ऍक्स-कोचेन प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 11:49, 10 August 2023

जेम्स ऍक्स और साइमन बी. कोचेन के नाम पर ऍक्स -कोचेन प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक d के लिए अभाज्य संख्याओं का सीमित समुच्चय Y_d होता है, जैसे कि यदि p कोई अभाज्य है जो Y_d में नहीं है तो डिग्री d का प्रत्येक सजातीय बहुपद कम से कम d² + 1 वेरिएबल में p-एडिक संख्याओं पर सामान्य शून्य होता है।^[1]

प्रमेय का प्रमाण

प्रमेय का प्रमाण मॉडल सिद्धांत जैसे गणितीय तर्क के विधियों का व्यापक उपयोग करता है।

सबसे पहले सर्ज लैंग के प्रमेय को सिद्ध करते हुए कहा गया है कि समान प्रमेय $Y_{d}=\varnothing$ के साथ परिमित क्षेत्र F_p पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला के क्षेत्र F_p((t)) के लिए सत्य है। दूसरे शब्दों में, d² से अधिक वेरिएबल वाले घात d के प्रत्येक सजातीय बहुपद में सामान्य शून्य होता है (इसलिए F_p((t)) C₂ क्षेत्र है)।

फिर से पता चलता है कि यदि दो हेन्सेल के लेम्मा वैल्यूएशन (बीजगणित) क्षेत्र में समतुल्य मूल्यांकन समूह और अवशेष क्षेत्र हैं, और अवशेष क्षेत्र में विशेषता (बीजगणित) 0 है, तो वे प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं (जिसका अर्थ है कि पहला आदेश वाक्य के लिए सत्य है यदि और केवल यदि यह दूसरे के लिए सत्य है)।

अगला इसे दो क्षेत्र पर प्रयुक्त करता है, क्षेत्र F_p((t)) के सभी प्राइम पर अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है और दूसरा, p-एडिक क्षेत्र Q_p के सभी प्राइम पर अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है। दोनों अवशेष क्षेत्र F_p क्षेत्र पर अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिए गए हैं, इसलिए आइसोमोर्फिक हैं और विशेषता 0 है, और दोनों मूल्य समूह समान हैं, इसलिए अल्ट्राप्रोडक्ट प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं। (अल्ट्राप्रोडक्ट्स लेने का उपयोग अवशेष क्षेत्र को विशेषता 0 के लिए विवश करने के लिए किया जाता है;F_p((t)) और Q_p दोनों के अवशेष क्षेत्रों में गैर-शून्य विशेषता p है।)

इन अल्ट्राप्रोडक्ट्स की प्रारंभिक तुल्यता का तात्पर्य है कि मूल्यवान क्षेत्रों की भाषा में किसी भी वाक्य के लिए, असाधारण अभाज्य संख्याओं का सीमित समुच्चय Y होता है, जैसे कि इस समुच्चय में उपस्थित किसी भी p के लिए वाक्य F_p((t)) के लिए सत्य है यदि और केवल यदि यह p-एडिक संख्याओं के क्षेत्र के लिए सत्य है। इसे वाक्य में प्रयुक्त करते हुए कहा गया है कि कम से कम d²+1 वेरिएबल में डिग्री d का प्रत्येक गैर-स्थिर सजातीय बहुपद 0 का प्रतिनिधित्व करता है, और लैंग के प्रमेय का उपयोग करते हुए, किसी को x-कोचेन प्रमेय मिलता है।

वैकल्पिक प्रमाण

जान डेनेफ़ को जीन-लुई कोलियट-थेलेन के अनुमान के लिए विशुद्ध ज्यामितीय प्रमाण मिला जो ऍक्स -कोचेन प्रमेय को सामान्यीकृत करता है।^[2]^[3]

असाधारण अभाज्य

एमिल आर्टिन ने परिमित असाधारण समुच्चय Y_d के रिक्त होने के साथ इस प्रमेय का अनुमान लगाया (अर्थात, सभी पी-एडिक क्षेत्र C2 हैं), किंतु गाइ टेरजेनियन ^[4] ने d = 4 के लिए निम्नलिखित 2-एडिक काउंटरउदाहरण पाया। परिभाषित करें

G(x)=G(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum x_{i}^{4}-\sum _{i\,<\,j}x_{i}^{2}x_{j}^{2}-x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}).

फिर G का गुण है कि यदि कुछ x विषम है तो यह 1 मोड़ 4 है, और अन्यथा 0 मोड़ 16 है। इससे सहज ही सजातीय स्वरूप का पता चलता है

G('x') + G('y') + G('z') + 4G('u') + 4G('v') + 4G('w')

डिग्री d = 4 in 18 > d² वेरिएबल में 2-एडिक पूर्णांकों पर कोई सामान्य शून्य नहीं है।

इसके बाद में टेरजेनियन^[5] ने दिखाया कि प्रत्येक अभाज्य p और p(p − 1) के एकाधिक d > 2 के लिए, डी 2 से अधिक वेरिएबल के साथ डिग्री d की p-एडिक संख्याओं पर रूप है किंतु कोई सामान्य शून्य नहीं है। दूसरे शब्दों में, सभी d > 2 के लिए, Y_d में सभी अभाज्य संख्याएँ p इस प्रकार समाहित हैं कि p(p − 1) d को विभाजित करता है।

ब्राउन (1978) अभाज्य संख्याओं के असाधारण समुच्चय के लिए स्पष्ट किंतु बहुत बड़ी सीमा दी गई है। यदि डिग्री d 1, 2, या 3 है तो असाधारण समुच्चय रिक्त है। हीथ-ब्राउन (2010) ने दिखाया कि यदि d = 5 असाधारण समुच्चय 13 से घिरा है, और वूली (2008) ने दिखाया कि d = 7 के लिए असाधारण समुच्चय 883 से घिरा है और इस प्रकार यह d = 11 के लिए यह 8053 से घिरा है।

यह भी देखें

रूपों पर ब्रौअर का प्रमेय
अर्ध-बीजगणितीय समापन

↑ James Ax and Simon Kochen, Diophantine problems over local fields I., American Journal of Mathematics, 87, pages 605–630, (1965)
↑ Denef, Jan. "Proof of a conjecture of Colliot-Thélène" (PDF). Archived from the original (PDF) on 11 April 2017.
↑ Denef, Jan (2016), Geometric proofs of theorems of Ax–Kochen and Ersov, arXiv:1601.03607, Bibcode:2016arXiv160103607D
↑ Terjanian, Guy (1966). "Un contre-example à une conjecture d'Artin". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B (in French). 262: A612. Zbl 0133.29705.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ Guy Terjanian, Formes p-adiques anisotropes. (French) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 313 (1980), pages 217–220

संदर्भ

Brown, Scott Shorey (1978), "Bounds on transfer principles for algebraically closed and complete discretely valued fields", Memoirs of the American Mathematical Society, 15 (204), doi:10.1090/memo/0204, ISBN 978-0-8218-2204-3, ISSN 0065-9266, MR 0494980
Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome (1989). Model Theory (third ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7204-0692-4. (Corollary 5.4.19)
Heath-Brown, D. R. (2010), "Zeros of p-adic forms", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 100 (2): 560–584, arXiv:0805.0534, doi:10.1112/plms/pdp043, ISSN 0024-6115, MR 2595750, S2CID 6594042
Wooley, Trevor D. (2008), "Artin's conjecture for septic and unidecic forms", Acta Arithmetica, 133 (1): 25–35, Bibcode:2008AcAri.133...25W, doi:10.4064/aa133-1-2, ISSN 0065-1036, MR 2413363

[1] James Ax and Simon Kochen, Diophantine problems over local fields I., American Journal of Mathematics, 87, pages 605–630, (1965)

[2] Denef, Jan. "Proof of a conjecture of Colliot-Thélène" (PDF). Archived from the original (PDF) on 11 April 2017.

[3] Denef, Jan (2016), Geometric proofs of theorems of Ax–Kochen and Ersov, arXiv:1601.03607, Bibcode:2016arXiv160103607D

[4] Terjanian, Guy (1966). "Un contre-example à une conjecture d'Artin". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B (in French). 262: A612. Zbl 0133.29705.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[5] Guy Terjanian, Formes p-adiques anisotropes. (French) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 313 (1980), pages 217–220

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[5]

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 {{short description|On the existence of zeros of homogeneous polynomials over the p-adic numbers}}
+जेम्स ऍक्स  और साइमन बी. कोचेन के नाम पर ऍक्स -कोचेन प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक d के लिए अभाज्य संख्याओं का सीमित समुच्चय ''Y<sub>d</sub>'' होता है, जैसे कि यदि p कोई अभाज्य है जो ''Y<sub>d</sub>'' में नहीं है तो डिग्री d का प्रत्येक सजातीय बहुपद कम से कम ''d''<sup>2</sup> + 1 वेरिएबल में p-एडिक संख्याओं पर सामान्य शून्य होता है।<ref>James Ax and Simon Kochen, ''Diophantine problems over local fields I.'', American Journal of Mathematics, '''87''', pages 605–630, (1965)</ref>
-जेम्स x और साइमन b कोचेन के नाम पर x -कोचेन प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक d के लिए अभाज्य संख्याओं का एक सीमित समुच्चय ''Y<sub>d</sub>''  होता है, जैसे कि यदि p कोई अभाज्य है जो ''Y<sub>d</sub>'' में नहीं है तो डिग्री d का प्रत्येक सजातीय बहुपद कम से कम ''d''<sup>2</sup> + 1 वेरिएबल में p-एडिक संख्याओं पर एक गैर-तुच्छ शून्य होता है।<ref>James Ax and Simon Kochen, ''Diophantine problems over local fields I.'', American Journal of Mathematics, '''87''', pages 605–630, (1965)</ref>
+==प्रमेय का प्रमाण                       ==
-==प्रमेय का प्रमाण==
 प्रमेय का प्रमाण [[मॉडल सिद्धांत]] जैसे [[गणितीय तर्क]] के विधियों का व्यापक उपयोग करता है।
-सबसे पहले सर्ज लैंग के प्रमेय को सिद्ध करते हुए कहा गया है कि समान प्रमेय <math>Y_d = \varnothing</math> के साथ एक परिमित क्षेत्र '''F'''<sub>''p''</sub> पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला के क्षेत्र  '''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) के लिए सत्य है। दूसरे शब्दों में, ''d''<sup>2</sup> से अधिक वेरिएबल वाले घात d के प्रत्येक सजातीय बहुपद में एक गैर-तुच्छ शून्य होता है (इसलिए F<sub>''p''</sub>((t)) एक C<sub>2</sub> क्षेत्र है)।
+सबसे पहले सर्ज लैंग के प्रमेय को सिद्ध करते हुए कहा गया है कि समान प्रमेय <math>Y_d = \varnothing
+                                                                                                                                                                               </math> के साथ परिमित क्षेत्र '''F'''<sub>''p''</sub> पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला के क्षेत्र '''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) के लिए सत्य है। दूसरे शब्दों में, ''d''<sup>2</sup> से अधिक वेरिएबल वाले घात d के प्रत्येक सजातीय बहुपद में सामान्य शून्य होता है (इसलिए F<sub>''p''</sub>((t)) C<sub>2</sub> क्षेत्र है)।
-फिर एक से पता चलता है कि यदि दो हेन्सेल के लेम्मा वैल्यूएशन (बीजगणित) क्षेत्र में समतुल्य मूल्यांकन समूह और अवशेष क्षेत्र हैं, और अवशेष क्षेत्र में [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 है, तो वे प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं (जिसका अर्थ है कि पहला आदेश वाक्य एक के लिए सत्य है यदि और केवल यदि यह दूसरे के लिए सत्य है)।
+फिर से पता चलता है कि यदि दो हेन्सेल के लेम्मा वैल्यूएशन (बीजगणित) क्षेत्र में समतुल्य मूल्यांकन समूह और अवशेष क्षेत्र हैं, और अवशेष क्षेत्र में [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 है, तो वे प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं (जिसका अर्थ है कि पहला आदेश वाक्य के लिए सत्य है यदि और केवल यदि यह दूसरे के लिए सत्य है)।
-अगला इसे दो क्षेत्र पर प्रयुक्त करता है, एक क्षेत्र '''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) के सभी प्राइम पर एक अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है और दूसरा, p-एडिक क्षेत्र ''Q<sub>p</sub>'' के सभी प्राइम पर एक अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है। दोनों अवशेष क्षेत्र '''F'''<sub>''p''</sub> क्षेत्र पर एक अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिए गए हैं, इसलिए आइसोमोर्फिक हैं और विशेषता 0 है, और दोनों मूल्य समूह समान हैं, इसलिए अल्ट्राप्रोडक्ट प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं। (अल्ट्राप्रोडक्ट्स लेने का उपयोग अवशेष क्षेत्र को विशेषता 0 के लिए विवश करने के लिए किया जाता है;'''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) और ''Q<sub>p</sub>'' दोनों के अवशेष क्षेत्रों में गैर-शून्य विशेषता p है।)
+अगला इसे दो क्षेत्र पर प्रयुक्त करता है, क्षेत्र '''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) के सभी प्राइम पर अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है और दूसरा, p-एडिक क्षेत्र ''Q<sub>p</sub>'' के सभी प्राइम पर अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है। दोनों अवशेष क्षेत्र '''F'''<sub>''p''</sub> क्षेत्र पर अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिए गए हैं, इसलिए आइसोमोर्फिक हैं और विशेषता 0 है, और दोनों मूल्य समूह समान हैं, इसलिए अल्ट्राप्रोडक्ट प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं। (अल्ट्राप्रोडक्ट्स लेने का उपयोग अवशेष क्षेत्र को विशेषता 0 के लिए विवश करने के लिए किया जाता है;'''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) और ''Q<sub>p</sub>'' दोनों के अवशेष क्षेत्रों में गैर-शून्य विशेषता p है।)
-इन अल्ट्राप्रोडक्ट्स की प्रारंभिक तुल्यता का तात्पर्य है कि मूल्यवान क्षेत्रों की भाषा में किसी भी वाक्य के लिए, असाधारण अभाज्य संख्याओं का एक सीमित समुच्चय Y होता है, जैसे कि इस समुच्चय में उपस्थित किसी भी p के लिए वाक्य '''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) के लिए सत्य है यदि और केवल यदि यह p-एडिक संख्याओं के क्षेत्र के लिए सत्य है। इसे वाक्य में प्रयुक्त करते हुए कहा गया है कि कम से कम  ''d''<sup>2</sup>+1 वेरिएबल में डिग्री d का प्रत्येक गैर-स्थिर सजातीय बहुपद 0 का प्रतिनिधित्व करता है, और लैंग के प्रमेय का उपयोग करते हुए, किसी को x-कोचेन प्रमेय मिलता है।
+इन अल्ट्राप्रोडक्ट्स की प्रारंभिक तुल्यता का तात्पर्य है कि मूल्यवान क्षेत्रों की भाषा में किसी भी वाक्य के लिए, असाधारण अभाज्य संख्याओं का सीमित समुच्चय Y होता है, जैसे कि इस समुच्चय में उपस्थित किसी भी p के लिए वाक्य '''F'''<sub>''p''</sub>((''t'')) के लिए सत्य है यदि और केवल यदि यह p-एडिक संख्याओं के क्षेत्र के लिए सत्य है। इसे वाक्य में प्रयुक्त करते हुए कहा गया है कि कम से कम ''d''<sup>2</sup>+1 वेरिएबल में डिग्री d का प्रत्येक गैर-स्थिर सजातीय बहुपद 0 का प्रतिनिधित्व करता है, और लैंग के प्रमेय का उपयोग करते हुए, किसी को x-कोचेन प्रमेय मिलता है।
 ==वैकल्पिक प्रमाण==
-[[ फिर से डेनेफ़ | जान डेनेफ़]] को जीन-लुई कोलियट-थेलेन के अनुमान के लिए एक विशुद्ध ज्यामितीय प्रमाण मिला जो x-कोचेन प्रमेय को सामान्यीकृत करता है।<ref>{{cite web|last=Denef|first=Jan|url=http://perswww.kuleuven.be/~u0009256/Denef-Mathematics/denef_papers/ColliotTheleneConjecture.pdf|title=Proof of a conjecture of Colliot-Thélène|archive-url=https://web.archive.org/web/20170411055107/http://perswww.kuleuven.be/~u0009256/Denef-Mathematics/denef_papers/ColliotTheleneConjecture.pdf|archive-date=11 April 2017|url-status=dead}}</ref><ref>{{Citation|last=Denef|first=Jan|title=Geometric proofs of theorems of Ax–Kochen and Ersov|year=2016|arxiv=1601.03607|bibcode=2016arXiv160103607D}}</ref>
+[[ फिर से डेनेफ़ | जान डेनेफ़]] को जीन-लुई कोलियट-थेलेन के अनुमान के लिए विशुद्ध ज्यामितीय प्रमाण मिला जो ऍक्स -कोचेन प्रमेय को सामान्यीकृत करता है।<ref>{{cite web|last=Denef|first=Jan|url=http://perswww.kuleuven.be/~u0009256/Denef-Mathematics/denef_papers/ColliotTheleneConjecture.pdf|title=Proof of a conjecture of Colliot-Thélène|archive-url=https://web.archive.org/web/20170411055107/http://perswww.kuleuven.be/~u0009256/Denef-Mathematics/denef_papers/ColliotTheleneConjecture.pdf|archive-date=11 April 2017|url-status=dead}}</ref><ref>{{Citation|last=Denef|first=Jan|title=Geometric proofs of theorems of Ax–Kochen and Ersov|year=2016|arxiv=1601.03607|bibcode=2016arXiv160103607D}}</ref>
 ==असाधारण अभाज्य==
-एमिल आर्टिन ने परिमित असाधारण समुच्चय ''Y<sub>d</sub>''  के रिक्त होने के साथ इस प्रमेय का अनुमान लगाया (अर्थात, सभी पी-एडिक क्षेत्र C2 हैं), किंतु गाइ टेरजेनियन <ref>{{cite journal | first=Guy | last=Terjanian | authorlink=Guy Terjanian | title=Un contre-example à une conjecture d'Artin | journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B | volume=262 | page=A612 | year=1966 | zbl=0133.29705 | language=French }}</ref> ने d = 4 के लिए निम्नलिखित 2-एडिक काउंटरउदाहरण पाया। परिभाषित करें
+एमिल आर्टिन ने परिमित असाधारण समुच्चय ''Y<sub>d</sub>'' के रिक्त होने के साथ इस प्रमेय का अनुमान लगाया (अर्थात, सभी पी-एडिक क्षेत्र C2 हैं), किंतु गाइ टेरजेनियन <ref>{{cite journal | first=Guy | last=Terjanian | authorlink=Guy Terjanian | title=Un contre-example à une conjecture d'Artin | journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B | volume=262 | page=A612 | year=1966 | zbl=0133.29705 | language=French }}</ref> ने d = 4 के लिए निम्नलिखित 2-एडिक काउंटरउदाहरण पाया। परिभाषित करें
 : <math> G(x) = G(x_1,x_2,x_3) = \sum x_i^4 - \sum_{i\,<\,j} x_i^2 x_j^2 - x_1 x_2 x_3 (x_1 + x_2+x_3). </math>
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 :G('x') + G('y') + G('z') + 4G('u') + 4G('v') + 4G('w')
-डिग्री  d = 4 in 18 > d<sup>2</sup> वेरिएबल में 2-एडिक पूर्णांकों पर कोई गैर-तुच्छ शून्य नहीं है।
+डिग्री d = 4 in 18 > d<sup>2</sup> वेरिएबल में 2-एडिक पूर्णांकों पर कोई सामान्य शून्य नहीं है।
-इसके बाद में टेरजेनियन<ref>Guy Terjanian, ''Formes ''p''-adiques anisotropes.'' (French) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, '''313''' (1980), pages 217–220</ref> ने दिखाया कि प्रत्येक अभाज्य p और p(p − 1) के एकाधिक d > 2 के लिए, डी 2 से अधिक वेरिएबल के साथ डिग्री d की p-एडिक संख्याओं पर एक रूप है किंतु कोई गैर-तुच्छ शून्य नहीं है। दूसरे शब्दों में, सभी d > 2 के लिए, ''Y<sub>d</sub>''  में सभी अभाज्य संख्याएँ p इस प्रकार समाहित हैं कि p(p − 1) d को विभाजित करता है।
+इसके बाद में टेरजेनियन<ref>Guy Terjanian, ''Formes ''p''-adiques anisotropes.'' (French) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, '''313''' (1980), pages 217–220</ref> ने दिखाया कि प्रत्येक अभाज्य p और p(p − 1) के एकाधिक d > 2 के लिए, डी 2 से अधिक वेरिएबल के साथ डिग्री d की p-एडिक संख्याओं पर रूप है किंतु कोई सामान्य शून्य नहीं है। दूसरे शब्दों में, सभी d > 2 के लिए, ''Y<sub>d</sub>'' में सभी अभाज्य संख्याएँ p इस प्रकार समाहित हैं कि p(p − 1) d को विभाजित करता है।
-{{harvtxt|Brown|1978}} अभाज्य संख्याओं के असाधारण समुच्चय के लिए एक स्पष्ट किंतु बहुत बड़ी सीमा दी गई है। यदि डिग्री d 1, 2, या 3 है तो असाधारण समुच्चय रिक्त है। {{harvtxt|Heath-Brown|2010}} ने दिखाया कि यदि d = 5 असाधारण समुच्चय 13 से घिरा है, और {{harvtxt|Wooley|2008}} ने दिखाया कि d = 7 के लिए असाधारण समुच्चय 883 से घिरा है और d = 11 के लिए यह 8053 से घिरा है।
+{{harvtxt|ब्राउन|1978}} अभाज्य संख्याओं के असाधारण समुच्चय के लिए स्पष्ट किंतु बहुत बड़ी सीमा दी गई है। यदि डिग्री d 1, 2, या 3 है तो असाधारण समुच्चय रिक्त है। {{harvtxt|हीथ-ब्राउन|2010}} ने दिखाया कि यदि d = 5 असाधारण समुच्चय 13 से घिरा है, और {{harvtxt|वूली|2008}} ने दिखाया कि d = 7 के लिए असाधारण समुच्चय 883 से घिरा है और इस प्रकार यह d = 11 के लिए यह 8053 से घिरा है।
 ==यह भी देखें                                                                                                                      ==
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 ==टिप्पणियाँ==
 <references/>
 ==संदर्भ==
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 *{{Citation | last1=Wooley | first1=Trevor D. | author1-link=Trevor Wooley | title=Artin's conjecture for septic and unidecic forms | doi=10.4064/aa133-1-2 | mr=2413363  | year=2008 | journal=[[Acta Arithmetica]] | issn=0065-1036 | volume=133 | issue=1 | pages=25–35| bibcode=2008AcAri.133...25W | doi-access=free }}
-{{DEFAULTSORT:Ax-Kochen theorem}}[[Category: मॉडल सिद्धांत]] [[Category: संख्या सिद्धांत में प्रमेय]]
+{{DEFAULTSORT:Ax-Kochen theorem}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 maint]]
-[[Category:Created On 25/07/2023]]
+[[Category:Created On 25/07/2023|Ax-Kochen theorem]]
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