ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क की प्रणालियाँ: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
Line 2: Line 2:
{{DISPLAYTITLE:''Systems of Logic Based on Ordinals''}}
{{DISPLAYTITLE:''Systems of Logic Based on Ordinals''}}


'''ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क प्रणाली''' [[गणितज्ञ]] [[एलन ट्यूरिंग]] का पीएचडी शोध प्रबंध था।<ref name="turingphd">{{cite thesis |degree=PhD |first=Alan|last=Turing |title=ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क की प्रणालियाँ|publisher=Princeton University |date=1938 |doi=10.1112/plms/s2-45.1.161|author-link=Alan Turing|id={{ProQuest|301792588}}|hdl=21.11116/0000-0001-91CE-3|hdl-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Turing | first1 = A. M. | author-link = Alan Turing| title = ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क की प्रणालियाँ| doi = 10.1112/plms/s2-45.1.161 | journal = Proceedings of the London Mathematical Society | pages = 161–228 | year = 1939 | hdl = 21.11116/0000-0001-91CE-3 | hdl-access = free }}</ref>ट्यूरिंग की थीसिस नए प्रकार के औपचारिक तर्क के विषय में नहीं है, न ही उन्हें क्रमिक या सापेक्ष संख्या से प्राप्त तथाकथित 'रैंक किए गए तर्क' प्रणालियों में अभिरुचि थी, जिसमें सापेक्ष सत्यता के आधार पर सत्य-स्थितियों के मध्य तुलना की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, ट्यूरिंग ने [[जॉर्ज कैंटर]] की अनंत की विधि का उपयोग करके गोडेलियन अपूर्णता की स्थिति को हल करने की संभावना का परिक्षण किया। इस स्थिति को इस प्रकार कहा जा सकता है, कि स्वयंसिद्धों के सीमित समूह वाली सभी प्रणालियों में, अभिव्यंजक शक्ति और सिद्धता पर विशेष स्थिति प्रारम्भ होती है; अर्थात किसी के पास शक्ति हो सकती है और कोई प्रमाण नहीं, या प्रमाण और कोई शक्ति नहीं, किन्तु दोनों नहीं है।
'''ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क प्रणाली''' [[गणितज्ञ]] [[एलन ट्यूरिंग]] का पीएचडी शोध प्रबंध था।<ref name="turingphd">{{cite thesis |degree=PhD |first=Alan|last=Turing |title=ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क की प्रणालियाँ|publisher=Princeton University |date=1938 |doi=10.1112/plms/s2-45.1.161|author-link=Alan Turing|id={{ProQuest|301792588}}|hdl=21.11116/0000-0001-91CE-3|hdl-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Turing | first1 = A. M. | author-link = Alan Turing| title = ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क की प्रणालियाँ| doi = 10.1112/plms/s2-45.1.161 | journal = Proceedings of the London Mathematical Society | pages = 161–228 | year = 1939 | hdl = 21.11116/0000-0001-91CE-3 | hdl-access = free }}</ref>ट्यूरिंग की थीसिस नए प्रकार के औपचारिक तर्क के विषय में नहीं है, न ही उन्हें क्रमिक या सापेक्ष संख्या से प्राप्त तथाकथित 'रैंक किए गए तर्क' प्रणालियों में अभिरुचि थी, जिसमें सापेक्ष सत्यता के आधार पर सत्य-स्थितियों के मध्य तुलना की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, ट्यूरिंग ने [[जॉर्ज कैंटर]] की अनंत की विधि का उपयोग करके गोडेलियन अपूर्णता की स्थिति का निवारण करने की संभावना का परिक्षण किया है। इस स्थिति को इस प्रकार कहा जा सकता है, कि स्वयंसिद्धों के सीमित समूह वाली सभी प्रणालियों में, अभिव्यंजक शक्ति एवं सिद्धता पर विशेष स्थिति प्रारम्भ होती है; अर्थात किसी के पास शक्ति हो सकती है एवं कोई प्रमाण नहीं, या प्रमाण एवं कोई शक्ति नहीं, किन्तु दोनों नहीं है।


थीसिस गोडेल की अपूर्णता प्रमेय गोडेल के प्रमेय के पश्चात औपचारिक गणितीय प्रणालियों का शोध कि है। गोडेल ने दिखाया कि अंकगणित का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली किसी भी औपचारिक प्रणाली S के लिए, प्रमेय G है, जो सत्य है किन्तु प्रणाली प्रमाणित करने में असमर्थ है। G को प्रमाण के स्थान पर प्रणाली में अतिरिक्त स्वयंसिद्ध के रूप में जोड़ा जा सकता है। चूंकि यह नई प्रणाली S' बनाएगा, जिसका अपना अप्रमाणित सत्य प्रमेय G' होगा, इत्यादि। ट्यूरिंग की थीसिस यह देखती है, कि यदि आप इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराते हैं, तो क्या होता है, मूल सिद्धांत में जोड़ने के लिए नए स्वयंसिद्धों का अनंत समूह उत्पन्न होता है, और यहां तक ​​कि अनंत से आगे जाने के लिए ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन का उपयोग करने में एक कदम आगे बढ़ता है, जिससे नए समूह मिलते हैं, सिद्धांत G<sub>n</sub> प्रत्येक क्रमिक संख्या n के लिए थीसिस [[अलोंजो चर्च]] के अनुसार प्रिंसटन में पूरी हुई और यह गणित में उत्कृष्ट कार्य था, जिसने [[क्रमिक तर्क]] की अवधारणा को प्रस्तुत किया।<ref>Solomon Feferman, ''Turing in the Land of O(z)'' in "The universal Turing machine: a half-century survey" by Rolf Herken 1995 {{isbn|3-211-82637-8}} page 111</ref>[[मार्टिन डेविस (गणितज्ञ)]] का कहना है, कि यद्यपि ट्यूरिंग द्वारा [[ओरेकल मशीन]] का उपयोग शोध प्रबंध का प्रमुख फोकस नहीं है, यह [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में अत्यधिक प्रभावशाली प्रमाणित हुआ है, उदाहरण के लिए [[बहुपद समय पदानुक्रम]] में होता है।<ref>[[Martin Davis (mathematician)|Martin Davis]] "Computability, Computation and the Real World", in ''Imagination and Rigor'' edited by Settimo Termini 2006 {{isbn|88-470-0320-2}} pages 63-66 [https://books.google.com/books?id=K3xBKR2HiT8C&dq=oracle+hypercomputation+copeland&pg=PA65]</ref>
थीसिस गोडेल की अपूर्णता प्रमेय गोडेल के प्रमेय के पश्चात औपचारिक गणितीय प्रणालियों का शोध कि है। गोडेल ने दिखाया कि अंकगणित का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली किसी भी औपचारिक प्रणाली S के लिए, प्रमेय G है, जो सत्य है किन्तु प्रणाली प्रमाणित करने में असमर्थ है। G को प्रमाण के स्थान पर प्रणाली में अतिरिक्त स्वयंसिद्ध के रूप में जोड़ा जा सकता है। चूंकि यह नई प्रणाली S' बनाएगा, जिसका अपना अप्रमाणित सत्य प्रमेय G' होगा, इत्यादि। ट्यूरिंग की थीसिस यह देखती है, कि यदि आप इस प्रक्रिया को पुनः दोहराते हैं, तो क्या होता है, मूल सिद्धांत में जोड़ने के लिए नए स्वयंसिद्धों का अनंत समूह उत्पन्न होता है, एवं यहां तक ​​कि अनंत से आगे जाने के लिए ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन का उपयोग करने में एक कदम आगे बढ़ता है, जिससे नए समूह मिलते हैं, सिद्धांत G<sub>n</sub> प्रत्येक क्रमिक संख्या n के लिए थीसिस [[अलोंजो चर्च]] के अनुसार प्रिंसटन में पूर्ण हुई एवं यह गणित में उत्कृष्ट कार्य था, जिसने [[क्रमिक तर्क]] की अवधारणा को प्रस्तुत किया था।<ref>Solomon Feferman, ''Turing in the Land of O(z)'' in "The universal Turing machine: a half-century survey" by Rolf Herken 1995 {{isbn|3-211-82637-8}} page 111</ref>[[मार्टिन डेविस (गणितज्ञ)]] का कहना है, कि यद्यपि ट्यूरिंग द्वारा [[ओरेकल मशीन]] का उपयोग शोध प्रबंध का प्रमुख केंद्र नहीं है, यह [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में अत्यधिक प्रभावशाली प्रमाणित हुआ है, उदाहरण के लिए [[बहुपद समय पदानुक्रम]] में होता है।<ref>[[Martin Davis (mathematician)|Martin Davis]] "Computability, Computation and the Real World", in ''Imagination and Rigor'' edited by Settimo Termini 2006 {{isbn|88-470-0320-2}} pages 63-66 [https://books.google.com/books?id=K3xBKR2HiT8C&dq=oracle+hypercomputation+copeland&pg=PA65]</ref>




Revision as of 20:58, 1 August 2023


ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क प्रणाली गणितज्ञ एलन ट्यूरिंग का पीएचडी शोध प्रबंध था।[1][2]ट्यूरिंग की थीसिस नए प्रकार के औपचारिक तर्क के विषय में नहीं है, न ही उन्हें क्रमिक या सापेक्ष संख्या से प्राप्त तथाकथित 'रैंक किए गए तर्क' प्रणालियों में अभिरुचि थी, जिसमें सापेक्ष सत्यता के आधार पर सत्य-स्थितियों के मध्य तुलना की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, ट्यूरिंग ने जॉर्ज कैंटर की अनंत की विधि का उपयोग करके गोडेलियन अपूर्णता की स्थिति का निवारण करने की संभावना का परिक्षण किया है। इस स्थिति को इस प्रकार कहा जा सकता है, कि स्वयंसिद्धों के सीमित समूह वाली सभी प्रणालियों में, अभिव्यंजक शक्ति एवं सिद्धता पर विशेष स्थिति प्रारम्भ होती है; अर्थात किसी के पास शक्ति हो सकती है एवं कोई प्रमाण नहीं, या प्रमाण एवं कोई शक्ति नहीं, किन्तु दोनों नहीं है।

थीसिस गोडेल की अपूर्णता प्रमेय गोडेल के प्रमेय के पश्चात औपचारिक गणितीय प्रणालियों का शोध कि है। गोडेल ने दिखाया कि अंकगणित का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली किसी भी औपचारिक प्रणाली S के लिए, प्रमेय G है, जो सत्य है किन्तु प्रणाली प्रमाणित करने में असमर्थ है। G को प्रमाण के स्थान पर प्रणाली में अतिरिक्त स्वयंसिद्ध के रूप में जोड़ा जा सकता है। चूंकि यह नई प्रणाली S' बनाएगा, जिसका अपना अप्रमाणित सत्य प्रमेय G' होगा, इत्यादि। ट्यूरिंग की थीसिस यह देखती है, कि यदि आप इस प्रक्रिया को पुनः दोहराते हैं, तो क्या होता है, मूल सिद्धांत में जोड़ने के लिए नए स्वयंसिद्धों का अनंत समूह उत्पन्न होता है, एवं यहां तक ​​कि अनंत से आगे जाने के लिए ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन का उपयोग करने में एक कदम आगे बढ़ता है, जिससे नए समूह मिलते हैं, सिद्धांत Gn प्रत्येक क्रमिक संख्या n के लिए थीसिस अलोंजो चर्च के अनुसार प्रिंसटन में पूर्ण हुई एवं यह गणित में उत्कृष्ट कार्य था, जिसने क्रमिक तर्क की अवधारणा को प्रस्तुत किया था।[3]मार्टिन डेविस (गणितज्ञ) का कहना है, कि यद्यपि ट्यूरिंग द्वारा ओरेकल मशीन का उपयोग शोध प्रबंध का प्रमुख केंद्र नहीं है, यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में अत्यधिक प्रभावशाली प्रमाणित हुआ है, उदाहरण के लिए बहुपद समय पदानुक्रम में होता है।[4]


संदर्भ

  1. ↑ Turing, Alan (1938). ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क की प्रणालियाँ (PhD thesis). Princeton University. doi:10.1112/plms/s2-45.1.161. hdl:21.11116/0000-0001-91CE-3. ProQuest 301792588.
  2. ↑ Turing, A. M. (1939). "ऑर्डिनल्स पर आधारित तर्क की प्रणालियाँ". Proceedings of the London Mathematical Society: 161–228. doi:10.1112/plms/s2-45.1.161. hdl:21.11116/0000-0001-91CE-3.
  3. ↑ Solomon Feferman, Turing in the Land of O(z) in "The universal Turing machine: a half-century survey" by Rolf Herken 1995 ISBN 3-211-82637-8 page 111
  4. ↑ Martin Davis "Computability, Computation and the Real World", in Imagination and Rigor edited by Settimo Termini 2006 ISBN 88-470-0320-2 pages 63-66 [1]


बाहरी संबंध

Stub icon

This mathematical logic-related article is a stub. You can help Wikipedia by expanding it.

Stub icon

This article about a mathematical publication is a stub. You can help Wikipedia by expanding it.

Retrieved from ‘https://www.vigyanwiki.in/index.php?title=ऑर्डिनल्स_पर_आधारित_तर्क_की_प्रणालियाँ&oldid=241432’