प्राकृतिक संख्याओं के योग से जुड़े प्रमाण

मौलिक अंकगणितीय गुण (प्रेरण प्रमाण के लिए ज़ूम इन करें)

इस लेख में प्राकृतिक संख्याओं के योग के कुछ गुणों के लिए गणितीय प्रमाण को सम्मिलित किया जाता हैं, इस प्रकार योगात्मक पहचान, क्रमविनिमेयता, और साहचर्यता इसका प्रमुख उदाहरण हैं। इन प्रमाणों का उपयोग प्राकृत संख्याओं का योग लेख में किया गया है।

परिभाषाएँ

यह लेख प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा के लिए पीनो अभिगृहीत का उपयोग करता हैं। इन सिद्धांतों के साथ, जोड़ को स्थिरांक 0 और उत्तराधिकारी फलन S(a) से दो नियमों द्वारा परिभाषित किया गया है

A1:	a + 0 = a
A2:	a + S(b) = S(a + b)

क्रमविनिमेयता के प्रमाण के लिए, 0 के उत्तराधिकारी को 1 नाम देना उपयोगी है, वह है,

1 = S(0).

प्रत्येक प्राकृत संख्या a के लिए, एक के पास होता है

	S(a)
=	S(a + 0)	[by A1]
=	a + S(0)	[by A2]
=	a + 1	[by Def. of 1]

साहचर्य का प्रमाण

हम पहले प्राकृतिक संख्या a और b को निश्चित करके और प्राकृतिक संख्या c पर गणितीय प्रेरण लागू करके साहचर्यता सिद्ध करते हैं।

आधार स्थिति के लिए c = 0,

(a+b)+0 = a+b = a+(b+0)

प्रत्येक समीकरण परिभाषा के अनुसार अनुसरण करता है [a1]; पहला a + b के साथ, दूसरा b के साथ उपयोग किया जाता हैं।

अब, प्रेरण के लिए हम प्रेरण परिकल्पना को मानते हैं, अर्थात् हम मानते हैं कि कुछ प्राकृतिक संख्या c के लिए,

(a+b)+c = a+(b+c)

फिर यह अनुसरण करता है,

	(a + b) + S(c)
=	S((a + b) + c)	[by A2]
=	S(a + (b + c))	[प्रेरण परिकल्पना द्वारा]
=	a + S(b + c)	[by A2]
=	a + (b + S(c))	[by A2]

दूसरे शब्दों में, प्रेरण परिकल्पना S(c) के लिए मान्य है। इसलिए c पर प्रेरण पूरा हो गया है।

पहचान तत्व का प्रमाण

परिभाषा [a1] सीधे तौर पर बताती है कि 0 गणितीय पहचान है।

हम प्राकृतिक संख्या a पर प्रेरण द्वारा सिद्ध करते हैं कि 0 गणितीय पहचान है।

मूल स्थिति के लिए a = 0, परिभाषा के अनुसार 0 + 0 = 0 [a1] हैं।

अब हम प्रेरण परिकल्पना मानते हैं, कि 0 + a = a।

इस स्थिति में

	0 + S(a)
=	S(0 + a)	[by A2]
=	S(a)	[प्रेरण परिकल्पना द्वारा]

यह a पर इंडक्शन पूरा करता है।

क्रमविनिमेयता का प्रमाण

हम प्राकृत संख्या b पर प्रेरण लागू करके क्रमविनिमेयता (a + b = b + a) सिद्ध करते हैं। पहले हम इन आधार स्थितियों को प्रमाणित करते हैं b = 0 और b = S(0) = 1 (अर्ताथ हम प्रमाणित करते हैं कि 0 और 1 हर चीज़ के साथ चलते हैं)।

इस आधार स्थिति पर b = 0 होने पर पहचान तत्व गुण (0 गणितीय पहचान है) से तुरंत अनुसरण करता है, जो ऊपर सिद्ध किया गया है:

a + 0 = a = 0 + a

आगे हम आधार स्थिति b = 1 को सिद्ध करेंगे, कि 1 हर चीज़ के साथ परिवर्तित हो जाता है, अर्ताथ सभी प्राकृतिक संख्याओं a के लिए, हमारे पास a + 1 = 1 + a है। हम इसे (एक प्रेरण प्रमाण के भीतर प्रेरण प्रमाण) पर प्रेरण द्वारा सिद्ध करेंगे। हमने प्रमाणित कर दिया है कि 0 हर चीज़ के साथ यात्रा करता है, इसलिए विशेष रूप से, 0 1 के साथ इसका उपयोग करता है: इस प्रकार a = 0 के लिए, हमारे पास 0 + 1 = 1 + 0 मान प्राप्त होता है। अब मान लीजिए a + 1 = 1 + a हैं।

इस स्थिति में

	S(a) + 1
=	S(a) + S(0)	[by Def. of 1]
=	S(S(a) + 0)	[by A2]
=	S((a + 1) + 0)	[जैसा कि उपर दिखाया गया है]
=	S(a + 1)	[by A1]
=	S(1 + a)	[प्रेरण परिकल्पना द्वारा]
=	1 + S(a)	[by A2]

यह a पर प्रेरण को पूरा करता है, और इसलिए हमने आधार मामला b = 1 प्रमाणित कर दिया है। अब, मान लीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए, हमारे पास a + b = b + a है। हमें यह दिखाना होगा कि सभी प्राकृत संख्याओं a के लिए, हमारे पास a + S(b) = S(b) + a है। अपने पास

	a + S(b)
=	a + (b + 1)	[जैसा कि उपर दिखाया गया है]
=	(a + b) + 1	[सहयोगिता द्वारा]
=	(b + a) + 1	[प्रेरण परिकल्पना द्वारा]
=	b + (a + 1)	[सहयोगिता द्वारा]
=	b + (1 + a)	[आधार स्थिति b = 1 के अनुसार]
=	(b + 1) + a	[सहयोगिता द्वारा]
=	S(b) + a	[जैसा कि उपर दिखाया गया है]

यह b पर इंडक्शन पूरा करता है।

यह भी देखें

• बाइनरी प्रक्रिया
• गणितीय प्रमाण
• गणितीय रिंग

संदर्भ

• Edmund Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X.