अशक्त सूत्रीकरण: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
Line 8: | Line 8: | ||
<math display=block>Au = f</math> | <math display=block>Au = f</math> | ||
यह <math>u\in V</math>को इस प्रकार खोजने के समान है कि, सभी <math>v \in V</math> के लिए। | यह <math>u\in V</math> को इस प्रकार खोजने के समान है कि, सभी <math>v \in V</math> के लिए। | ||
<math display=block>[Au](v) = f(v).</math> | <math display=block>[Au](v) = f(v).</math> | ||
Line 49: | Line 49: | ||
<math display=block>-\nabla^2 u = f,</math> | <math display=block>-\nabla^2 u = f,</math> | ||
एक डोमेन <math>\Omega\subset \mathbb R^d</math> पर जिसकी सीमा पर <math>u=0</math> है, और | एक डोमेन <math>\Omega\subset \mathbb R^d</math> पर जिसकी सीमा पर <math>u=0</math> है, और इसके पश्चात समाधान स्थान <math>V</math> निर्दिष्ट करने के लिए, कोई {{nowrap|<math>L^2</math>-}}स्केलर उत्पाद का उपयोग कर सकता है | ||
<math display=block>\langle u,v\rangle = \int_\Omega uv\,dx</math> | <math display=block>\langle u,v\rangle = \int_\Omega uv\,dx</math> | ||
Line 74: | Line 74: | ||
यह लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का सूत्रीकरण है जो द्विरेखीय रूप के सममित भाग के गुणों पर निर्भर करता है। यह सबसे सामान्य रूप नहीं है. | यह लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का सूत्रीकरण है जो द्विरेखीय रूप के सममित भाग के गुणों पर निर्भर करता है। यह सबसे सामान्य रूप नहीं है. | ||
मान लीजिये <math>V</math> हिल्बर्ट स्थान है और <math>a( \cdot ,\cdot )</math> {{nowrap|<math>V</math>,}} पर द्विरेखीय रूप है, जो है | |||
# द्विरेखीय रूप या मानक सदिश स्थानों पर: <math>|a(u,v)| \le C \|u\| \|v\|\,;</math> और | # द्विरेखीय रूप या मानक सदिश स्थानों पर: <math>|a(u,v)| \le C \|u\| \|v\|\,;</math> और | ||
#जबरदस्ती कार्य या जबरदस्ती संचालक और रूप: <math>a(u,u) \ge c \|u\|^2\,.</math> | #जबरदस्ती कार्य या जबरदस्ती संचालक और रूप: <math>a(u,u) \ge c \|u\|^2\,.</math> | ||
फिर, किसी भी {{nowrap|<math>f\in V'</math>,}} के लिए, समीकरण का अद्वितीय समाधान <math>u\in V</math> है | फिर, किसी भी {{nowrap|<math>f\in V'</math>,}} के लिए, समीकरण का अद्वितीय समाधान <math>u\in V</math> है | ||
Line 104: | Line 104: | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें == | ||
* बाबुस्का-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय | * बाबुस्का-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय | ||
* लायंस-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय | * लायंस-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय |
Revision as of 12:52, 6 August 2023
अशक्त सूत्रीकरण गणितीय समीकरण के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो आंशिक अंतर समीकरणों जैसे अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित की अवधारणाओं के हस्तांतरण की अनुमति देते हैं। अशक्त सूत्रीकरण में, समीकरणों या नियमों को अब पूरी तरह से धारण करने की आवश्यकता नहीं है (और यह अच्छी तरह से परिभाषित भी नहीं है) और इसके अतिरिक्त केवल कुछ परीक्षण सदिश या परीक्षण कार्यों के संबंध में अशक्त समाधान हैं। शसक्त सूत्रीकरण में, समाधान स्थान का निर्माण इस तरह किया जाता है कि ये समीकरण या नियम पहले से ही पूरी हो जाती हैं।
लैक्स-मिलग्राम प्रमेय, जिसका नाम पीटर लैक्स और आर्थर मिलग्राम के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1954 में सिद्ध किया था, हिल्बर्ट स्थान पर कुछ प्रणालियों के लिए अशक्त सूत्रीकरण प्रदान करता है।
सामान्य अवधारणा
मान लीजिए कि बैनाच स्पेस है, इसका दोहरा स्पेस है, , और समीकरण का हल खोजा जाता है
इसे अशक्त सूत्रीकरण के सामान्य रूप में लाने के लिए, को ऐसे खोजें
उदाहरण 1: समीकरणों की रैखिक प्रणाली
अब, मान लीजिए कि और रैखिक मानचित्रण है। फिर, समीकरण का अशक्त सूत्रीकरण है
जहाँ आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है.
चूंकि रैखिक मानचित्रण है, यह आधार सदिश के साथ परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है, और हमें मिलता है
इस अशक्त सूत्रीकरण से जुड़ा द्विरेखीय रूप है
उदाहरण 2: पॉइसन का समीकरण
पॉइसन के समीकरण को हल करने के लिए
एक डोमेन पर जिसकी सीमा पर है, और इसके पश्चात समाधान स्थान निर्दिष्ट करने के लिए, कोई -स्केलर उत्पाद का उपयोग कर सकता है
इसे ही समान्यत: पॉइसन समीकरण का अशक्त सूत्रीकरण कहा जाता है। समाधान स्थान में फलन सीमा पर शून्य होना चाहिए, और इसमें वर्ग-अभिन्न व्युत्पन्न होना चाहिए। इन आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए उपयुक्त स्थान में अशक्त डेरिवेटिव और शून्य सीमा नियमों के साथ कार्यों का सोबोलेव स्पेस है, इसलिए .।
सामान्य प्रपत्र असाइन करके प्राप्त किया जाता है
लैक्स-मिलग्राम प्रमेय
यह लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का सूत्रीकरण है जो द्विरेखीय रूप के सममित भाग के गुणों पर निर्भर करता है। यह सबसे सामान्य रूप नहीं है.
मान लीजिये हिल्बर्ट स्थान है और , पर द्विरेखीय रूप है, जो है
- द्विरेखीय रूप या मानक सदिश स्थानों पर: और
- जबरदस्ती कार्य या जबरदस्ती संचालक और रूप:
फिर, किसी भी , के लिए, समीकरण का अद्वितीय समाधान है
उदाहरण 1 पर आवेदन
यहां, लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का अनुप्रयोग आवश्यकता से अधिक शसक्त परिणाम है।
- सीमाबद्धता: सभी द्विरेखीय रूप बंधे हुए हैं. विशेष रूप से, हमारे पास है
- ज़बरदस्ती: इसका वास्तव में अर्थ यह है कि के आइजेनवैल्यू के वास्तविक भाग से छोटे नहीं हैं। चूँकि इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि कोई भी आइजेनवैल्यू शून्य नहीं है, प्रणाली हल करने योग्य है।
इसके अतिरिक्त, इससे अनुमान प्राप्त होता है
उदाहरण 2 पर अनुप्रयोग
यहां, मानदंड के साथ चुनें
इसलिए, किसी भी , के लिए, पॉइसन समीकरण के में अद्वितीय समाधान है और हमारे पास अनुमान है
यह भी देखें
- बाबुस्का-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय
- लायंस-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय
संदर्भ
- Lax, Peter D.; Milgram, Arthur N. (1954), "Parabolic equations", Contributions to the theory of partial differential equations, Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, N. J.: Princeton University Press, pp. 167–190, doi:10.1515/9781400882182-010, ISBN 9781400882182, MR 0067317, Zbl 0058.08703