math> इसका मतलब है कि अगर <math>y \in X</math> इस प्रकार कि <math>\lim_{} x_\bull \to y,</math> फिर अनिवार्य रूप से <math>x = y</math>) तो इस तथ्य को लिखकर सूचित किया जा सकता है
<math display=block>\lim_{} x_\bull = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim_{} x_a = x \;~~ \text{ or } ~~\; \lim_{a \in A} x_a = x</math>
जहाँ तीर के स्थान पर बराबर के चिन्ह का प्रयोग किया जाता है <math>\to.</math>{{sfn|Kelley|1975|pp=65-72}} [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] में, प्रत्येक नेट की अधिकतम एक सीमा होती है, इसलिए हॉसडॉर्फ स्पेस में अभिसारी नेट की सीमा हमेशा अद्वितीय होती है।{{sfn|Kelley|1975|pp=65-72}}
कुछ लेखक इसके बजाय अंकन का उपयोग करते हैं<math>\lim_{} x_\bull = x</math>मतलब निकालना <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> साथ{{em|out}} यह भी आवश्यक है कि सीमा अद्वितीय हो; हालाँकि, यदि इस संकेतन को इस तरह से परिभाषित किया जाता है तो [[बराबर का चिह्न]] <math>=</math> अब एक [[सकर्मक संबंध]] को निरूपित करने की गारंटी नहीं है और इसलिए अब [[समानता (गणित)]] को निरूपित नहीं करता है। विशेष रूप से, विशिष्टता की आवश्यकता के बिना, यदि <math>x, y \in X</math> भिन्न हैं और यदि प्रत्येक की एक सीमा भी है <math>x_\bull</math> में <math>X</math> तब <math>\lim_{} x_\bull = x</math> और <math>\lim_{} x_\bull = y</math> लिखा जा सकता है (बराबर चिह्न का उपयोग करके <math>=</math>) इसके बावजूद <math>x = y</math> झूठा होना।
 
आधार और उप आधार
 
एक [[सब बेस]] दिया <math>\mathcal{B}</math> टोपोलॉजी के लिए <math>X</math> (जहां ध्यान दें कि एक टोपोलॉजी के लिए प्रत्येक [[आधार (टोपोलॉजी)]] भी एक उप-आधार है) और एक बिंदु दिया गया है <math>x \in X,</math> एक शुद्ध <math>x_\bull</math> में <math>X</math> में विलीन हो जाता है <math>x</math> अगर और केवल अगर यह अंततः हर पड़ोस में है <math>U \in \mathcal{B}</math> का <math>x.</math> यह लक्षण वर्णन दिए गए बिंदु के पड़ोस प्रणाली (और इसलिए भी पड़ोस प्रणाली) तक फैला हुआ है <math>x.</math>
मीट्रिक रिक्त स्थान में अभिसरण


कल्पना करना <math>(X, d)</math> एक मीट्रिक स्पेस (या एक [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस]]) है और <math>X</math> [[मीट्रिक टोपोलॉजी]] से संपन्न है।
==== आधार और उप आधार ====
अगर <math>x \in X</math> एक बिंदु है और <math>x_\bull = \left(x_i\right)_{a \in A}</math> एक जाल है, फिर <math>x_\bull \to x</math> में <math>(X, d)</math> अगर और केवल अगर <math>d\left(x, x_\bull\right) \to 0</math> में <math>\R,</math> कहाँ <math>d\left(x, x_\bull\right) := \left(d\left(x, x_a\right)\right)_{a \in A}</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं का जाल है।
<math>X</math> पर सांस्थितिकी के लिए [[सब बेस|उप आधार]] <math>\mathcal{B}</math> दिया गया है (जहां ध्यान दें कि सांस्थितिकी के लिए प्रत्येक [[आधार (टोपोलॉजी)|आधार]] भी उप आधार है) और दिया गया बिंदु <math>x \in X,</math> नेट <math>x_\bull</math> <math>X</math> में अभिसरण करता है यदि और केवल यदि यह अंततः <math>x</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>U \in \mathcal{B}</math> में है। यह लक्षण वर्णन दिए गए बिंदु <math>x</math> के प्रतिवेश के उप आधारों (और इसी तरह प्रतिवेश के आधार) तक फैला हुआ है।
सादे अंग्रेजी में, यह लक्षण वर्णन कहता है कि एक नेट एक मीट्रिक स्थान में एक बिंदु पर अभिसरण करता है यदि और केवल अगर नेट और बिंदु के बीच की दूरी शून्य हो जाती है।
अगर <math>(X, \|\cdot\|)</math> तब एक आदर्श स्थान (या एक अर्ध-सामान्य स्थान) है <math>x_\bull \to x</math> में <math>(X, \|\cdot\|)</math> अगर और केवल अगर <math>\left\|x - x_\bull\right\| \to 0</math> में <math>\Reals,</math> कहाँ <math>\left\|x - x_\bull\right\| := \left(\left\|x - x_a\right\|\right)_{a \in A}.</math>
सामयिक उप-स्थानों में अभिसरण


यदि सेट <math>S = \{x\} \cup \left\{x_a : a \in A\right\}</math> इसके द्वारा प्रेरित [[सबस्पेस टोपोलॉजी]] से संपन्न है <math>X,</math> तब <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> में <math>X</math> अगर और केवल अगर <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> में <math>S.</math> ऐसे में सवाल उठता है कि नेट है या नहीं <math>x_\bull</math> दिए गए बिंदु पर अभिसरण करता है <math>x</math> निर्भर करता है {{em|solely}} इस टोपोलॉजिकल सबस्पेस पर <math>S</math> को मिलाकर <math>x</math> और नेट की [[छवि (गणित)]] (यानी, के अंक)। <math>x_\bull.</math>
==== मेट्रिक स्थान में अभिसरण ====
मान लीजिए कि <math>(X, d)</math> मेट्रिक स्थान (या एक [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस|स्यूडोमेट्रिक स्थान]]) है और <math>X</math> [[मीट्रिक टोपोलॉजी|मेट्रिक सांस्थितिकी]] से संपन्न है। यदि <math>x \in X</math> बिंदु है और <math>x_\bull = \left(x_i\right)_{a \in A}</math> नेट है, तो <math>x_\bull \to x</math> में <math>(X, d)</math> यदि और केवल यदि <math>d\left(x, x_\bull\right) \to 0</math> <math>\R,</math> जहां <math>d\left(x, x_\bull\right) := \left(d\left(x, x_a\right)\right)_{a \in A}</math> [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] का नेट है। सामान्य अंग्रेजी में, यह विशेषता कहती है कि नेट मेट्रिक स्थान में बिंदु पर अभिसरण करता है यदि और केवल अगर नेट और बिंदु के बीच की दूरी शून्य हो जाती है। यदि <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक आदर्श स्थान (या एक सेमिनोर्म्ड स्थान) है तो <math>x_\bull \to x</math> में <math>(X, \|\cdot\|)</math> यदि और केवल यदि <math>\left\|x - x_\bull\right\| \to 0</math> <math>\Reals,</math> में जहां <math>\left\|x - x_\bull\right\| := \left(\left\|x - x_a\right\|\right)_{a \in A}</math> है। 


==== सांस्थितिक उप-स्थानों में अभिसरण ====
यदि समुच्चय <math>S = \{x\} \cup \left\{x_a : a \in A\right\}</math> <math>X,</math> द्वारा प्रेरित [[सबस्पेस टोपोलॉजी|उप स्थान सांस्थितिकी]] से संपन्न है, तो <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> <math>X</math> में यदि और केवल अगर <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> <math>S</math> में। इस तरह, नेट <math>x_\bull</math> दिए गए बिंदु <math>x</math> पर अभिसरण करता है या नहीं, यह सवाल पूरी तरह से इस सांस्थितिक उप स्थान <math>S</math> पर निर्भर करता है जिसमें <math>x</math> और (अर्थात, बिंदु) नेट <math>x_\bull</math> का [[छवि (गणित)|चित्र]] सम्मिलित है।


=== कार्तीय उत्पाद में सीमाएं ===
=== कार्तीय गुणनफल में सीमाएं ===


[[उत्पाद स्थान]] में एक जाल की एक सीमा होती है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्रक्षेपण की एक सीमा होती है।
[[उत्पाद स्थान|गुणनफल स्थान]] में नेट की सीमा होती है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्रक्षेपण की सीमा होती है।


स्पष्ट रूप से, चलो <math>\left(X_i\right)_{i \in I}</math> टोपोलॉजिकल स्पेस हो, उनके कार्टेशियन उत्पाद का समर्थन करें
स्पष्ट रूप से, मान लीजिए <math>\left(X_i\right)_{i \in I}</math> सांस्थितिक स्थान हो, उनके कार्तीय गुणनफल को समाप्त करें<math display="block">{\textstyle\prod} X_\bull := \prod_{i \in I} X_i</math>[[उत्पाद टोपोलॉजी|गुणनफल सांस्थितिकी]] के साथ, और वह प्रत्येक सूचकांक <math>l \in I,</math> के लिए <math>X_l</math> द्वारा विहित प्रक्षेपण को दर्शाता है<math display="block">\begin{alignat}{4}
<math display=block>{\textstyle\prod} X_\bull := \prod_{i \in I} X_i</math>
[[उत्पाद टोपोलॉजी]] के साथ, और वह हर सूचकांक के लिए <math>l \in I,</math> विहित प्रक्षेपण को निरूपित करें <math>X_l</math> द्वारा
<math display=block>\begin{alignat}{4}
\pi_l :\;&& {\textstyle\prod} X_\bull  &&\;\to\;& X_l \\[0.3ex]
\pi_l :\;&& {\textstyle\prod} X_\bull  &&\;\to\;& X_l \\[0.3ex]
         && \left(x_i\right)_{i \in I} &&\;\mapsto\;& x_l \\
         && \left(x_i\right)_{i \in I} &&\;\mapsto\;& x_l \\
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math>मान लीजिए <math>f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in A}</math> <math>A</math> द्वारा निर्देशित <math>{\textstyle\prod} X_\bull</math> में नेट है और प्रत्येक सूचकांक <math>i \in I,</math> के लिए<math display="block">\pi_i\left(f_\bull\right) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left(\pi_i\left(f_a\right)\right)_{a \in A}</math>"रोधन <math>f_\bull</math> को <math>\pi_i</math> के परिणाम को निरूपित करें, जिसके परिणामस्वरूप नेट <math>\pi_i\left(f_\bull\right) : A \to X_i.</math> होता है, यह कभी-कभी फलन संरचना के संदर्भ में इस परिभाषा के बारे में सोचने के लिए उपयोगी होता है- नेट <math>f_\bull : A \to {\textstyle\prod} X_\bull</math> प्रक्षेपण <math>\pi_i : {\textstyle\prod} X_\bull \to X_i;</math> अर्थात <math>\pi_i\left(f_\bull\right) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \pi_i \,\circ\, f_\bull.</math> के साथ नेट <math>\pi_i\left(f_\bull\right)</math> की संरचना के बराबर है किसी दिए गए बिंदु के लिए <math>L = \left(L_i\right)_{i \in I} \in {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i,</math> नेट <math>f_\bull</math> गुणन स्थान<math>{\textstyle\prod} X_\bull</math> में <math>L</math> में अभिसरण करता है यदि और केवल यदि प्रत्येक सूचकांक <math>i \in I</math> के लिए, <math>\pi_i\left(f_\bull\right) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \left(\pi_i\left(f_a\right)\right)_{a \in A}</math> <math>X_i</math> में <math>L_i</math> में अभिसरण करता है।{{sfn|Willard|2004|p=76}} और जब भी <math>{\textstyle\prod} X_\bull</math> में <math>L</math> पर नेट <math>f_\bull</math> समूहबद्ध होता है तो प्रत्येक सूचकांक <math>i \in I</math> के लिए <math>\pi_i\left(f_\bull\right)</math>समूहबद्ध <math>L_i</math> पर होता है।{{sfn|Willard|2004|p=77}} हालांकि, परिवर्तित सामान्य रूप से नहीं होता है।{{sfn|Willard|2004|p=77}} उदाहरण के लिए, मान लें कि <math>X_1 = X_2 = \Reals</math> और <math>f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in \N}</math> अनुक्रम<math>(1, 1), (0, 0), (1, 1), (0, 0), \ldots</math> को दर्शाता है, जो <math>(1, 1)</math> और <math>(0, 0)</math> के बीच वैकल्पिक होता है। फिर <math>L_1 := 0</math> और <math>L_2 := 1</math>, <math>X_1 \times X_2 = \Reals^2</math> में <math>\pi_1\left(f_\bull\right)</math> और <math>\pi_2\left(f_\bull\right)</math> दोनों के क्लस्टर बिंदु हैं, लेकिन <math>\left(L_1, L_2\right) = (0, 1)</math> <math>f_\bull</math> का क्लस्टर बिंदु नहीं है क्योंकि त्रिज्या <math>1</math> की विवृत गोलक <math>(0, 1)</math> पर केंद्रित है, जिसमें एक भी बिंदु <math>f_\bull</math> सम्मिलित नहीं है।
होने देना <math>f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in A}</math> में एक जाल हो <math>{\textstyle\prod} X_\bull</math> निर्देशक <math>A</math> और हर सूचकांक के लिए <math>i \in I,</math> होने देना
<math display=block>\pi_i\left(f_\bull\right) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left(\pi_i\left(f_a\right)\right)_{a \in A}</math>
प्लगिंग के परिणाम को निरूपित करें <math>f_\bull</math> में <math>\pi_i</math>, जिसका परिणाम नेट होता है <math>\pi_i\left(f_\bull\right) : A \to X_i.</math> फ़ंक्शन संरचना के संदर्भ में इस परिभाषा के बारे में सोचना कभी-कभी उपयोगी होता है: नेट <math>\pi_i\left(f_\bull\right)</math> नेट की संरचना के बराबर है <math>f_\bull : A \to {\textstyle\prod} X_\bull</math> प्रक्षेपण के साथ <math>\pi_i : {\textstyle\prod} X_\bull \to X_i;</math> वह है, <math>\pi_i\left(f_\bull\right) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \pi_i \,\circ\, f_\bull.</math>
किसी दिए गए बिंदु के लिए <math>L = \left(L_i\right)_{i \in I} \in {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i,</math> जाल <math>f_\bull</math> में विलीन हो जाता है <math>L</math> उत्पाद स्थान में <math>{\textstyle\prod} X_\bull</math> अगर और केवल अगर हर सूचकांक के लिए <math>i \in I,</math> <math>\pi_i\left(f_\bull\right) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \left(\pi_i\left(f_a\right)\right)_{a \in A}</math> में विलीन हो जाता है <math>L_i</math> में <math>X_i.</math>{{sfn|Willard|2004|p=76}}
और जब भी net <math>f_\bull</math> पर क्लस्टर <math>L</math> में <math>{\textstyle\prod} X_\bull</math> तब <math>\pi_i\left(f_\bull\right)</math> पर क्लस्टर <math>L_i</math> प्रत्येक सूचकांक के लिए <math>i \in I.</math>{{sfn|Willard|2004|p=77}} तथापि, इसका विलोम सामान्य रूप से मान्य नहीं है।{{sfn|Willard|2004|p=77}} उदाहरण के लिए, मान लीजिए <math>X_1 = X_2 = \Reals</math> और जाने <math>f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in \N}</math> अनुक्रम को निरूपित करें <math>(1, 1), (0, 0), (1, 1), (0, 0), \ldots</math> जो बीच-बीच में बदलता रहता है <math>(1, 1)</math> और <math>(0, 0).</math> तब <math>L_1 := 0</math> और <math>L_2 := 1</math> दोनों के क्लस्टर बिंदु हैं <math>\pi_1\left(f_\bull\right)</math> और <math>\pi_2\left(f_\bull\right)</math> में <math>X_1 \times X_2 = \Reals^2</math> लेकिन <math>\left(L_1, L_2\right) = (0, 1)</math> का समूह बिंदु नहीं है <math>f_\bull</math> त्रिज्या की खुली गेंद के बाद से <math>1</math> पर केंद्रित है <math>(0, 1)</math> एक बिंदु भी शामिल नहीं है <math>f_\bull</math> टाइकोनॉफ़ की प्रमेय और पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध


अगर कोई नहीं <math>L \in X</math> दिया जाता है, लेकिन प्रत्येक के लिए <math>i \in I,</math> कुछ मौजूद है <math>L_i \in X_i</math> ऐसा है कि <math>\pi_i\left(f_\bull\right) \to L_i</math> में <math>X_i</math> फिर टपल द्वारा परिभाषित <math>L = \left(L_i\right)_{i \in I}</math> की सीमा होगी <math>f_\bull</math> में <math>X.</math> हालाँकि, यह निष्कर्ष निकालने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध को ग्रहण करने की आवश्यकता हो सकती है <math>L</math> मौजूद; पसंद के स्वयंसिद्ध की कुछ स्थितियों में आवश्यकता नहीं होती है, जैसे कब <math>I</math> परिमित है या जब हर <math>L_i \in X_i</math> है {{em|unique}} नेट की सीमा <math>\pi_i\left(f_\bull\right)</math> (क्योंकि तब चुनने के लिए कुछ भी नहीं है), जो उदाहरण के लिए होता है, जब हर <math>X_i</math> हॉसडॉर्फ स्थान है। अगर <math>I</math> अनंत है और <math>{\textstyle\prod} X_\bull = {\textstyle\prod\limits_{j \in I}} X_j</math> खाली नहीं है, तो अनुमानों का निष्कर्ष निकालने के लिए पसंद का स्वयंसिद्ध (सामान्य रूप से) अभी भी आवश्यक होगा <math>\pi_i : {\textstyle\prod} X_\bull \to X_i</math> विशेषण मानचित्र हैं।
==== टाइकोनॉफ की प्रमेय और चयन के स्वयंसिद्ध से संबंध ====


पसंद का स्वयंसिद्ध टाइकोनॉफ के प्रमेय के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के किसी भी संग्रह का उत्पाद कॉम्पैक्ट है।
यदि कोई <math>L \in X</math> नहीं दिया गया है, लेकिन प्रत्येक <math>i \in I</math> के लिए कुछ <math>L_i \in X_i</math> उपस्थित है जैसे कि <math>\pi_i\left(f_\bull\right) \to L_i</math> <math>X_i</math> में है तो <math>L = \left(L_i\right)_{i \in I}</math> द्वारा परिभाषित टपल <math>X</math> में <math>f_\bull</math> की एक सीमा होगी। हालाँकि, यह निष्कर्ष निकालने के लिए चयन के स्वयंसिद्ध को ग्रहण करने की आवश्यकता हो सकती है कि यह टपल <math>L</math> उपस्थित है कुछ स्थितियों में चयन की अभिगृहीत की आवश्यकता नहीं होती है, जैसे कि जब <math>I</math> परिमित होता है या जब प्रत्येक <math>L_i \in X_i</math> नेट <math>\pi_i\left(f_\bull\right)</math> की अद्वितीय सीमा होती है (क्योंकि तब इसके बीच चयन करने के लिए कुछ नहीं होता है), जो उदाहरण के लिए होता है, जब प्रत्येक <math>X_i</math> एक हॉसडॉर्फ स्थान है। यदि <math>I</math> अनंत है और <math>{\textstyle\prod} X_\bull = {\textstyle\prod\limits_{j \in I}} X_j</math> खाली नहीं है, तो चयन के स्वयंसिद्ध (सामान्य रूप से) अभी भी यह निष्कर्ष निकालने की आवश्यकता होगी कि अनुमान <math>\pi_i : {\textstyle\prod} X_\bull \to X_i</math> विशेषण मानचित्र हैं।
लेकिन अगर हर कॉम्पैक्ट स्पेस हॉसडॉर्फ भी है, तो इसके बजाय कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के लिए तथाकथित टाइकोनॉफ प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है, जो [[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]] के बराबर है और इसलिए पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है।
ऊपर दिए गए शुद्ध अभिसरण के लक्षण वर्णन का उपयोग करके टाइकोनॉफ के प्रमेय के दोनों संस्करणों के लघु प्रमाण देने के लिए नेट का उपयोग इस तथ्य के साथ किया जा सकता है कि एक स्थान कॉम्पैक्ट है यदि और केवल अगर प्रत्येक नेट में अभिसारी सबनेट (गणित) है।


=== नेट === के क्लस्टर अंक
चयन का स्वयंसिद्ध टाइकोनॉफ के प्रमेय के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि सघन सांस्थितिक स्थान के किसी भी संग्रह का गुणन सघन है। लेकिन यदि प्रत्येक सघन स्थान हॉसडॉर्फ भी है, तो तथाकथित "सघन हौसडॉर्फ स्थान के लिए टाइकोनॉफ प्रमेय" का उपयोग किया जा सकता है, जो [[अल्ट्राफिल्टर लेम्मा]] के बराबर है और इसलिए चयन के स्वयंसिद्ध से दृढ़ता से दुर्बल है। ऊपर दिए गए नेट अभिसरण के विशेषीकरण वर्णन का उपयोग करके टाइकोनॉफ के प्रमेय के दोनों संस्करणों के लघु प्रमाण देने के लिए नेट का उपयोग इस तथ्य के साथ किया जा सकता है कि स्थान सघन है यदि और केवल अगर प्रत्येक नेट में एक अभिसारी सबनेट है।


एक बिंदु <math>x \in X</math> किसी दिए गए नेट का क्लस्टर बिंदु है अगर और केवल अगर इसका एक सबसेट है जो अभिसरण करता है <math>x.</math>{{sfn|Willard|2004|p=75}}
=== नेट के क्लस्टर बिंदु ===
अगर <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> नेट इन है <math>X</math> फिर सभी क्लस्टर बिंदुओं का सेट <math>x_\bull</math> में <math>X</math> के बराबर है{{sfn|Willard|2004|p=77}}
बिंदु <math>x \in X</math> किसी दिए गए नेट का एक क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल यदि इसका उपसमुच्चय है जो <math>x</math> में अभिसरण करता है।{{sfn|Willard|2004|p=75}} यदि <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math>, <math>X</math> में एक नेट है, तो <math>X</math> में <math>x_\bull</math> के सभी क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय बराबर है{{sfn|Willard|2004|p=77}}<math display="block">\bigcap_{a \in A} \operatorname{cl}_X \left(x_{\geq a}\right)</math>जहाँ <math>x_{\geq a} := \left\{x_b : b \geq a, b \in A\right\}</math> प्रत्येक <math>a \in A</math> के लिए। यदि <math>x \in X</math>, <math>x_\bull</math> के कुछ सबनेट का क्लस्टर बिंदु है तो <math>x</math> भी <math>x_\bull</math> का क्लस्टर बिंंदु है।{{sfn|Willard|2004|p=75}}
<math display=block>\bigcap_{a \in A} \operatorname{cl}_X \left(x_{\geq a}\right)</math>
कहाँ <math>x_{\geq a} := \left\{x_b : b \geq a, b \in A\right\}</math> प्रत्येक के लिए <math>a \in A.</math> अगर <math>x \in X</math> के कुछ सबनेट का क्लस्टर बिंदु है <math>x_\bull</math> तब <math>x</math> का एक समूह बिंदु भी है <math>x_\bull.</math>{{sfn|Willard|2004|p=75}}


===अल्ट्रानेट ===
===अल्ट्रानेट ===


एक शुद्ध <math>x_\bull</math> सेट में <math>X</math> कहा जाता है {{em|{{visible anchor|universal net}}}} या ए {{em|{{visible anchor|ultranet}}}} यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>S \subseteq X,</math> <math>x_\bull</math> अंत में है <math>S</math> या <math>x_\bull</math> अंत में पूरक है <math>X \setminus S.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}
समुच्चय <math>X</math> में नेट <math>x_\bull</math> को सार्वभौमिक नेट या अल्ट्रानेट कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय <math>S \subseteq X,</math> के लिए, <math>x_\bull</math> अंततः <math>S</math> में है या <math>x_\bull</math> अंततः पूरक <math>X \setminus S</math> में है।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}} [[अल्ट्रानेट (गणित)|अल्ट्रानेट]] [[ अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) |अल्ट्राफिल्टर]] से निकटता से संबंधित हैं।
[[अल्ट्रानेट (गणित)]] [[ अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) ]] से निकटता से संबंधित हैं।
 
प्रत्येक सतत नेट अल्ट्रानेट है। अल्ट्रानेट का प्रत्येक सबनेट एक अल्ट्रानेट होता है।{{sfn|Willard|2004|p=77}} प्रत्येक नेट का कुछ सबनेट होता है जो कि अल्ट्रानेट होता है।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}} यदि <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math>, <math>X</math> में अल्ट्रानेट है और <math>f : X \to Y</math> फलन है तो <math>f \circ x_\bull = \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}</math> <math>Y</math> में अल्ट्रानेट है।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}


हर स्थिर नेट एक अल्ट्रानेट है। अल्ट्रानेट का प्रत्येक सबनेट एक अल्ट्रानेट होता है।{{sfn|Willard|2004|p=77}} हर नेट में कुछ सबनेट होता है जो कि एक अल्ट्रानेट होता है।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}
<math>x \in X,</math> <math>x</math> पर एक अल्ट्रानेट क्लस्टर दिया गया है यदि और केवल यह <math>x</math> में परिवर्तित होता है।{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}  
अगर <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> में एक अल्ट्रानेट है <math>X</math> और <math>f : X \to Y</math> तब एक कार्य है <math>f \circ x_\bull = \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}</math> में एक अल्ट्रानेट है <math>Y.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}


दिया गया <math>x \in X,</math> एक अल्ट्रानेट क्लस्टर पर <math>x</math> अगर और केवल यह अभिसरण करता है <math>x.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=73-77}}
=== नेट की सीमाओं के उदाहरण ===


=== जाल की सीमा के उदाहरण ===
अनुक्रम की प्रत्येक सीमा और किसी फलन की सीमा की व्याख्या नेट की सीमा के रूप में की जा सकती है (जैसा कि नीचे वर्णित है)।


अनुक्रम की प्रत्येक सीमा और किसी फलन की सीमा की व्याख्या एक जाल की सीमा के रूप में की जा सकती है (जैसा कि नीचे वर्णित है)।
[[रीमैन इंटीग्रल|रीमैन समाकल]] के मान की परिभाषा को [[रीमैन योग]] के नेट की सीमा के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जहां नेट का निर्देशित समुच्चय समाकलन के स्थान के सभी विभाजनों का समुच्चय है, आंशिक रूप से समावेशन द्वारा आदेशित है।


[[रीमैन इंटीग्रल]] के मूल्य की परिभाषा को [[रीमैन योग]] के नेट की सीमा के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जहां नेट का निर्देशित सेट एकीकरण के अंतराल के सभी विभाजनों का सेट है, आंशिक रूप से समावेशन द्वारा आदेश दिया गया है।
प्रोटोटाइप <math>f : \Reals \to \Reals</math> के साथ सभी फलनों के समुच्चय <math>\Reals^\Reals</math> को कार्तीय गुणनफल <math>{\textstyle\prod\limits_{x \in \Reals}} \Reals</math> के रूप में व्याख्या करें (टपल <math>(f(x))_{x \in \Reals},</math> के साथ फलन <math>f</math> की पहचान करके और इसके विपरीत) और इसे गुणनफल सांस्थितिकी के साथ समाप्त करें। <math>\Reals^\Reals</math> पर यह (गुणनफल) सांस्थितिकी [[बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी|बिंदुवार अभिसरण की सांस्थितिकी]] के समान है। माना <math>E</math> सभी फलनों के समुच्चय को इंगित करता है <math>f : \Reals \to \{0, 1\}</math> जो कि प्रत्येक स्थान <math>1</math> के बराबर हैं, बजाय इसके कि बहुत से बिंदु हैं (अर्थात, जैसे कि समुच्चय <math>\{x : f(x) = 0\}</math> परिमित है) फिर सतत <math>0</math> फलन <math>\mathbf{0} : \Reals \to \{0\}</math>, <math>\Reals^\Reals</math> में <math>E</math> के समापन होने से संबंधित है, अर्थात, <math>\mathbf{0} \in \operatorname{cl}_{\Reals^\Reals} E</math>।{{sfn|Willard|2004|p=77}} यह <math>E</math> में नेट बनाकर सिद्ध किया जाएगा जो कि <math>\mathbf{0}</math> में अभिसरण करता है। हालाँकि, <math>E</math> में ऐसा कोई अनुक्रम उपस्थित नहीं है जो <math>\mathbf{0}</math> में अभिसरण करता है{{sfn|Willard|2004|pp=71-72}} जो इसे उदाहरण बनाता है जहाँ (गैर-अनुक्रम) नेट का उपयोग किया जाना चाहिए क्योंकि केवल अनुक्रम वांछित निष्कर्ष तक नहीं पहुँच सकते है। सभी <math>x</math> के लिए <math>f \geq g</math> यदि और केवल अगर <math>f(x) \geq g(x)</math> की घोषणा करके सामान्य तरीके से <math>\Reals^\Reals</math> के अल्पांशों की तुलना करें। यह बिंदुवार तुलना आंशिक क्रम है जो <math>(E, \geq)</math> को एक निर्देशित समुच्चय बनाता है क्योंकि किसी भी <math>f, g \in E</math> को दिए जाने के बाद से उनका बिंदुवार न्यूनतम <math>m := \min \{f, g\}</math> <math>E</math> से संबंधित है और <math>f \geq m</math> और <math>g \geq m.</math> को संतुष्ट करता है। यह आंशिक क्रम [[पहचान मानचित्र]] <math>\operatorname{Id} : (E, \geq) \to E</math> (<math>f \mapsto f</math> द्वारा परिभाषित) को <math>E</math>-मूल्यवान नेट में बदल देता है। यह नेट <math>\Reals^\Reals</math> में <math>\mathbf{0}</math> के लिए बिंदुवार परिवर्तित होता है जिसका अर्थ है कि <math>\mathbf{0}</math> <math>\Reals^\Reals</math> में <math>E</math> के समापन होने के अंतर्गत आता है।
== उदाहरण ==


सेट की व्याख्या करें <math>\Reals^\Reals</math> प्रोटोटाइप के साथ सभी कार्यों की <math>f : \Reals \to \Reals</math> कार्टेशियन उत्पाद के रूप में <math>{\textstyle\prod\limits_{x \in \Reals}} \Reals</math> (एक फ़ंक्शन की पहचान करके <math>f</math> टपल के साथ <math>(f(x))_{x \in \Reals},</math> और इसके विपरीत) और इसे उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न करें। यह (उत्पाद) टोपोलॉजी चालू है <math>\Reals^\Reals</math> [[बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी]] के समान है। होने देना <math>E</math> सभी कार्यों के सेट को निरूपित करें <math>f : \Reals \to \{0, 1\}</math> कि बराबर हैं <math>1</math> हर जगह बहुत से बिंदुओं को छोड़कर (यानी, ऐसा है कि set <math>\{x : f(x) = 0\}</math> परिमित है)। फिर स्थिर <math>0</math> समारोह <math>\mathbf{0} : \Reals \to \{0\}</math> के बंद होने के अंतर्गत आता है <math>E</math> में <math>\Reals^\Reals;</math> वह है, <math>\mathbf{0} \in \operatorname{cl}_{\Reals^\Reals} E.</math>{{sfn|Willard|2004|p=77}} यह जाल बनाकर सिद्ध होगा <math>E</math> जो अभिसरण करता है <math>\mathbf{0}.</math> हालाँकि, कोई मौजूद नहीं है {{em|sequence}} में <math>E</math> जो अभिसरण करता है <math>\mathbf{0},</math>{{sfn|Willard|2004|pp=71-72}} जो इसे एक उदाहरण बनाता है जहां (गैर-अनुक्रम) नेट का उपयोग किया जाना चाहिए क्योंकि अनुक्रम अकेले वांछित निष्कर्ष तक नहीं पहुंच सकते हैं। के तत्वों की तुलना करें <math>\Reals^\Reals</math> बिंदुवार सामान्य तरीके से यह घोषित करके <math>f \geq g</math> अगर और केवल अगर <math>f(x) \geq g(x)</math> सभी के लिए <math>x.</math> यह बिंदुवार तुलना एक आंशिक क्रम है जो बनाता है <math>(E, \geq)</math> किसी भी दिए जाने के बाद से एक निर्देशित सेट <math>f, g \in E,</math> उनका बिंदुवार न्यूनतम <math>m := \min \{f, g\}</math> से संबंधित <math>E</math> और संतुष्ट करता है <math>f \geq m</math> और <math>g \geq m.</math> यह आंशिक क्रम [[पहचान मानचित्र]] को बदल देता है <math>\operatorname{Id} : (E, \geq) \to E</math> (द्वारा परिभाषित <math>f \mapsto f</math>) एक में <math>E</math>-मूल्यवान जाल। यह नेट पॉइंटवाइज में परिवर्तित हो जाता है <math>\mathbf{0}</math> में <math>\Reals^\Reals,</math> जिसका तात्पर्य है <math>\mathbf{0}</math> के बंद होने के अंतर्गत आता है <math>E</math> में <math>\Reals^\Reals.</math>
=== सांस्थितिक स्थान में अनुक्रम ===


सांस्थितिक स्थान <math>X</math> में अनुक्रम <math>a_1, a_2, \ldots</math> को <math>\N</math> पर परिभाषित <math>X</math> में नेट माना जा सकता है।


== उदाहरण ==
नेट अंततः <math>X</math> के उपसमुच्चय <math>S</math> में होता है यदि वहाँ एक <math>N \in \N</math> उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>n \geq N</math> बिंदु <math>a_n</math> <math>S</math> में है।


=== टोपोलॉजिकल स्पेस में अनुक्रम ===
तो <math>\lim {}_n a_n \to L</math> यदि और केवल यदि <math>L</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>V</math> के लिए, नेट अंततः <math>V</math> में है।


एक क्रम <math>a_1, a_2, \ldots</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>X</math> में नेट माना जा सकता है <math>X</math> पर परिभाषित <math>\N.</math>
नेट प्रायः <math>X</math> के उपसमुच्चय <math>S</math> में होता है यदि और केवल अगर प्रत्येक <math>N \in \N</math> के लिए कुछ पूर्णांक <math>n \geq N</math> उपस्थित होता है जैसे कि <math>a_n \in S</math> अर्थात, यदि और केवल अगर अनुक्रम के असीमित कई अल्पांश <math>S</math> में हैं। इस प्रकार बिंदु <math>y \in X</math> नेट का एक क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल यदि <math>y</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>V</math> में अनुक्रम के असीम रूप से कई अल्पांश सम्मिलित हैं।
नेट अंततः एक सबसेट में है <math>S</math> का <math>X</math> यदि कोई मौजूद है <math>N \in \N</math> ऐसा है कि हर पूर्णांक के लिए <math>n \geq N,</math> बिंदु <math>a_n</math> में है <math>S.</math>
इसलिए <math>\lim {}_n a_n \to L</math> अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए <math>V</math> का <math>L,</math> नेट अंत में अंदर है <math>V.</math>
नेट अक्सर एक सबसेट में होता है <math>S</math> का <math>X</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए <math>N \in \N</math> कुछ पूर्णांक मौजूद है <math>n \geq N</math> ऐसा है कि <math>a_n \in S,</math> यानी, अगर और केवल अगर अनुक्रम के असीमित रूप से कई तत्व अंदर हैं <math>S.</math> इस प्रकार एक बिंदु <math>y \in X</math> नेट का एक क्लस्टर बिंदु है अगर और केवल अगर हर पड़ोस <math>V</math> का <math>y</math> अनुक्रम के असीमित रूप से कई तत्व शामिल हैं।


=== मेट्रिक स्पेस से टोपोलॉजिकल स्पेस तक फंक्शन ===
=== मेट्रिक स्थान से सांस्थितिक स्थान तक फलन ===


एक बिंदु ठीक करें <math>c \in M</math> एक मीट्रिक अंतरिक्ष में <math>(M, d)</math> जिसमें कम से कम दो बिंदु हों (जैसे <math>M := \R^n</math> [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] के साथ <math>c := 0</math> मूल होना, उदाहरण के लिए) और सेट को निर्देशित करें <math>I := M \setminus \{c\}</math> से दूरी के अनुसार उलटा <math>c</math> यह घोषित करके <math>i \leq j</math> अगर और केवल अगर <math>d(j, c) \leq d(i, c).</math> दूसरे शब्दों में, संबंध की कम से कम समान दूरी है <math>c</math> के रूप में, इसलिए कि इस संबंध के संबंध में काफी बड़े का मतलब काफी करीब है <math>c</math>.
मेट्रिक स्थान <math>(M, d)</math> में बिंदु <math>c \in M</math> को ठीक करें जिसमें कम से कम दो बिंदु हों (जैसे कि <math>M := \R^n</math> जहां [[यूक्लिडियन मीट्रिक|यूक्लिडियन मेट्रिक]] के साथ <math>c := 0</math> मूल है, उदाहरण के लिए) और समुच्चय <math>I := M \setminus \{c\}</math> को <math>c</math> से दूरी के अनुसार विपरीत रूप से निर्देशित करें कि <math>i \leq j</math> यदि और केवल यदि <math>d(j, c) \leq d(i, c)</math> है। दूसरे शब्दों में, संबंध "<math>c</math> के रूप में कम से कम समान दूरी है", ताकि इस संबंध के संबंध में "पर्याप्त रूप से बड़ा" का अर्थ "<math>c</math> के काफी समीप" हो। क्षेत्र <math>M</math> के साथ किसी भी फलन को दिए जाने पर <math>I := M \setminus \{c\}</math> के लिए इसका प्रतिबंध <math>(I, \leq)</math> द्वारा निर्देशित नेट के रूप में विहित रूप से व्याख्या किया जा सकता है।{{sfn|Willard|2004|p=77}}
डोमेन के साथ कोई फ़ंक्शन दिया गया <math>M,</math> इसके लिए प्रतिबंध <math>I := M \setminus \{c\}</math> द्वारा निर्देशित नेट के रूप में कैनोनिक रूप से व्याख्या की जा सकती है <math>(I, \leq).</math>{{sfn|Willard|2004|p=77}}


एक शुद्ध <math>f : M \setminus \{c\} \to X</math> अंततः एक उपसमुच्चय में है <math>S</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> अगर और केवल अगर कुछ मौजूद है <math>n \in M \setminus \{c\}</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए <math>m \in M \setminus \{c\}</math> संतुष्टि देने वाला <math>d(m, c) \leq d(n, c),</math> बिंदु <math>f(m)</math> में है <math>S.</math> ऐसा जाल <math>f</math> में विलीन हो जाता है <math>X</math> किसी दिए गए बिंदु पर <math>L \in X</math> अगर और केवल अगर <math>\lim_{m \to c} f(m) \to L</math> सामान्य अर्थों में (जिसका अर्थ है कि हर पड़ोस के लिए <math>V</math> का <math>L,</math> <math>f</math> अंत में है <math>V</math>).{{sfn|Willard|2004|p=77}}
नेट <math>f : M \setminus \{c\} \to X</math> अंततः सांस्थितिक स्थान <math>X</math> के उपसमुच्चय <math>S</math> में है यदि और केवल अगर कुछ <math>n \in M \setminus \{c\}</math> उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक <math>m \in M \setminus \{c\}</math> के लिए <math>d(m, c) \leq d(n, c)</math> को संतुष्ट करने के लिए बिंदु <math>f(m)</math> <math>S</math> में है। इस तरह का नेट <math>f</math> <math>X</math> में दिए गए बिंदु <math>L \in X</math> में परिवर्तित होता है यदि और केवल अगर <math>\lim_{m \to c} f(m) \to L</math> सामान्य अर्थों में (जिसका अर्थ है कि <math>L</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>V</math> के लिए, <math>f</math> अंततः <math>V</math> में है){{sfn|Willard|2004|p=77}}  


जाल <math>f : M \setminus \{c\} \to X</math> अक्सर उपसमुच्चय में होता है <math>S</math> का <math>X</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए <math>n \in M \setminus \{c\}</math> कुछ मौजूद है <math>m \in M \setminus \{c\}</math> साथ <math>d(m, c) \leq d(n, c)</math> ऐसा है कि <math>f(m)</math> में है <math>S.</math>
नेट <math>f : M \setminus \{c\} \to X</math> प्रायः <math>X</math> के उपसमुच्चय <math>S</math> में होता है यदि और केवल अगर प्रत्येक <math>n \in M \setminus \{c\}</math> के लिए <math>d(m, c) \leq d(n, c)</math> के साथ कुछ <math>m \in M \setminus \{c\}</math> उपस्थित है जैसे कि <math>f(m)</math> <math>S</math> में है। नतीजतन, बिंदु <math>L \in X</math> नेट <math>f</math> का क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल अगर <math>L</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>V</math> के लिए, नेट प्रायः <math>V</math> में होता है।
नतीजतन, एक बिंदु <math>L \in X</math> नेट का एक क्लस्टर बिंदु है <math>f</math> अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए <math>V</math> का <math>L,</math> नेट अक्सर अंदर होता है <math>V.</math>
=== सुव्यवस्थित समुच्चय से सांस्थितिक स्थान में फलन ===


सीमा बिंदु <math>t</math> के साथ सुव्यवस्थित समुच्चय <math>[0, c]</math> पर विचार करें और फलन <math>f</math> <math>[0, t)</math> से सांस्थितिक स्थान <math>X</math> तक। यह फलन <math>[0, t)</math> पर नेट है। यह अंततः <math>X</math> के उपसमुच्चय <math>V</math> में होता है यदि कोई <math>r \in [0, t)</math> उपस्थित है, जैसे कि प्रत्येक <math>s \in [r, t)</math> के लिए बिंदु <math>f(s)</math> <math>V</math> में है


=== एक सुव्यवस्थित सेट से एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कार्य ===
तो <math>\lim_{x \to t} f(x) \to L</math> यदि और केवल यदि <math>L</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>V</math> के लिए, <math>f</math> अंततः <math>V</math> में है।


एक सुव्यवस्थित सेट पर विचार करें | सुव्यवस्थित सेट <math>[0, c]</math> सीमा बिंदु के साथ <math>t</math> और एक समारोह <math>f</math> से <math>[0, t)</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए <math>X.</math> यह फ़ंक्शन नेट ऑन है <math>[0, t).</math>
नेट <math>f</math> प्रायः <math>X</math> के उपसमुच्चय <math>V</math> में होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक <math>r \in [0, t)</math> के लिए कुछ <math>s \in [r, t)</math> उपस्थित है जैसे कि <math>f(s) \in V</math>
यह अंततः एक उपसमुच्चय में है <math>V</math> का <math>X</math> यदि कोई मौजूद है <math>r \in [0, t)</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए <math>s \in [r, t)</math> बिंदु <math>f(s)</math> में है <math>V.</math>
इसलिए <math>\lim_{x \to t} f(x) \to L</math> अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए <math>V</math> का <math>L,</math> <math>f</math> अंत में है <math>V.</math>
जाल <math>f</math> अक्सर उपसमुच्चय में होता है <math>V</math> का <math>X</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए <math>r \in [0, t)</math> कुछ मौजूद है <math>s \in [r, t)</math> ऐसा है कि <math>f(s) \in V.</math>
एक बिंदु <math>y \in X</math> नेट का एक क्लस्टर बिंदु है <math>f</math> अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए <math>V</math> का <math>y,</math> नेट अक्सर अंदर होता है <math>V.</math>
पहला उदाहरण इसका एक विशेष मामला है <math>c = \omega.</math>
ऑर्डर टोपोलॉजी#ऑर्डिनल-इंडेक्स्ड सीक्वेंस|ऑर्डिनल-इंडेक्स्ड सीक्वेंस भी देखें।


=== सबनेट ===
एक बिंदु <math>y \in X</math> नेट <math>f</math> का क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल यदि <math>y</math> के प्रत्येक प्रतिवेश <math>V</math> के लिए, नेट प्रायः <math>V</math> में होता है।
{{Main|Subnet (mathematics)}}
{{See also|Filters in topology#Subnets}}


नेट के लिए अनुगामी का एनालॉग एक सबनेट की धारणा है। सबनेट की कई अलग-अलग गैर-समतुल्य परिभाषाएँ हैं और यह लेख [[1970]] में [[स्टीफन विलार्ड]] द्वारा शुरू की गई परिभाषा का उपयोग करेगा,{{sfn|Schechter|1996|pp=157–168}} जो इस प्रकार है:
प्रथम उदाहरण <math>c = \omega.</math> के साथ इसकी एक विशेष स्थिति है।
अगर <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> और <math>s_\bull = \left(s_i\right)_{i \in I}</math> नेट हैं तो <math>s_\bull</math> ए कहा जाता है {{em|subnet}} या {{em|{{visible anchor|Willard-subnet}}}}{{sfn|Schechter|1996|pp=157–168}} का <math>x_\bull</math> यदि कोई आदेश-संरक्षण मानचित्र मौजूद है <math>h : I \to A</math> ऐसा है कि <math>h(I)</math> का अंतिम उपसमुच्चय है <math>A</math> और
<math display=block>s_i = x_{h(i)} \quad \text{ for all } i \in I.</math> वो नक्शा <math>h : I \to A</math> कहा जाता है {{em|[[order-preserving]]}} और एक {{em|order homomorphism}} अगर कभी भी <math>i \leq j</math> तब <math>h(i) \leq h(j).</math> सेट <math>h(I)</math> प्राणी {{em|[[Cofinal (mathematics)|cofinal]]}} में <math>A</math> का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए <math>a \in A,</math> कुछ मौजूद है <math>b \in h(I)</math> ऐसा है कि <math>b \geq a.</math>


क्रमसूचक-अनुक्रमित अनुक्रम भी देखें।


== गुण ==
=== सबनेट ===
{{Main|सबनेट (गणित)}}
{{See also|सांस्थितिकी में फिल्टर § सबनेट}}


वस्तुतः टोपोलॉजी की सभी अवधारणाओं को नेट और लिमिट की भाषा में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। यह अंतर्ज्ञान का मार्गदर्शन करने के लिए उपयोगी हो सकता है क्योंकि नेट की सीमा की धारणा अनुक्रम की सीमा के समान ही है। प्रमेय और नींबू के निम्नलिखित सेट इस समानता को मजबूत करने में मदद करते हैं:
नेट के लिए "अनुक्रम" का एनालॉग "सबनेट" की धारणा है। "सबनेट" की कई अलग-अलग गैर-समकक्ष परिभाषाएँ हैं और यह लेख [[1970]] में [[स्टीफन विलार्ड]] द्वारा प्रस्तुत परिभाषा का उपयोग करेगा,{{sfn|Schechter|1996|pp=157–168}} जो इस प्रकार है- यदि <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> और <math>s_\bull = \left(s_i\right)_{i \in I}</math> नेट हैं तो <math>s_\bull</math> को <math>x_\bull</math> का सबनेट या विलार्ड-सबनेट{{sfn|Schechter|1996|pp=157–168}} कहा जाता है यदि कोई क्रम-संरक्षण मानचित्र उपस्थित है <math>h : I \to A</math> ऐसा है कि <math>h(I)</math> <math>A</math> का अंतिम उपसमुच्चय है और<math display=block>s_i = x_{h(i)} \quad \text{ for all } i \in I.</math>मानचित्र <math>h : I \to A</math> को {{em|[[क्रम-संरक्षण]]}} और क्रम समरूपता कहा जाता है यदि जब भी <math>i \leq j</math> तो <math>h(i) \leq h(j)</math>। समुच्चय <math>h(I)</math> <math>A</math> में {{em|[[Cofinal (mathematics)|अंतिम]]}} होने का अर्थ है कि प्रत्येक <math>a \in A</math> के लिए, कुछ <math>b \in h(I)</math> उपस्थित हैं जैसे कि <math>b \geq a</math>।


=== स्थलाकृतिक गुणों की विशेषताएं ===
== गुण ==


बंद सेट और बंद
वस्तुतः सांस्थितिकी की सभी अवधारणाओं को नेट और सीमाओं की भाषा में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। यह अंतर्ज्ञान को निर्देशित करने के लिए उपयोगी हो सकता है क्योंकि नेट की सीमा की धारणा अनुक्रम की सीमा के समान ही है। निम्नलिखित प्रमेय और लेम्मा इस समानता को दृढ़ करने में सहायता करती हैं-


उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math> में बंद है <math>X</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक अभिसरण नेट का प्रत्येक सीमा बिंदु <math>S</math> का अनिवार्य रूप से है <math>S.</math> स्पष्ट रूप से, एक उपसमूह <math>S \subseteq X</math> बंद है अगर और केवल अगर जब भी <math>x \in X</math> और <math>s_\bull = \left(s_a\right)_{a \in A}</math> में नेट वैल्यू है <math>S</math> (मतलब है कि <math>s_a \in S</math> सभी के लिए <math>a \in A</math>) ऐसा है कि <math>\lim{}_{} s_\bull \to x</math> में <math>X,</math> फिर अनिवार्य रूप से <math>x \in S.</math>
=== सांस्थितिक गुणों की विशेषता ===
अधिक सामान्यतः, यदि <math>S \subseteq X</math> कोई उपसमुच्चय है तो एक बिंदु <math>x \in X</math> के [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] में है <math>S</math> अगर और केवल अगर कोई नेट मौजूद है <math>\left(s_a\right)_{a \in A}</math> में <math>S</math> सीमा के साथ <math>x \in X</math> और ऐसा है <math>s_a \in S</math> प्रत्येक सूचकांक के लिए <math>a \in A.</math>{{sfn|Willard|2004|p=75}}


टोपोलॉजी के खुले सेट और लक्षण वर्णन
==== संवृत्त समुच्चय और समापन ====
उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math>, <math>X</math> में संवृत्त है यदि और केवल अगर <math>S</math> में प्रत्येक अभिसरण नेट का प्रत्येक सीमा बिंदु आवश्यक रूप से <math>S</math> से संबंधित है। स्पष्ट रूप से, उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math> संवृत्त हो जाता है यदि और केवल अगर जब भी <math>x \in X</math> और<math>s_\bull = \left(s_a\right)_{a \in A}</math> <math>S</math> में नेट मान है (जिसका अर्थ है कि सभी <math>a \in A</math> के लिए <math>s_a \in S</math>) जैसे कि <math>X</math> में <math>\lim{}_{} s_\bull \to x</math>, तो आवश्यक रूप से <math>x \in S</math>।


{{See also|Characterizations of the category of topological spaces#Convergent net characterization}}
अधिक प्रायः, यदि <math>S \subseteq X</math> कोई उपसमुच्चय है तो बिंदु <math>x \in X</math>, <math>S</math> के [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|संवृत्त]] होने पर है और केवल तभी होता है जब <math>S</math> में सीमा <math>x \in X</math> के साथ नेट <math>\left(s_a\right)_{a \in A}</math> उपस्थित होता है और ऐसा होता है कि <math>s_a \in S</math> प्रत्येक सूचकांक <math>a \in A</math> के लिए होता है।{{sfn|Willard|2004|p=75}}


उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math> खुला है अगर और केवल अगर कोई नेट नहीं है <math>X \setminus S</math> के एक बिन्दु पर आ जाता है <math>S.</math>{{sfn|Howes|1995|pp=83-92}} इसके अलावा, सबसेट <math>S \subseteq X</math> खुला है अगर और केवल अगर प्रत्येक नेट के एक तत्व में परिवर्तित हो रहा है <math>S</math> अंत में निहित है <math>S.</math> यह खुले उपसमुच्चय की ये विशेषताएँ हैं जो नेट को [[टोपोलॉजी (संरचना)]] को चिह्नित करने की अनुमति देती हैं।
==== सांस्थितिकी के विवृत समुच्चय और विशेषताएँ ====
टोपोलॉजी को बंद उपसमुच्चय द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है क्योंकि एक सेट खुला है अगर और केवल अगर इसका पूरक बंद है। तो नेट के संदर्भ में बंद सेट के लक्षण वर्णन का उपयोग टोपोलॉजी को चिह्नित करने के लिए भी किया जा सकता है।
{{See also|सांस्थितिक अंतराल की श्रेणी की विशेषताएँ § अभिसरण नेट विशेषताएँ}}


निरंतरता
उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math> विवृत है यदि और केवल अगर <math>X \setminus S</math> में कोई नेट <math>S</math> के बिंदु पर अभिसरण नहीं करता है।{{sfn|Howes|1995|pp=83-92}} इसके अलावा, उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math> विवृत है यदि और केवल अगर <math>S</math> के अल्पांश में परिवर्तित होने वाला प्रत्येक नेट अंततः <math>S</math> में समाहित है। यह "विवृत उपसमुच्चय" की ये विशेषताएँ हैं जो नेट को [[टोपोलॉजी (संरचना)|सांस्थितिकी]] को चिह्नित करने की अनुमति देती हैं। सांस्थितिकी को संवृत्त उपसमुच्चय द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है क्योंकि समुच्चय विवृत होता है और केवल यदि इसका पूरक संवृत्त हो। तो नेट के संदर्भ में "संवृत्त समुच्चय" की विशेषताएँ भी सांस्थितिकी को चिह्नित करने के लिए उपयोग की जा सकती हैं।


एक समारोह <math>f : X \to Y</math> टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक दिए गए बिंदु पर [[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) ]] है <math>x</math> अगर और केवल अगर हर नेट के लिए <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> इसके डोमेन में, यदि <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> में <math>X</math> तब <math>\lim{} f\left(x_\bull\right) \to f(x)</math> में <math>Y.</math>{{sfn|Willard|2004|p=75}}
==== सातत्य ====
अधिक संक्षेप में, एक समारोह कहा <math>f : X \to Y</math> निरंतर है अगर और केवल अगर जब भी <math>x_\bull \to x</math> में <math>X</math> तब <math>f\left(x_\bull\right) \to f(x)</math> में <math>Y.</math> सामान्य तौर पर, यह कथन सत्य नहीं होगा यदि शब्द नेट को अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया गया हो; यही है, केवल प्राकृतिक संख्याओं के अलावा अन्य निर्देशित सेटों के लिए अनुमति देना आवश्यक है <math>X</math> प्रथम-गणनीय स्थान नहीं है (या अनुक्रमिक स्थान नहीं है)
सांस्थितिक स्थान के बीच फलन <math>f : X \to Y</math> किसी दिए गए बिंदु <math>x</math> पर [[ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) |सतत]] है यदि और केवल यदि इसके क्षेत्र में प्रत्येक नेट <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> के लिए यदि <math>\lim_{} x_\bull \to x</math> तो <math>X</math> में तो <math>\lim{} f\left(x_\bull\right) \to f(x)</math> <math>Y</math> में है।{{sfn|Willard|2004|p=75}} अधिक संक्षेप में कहा गया है, फलन <math>f : X \to Y</math> सतत है यदि और केवल अगर जब भी <math>x_\bull \to x</math> <math>X</math> में तो <math>f\left(x_\bull\right) \to f(x)</math> <math>Y</math> में। सामान्य तौर पर, यह कथन सत्य नहीं होगा यदि "नेट" शब्द को "अनुक्रम" से बदल दिया गया हो; अर्थात्, यदि <math>X</math> प्रथम-गणनीय स्थान (या अनुक्रमिक स्थान नहीं है) नहीं है, तो केवल प्राकृतिक संख्याओं के अलावा अन्य निर्देशित समुच्चयों के लिए अनुमति देना आवश्यक है।


{{collapse top|title=Proof|left=true}}
{{collapse top|title=Proof|left=true}}
(<math>\implies</math>)
(<math>\implies</math>)
होने देना <math>f</math> बिंदु पर निरंतर रहें <math>x,</math> और जाने <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> ऐसा जाल बनो <math>\lim_{} x_\bull \to x.</math>
मान लीजिए <math>f</math> बिंदु <math>x,</math> पर सतत है, और माना <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> ऐसा नेट है कि  <math>\lim_{} x_\bull \to x</math>फिर <math>f(x),</math> के प्रत्येक विवृत्त प्रतिवेश <math>U</math> के लिए,<math>f,</math> <math>V := f^{-1}(U),</math> के तहत इसका पूर्व चित्र <math>x</math> का एक प्रतिवेश है (<math>x</math> पर <math>f</math> की सातत्य द्वारा)इस प्रकार <math>V,</math> का आंतरिक भाग, जिसे <math>\operatorname{int} V,</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, <math>x,</math> का विवृत्त प्रतिवेश है, और परिणामस्वरूप <math>x_\bull</math> अंततः <math>\operatorname{int} V</math> में है। इसलिए <math>\left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}</math> अंततः <math>f(\operatorname{int} V)</math> में है और इस प्रकार अंततः <math>f(V)</math> में भी है जो कि <math>U.</math> का उपसमुच्चय है। इस प्रकार <math>\lim_{} \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A} \to f(x),</math> और यह दिशा सिद्ध होती है।  
फिर हर खुले पड़ोस के लिए <math>U</math> का <math>f(x),</math> इसके तहत पूर्वकल्पना <math>f,</math> <math>V := f^{-1}(U),</math> का पड़ोस है <math>x</math> (की निरंतरता से <math>f</math> पर <math>x</math>).
इस प्रकार का आंतरिक (टोपोलॉजी)। <math>V,</math> जिसे द्वारा दर्शाया गया है <math>\operatorname{int} V,</math> का खुला पड़ोस है <math>x,</math> और इसके परिणामस्वरूप <math>x_\bull</math> अंत में है <math>\operatorname{int} V.</math> इसलिए <math>\left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A}</math> अंत में है <math>f(\operatorname{int} V)</math> और इस प्रकार अंत में भी <math>f(V)</math> जो का उपसमुच्चय है <math>U.</math> इस प्रकार <math>\lim_{} \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A} \to f(x),</math> और यह दिशा सिद्ध होती है।


(<math>\Longleftarrow</math>)
(<math>\Longleftarrow</math>)
होने देना <math>x</math> एक बिंदु ऐसा हो कि हर नेट के लिए <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> ऐसा है कि <math>\lim_{} x_\bull \to x,</math> <math>\lim_{} \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A} \to f(x).</math> अब मान लीजिए <math>f</math> पर निरंतर नहीं है <math>x.</math>
मान लीजिए कि <math>x</math> एक ऐसा बिंदु है कि प्रत्येक नेट <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> के लिए ऐसा है कि <math>\lim_{} x_\bull \to x,</math> <math>\lim_{} \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A} \to f(x)</math>अब मान लीजिए कि <math>f</math> <math>x</math> पर संतत नहीं है। तब <math>f(x)</math> का प्रतिवेश <math>U</math> होता है, जिसका <math>f,</math> <math>V</math> के अंतर्गत पूर्वचित्र <math>x</math> का प्रतिवेश नहीं होता है। क्योंकि <math>f(x) \in U,</math> आवश्यक रूप से <math>x \in V</math> है। अब <math>x</math> के विवृत प्रतिवेश का समुच्चय नियंत्रण पूर्वक्रम के साथ निर्देशित समुच्चय (चूंकि प्रत्येक दो ऐसे प्रतिवेशों का प्रतिच्छेदन <math>x</math> का विवृत प्रतिवेश है) है।
फिर एक पड़ोस है (गणित) <math>U</math> का <math>f(x)</math> जिसके तहत प्रीइमेज है <math>f,</math> <math>V,</math> का पड़ोस नहीं है <math>x.</math> क्योंकि <math>f(x) \in U,</math> अनिवार्य रूप से <math>x \in V.</math> अब के खुले पड़ोस का सेट <math>x</math> [[सबसेट]] प्रीऑर्डर के साथ एक निर्देशित सेट है (चूंकि इस तरह के हर दो पड़ोस का चौराहा एक खुला पड़ोस है <math>x</math> भी)


हम जाल बनाते हैं <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> ऐसा कि हर खुले पड़ोस के लिए <math>x</math> जिसका सूचकांक है <math>a,</math> <math>x_a</math> इस पड़ोस में एक बिंदु है जो अंदर नहीं है <math>V</math>; कि वहाँ हमेशा एक बिंदु इस तथ्य से अनुसरण करता है कि कोई खुला पड़ोस नहीं है <math>x</math> में शामिल है <math>V</math> (क्योंकि धारणा से, <math>V</math> का पड़ोस नहीं है <math>x</math>).
हम नेट <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> का निर्माण करते हैं जैसे कि <math>x</math> के प्रत्येक विवृत प्रतिवेश के लिए जिसका सूचकांक <math>a,</math> <math>x_a</math> है इस प्रतिवेश में बिंदु है जो <math>V</math> में नहीं है कि हमेशा ऐसा बिंदु इस तथ्य से होता है कि <math>x</math> का कोई विवृत प्रतिवेश <math>V</math> (क्योंकि धारणा से, <math>V</math>, <math>x</math> का प्रतिवेश नहीं है) में सम्मिलित नहीं है। यह इस प्रकार है कि <math>f\left(x_a\right)</math> <math>U</math> में नहीं है।
यह इस प्रकार है कि <math>f\left(x_a\right)</math> इसमें नहीं है <math>U.</math>
अब, प्रत्येक खुले पड़ोस के लिए <math>W</math> का <math>x,</math> यह पड़ोस उस निर्देशित सेट का सदस्य है जिसका सूचकांक हम निरूपित करते हैं <math>a_0.</math> हरएक के लिए <math>b \geq a_0,</math> निर्देशित सेट का सदस्य जिसका सूचकांक है <math>b</math> के भीतर निहित है <math>W</math>; इसलिए <math>x_b \in W.</math> इस प्रकार <math>\lim_{} x_\bull \to x.</math> और हमारी धारणा से <math>\lim_{} \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A} \to f(x).</math>
लेकिन <math>\operatorname{int} U</math> का खुला पड़ोस है <math>f(x)</math> और इस तरह <math>f\left(x_a\right)</math> अंत में है <math>\operatorname{int} U</math> और इसलिए में भी <math>U,</math> के विपरीत <math>f\left(x_a\right)</math> में नहीं होना <math>U</math> हरएक के लिए <math>a.</math>
यह एक विरोधाभास है <math>f</math> पर निरंतर होना चाहिए <math>x.</math> यह प्रमाण को पूरा करता है।
{{collapse bottom}}


सघनता
अब, <math>x</math> के प्रत्येक विवृत प्रतिवेश <math>W</math> के लिए, यह प्रतिवेश उस निर्देशित समुच्चय का सदस्य है जिसका सूचकांक हम <math>a_0</math> को निरूपित करते हैं। प्रत्येक <math>b \geq a_0,</math> के लिए, निर्देशित समुच्चय का सदस्य जिसकी अनुक्रमणिका <math>b</math> है, <math>W</math> में निहित है इसलिए <math>x_b \in W</math>। इस प्रकार <math>\lim_{} x_\bull \to x</math>। और हमारे अनुमान से <math>\lim_{} \left(f\left(x_a\right)\right)_{a \in A} \to f(x)</math> है। लेकिन <math>\operatorname{int} U</math>  <math>f(x)</math> का एक विवृत प्रतिवेश है और इस प्रकार <math>f\left(x_a\right)</math> अंततः <math>\operatorname{int} U</math> में है और इसलिए <math>U,</math> में भी है, <math>f\left(x_a\right)</math> के विपरीत प्रत्येक <math>a</math> के लिए <math>U</math> में नहीं है। यह एक विरोधाभास है इसलिए <math>f</math> को <math>x</math> पर सतत होना चाहिए। यह प्रमाण को पूरा करता है।{{collapse bottom}}


एक स्थान <math>X</math> [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] है अगर और केवल अगर हर नेट <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> में <math>X</math> में एक सीमा के साथ एक सबनेट है <math>X.</math> इसे बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय और हेइन-बोरेल प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
==== सघनता ====
स्थान <math>X</math> [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन]] है यदि और केवल अगर <math>X</math> में प्रत्येक नेट <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> में <math>X</math> में सीमा के साथ सबनेट है। इसे बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय और हेइन-बोरेल प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।


{{collapse top|title=Proof|left=true}}
{{collapse top|title=Proof|left=true}}
(<math>\implies</math>)
(<math>\implies</math>)
सबसे पहले, मान लीजिए <math>X</math> कॉम्पैक्ट है। हमें निम्नलिखित अवलोकन की आवश्यकता होगी (परिमित चौराहे की संपत्ति देखें)। होने देना <math>I</math> कोई भी गैर-खाली सेट हो और <math>\left\{C_i\right\}_{i \in I}</math> के बंद उपसमुच्चय का संग्रह हो <math>X</math> ऐसा है कि <math>\bigcap_{i \in J} C_i \neq \varnothing</math> प्रत्येक परिमित के लिए <math>J \subseteq I.</math> तब <math>\bigcap_{i \in I} C_i \neq \varnothing</math> भी। अन्यथा, <math>\left\{C_i^c\right\}_{i \in I}</math> के लिए एक खुला आवरण होगा <math>X</math> की सघनता के विपरीत कोई परिमित उपकवर नहीं है <math>X.</math>
पहले, मान लीजिए कि <math>X</math> सघन है। हमें निम्नलिखित अवलोकन (परिमित प्रतिच्छेदन गुण देखें) की आवश्यकता होगी। माना <math>I</math> कोई अरिक्त समुच्चय है और <math>\left\{C_i\right\}_{i \in I}</math> <math>X</math> के संवृत्त उपसमुच्चय का संग्रह हो जैसे कि प्रत्येक परिमित <math>J \subseteq I</math> के लिए <math>\bigcap_{i \in J} C_i \neq \varnothing</math>। फिर <math>\bigcap_{i \in I} C_i \neq \varnothing</math> भी। अन्यथा <math>\left\{C_i^c\right\}_{i \in I}</math> <math>X</math> के लिए विवृत आवरण होगा, जिसमें <math>X</math> की सघनता के विपरीत कोई परिमित उपआवरण नहीं होगा।
होने देना <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> में एक जाल हो <math>X</math> निर्देशक <math>A.</math> हरएक के लिए <math>a \in A</math> परिभाषित करना
 
माना <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> द्वारा निर्देशित <math>X</math> में <math>A</math> नेट है। प्रत्येक <math>a \in A</math> के लिए परिभाषित करें।
<math display=block>E_a \triangleq \left\{x_b : b \geq a\right\}.</math>
<math display=block>E_a \triangleq \left\{x_b : b \geq a\right\}.</math>
संग्रह <math>\{\operatorname{cl}\left(E_a\right) : a \in A\}</math> संपत्ति है कि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह में गैर-रिक्त चौराहा है। इस प्रकार, ऊपर की टिप्पणी से, हमारे पास वह है
 
संग्रह <math>\{\operatorname{cl}\left(E_a\right) : a \in A\}</math> में गुण है कि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह में अरिक्त प्रतिच्छेदन होता है। इस प्रकार, ऊपर की टिप्पणी के द्वारा, हमारे पास वह है
<math display=block>\bigcap_{a \in A} \operatorname{cl} E_a \neq \varnothing</math>
<math display=block>\bigcap_{a \in A} \operatorname{cl} E_a \neq \varnothing</math>
और यह सटीक रूप से क्लस्टर बिंदुओं का सेट है <math>x_\bull.</math> अगले खंड में दिए गए सबूत से, यह अभिसरण सबनेट की सीमाओं के सेट के बराबर है <math>x_\bull.</math> इस प्रकार <math>x_\bull</math> एक अभिसारी सबनेट है।
और यह निश्चित रूप से <math>x_\bull</math> के क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय है। अगले खंड में दिए गए प्रमाण से, यह <math>x_\bull</math> के अभिसारी सबनेट की सीमाओं के समुच्चय के बराबर है। इस प्रकार <math>x_\bull</math> में अभिसारी सबनेट है।


(<math>\Longleftarrow</math>)
(<math>\Longleftarrow</math>) इसके विपरीत, मान लीजिए कि <math>X</math> में प्रत्येक नेट में अभिसारी सबनेट है। अंतर्विरोध के लिए, माना <math>\left\{U_i : i \in I\right\}</math> बिना किसी परिमित उप आवरण के <math>X</math> का विवृत आवरण हो। <math>D \triangleq \{J \subset I : |J| < \infty\}</math> पर विचार करें। निरीक्षण करें कि <math>D</math> समावेशन के तहत निर्देशित समुच्चय है और प्रत्येक <math>C\in D,</math> के लिए <math>x_C \in X</math> उपस्थित है जैसे कि सभी <math>a \in C</math> के लिए <math>x_C \notin U_a</math>नेट <math>\left(x_C\right)_{C \in D}</math> पर विचार करें। इस नेट में अभिसारी सबनेट नहीं हो सकता है, क्योंकि प्रत्येक <math>x \in X</math> के लिए <math>c \in I</math> उपस्थित है जैसे कि <math>U_c</math>, <math>x</math> का प्रतिवेश है हालाँकि, सभी <math>B \supseteq \{c\},</math> के लिए हमारे पास वह <math>x_B \notin U_c</math> है। यह विरोधाभास है और प्रमाण को पूरा करता है।{{collapse bottom}}
इसके विपरीत, मान लीजिए कि प्रत्येक नेट इन <math>X</math> एक अभिसारी सबनेट है। विरोधाभास के लिए, चलो <math>\left\{U_i : i \in I\right\}</math> का खुला आवरण हो <math>X</math> बिना किसी परिमित उपकवर के। विचार करना <math>D \triangleq \{J \subset I : |J| < \infty\}.</math> उसका अवलोकन करो <math>D</math> समावेशन के तहत और प्रत्येक के लिए एक निर्देशित सेट है <math>C\in D,</math> वहाँ मौजूद है <math>x_C \in X</math> ऐसा है कि <math>x_C \notin U_a</math> सभी के लिए <math>a \in C.</math> नेट पर विचार करें <math>\left(x_C\right)_{C \in D}.</math> इस नेट में अभिसारी सबनेट नहीं हो सकता, क्योंकि प्रत्येक के लिए <math>x \in X</math> वहां मौजूद <math>c \in I</math> ऐसा है कि <math>U_c</math> का पड़ोस है <math>x</math>; हालाँकि, सभी के लिए <math>B \supseteq \{c\},</math> हमारे पास वह है <math>x_B \notin U_c.</math> यह एक विरोधाभास है और प्रमाण को पूरा करता है।
{{collapse bottom}}


=== क्लस्टर और सीमा बिंदु ===
=== क्लस्टर और सीमा बिंदु ===


किसी नेट के क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय उसके अभिसारी सबनेट (गणित) की सीमाओं के समुच्चय के बराबर होता है।
किसी नेट के क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय उसके अभिसारी सबनेट की सीमाओं के समुच्चय के बराबर होता है।


{{collapse top|title=Proof|left=true}}
{{collapse top|title=Proof|left=true}}
होने देना <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस में नेट बनें <math>X</math> (जहां हमेशा की तरह <math>A</math> स्वचालित रूप से एक निर्देशित सेट माना जाता है) और जाने भी <math>y \in X.</math> अगर <math>y</math> के सबनेट की एक सीमा है <math>x_\bull</math> तब <math>y</math> का समूह बिन्दु है <math>x_\bull.</math>
माना <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> एक सांस्थितिक अंतराल <math>X</math> में नेट हो (जहां सामान्य रूप से <math>A</math> स्वचालित रूप से निर्देशित समुच्चय माना जाता है) और माना <math>y \in X</math> भी। यदि <math>y</math <math>x_\bull</math> के सबनेट की सीमा है तो <math>y</math> <math>x_\bull</math> का क्लस्टर बिंदु है।
इसके विपरीत मान लीजिए <math>y</math> का समूह बिन्दु है <math>x_\bull.</math>
इसके विपरीत, मान लें कि <math>y</math> <math>x_\bull</math> का क्लस्टर बिंदु है। माना <math>B</math> युग्मों <math>(U, a)</math> का समुच्चय है। जहाँ <math>U</math>, <math>X</math> में <math>y</math> का विवृत प्रतिवेश है और <math>a \in A</math> ऐसा है कि <math>x_a \in U</math>। मानचित्र <math>h : B \to A</math> मानचित्रण <math>(U, a)</math> से <math>a</math> तब अंतिम है। इसके अलावा, <math>B</math> को गुणनफल क्रम (<math>y</math> के प्रतिवेश समावेशन द्वारा क्रमित है) इसे एक निर्देशित समुच्चय बनाता है, और <math>\left(y_b\right)_{b \in B}</math> द्वारा परिभाषित नेट <math>y_b = x_{h(b)}</math> <math>y</math> में अभिसरण करता है।{{collapse bottom}}
होने देना <math>B</math> जोड़े का सेट हो <math>(U, a)</math> कहाँ <math>U</math> का खुला पड़ोस है <math>y</math> में <math>X</math> और <math>a \in A</math> इस प्रकार कि <math>x_a \in U.</math>
वो नक्शा <math>h : B \to A</math> मानचित्रण <math>(U, a)</math> को <math>a</math> तो अंतिम है।
इसके अलावा दे रहा है <math>B</math> [[उत्पाद क्रम]] (के पड़ोस <math>y</math> समावेशन द्वारा आदेश दिया जाता है) इसे एक निर्देशित सेट बनाता है, और net <math>\left(y_b\right)_{b \in B}</math> द्वारा परिभाषित <math>y_b = x_{h(b)}</math> में विलीन हो जाता है <math>y.</math>
{{collapse bottom}}


एक नेट की एक सीमा होती है यदि और केवल यदि उसके सभी सबनेट की सीमाएँ हों। ऐसे में नेट की हर सीमा हर सबनेट की भी एक सीमा होती है।
नेट की एक सीमा होती है यदि और केवल यदि उसके सभी सबनेट की सीमाएँ हों। ऐसे में नेट की प्रत्येक सीमा प्रत्येक सबनेट की भी सीमा होती है।


=== अन्य गुण ===
=== अन्य गुण ===


सामान्य तौर पर, एक अंतरिक्ष में एक जाल <math>X</math> एक से अधिक सीमा हो सकती है, लेकिन यदि <math>X</math> हॉसडॉर्फ स्पेस है, तो नेट की सीमा, यदि यह मौजूद है, अद्वितीय है। इसके विपरीत यदि <math>X</math> हॉसडॉर्फ नहीं है, तो वहां एक नेट मौजूद है <math>X</math> दो अलग-अलग सीमाओं के साथ। इस प्रकार सीमा की विशिष्टता है {{em|equivalent}} अंतरिक्ष पर हॉसडॉर्फ स्थिति के लिए, और वास्तव में इसे परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। यह परिणाम दिशात्मकता की स्थिति पर निर्भर करता है; एक सामान्य प्रीऑर्डर या आंशिक ऑर्डर द्वारा अनुक्रमित एक सेट में हौसडॉर्फ स्पेस में भी अलग सीमा बिंदु हो सकते हैं।
सामान्य तौर पर, स्थान <math>X</math> में नेट की एक से अधिक सीमा हो सकती है, लेकिन यदि <math>X</math> हॉउसडॉर्फ स्थान है, तो नेट की सीमा, यदि उपस्थित है, अद्वितीय है। इसके विपरीत, यदि <math>X</math> हॉसडॉर्फ नहीं है, तो <math>X</math> पर दो अलग-अलग सीमाओं के साथ नेट उपस्थित है। इस प्रकार सीमा की विशिष्टता स्थान पर हॉसडॉर्फ की स्थिति के बराबर है, और वास्तव में इसे परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। यह परिणाम निर्देशन की स्थिति पर निर्भर करता है; एक सामान्य पूर्वक्रम या आंशिक क्रम द्वारा अनुक्रमित समुच्चय में हौसडॉर्फ स्थान में भी विशिष्ट सीमा बिंदु हो सकते हैं।


== कॉची नेट्स ==
== कॉची नेट्स ==


एक कॉची नेट एकसमान स्थानों पर परिभाषित नेट के लिए [[कॉची अनुक्रम]] की धारणा को सामान्यीकृत करता है।<ref name="willard">{{citation|title=General Topology|series=Dover Books on Mathematics|first=Stephen|last=Willard|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486131788|page=260|url=https://books.google.com/books?id=UrsHbOjiR8QC&pg=PA26}}.</ref>
कॉची नेट एकसमान स्थानों पर परिभाषित नेट के लिए [[कॉची अनुक्रम]] की धारणा को सामान्यीकृत करता है।<ref name="willard">{{citation|title=General Topology|series=Dover Books on Mathematics|first=Stephen|last=Willard|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486131788|page=260|url=https://books.google.com/books?id=UrsHbOjiR8QC&pg=PA26}}.</ref>  
एक शुद्ध <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> एक है {{em|{{visible anchor|Cauchy net}}}} यदि प्रत्येक [[प्रतिवेश (गणित)]] के लिए <math>V</math> वहां मौजूद <math>c \in A</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>a, b \geq c,</math> <math>\left(x_a, x_b\right)</math> का सदस्य है <math>V.</math><ref name="willard"/><ref>{{citation|title=Introduction to General Topology|first=K. D.|last=Joshi|publisher=New Age International|year=1983|isbn=9780852264447|page=356|url=https://books.google.com/books?id=fvCpXrube5wC&pg=PA356}}.</ref> अधिक आम तौर पर, [[कॉची स्पेस]] में, एक नेट <math>x_\bull</math> कॉची है अगर नेट द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर [[कॉची फिल्टर]] है।


एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] (टीवीएस) कहा जाता है {{em|[[Complete topological vector space|complete]]}} अगर हर कॉची नेट किसी बिंदु पर अभिसरण करता है। एक आदर्श स्थान, जो एक विशेष प्रकार का टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है, एक पूर्ण टीवीएस (समतुल्य रूप से, एक [[बनच स्थान]]) है यदि और केवल अगर प्रत्येक कॉची अनुक्रम किसी बिंदु पर अभिसरण करता है (एक संपत्ति जिसे कहा जाता है {{em|sequential completeness}}). हालांकि कॉची जालों को मानक स्थानों की पूर्णता का वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है, उन्हें अधिक सामान्य (संभवतः गैर-[[सामान्य स्थान]]) टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान की पूर्णता का वर्णन करने की आवश्यकता है।
नेट <math>x_\bull = \left(x_a\right)_{a \in A}</math> कॉची नेट है यदि प्रत्येक [[प्रतिवेश (गणित)|प्रतिवेश]] <math>V</math> के लिए <math>c \in A</math> उपस्थित है जैसे कि सभी <math>a, b \geq c,</math> <math>\left(x_a, x_b\right)</math> के लिए <math>V</math> का सदस्य है।<ref name="willard" /><ref>{{citation|title=Introduction to General Topology|first=K. D.|last=Joshi|publisher=New Age International|year=1983|isbn=9780852264447|page=356|url=https://books.google.com/books?id=fvCpXrube5wC&pg=PA356}}.</ref> अधिक प्रायः, [[कॉची स्पेस|कॉची स्थान]] में, नेट <math>x_\bull</math> कॉची होता है यदि नेट द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर [[कॉची फिल्टर|कॉची फ़िल्टर]] है।
 
[[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश स्थान]] (टीवीएस) को {{em|[[Complete topological vector space|पूर्ण]]}} कहा जाता है यदि प्रत्येक कॉची नेट किसी बिंदु पर अभिसरण करता है। आदर्श स्थान, जो एक विशेष प्रकार का सांस्थितिक सदिश स्थान है, पूर्ण टीवीएस (समतुल्य रूप से, [[बनच स्थान]]) है यदि और केवल अगर प्रत्येक कॉची अनुक्रम किसी बिंदु (एक गुण जिसे अनुक्रमिक पूर्णता कहा जाता है) पर अभिसरण करता है। हालांकि कॉची नेट्स की आवश्यकता मानक स्थानों की पूर्णता का वर्णन करने के लिए नहीं है, उन्हें अधिक सामान्य (संभवतः गैर-[[सामान्य स्थान|सामान्य]]) सांस्थितिक सदिश स्थानों की पूर्णता का वर्णन करने की आवश्यकता है।


== फिल्टर से संबंध ==
== फिल्टर से संबंध ==
{{See also|Filters in topology#Filters and nets}}
{{See also|सांस्थितिकी में फ़िल्टर § फ़िल्टर और नेट}}


एक फ़िल्टर (गणित) टोपोलॉजी में एक और विचार है जो सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में अभिसरण के लिए सामान्य परिभाषा की अनुमति देता है। दो विचार इस अर्थ में समतुल्य हैं कि वे अभिसरण की समान अवधारणा देते हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.math.wichita.edu/~pparker/classes/handout/netfilt.pdf|title=संग्रहीत प्रति|access-date=2013-01-15|archive-date=2015-04-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20150424204738/http://www.math.wichita.edu/~pparker/classes/handout/netfilt.pdf|url-status=dead }}</ref> अधिक विशेष रूप से, प्रत्येक फ़िल्टर आधार के लिए a {{em|associated net}} का निर्माण किया जा सकता है, और फिल्टर बेस के अभिसरण का तात्पर्य संबंधित नेट के अभिसरण से है - और इसके विपरीत (प्रत्येक नेट के लिए एक फिल्टर बेस है, और नेट के अभिसरण का तात्पर्य फिल्टर बेस के अभिसरण से है)।<ref name="Bartle">R. G. Bartle, Nets and Filters In Topology, American Mathematical Monthly, Vol. 62, No. 8 (1955), pp. 551–557.</ref> उदाहरण के लिए, कोई भी net <math>\left(x_a\right)_{a \in A}</math> में <math>X</math> पूंछ के एक फिल्टर बेस को प्रेरित करता है <math>\left\{\left\{x_a : a \in A, a_0 \leq a\right\} : a_0 \in A\right\}</math> जहां फ़िल्टर अंदर है <math>X</math> इस फ़िल्टर बेस द्वारा उत्पन्न को नेट कहा जाता है {{em|eventuality filter}}. यह पत्राचार किसी भी प्रमेय के लिए अनुमति देता है जिसे एक अवधारणा के साथ दूसरे के साथ सिद्ध किया जा सकता है।<ref name="Bartle" />उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल स्पेस से दूसरे तक किसी फ़ंक्शन की निरंतरता को या तो डोमेन में नेट के अभिसरण द्वारा विशेषता दी जा सकती है, जो कोडोमेन में संबंधित नेट के अभिसरण को दर्शाता है, या फ़िल्टर बेस के साथ एक ही कथन द्वारा।
फ़िल्टर टोपोलॉजी में एक और विचार है जो सामान्य सांस्थितिक स्थान में अभिसरण के लिए सामान्य परिभाषा की अनुमति देता है। दो विचार इस अर्थ में समतुल्य हैं कि वे अभिसरण की समान अवधारणा देते हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.math.wichita.edu/~pparker/classes/handout/netfilt.pdf|title=संग्रहीत प्रति|access-date=2013-01-15|archive-date=2015-04-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20150424204738/http://www.math.wichita.edu/~pparker/classes/handout/netfilt.pdf|url-status=dead }}</ref> अधिक विशेष रूप से, प्रत्येक फ़िल्टर आधार के लिए एक संबद्ध जाल का निर्माण किया जा सकता है, और फिल्टर आधार के अभिसरण का तात्पर्य संबंधित नेट के अभिसरण से है - और इसके विपरीत (प्रत्येक नेट के लिए फिल्टर आधार है, और नेट के अभिसरण का तात्पर्य फिल्टर आधार के अभिसरण से है)।<ref name="Bartle">R. G. Bartle, Nets and Filters In Topology, American Mathematical Monthly, Vol. 62, No. 8 (1955), pp. 551–557.</ref> उदाहरण के लिए, <math>X</math> में कोई भी नेट <math>\left(x_a\right)_{a \in A}</math> पश्चभाग <math>\left\{\left\{x_a : a \in A, a_0 \leq a\right\} : a_0 \in A\right\}</math> के फ़िल्टर आधार को प्रेरित करता है जहां इस फ़िल्टर आधार द्वारा उत्पन्न <math>X</math> में फ़िल्टर को नेट की घटना फ़िल्टर कहा जाता है। यह समतुल्यता किसी भी प्रमेय के लिए अनुमति देती है जिसे एक अवधारणा के साथ दूसरे के साथ सिद्ध किया जा सकता है।<ref name="Bartle" /> उदाहरण के लिए, एक सांस्थितिक स्थान से दूसरे तक किसी फलन की सातत्य को या तो क्षेत्र में नेट के अभिसरण द्वारा विशेषता दी जा सकती है, जो सहक्षेत्र में संबंधित नेट के अभिसरण को दर्शाता है, या फ़िल्टर आधार के साथ एक ही कथन द्वारा।  


रॉबर्ट जी। बार्टले का तर्क है कि उनकी समानता के बावजूद, दोनों अवधारणाओं का होना उपयोगी है।<ref name="Bartle" />उनका तर्क है कि अनुक्रमों के सादृश्य में प्राकृतिक प्रमाण और परिभाषाएँ बनाने के लिए जाल पर्याप्त हैं, विशेष रूप से अनुक्रमिक तत्वों का उपयोग करने वाले, जैसे कि [[विश्लेषण]] में सामान्य है, जबकि बीजगणितीय टोपोलॉजी में फ़िल्टर सबसे अधिक उपयोगी हैं। किसी भी मामले में, वह दिखाता है कि सामान्य टोपोलॉजी में विभिन्न प्रमेयों को साबित करने के लिए संयोजन में दोनों का उपयोग कैसे किया जा सकता है।
रॉबर्ट जी. बार्टले का तर्क है कि उनकी समानता के बावजूद, दोनों अवधारणाओं का होना उपयोगी है।<ref name="Bartle" /> उनका तर्क है कि अनुक्रमों के सादृश्य में प्राकृतिक प्रमाण और परिभाषाएँ बनाने के लिए नेट पर्याप्त हैं, विशेष रूप से अनुक्रमिक तत्वों का उपयोग करने वाले, जैसे कि [[विश्लेषण]] में सामान्य है, जबकि बीजगणितीय सांस्थितिकी में फ़िल्टर सबसे अधिक उपयोगी हैं। किसी भी स्थिति में, वह दिखाता है कि सामान्य सांस्थितिकी में विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए संयोजन में दोनों का उपयोग कैसे किया जा सकता है।


== [[सीमा श्रेष्ठ]] ==
== [[सीमा श्रेष्ठ]] ==


वास्तविक संख्याओं के जाल की सीमा श्रेष्ठ और सीमा अवर को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे अनुक्रमों के लिए।<ref>Aliprantis-Border, p. 32</ref><ref>Megginson, p. 217, p. 221, Exercises 2.53–2.55</ref><ref>Beer, p. 2</ref> कुछ लेखक वास्तविक रेखा की तुलना में अधिक सामान्य संरचनाओं के साथ भी काम करते हैं, जैसे पूर्ण जाली।<ref>Schechter, Sections 7.43–7.47</ref>
वास्तविक संख्याओं के नेट की सीमा श्रेष्ठ और सीमा श्रेष्ठ को अनुक्रमों के समान ही परिभाषित किया जा सकता है।<ref>Aliprantis-Border, p. 32</ref><ref>Megginson, p. 217, p. 221, Exercises 2.53–2.55</ref><ref>Beer, p. 2</ref> कुछ लेखक वास्तविक रेखा की तुलना में अधिक सामान्य संरचनाओं के साथ भी काम करते हैं, जैसे पूर्ण नेट।<ref>Schechter, Sections 7.43–7.47</ref>
एक जाल के लिए <math>\left(x_a\right)_{a \in A},</math> रखना
 
<math display=block>\limsup x_a = \lim_{a \in A} \sup_{b \succeq a} x_b = \inf_{a \in A} \sup_{b \succeq a} x_b.</math>
नेट <math>\left(x_a\right)_{a \in A}</math> के लिए, रखें<math display="block">\limsup x_a = \lim_{a \in A} \sup_{b \succeq a} x_b = \inf_{a \in A} \sup_{b \succeq a} x_b.</math>वास्तविक संख्याओं के नेट की सीमा श्रेष्ठता में अनुक्रमों की स्थिति के अनुरूप कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए,<math display="block">\limsup (x_a + y_a) \leq \limsup x_a + \limsup y_a,</math>जहां जब भी नेट्स में से कोई अभिसरण होता है तो समानता धारण करती है।
वास्तविक संख्याओं के जाल की सीमा श्रेष्ठता में अनुक्रमों के मामले के अनुरूप कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए,
<math display=block>\limsup (x_a + y_a) \leq \limsup x_a + \limsup y_a,</math>
जहां जब भी जालों में से कोई एक अभिसरण होता है तो समानता धारण करती है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* {{annotated link|Characterizations of the category of topological spaces}}
* {{annotated link|सांस्थितिक अंतराल की श्रेणी की विशेषताएँ}}
* {{annotated link|Filter (set theory)}}
* {{annotated link|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) - "बड़े" समुच्चय का प्रतिनिधित्व करने वाले समुच्चय का समूह}}
* {{annotated link|Filters in topology}}
* {{annotated link|सांस्थितिकी में फिल्टर - सभी मूलभूत सांस्थितिक धारणाओं और परिणामों का वर्णन करने और उन्हें चिह्नित करने के लिए फिल्टर का उपयोग।}}
* {{annotated link|Preorder}}
* {{annotated link|पूर्वक्रम - बाध्य और संक्रामक बाइनरी संबंध}}
* {{annotated link|Sequential space}}
* {{annotated link|अनुक्रमिक स्थान - सांस्थितिक अंतराल अनुक्रमों द्वारा विशेषता }}
* {{annotated link|Ultrafilter (set theory)}}
* {{annotated link|अल्ट्राफिल्टर (समुच्चय सिद्धांत) - अधिकतम उचित फिल्टर}}


==उद्धरण==
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==संदर्भ==
==संदर्भ==


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* {{cite book|last=Beer|first=Gerald|title=Topologies on closed and closed convex sets|series=Mathematics and its Applications 268|publisher=Kluwer Academic Publishers Group|location=Dordrecht|year=1993|isbn=0-7923-2531-1|pages=xii,340
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* {{cite book|last=Schechter|first=Eric|author-link=Eric Schechter|title=Handbook of Analysis and Its Foundations|publisher=Academic Press|location=San Diego|year=1997|isbn=9780080532998|url=http://store.elsevier.com/product.jsp?isbn=9780080532998&pagename=search|access-date=22 June 2013}}
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* {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}} <!--{{sfn|Schechter|1996|p=}}-->
* {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}}
* {{Willard General Topology}} <!--{{sfn|Willard|2004|p=}}-->
* {{Willard General Topology}}  
[[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: सामान्य टोपोलॉजी]]  
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Latest revision as of 07:41, 8 August 2023

गणित में, विशेष रूप से सामान्य सांस्थितिकी और संबंधित शाखाओं में, नेट या मूर-स्मिथ अनुक्रम अनुक्रम की धारणा का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, अनुक्रम एक ऐसा फलन है जिसका क्षेत्र प्राकृतिक संख्याएं हैं। इस फलन का सहक्षेत्र प्रायः कुछ सांस्थितिक स्थान होता है।

अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए प्रेरणा यह है कि, सांस्थितिकी के संदर्भ में, अनुक्रम सांस्थितिक स्थान के बीच फलनों के बारे में सभी सूचनाओं को पूरी तरह से एन्कोड नहीं करते हैं। विशेष रूप से, निम्नलिखित दो स्थितियाँ, सामान्य रूप से, सांस्थितिक स्थान और के बीच के मानचित्र के समतुल्य नहीं हैं-

  1. मानचित्र सांस्थितिक अर्थों में सतत है
  2. किसी भी बिंदु में, और में किसी भी अनुक्रम को में परिवर्तित करने के लिए, इस अनुक्रम के साथ की संरचना (अनुक्रमिक अर्थ में सतत) में परिवर्तित हो जाती है।

जबकि शर्त 1 हमेशा शर्त 2 की गारंटी देती है, यदि सांस्थितिक स्थान दोनों प्रथम-गणनीय नहीं हैं, तो इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। विशेष रूप से, दो शर्तें मेट्रिक स्थानों के लिए समान हैं। वे स्थान जिनके लिए व्युत्क्रम धारण करती है अनुक्रमिक स्थान हैं।

नेट की अवधारणा, प्रथम बार 1922 में ई. एच. मूर और हरमन एल. स्मिथ द्वारा पेश की गई थी,[1] जो अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए है। ताकि उपरोक्त शर्तें ("अनुक्रम" को शर्त 2 में "नेट" द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है) वास्तव में सांस्थितिक स्थान के सभी मानचित्रों के बराबर हैं। विशेष रूप से, गणनीय रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय पर परिभाषित होने के स्थान पर, नेट को मनमाने ढंग से निर्देशित समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है। यह प्रमेय के समान प्रमेय की अनुमति देता है कि उपरोक्त शर्त 1 और 2 सांस्थितिक स्थान के संदर्भ में धारण करने के बराबर हैं, जो जरूरी नहीं कि एक बिंदु के आसपास गणनीय या रैखिक रूप से क्रमित प्रतिवेश आधार हो। इसलिए, जबकि अनुक्रम सांस्थितिक स्थान के बीच फलनों के बारे में पर्याप्त जानकारी को एनकोड नहीं करते हैं, नेट करते हैं, क्योंकि सांस्थितिक स्थान में विवृत समुच्चय का संग्रह व्यवहार में निर्देशित समुच्चय की तरह होता है। "नेट" शब्द जॉन एल. केली द्वारा दिया गया था।[2][3]

नेट सांस्थितिकी में उपयोग किए जाने वाले कई उपकरणों में से एक हैं, जो कुछ अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो मेट्रिक स्थानों के संदर्भ में पर्याप्त सामान्य नहीं हो सकते हैं। संबंधित धारणा, फ़िल्टर की, 1937 में हेनरी कार्टन द्वारा विकसित की गई थी।

परिभाषाएँ

कोई भी फलन जिसका क्षेत्र निर्देशित समुच्चय है, उसे नेट कहा जाता है। यदि यह फलन किसी समुच्चय में मान लेता है तो इसे में नेट के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है।

स्पष्ट रूप से, में नेट के रूप का फलन है जहां कुछ निर्देशित समुच्चय है। नेट के क्षेत्र के अल्पांशों को इसका सूचकांक कहा जाता है। एक निर्देशित समुच्चय अरिक्त समुच्चय है जो पूर्वक्रम के साथ होता है, प्रायः स्वचालित रूप से (जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है) द्वारा दर्शाया जाता है, गुण के साथ यह भी (ऊपर की ओर) निर्देशित होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी के लिए कुछ का अस्तित्व है जैसे कि और । शब्दों में, इस गुण का अर्थ है कि किसी भी दो अल्पांशों () के दिए जाने पर, सदैव कुछ ऐसा अल्पांश होता है जो दोनों के "ऊपर" होता है (अर्थात, उनमें से प्रत्येक से अधिक या उसके बराबर) इस तरह, निर्देशित समुच्चय गणितीय रूप से परिशुद्ध तरीके से "एक दिशा" की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं। प्राकृतिक संख्या सामान्य पूर्णांक तुलना पूर्वक्रम के साथ मिलकर निर्देशित समुच्चय का आदर्श उदाहरण बनाती हैं। वास्तव में, नेट जिसका क्षेत्र प्राकृतिक संख्या है, एक अनुक्रम है क्योंकि परिभाषा के अनुसार, में अनुक्रम से में केवल एक फलन है। यह इस प्रकार है कि नेट्स अनुक्रमों का सामान्यीकरण है। महत्वपूर्ण रूप से, हालांकि, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, निर्देशित समुच्चयों को कुल क्रम या आंशिक क्रम होने की आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, निर्देशित समुच्चय में सबसे बड़े अल्पांश और/या अधिकतम अल्पांश होने की अनुमति है, यही कारण है कि नेट का उपयोग करते समय, प्रेरित विशुद्ध पूर्वक्रम के स्थान पर मूल (अविशुद्ध) पर्वक्रम , विशेष रूप से, यदि निर्देशित समुच्चय, में सबसे बड़ा अल्पांश है तो कोई भी उपस्थित नहीं है, जैसे कि (इसके विपरीत, वहाँ सदैव कुछ उपस्थित हैं जैसे कि

नेट को प्रायः अंकन का उपयोग करके निरूपित किया जाता है जो अनुक्रमों के साथ उपयोग किए जाने वाले (और प्रेरित) के समान होता है। में नेट को द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां अन्यथा सोचने का कोई कारण नहीं है, यह स्वचालित रूप से माना जाना चाहिए कि समुच्चय निर्देशित है और इससे संबंधित पूर्वक्रम को द्वारा दर्शाया जाता है। हालाँकि, नेट के लिए अंकन कुछ लेखकों के साथ भिन्न होता है, उदाहरण के लिए, कोष्ठक के स्थान पर कोण वाले कोष्ठक का उपयोग करते हैं। में नेट को के रूप में भी लिखा जा सकता है, जो इस तथ्य को व्यक्त करता है कि यह नेट एक फलन है, जिसका मान इसके क्षेत्र में तत्व पर द्वारा दर्शाया जाता है, बजाय सामान्य कोष्ठक संकेतन के जिसका प्रायः उपयोग किया जाता है फलनों के साथ (यह पादांक नोटेशन अनुक्रमों से लिया जा रहा है)। जैसे कि बीजगणितीय सांस्थितिकी के क्षेत्र में, भरी हुई डिस्क या "बुलेट" उस स्थान को दर्शाती है जहां नेट के लिए तर्क (अर्थात, नेट के क्षेत्र के अल्पांश ) रखे गए हैं यह महत्त्व देने में सहायता करता है कि नेट एक फलन है और उन सूचकांक और अन्य प्रतीकों की संख्या को भी कम करता है जिन्हें बाद में संदर्भित करते समय लिखा जाना चाहिए।

नेट मुख्य रूप से विश्लेषण और सांस्थितिकी के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं, जहां उनका उपयोग कई महत्वपूर्ण सांस्थितिक गुणों को चित्रित करने के लिए किया जाता है, जो (सामान्य रूप से), अनुक्रमों को चिह्नित (अनुक्रमों की यह कमी अनुक्रमिक स्थान और फ्रेचेट-उरीसोन स्थान के अध्ययन को प्रेरित करती है) करने में असमर्थ हैं। नेट फिल्टर से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं, जिनका उपयोग प्रायः सांस्थितिकी में भी किया जाता है। प्रत्येक नेट फिल्टर से जुड़ा हो सकता है और प्रत्येक फिल्टर नेट से जुड़ा हो सकता है, जहां इन संबद्ध वस्तुओं के गुणों को एक साथ जोड़ा जाता है (अधिक विवरण के लिए सांस्थितिकी में फिल्टर के बारे में लेख देखें)। नेट प्रत्यक्ष रूप से अनुक्रमों का सामान्यीकरण करते हैं और वे प्रायः अनुक्रमों के समान ही उपयोग किए जा सकते हैं। नतीजतन, नेट का उपयोग करने के लिए सीखने की अवस्था प्रायः फिल्टर की तुलना में बहुत कम होती है, यही वजह है कि कई गणितज्ञ, विशेष रूप से विश्लेषक, उन्हें फिल्टर पर पसंद करते हैं। हालांकि, फिल्टर, और विशेष रूप से अल्ट्राफिल्टर, नेट पर कुछ महत्वपूर्ण तकनीकी लाभ हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंततः विश्लेषण और सांस्थितिकी के क्षेत्र के बाहर फिल्टर की तुलना में नेट का सामना बहुत कम होता है।

सबनेट केवल के निर्देशित उपसमुच्चय के लिए नेट का प्रतिबंध नहीं है, परिभाषा के लिए लिंक किए गए पृष्ठ को देखें।

नेट के उदाहरण

प्रत्येक अरिक्त पूर्णतः क्रमित समुच्चय को निर्देशित किया जाता है। इसलिए, ऐसे समुच्चय का प्रत्येक फलन एक नेट होता है। विशेष रूप से, सामान्य क्रम वाली प्राकृतिक संख्याएं इस तरह के समुच्चय का निर्माण करती हैं, और अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं पर फलन होता है, इसलिए प्रत्येक अनुक्रम नेट होता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण इस प्रकार है। सांस्थितिक स्थान में एक बिंदु दिया गया है, माना वाले सभी प्रतिवेशों के समुच्चय को दर्शाता है। फिर निर्देशित समुच्चय है, जहां विपरीत समावेशन द्वारा दिशा दी जाती है, ताकि यदि और केवल यदि , में निहित हो। माना के लिए को में बिंदु हैं। तब नेट है। जैसे ही के संबंध में बढ़ता है, बिंदु नेट में, के घटते प्रतिवेश में लाई के लिए विवश हैं, इसलिए सहज रूप से बोलना, हम इस विचार की ओर अग्रसर हैं कि को किसी अर्थ में की ओर प्रवृत्त होना चाहिए। हम इस सीमित अवधारणा को सटीक बना सकते हैं।

एक अनुक्रम का सबनेट आवश्यक नहीं कि अनुक्रम हो।[4] उदाहरण के लिए, मान लीजिए और मान लीजिए प्रत्येक के लिए, ताकि सतत शून्य क्रम हो। मान लीजिए को सामान्य क्रम द्वारा निर्देशित किया जाता है और प्रत्येक के लिए है। को को की सीमा मान कर परिभाषित करें। मानचित्र क्रम आकारिकी है जिसका चित्र इसके सहक्षेत्र में अंतिम है और प्रत्येक के लिए है। इससे पता चलता है कि अनुक्रम का एक सबनेट है (जहां यह सबनेट का अनुवर्ती नहीं है क्योंकि यह अनुक्रम भी नहीं है क्योंकि इसका क्षेत्र अगणनीय समुच्चय है)।

नेट की सीमाएँ

नेट को समुच्चय में अंततः या अवशिष्ट रूप से कहा जाता है यदि कुछ उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक के साथ बिंदु । और इसे में बार-बार या अंतिम रूप से कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए कुछ उपस्थित है जैसे कि और [4] बिंदु को नेट का एक सीमा बिंदु (क्रमशः, क्लस्टर बिंदु) कहा जाता है यदि वह नेट अंततः (क्रमशः, अंतिम रूप से) उस बिंदु के प्रत्येक प्रतिवेश में होता है।

स्पष्ट रूप से, बिंदु को नेट का संचय बिंदु या गुच्छ बिंदु कहा जाता है यदि के प्रत्येक प्रतिवेश के लिए, नेट प्रायः में होता है।[4]

बिंदु को में नेट की सीमा बिंदु या सीमा कहा जाता है यदि (और केवल अगर)

के प्रत्येक विवृत प्रतिवेश के लिए, नेट अंततः में है,

किस स्थिति में, इस नेट को तब की ओर अभिसरण करने के लिए और को एक सीमा के रूप में रखने के लिए भी कहा जाता है।

सहज रूप से, नेट के अभिसरण का अर्थ है कि मान आते हैं और उतने ही समीप रहते हैं जितना हम चाहते हैं कि पर्याप्त बड़ा के लिए हो। एक बिंदु के प्रतिवेश प्रणाली पर ऊपर दिया गया उदाहरण नेट वास्तव में इस परिभाषा के अनुसार में अभिसरण करता है।

सीमाओं के लिए संकेतन

यदि नेट में बिंदु पर अभिसरित होता है तो इस तथ्य को निम्न में से किसी को लिखकर व्यक्त किया जा सकता है-

जहां अगर सांस्थितिक स्थान संदर्भ से स्पष्ट है तो " में" शब्दों को छोड़ा जा सकता है। यदि में और यदि में यह सीमा अद्वितीय है ( में अद्वितीयता का अर्थ है कि यदि ऐसा है कि तो आवश्यक रूप से ) तो इस तथ्य को लिखकर दर्शाया जा सकता है
जहां एरो के स्थान पर बराबर चिह्न का उपयोग किया जाता है।[5] हॉसडॉर्फ स्थान में, प्रत्येक नेट की अधिकतम एक सीमा होती है, इसलिए हॉसडॉर्फ स्थान में अभिसारी नेट की सीमा सदैव अद्वितीय होती है।[5] इसके स्थान पर कुछ लेखक "" का अर्थ के लिए संकेतन का उपयोग करते हैं, बिना सीमा के अद्वितीय होने की आवश्यकता के बिना हालाँकि, यदि इस संकेतन को इस तरह से परिभाषित किया जाता है तो बराबर चिह्न अब सकर्मक संबंध को दर्शाने की गारंटी नहीं है और इसलिए अब समानता को नहीं दर्शाता है। विशेष रूप से, विशिष्टता आवश्यकता के बिना, यदि भिन्न हैं और यदि में प्रत्येक की सीमा भी है तो और को असत्य होने के बावजूद (बराबर चिह्न का उपयोग करके) लिखा जा सकता है।

आधार और उप आधार

पर सांस्थितिकी के लिए उप आधार दिया गया है (जहां ध्यान दें कि सांस्थितिकी के लिए प्रत्येक आधार भी उप आधार है) और दिया गया बिंदु नेट में अभिसरण करता है यदि और केवल यदि यह अंततः के प्रत्येक प्रतिवेश में है। यह लक्षण वर्णन दिए गए बिंदु के प्रतिवेश के उप आधारों (और इसी तरह प्रतिवेश के आधार) तक फैला हुआ है।

मेट्रिक स्थान में अभिसरण

मान लीजिए कि मेट्रिक स्थान (या एक स्यूडोमेट्रिक स्थान) है और मेट्रिक सांस्थितिकी से संपन्न है। यदि बिंदु है और नेट है, तो में यदि और केवल यदि जहां वास्तविक संख्याओं का नेट है। सामान्य अंग्रेजी में, यह विशेषता कहती है कि नेट मेट्रिक स्थान में बिंदु पर अभिसरण करता है यदि और केवल अगर नेट और बिंदु के बीच की दूरी शून्य हो जाती है। यदि एक आदर्श स्थान (या एक सेमिनोर्म्ड स्थान) है तो में यदि और केवल यदि में जहां है।

सांस्थितिक उप-स्थानों में अभिसरण

यदि समुच्चय द्वारा प्रेरित उप स्थान सांस्थितिकी से संपन्न है, तो में यदि और केवल अगर में। इस तरह, नेट दिए गए बिंदु पर अभिसरण करता है या नहीं, यह सवाल पूरी तरह से इस सांस्थितिक उप स्थान पर निर्भर करता है जिसमें और (अर्थात, बिंदु) नेट का चित्र सम्मिलित है।

कार्तीय गुणनफल में सीमाएं

गुणनफल स्थान में नेट की सीमा होती है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्रक्षेपण की सीमा होती है।

स्पष्ट रूप से, मान लीजिए सांस्थितिक स्थान हो, उनके कार्तीय गुणनफल को समाप्त करें

गुणनफल सांस्थितिकी के साथ, और वह प्रत्येक सूचकांक के लिए द्वारा विहित प्रक्षेपण को दर्शाता है
मान लीजिए द्वारा निर्देशित में नेट है और प्रत्येक सूचकांक के लिए
"रोधन को के परिणाम को निरूपित करें, जिसके परिणामस्वरूप नेट होता है, यह कभी-कभी फलन संरचना के संदर्भ में इस परिभाषा के बारे में सोचने के लिए उपयोगी होता है- नेट प्रक्षेपण अर्थात के साथ नेट की संरचना के बराबर है किसी दिए गए बिंदु के लिए नेट गुणन स्थान में में अभिसरण करता है यदि और केवल यदि प्रत्येक सूचकांक के लिए, में में अभिसरण करता है।[6] और जब भी में पर नेट समूहबद्ध होता है तो प्रत्येक सूचकांक के लिए समूहबद्ध पर होता है।[7] हालांकि, परिवर्तित सामान्य रूप से नहीं होता है।[7] उदाहरण के लिए, मान लें कि और अनुक्रम को दर्शाता है, जो और के बीच वैकल्पिक होता है। फिर और , में और दोनों के क्लस्टर बिंदु हैं, लेकिन का क्लस्टर बिंदु नहीं है क्योंकि त्रिज्या की विवृत गोलक पर केंद्रित है, जिसमें एक भी बिंदु सम्मिलित नहीं है।

टाइकोनॉफ की प्रमेय और चयन के स्वयंसिद्ध से संबंध

यदि कोई नहीं दिया गया है, लेकिन प्रत्येक के लिए कुछ उपस्थित है जैसे कि में है तो द्वारा परिभाषित टपल में की एक सीमा होगी। हालाँकि, यह निष्कर्ष निकालने के लिए चयन के स्वयंसिद्ध को ग्रहण करने की आवश्यकता हो सकती है कि यह टपल उपस्थित है कुछ स्थितियों में चयन की अभिगृहीत की आवश्यकता नहीं होती है, जैसे कि जब परिमित होता है या जब प्रत्येक नेट की अद्वितीय सीमा होती है (क्योंकि तब इसके बीच चयन करने के लिए कुछ नहीं होता है), जो उदाहरण के लिए होता है, जब प्रत्येक एक हॉसडॉर्फ स्थान है। यदि अनंत है और खाली नहीं है, तो चयन के स्वयंसिद्ध (सामान्य रूप से) अभी भी यह निष्कर्ष निकालने की आवश्यकता होगी कि अनुमान विशेषण मानचित्र हैं।

चयन का स्वयंसिद्ध टाइकोनॉफ के प्रमेय के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि सघन सांस्थितिक स्थान के किसी भी संग्रह का गुणन सघन है। लेकिन यदि प्रत्येक सघन स्थान हॉसडॉर्फ भी है, तो तथाकथित "सघन हौसडॉर्फ स्थान के लिए टाइकोनॉफ प्रमेय" का उपयोग किया जा सकता है, जो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर है और इसलिए चयन के स्वयंसिद्ध से दृढ़ता से दुर्बल है। ऊपर दिए गए नेट अभिसरण के विशेषीकरण वर्णन का उपयोग करके टाइकोनॉफ के प्रमेय के दोनों संस्करणों के लघु प्रमाण देने के लिए नेट का उपयोग इस तथ्य के साथ किया जा सकता है कि स्थान सघन है यदि और केवल अगर प्रत्येक नेट में एक अभिसारी सबनेट है।

नेट के क्लस्टर बिंदु

बिंदु किसी दिए गए नेट का एक क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल यदि इसका उपसमुच्चय है जो में अभिसरण करता है।[8] यदि , में एक नेट है, तो में के सभी क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय बराबर है[7]

जहाँ प्रत्येक के लिए। यदि , के कुछ सबनेट का क्लस्टर बिंदु है तो भी का क्लस्टर बिंंदु है।[8]

अल्ट्रानेट

समुच्चय में नेट को सार्वभौमिक नेट या अल्ट्रानेट कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए, अंततः में है या अंततः पूरक में है।[4] अल्ट्रानेट अल्ट्राफिल्टर से निकटता से संबंधित हैं।

प्रत्येक सतत नेट अल्ट्रानेट है। अल्ट्रानेट का प्रत्येक सबनेट एक अल्ट्रानेट होता है।[7] प्रत्येक नेट का कुछ सबनेट होता है जो कि अल्ट्रानेट होता है।[4] यदि , में अल्ट्रानेट है और फलन है तो में अल्ट्रानेट है।[4]

पर एक अल्ट्रानेट क्लस्टर दिया गया है यदि और केवल यह में परिवर्तित होता है।[4]

नेट की सीमाओं के उदाहरण

अनुक्रम की प्रत्येक सीमा और किसी फलन की सीमा की व्याख्या नेट की सीमा के रूप में की जा सकती है (जैसा कि नीचे वर्णित है)।

रीमैन समाकल के मान की परिभाषा को रीमैन योग के नेट की सीमा के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जहां नेट का निर्देशित समुच्चय समाकलन के स्थान के सभी विभाजनों का समुच्चय है, आंशिक रूप से समावेशन द्वारा आदेशित है।

प्रोटोटाइप के साथ सभी फलनों के समुच्चय को कार्तीय गुणनफल के रूप में व्याख्या करें (टपल के साथ फलन की पहचान करके और इसके विपरीत) और इसे गुणनफल सांस्थितिकी के साथ समाप्त करें। पर यह (गुणनफल) सांस्थितिकी बिंदुवार अभिसरण की सांस्थितिकी के समान है। माना सभी फलनों के समुच्चय को इंगित करता है जो कि प्रत्येक स्थान के बराबर हैं, बजाय इसके कि बहुत से बिंदु हैं (अर्थात, जैसे कि समुच्चय परिमित है) फिर सतत फलन , में के समापन होने से संबंधित है, अर्थात, [7] यह में नेट बनाकर सिद्ध किया जाएगा जो कि में अभिसरण करता है। हालाँकि, में ऐसा कोई अनुक्रम उपस्थित नहीं है जो में अभिसरण करता है[9] जो इसे उदाहरण बनाता है जहाँ (गैर-अनुक्रम) नेट का उपयोग किया जाना चाहिए क्योंकि केवल अनुक्रम वांछित निष्कर्ष तक नहीं पहुँच सकते है। सभी के लिए यदि और केवल अगर की घोषणा करके सामान्य तरीके से के अल्पांशों की तुलना करें। यह बिंदुवार तुलना आंशिक क्रम है जो को एक निर्देशित समुच्चय बनाता है क्योंकि किसी भी को दिए जाने के बाद से उनका बिंदुवार न्यूनतम से संबंधित है और और को संतुष्ट करता है। यह आंशिक क्रम पहचान मानचित्र ( द्वारा परिभाषित) को -मूल्यवान नेट में बदल देता है। यह नेट में के लिए बिंदुवार परिवर्तित होता है जिसका अर्थ है कि में के समापन होने के अंतर्गत आता है।

उदाहरण

सांस्थितिक स्थान में अनुक्रम

सांस्थितिक स्थान में अनुक्रम को पर परिभाषित में नेट माना जा सकता है।

नेट अंततः के उपसमुच्चय में होता है यदि वहाँ एक उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए बिंदु में है।

तो यदि और केवल यदि के प्रत्येक प्रतिवेश के लिए, नेट अंततः में है।

नेट प्रायः के उपसमुच्चय में होता है यदि और केवल अगर प्रत्येक के लिए कुछ पूर्णांक उपस्थित होता है जैसे कि अर्थात, यदि और केवल अगर अनुक्रम के असीमित कई अल्पांश में हैं। इस प्रकार बिंदु नेट का एक क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल यदि के प्रत्येक प्रतिवेश में अनुक्रम के असीम रूप से कई अल्पांश सम्मिलित हैं।

मेट्रिक स्थान से सांस्थितिक स्थान तक फलन

मेट्रिक स्थान में बिंदु को ठीक करें जिसमें कम से कम दो बिंदु हों (जैसे कि जहां यूक्लिडियन मेट्रिक के साथ मूल है, उदाहरण के लिए) और समुच्चय को से दूरी के अनुसार विपरीत रूप से निर्देशित करें कि यदि और केवल यदि है। दूसरे शब्दों में, संबंध " के रूप में कम से कम समान दूरी है", ताकि इस संबंध के संबंध में "पर्याप्त रूप से बड़ा" का अर्थ " के काफी समीप" हो। क्षेत्र के साथ किसी भी फलन को दिए जाने पर के लिए इसका प्रतिबंध द्वारा निर्देशित नेट के रूप में विहित रूप से व्याख्या किया जा सकता है।[7]

नेट अंततः सांस्थितिक स्थान के उपसमुच्चय में है यदि और केवल अगर कुछ उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक के लिए को संतुष्ट करने के लिए बिंदु में है। इस तरह का नेट में दिए गए बिंदु में परिवर्तित होता है यदि और केवल अगर सामान्य अर्थों में (जिसका अर्थ है कि के प्रत्येक प्रतिवेश के लिए, अंततः में है)।[7]

नेट प्रायः के उपसमुच्चय में होता है यदि और केवल अगर प्रत्येक के लिए के साथ कुछ उपस्थित है जैसे कि में है। नतीजतन, बिंदु नेट का क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल अगर के प्रत्येक प्रतिवेश के लिए, नेट प्रायः में होता है।

सुव्यवस्थित समुच्चय से सांस्थितिक स्थान में फलन

सीमा बिंदु के साथ सुव्यवस्थित समुच्चय पर विचार करें और फलन से सांस्थितिक स्थान तक। यह फलन पर नेट है। यह अंततः के उपसमुच्चय में होता है यदि कोई उपस्थित है, जैसे कि प्रत्येक के लिए बिंदु में है

तो यदि और केवल यदि के प्रत्येक प्रतिवेश के लिए, अंततः में है।

नेट प्रायः के उपसमुच्चय में होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए कुछ उपस्थित है जैसे कि

एक बिंदु नेट का क्लस्टर बिंदु है यदि और केवल यदि के प्रत्येक प्रतिवेश के लिए, नेट प्रायः में होता है।

प्रथम उदाहरण के साथ इसकी एक विशेष स्थिति है।

क्रमसूचक-अनुक्रमित अनुक्रम भी देखें।

सबनेट

नेट के लिए "अनुक्रम" का एनालॉग "सबनेट" की धारणा है। "सबनेट" की कई अलग-अलग गैर-समकक्ष परिभाषाएँ हैं और यह लेख 1970 में स्टीफन विलार्ड द्वारा प्रस्तुत परिभाषा का उपयोग करेगा,[10] जो इस प्रकार है- यदि और नेट हैं तो को का सबनेट या विलार्ड-सबनेट[10] कहा जाता है यदि कोई क्रम-संरक्षण मानचित्र उपस्थित है ऐसा है कि का अंतिम उपसमुच्चय है और

मानचित्र को क्रम-संरक्षण और क्रम समरूपता कहा जाता है यदि जब भी तो । समुच्चय में अंतिम होने का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए, कुछ उपस्थित हैं जैसे कि

गुण

वस्तुतः सांस्थितिकी की सभी अवधारणाओं को नेट और सीमाओं की भाषा में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। यह अंतर्ज्ञान को निर्देशित करने के लिए उपयोगी हो सकता है क्योंकि नेट की सीमा की धारणा अनुक्रम की सीमा के समान ही है। निम्नलिखित प्रमेय और लेम्मा इस समानता को दृढ़ करने में सहायता करती हैं-

सांस्थितिक गुणों की विशेषता

संवृत्त समुच्चय और समापन

उपसमुच्चय , में संवृत्त है यदि और केवल अगर में प्रत्येक अभिसरण नेट का प्रत्येक सीमा बिंदु आवश्यक रूप से से संबंधित है। स्पष्ट रूप से, उपसमुच्चय संवृत्त हो जाता है यदि और केवल अगर जब भी और में नेट मान है (जिसका अर्थ है कि सभी के लिए ) जैसे कि में , तो आवश्यक रूप से

अधिक प्रायः, यदि कोई उपसमुच्चय है तो बिंदु , के संवृत्त होने पर है और केवल तभी होता है जब में सीमा के साथ नेट उपस्थित होता है और ऐसा होता है कि प्रत्येक सूचकांक के लिए होता है।[8]

सांस्थितिकी के विवृत समुच्चय और विशेषताएँ

उपसमुच्चय विवृत है यदि और केवल अगर में कोई नेट के बिंदु पर अभिसरण नहीं करता है।[11] इसके अलावा, उपसमुच्चय विवृत है यदि और केवल अगर के अल्पांश में परिवर्तित होने वाला प्रत्येक नेट अंततः में समाहित है। यह "विवृत उपसमुच्चय" की ये विशेषताएँ हैं जो नेट को सांस्थितिकी को चिह्नित करने की अनुमति देती हैं। सांस्थितिकी को संवृत्त उपसमुच्चय द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है क्योंकि समुच्चय विवृत होता है और केवल यदि इसका पूरक संवृत्त हो। तो नेट के संदर्भ में "संवृत्त समुच्चय" की विशेषताएँ भी सांस्थितिकी को चिह्नित करने के लिए उपयोग की जा सकती हैं।

सातत्य

सांस्थितिक स्थान के बीच फलन किसी दिए गए बिंदु पर सतत है यदि और केवल यदि इसके क्षेत्र में प्रत्येक नेट के लिए यदि तो में तो में है।[8] अधिक संक्षेप में कहा गया है, फलन सतत है यदि और केवल अगर जब भी में तो में। सामान्य तौर पर, यह कथन सत्य नहीं होगा यदि "नेट" शब्द को "अनुक्रम" से बदल दिया गया हो; अर्थात्, यदि प्रथम-गणनीय स्थान (या अनुक्रमिक स्थान नहीं है) नहीं है, तो केवल प्राकृतिक संख्याओं के अलावा अन्य निर्देशित समुच्चयों के लिए अनुमति देना आवश्यक है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " |
Proof

() मान लीजिए बिंदु पर सतत है, और माना ऐसा नेट है कि । फिर के प्रत्येक विवृत्त प्रतिवेश के लिए, के तहत इसका पूर्व चित्र का एक प्रतिवेश है ( पर की सातत्य द्वारा)। इस प्रकार का आंतरिक भाग, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है, का विवृत्त प्रतिवेश है, और परिणामस्वरूप अंततः में है। इसलिए अंततः में है और इस प्रकार अंततः में भी है जो कि का उपसमुच्चय है। इस प्रकार और यह दिशा सिद्ध होती है।

() मान लीजिए कि एक ऐसा बिंदु है कि प्रत्येक नेट के लिए ऐसा है कि । अब मान लीजिए कि पर संतत नहीं है। तब का प्रतिवेश होता है, जिसका के अंतर्गत पूर्वचित्र का प्रतिवेश नहीं होता है। क्योंकि आवश्यक रूप से है। अब के विवृत प्रतिवेश का समुच्चय नियंत्रण पूर्वक्रम के साथ निर्देशित समुच्चय (चूंकि प्रत्येक दो ऐसे प्रतिवेशों का प्रतिच्छेदन का विवृत प्रतिवेश है) है।

हम नेट का निर्माण करते हैं जैसे कि के प्रत्येक विवृत प्रतिवेश के लिए जिसका सूचकांक है इस प्रतिवेश में बिंदु है जो में नहीं है कि हमेशा ऐसा बिंदु इस तथ्य से होता है कि का कोई विवृत प्रतिवेश (क्योंकि धारणा से, , का प्रतिवेश नहीं है) में सम्मिलित नहीं है। यह इस प्रकार है कि में नहीं है।

अब, के प्रत्येक विवृत प्रतिवेश के लिए, यह प्रतिवेश उस निर्देशित समुच्चय का सदस्य है जिसका सूचकांक हम को निरूपित करते हैं। प्रत्येक के लिए, निर्देशित समुच्चय का सदस्य जिसकी अनुक्रमणिका है, में निहित है इसलिए । इस प्रकार । और हमारे अनुमान से है। लेकिन का एक विवृत प्रतिवेश है और इस प्रकार अंततः में है और इसलिए में भी है, के विपरीत प्रत्येक के लिए में नहीं है। यह एक विरोधाभास है इसलिए को पर सतत होना चाहिए। यह प्रमाण को पूरा करता है।|}

सघनता

स्थान सघन है यदि और केवल अगर में प्रत्येक नेट में में सीमा के साथ सबनेट है। इसे बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय और हेइन-बोरेल प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " |
Proof

() पहले, मान लीजिए कि सघन है। हमें निम्नलिखित अवलोकन (परिमित प्रतिच्छेदन गुण देखें) की आवश्यकता होगी। माना कोई अरिक्त समुच्चय है और के संवृत्त उपसमुच्चय का संग्रह हो जैसे कि प्रत्येक परिमित के लिए । फिर भी। अन्यथा के लिए विवृत आवरण होगा, जिसमें की सघनता के विपरीत कोई परिमित उपआवरण नहीं होगा।

माना द्वारा निर्देशित में नेट है। प्रत्येक के लिए परिभाषित करें।

संग्रह में गुण है कि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह में अरिक्त प्रतिच्छेदन होता है। इस प्रकार, ऊपर की टिप्पणी के द्वारा, हमारे पास वह है

और यह निश्चित रूप से के क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय है। अगले खंड में दिए गए प्रमाण से, यह के अभिसारी सबनेट की सीमाओं के समुच्चय के बराबर है। इस प्रकार में अभिसारी सबनेट है।

() इसके विपरीत, मान लीजिए कि में प्रत्येक नेट में अभिसारी सबनेट है। अंतर्विरोध के लिए, माना बिना किसी परिमित उप आवरण के का विवृत आवरण हो। पर विचार करें। निरीक्षण करें कि समावेशन के तहत निर्देशित समुच्चय है और प्रत्येक के लिए उपस्थित है जैसे कि सभी के लिए । नेट पर विचार करें। इस नेट में अभिसारी सबनेट नहीं हो सकता है, क्योंकि प्रत्येक के लिए उपस्थित है जैसे कि , का प्रतिवेश है हालाँकि, सभी के लिए हमारे पास वह है। यह विरोधाभास है और प्रमाण को पूरा करता है।|}

क्लस्टर और सीमा बिंदु

किसी नेट के क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय उसके अभिसारी सबनेट की सीमाओं के समुच्चय के बराबर होता है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " |
Proof

माना एक सांस्थितिक अंतराल में नेट हो (जहां सामान्य रूप से स्वचालित रूप से निर्देशित समुच्चय माना जाता है) और माना भी। यदि के सबनेट की सीमा है तो का क्लस्टर बिंदु है।

इसके विपरीत, मान लें कि का क्लस्टर बिंदु है। माना युग्मों का समुच्चय है। जहाँ , में का विवृत प्रतिवेश है और ऐसा है कि । मानचित्र मानचित्रण से तब अंतिम है। इसके अलावा, को गुणनफल क्रम ( के प्रतिवेश समावेशन द्वारा क्रमित है) इसे एक निर्देशित समुच्चय बनाता है, और द्वारा परिभाषित नेट में अभिसरण करता है।|}

नेट की एक सीमा होती है यदि और केवल यदि उसके सभी सबनेट की सीमाएँ हों। ऐसे में नेट की प्रत्येक सीमा प्रत्येक सबनेट की भी सीमा होती है।

अन्य गुण

सामान्य तौर पर, स्थान में नेट की एक से अधिक सीमा हो सकती है, लेकिन यदि हॉउसडॉर्फ स्थान है, तो नेट की सीमा, यदि उपस्थित है, अद्वितीय है। इसके विपरीत, यदि हॉसडॉर्फ नहीं है, तो पर दो अलग-अलग सीमाओं के साथ नेट उपस्थित है। इस प्रकार सीमा की विशिष्टता स्थान पर हॉसडॉर्फ की स्थिति के बराबर है, और वास्तव में इसे परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। यह परिणाम निर्देशन की स्थिति पर निर्भर करता है; एक सामान्य पूर्वक्रम या आंशिक क्रम द्वारा अनुक्रमित समुच्चय में हौसडॉर्फ स्थान में भी विशिष्ट सीमा बिंदु हो सकते हैं।

कॉची नेट्स

कॉची नेट एकसमान स्थानों पर परिभाषित नेट के लिए कॉची अनुक्रम की धारणा को सामान्यीकृत करता है।[12]

नेट कॉची नेट है यदि प्रत्येक प्रतिवेश के लिए उपस्थित है जैसे कि सभी के लिए का सदस्य है।[12][13] अधिक प्रायः, कॉची स्थान में, नेट कॉची होता है यदि नेट द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर कॉची फ़िल्टर है।

सांस्थितिक सदिश स्थान (टीवीएस) को पूर्ण कहा जाता है यदि प्रत्येक कॉची नेट किसी बिंदु पर अभिसरण करता है। आदर्श स्थान, जो एक विशेष प्रकार का सांस्थितिक सदिश स्थान है, पूर्ण टीवीएस (समतुल्य रूप से, बनच स्थान) है यदि और केवल अगर प्रत्येक कॉची अनुक्रम किसी बिंदु (एक गुण जिसे अनुक्रमिक पूर्णता कहा जाता है) पर अभिसरण करता है। हालांकि कॉची नेट्स की आवश्यकता मानक स्थानों की पूर्णता का वर्णन करने के लिए नहीं है, उन्हें अधिक सामान्य (संभवतः गैर-सामान्य) सांस्थितिक सदिश स्थानों की पूर्णता का वर्णन करने की आवश्यकता है।

फिल्टर से संबंध

फ़िल्टर टोपोलॉजी में एक और विचार है जो सामान्य सांस्थितिक स्थान में अभिसरण के लिए सामान्य परिभाषा की अनुमति देता है। दो विचार इस अर्थ में समतुल्य हैं कि वे अभिसरण की समान अवधारणा देते हैं।[14] अधिक विशेष रूप से, प्रत्येक फ़िल्टर आधार के लिए एक संबद्ध जाल का निर्माण किया जा सकता है, और फिल्टर आधार के अभिसरण का तात्पर्य संबंधित नेट के अभिसरण से है - और इसके विपरीत (प्रत्येक नेट के लिए फिल्टर आधार है, और नेट के अभिसरण का तात्पर्य फिल्टर आधार के अभिसरण से है)।[15] उदाहरण के लिए, में कोई भी नेट पश्चभाग के फ़िल्टर आधार को प्रेरित करता है जहां इस फ़िल्टर आधार द्वारा उत्पन्न में फ़िल्टर को नेट की घटना फ़िल्टर कहा जाता है। यह समतुल्यता किसी भी प्रमेय के लिए अनुमति देती है जिसे एक अवधारणा के साथ दूसरे के साथ सिद्ध किया जा सकता है।[15] उदाहरण के लिए, एक सांस्थितिक स्थान से दूसरे तक किसी फलन की सातत्य को या तो क्षेत्र में नेट के अभिसरण द्वारा विशेषता दी जा सकती है, जो सहक्षेत्र में संबंधित नेट के अभिसरण को दर्शाता है, या फ़िल्टर आधार के साथ एक ही कथन द्वारा।

रॉबर्ट जी. बार्टले का तर्क है कि उनकी समानता के बावजूद, दोनों अवधारणाओं का होना उपयोगी है।[15] उनका तर्क है कि अनुक्रमों के सादृश्य में प्राकृतिक प्रमाण और परिभाषाएँ बनाने के लिए नेट पर्याप्त हैं, विशेष रूप से अनुक्रमिक तत्वों का उपयोग करने वाले, जैसे कि विश्लेषण में सामान्य है, जबकि बीजगणितीय सांस्थितिकी में फ़िल्टर सबसे अधिक उपयोगी हैं। किसी भी स्थिति में, वह दिखाता है कि सामान्य सांस्थितिकी में विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए संयोजन में दोनों का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

सीमा श्रेष्ठ

वास्तविक संख्याओं के नेट की सीमा श्रेष्ठ और सीमा श्रेष्ठ को अनुक्रमों के समान ही परिभाषित किया जा सकता है।[16][17][18] कुछ लेखक वास्तविक रेखा की तुलना में अधिक सामान्य संरचनाओं के साथ भी काम करते हैं, जैसे पूर्ण नेट।[19]

नेट के लिए, रखें

वास्तविक संख्याओं के नेट की सीमा श्रेष्ठता में अनुक्रमों की स्थिति के अनुरूप कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए,
जहां जब भी नेट्स में से कोई अभिसरण होता है तो समानता धारण करती है।

यह भी देखें

उद्धरण

  1. Moore, E. H.; Smith, H. L. (1922). "सीमाओं का एक सामान्य सिद्धांत". American Journal of Mathematics. 44 (2): 102–121. doi:10.2307/2370388. JSTOR 2370388.
  2. (Sundström 2010, p. 16n)
  3. Megginson, p. 143
  4. 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Willard 2004, pp. 73–77.
  5. 5.0 5.1 Kelley 1975, pp. 65–72.
  6. Willard 2004, p. 76.
  7. 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Willard 2004, p. 77.
  8. 8.0 8.1 8.2 8.3 Willard 2004, p. 75.
  9. Willard 2004, pp. 71–72.
  10. 10.0 10.1 Schechter 1996, pp. 157–168.
  11. Howes 1995, pp. 83–92.
  12. 12.0 12.1 Willard, Stephen (2012), General Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 260, ISBN 9780486131788.
  13. Joshi, K. D. (1983), Introduction to General Topology, New Age International, p. 356, ISBN 9780852264447.
  14. "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2015-04-24. Retrieved 2013-01-15.
  15. 15.0 15.1 15.2 R. G. Bartle, Nets and Filters In Topology, American Mathematical Monthly, Vol. 62, No. 8 (1955), pp. 551–557.
  16. Aliprantis-Border, p. 32
  17. Megginson, p. 217, p. 221, Exercises 2.53–2.55
  18. Beer, p. 2
  19. Schechter, Sections 7.43–7.47

संदर्भ