क्षमता के गुणांक

स्थिर वैद्युत भंडारण में, क्षमता के गुणांक विद्युत आवेश और स्थिरवैद्युत विभव (विद्युत क्षमता) के बीच संबंध निर्धारित करते हैं, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय है:

${\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.$

जहाँ Q_i चालक पर सतही आवेश i है। क्षमता के गुणांक गुणांक p_ij हैं। φ_i को i-वें संवाहक पर विभव के रूप में सही ढंग से पढ़ा जाना चाहिए, और इसलिए $p_{21}$संवाहक 2 पर प्रभार 1 के कारण p है।

$p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.$

ध्यान दें कि:

1. p_ij = p_ji, समरूपता द्वारा, और
2. p_ij प्रभार पर निर्भर नहीं है।

समरूपता की भौतिक विषयवस्तु इस प्रकार है:

यदि संवाहक j पर कोई प्रभार Q संवाहक i को संभावित φ पर लाता है, तो i पर रखा गया वही प्रभार j को समान क्षमता φ पर लाएगा।

सामान्यतः, गुणांक का उपयोग संवाहकों की प्रणाली का वर्णन जैसे कि संधारित्र में करते समय किया जाता है।

सिद्धांत

संवाहकों की प्रणाली है। बिंदु P पर स्थिरवैद्युत विभव $\phi _{P}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{j}}}$ है।

किसी चालक सतह पर विद्युत क्षमता को देखते हुए S_i (समविभव सतह या बिंदु P सतह पर चुना गया i) संवाहकों की एक प्रणाली में j = 1, 2, ..., n निहित है:

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},$

जहां Rji = |ri - rj|, यानी संवाहक i पर क्षेत्रफल-अवयव daj से एक विशेष बिंदु ri तक की दूरी है। σ_j, सामान्यतः, सतह पर समान रूप से वितरित नहीं है। आइए हम कारक f_j का परिचय दें जो बताता है कि j-वें संवाहक की सतह पर स्थिति पर वास्तविक प्रभार घनत्व औसत और खुद से कैसे भिन्न होता है:

${\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},$

या

$\sigma _{j}=\langle \sigma _{j}\rangle f_{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.$

तब,

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.$

ऐसा दिखाया जा सकता है $\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}$ वितरण $\sigma _{j}$ से स्वतंत्र है। इसलिए, साथ

$p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},$

अपने पास

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}.$

उदाहरण

इस उदाहरण में, हम दो-संवाहक प्रणाली पर धारिता निर्धारित करने के लिए क्षमता के गुणांक की विधि का उपयोग करते हैं।

दो-संचालक प्रणाली के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली है

${\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.$

एक संधारित्र पर, दो चालकों पर आवेश बराबर और विपरीत होता है: Q = Q₁ = -Q₂। इसलिए,

${\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},$

और

$\Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})Q.$

इस तरह,

$C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.$

संबंधित गुणांक

ध्यान दें कि रैखिक समीकरणों की सरणी

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}$

को उलटा किया जा सकता है

$Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}$

जहां i = j के साथ c_ij को क्षमता के गुणांक कहा जाता है और i ≠ j के साथ cij को स्थिर वैद्युत प्रेरण के गुणांक कहा जाता है।

एक ही क्षमता पर रखे गए दो गोलाकार संवाहकों की एक प्रणाली के लिए,

$Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V$

$Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V$

यदि दो संवाहक समान और विपरीत प्रभार ले जाते हैं,

$\phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}$

$\quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}$

संवाहकों की प्रणाली में समान समरूपता c_ij = c_ji दिखाई जा सकती है।

संदर्भ

• James Clerk Maxwell (1873) A Treatise on Electricity and Magnetism, § 86, page 89.