न्यूनतम-वर्ग समायोजन: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
Line 9: Line 9:


==समाधान==
==समाधान==
उपरोक्त समानताएँ केवल अनुमानित मापदंडों के लिए मान्य हैं <math>\hat{X}</math> और अवलोकन <math>\hat{Y}</math>, इस प्रकार <math>f\left(\hat{X},\hat{Y}\right)=0</math>. इसके विपरीत, मापे गए अवलोकन <math>\tilde{Y}</math> और अनुमानित पैरामीटर <math>\tilde{X}</math> एक गैर-शून्य गलत प्रकटीकरण उत्पन्न करें:
उपरोक्त समानताएँ केवल अनुमानित मापदंडों <math>\hat{X}</math> और अवलोकन <math>\hat{Y}</math> के लिए मान्य हैं। इस प्रकार <math>f\left(\hat{X},\hat{Y}\right)=0</math> है। इसके विपरीत, मापे गए अवलोकन <math>\tilde{Y}</math> और अनुमानित पैरामीटर <math>\tilde{X}</math> एक गैर-शून्य प्रकटीकरण उत्पन्न करता है:
:<math>\tilde{w} = f\left(\tilde{X},\tilde{Y}\right).</math>
:<math>\tilde{w} = f\left(\tilde{X},\tilde{Y}\right).</math>
कोई समीकरणों के [[टेलर श्रृंखला विस्तार]] के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसके परिणामस्वरूप [[जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक]] या [[डिजाइन मैट्रिक्स]] होता है: पहला,
कोई समीकरणों के [[टेलर श्रृंखला विस्तार]] के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसके परिणामस्वरूप [[जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक|जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक]] या [[डिजाइन मैट्रिक्स|डिजाइन आव्यूह]] उत्पन्न होता है: पहला,
:<math>A=\partial{f}/\partial{X};</math>
:<math>A=\partial{f}/\partial{X};</math>
और दूसरा,
और दूसरा,
:<math>B=\partial{f}/\partial{Y}.</math>
:<math>B=\partial{f}/\partial{Y}.</math>
रेखीयकृत मॉडल तब पढ़ता है:
रेखीयकृत मॉडल तब:
:<math>\tilde{w} + A \hat{x} + B \hat{y} = 0,</math>
:<math>\tilde{w} + A \hat{x} + B \hat{y} = 0,</math>
कहाँ <math>\hat{x}=\hat{X}-\tilde{X}</math> प्राथमिक मानों के लिए अनुमानित पैरामीटर सुधार हैं, और <math>\hat{y}=\hat{Y}-\tilde{Y}</math> आँकड़ों में पोस्ट-फिट अवलोकन त्रुटियाँ और अवशेष हैं।
जहाँ <math>\hat{x}=\hat{X}-\tilde{X}</math> प्राथमिक मानों के लिए अनुमानित पैरामीटर सुधार हैं, और <math>\hat{y}=\hat{Y}-\tilde{Y}</math> आँकड़ों में पोस्ट-फिट अवलोकन त्रुटियाँ और अवशेष हैं।


प्राचलिक समायोजन में, दूसरा डिज़ाइन मैट्रिक्स एक पहचान है, बी = -आई, और मिसक्लोजर वेक्टर को पूर्व-फिट अवशेषों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, <math>\tilde{y}=\tilde{w}=h(\tilde{X})-\tilde{Y}</math>, इसलिए सिस्टम सरल हो जाता है:
प्राचलिक समायोजन में, दूसरा डिज़ाइन आव्यूह एक इकाई है, और मिसक्लोजर वेक्टर को पूर्व-फिट अवशेषों <math>\tilde{y}=\tilde{w}=h(\tilde{X})-\tilde{Y}</math> के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, इसलिए तंत्र सरल हो जाता है:
:<math>A \hat{x} = \hat{y} - \tilde{y},</math>
:<math>A \hat{x} = \hat{y} - \tilde{y},</math>
जो साधारण न्यूनतम वर्ग के रूप में है।
जो साधारण न्यूनतम वर्ग के रूप में है।
औपबंधिक समायोजन में, पहला डिज़ाइन मैट्रिक्स शून्य है, A=0।
 
अधिक सामान्य मामलों के लिए, [[लैग्रेंज गुणक]] को दो जैकोबियन मैट्रिक्स से संबंधित करने के लिए पेश किया गया है, और [[बाधा (गणित)]] न्यूनतम वर्ग समस्या को एक अप्रतिबंधित (यद्यपि एक बड़ा) में बदल दिया गया है। किसी भी मामले में, उनके हेरफेर की ओर जाता है <math>\hat{X}</math> और <math>\hat{Y}</math> वैक्टर के साथ-साथ संबंधित पैरामीटर और पोस्टीरियर कोवेरिएंस मैट्रिसेस का अवलोकन।
औपबंधिक समायोजन में, पहला डिज़ाइन आव्यूह , A=0 शून्य है।
 
अधिक सामान्य विषयों के लिए, [[लैग्रेंज गुणक]] को दो जैकोबियन आव्यूह से संबंधित करने के लिए प्रस्तुत किया गया है, और [[बाधा (गणित)|बाधा]] न्यूनतम वर्ग समस्या को एक अप्रतिबंधित समायोजन में परिवर्तित कर दिया गया है। किसी भी स्थिति में, <math>\hat{X}</math> और <math>\hat{Y}</math> वैक्टर के साथ-साथ संबंधित पैरामीटर और पोस्टीरियर सहप्रसरण आव्यूह का अवलोकन उनके यादृच्छिकता की ओर प्रवर्धित होता है।


===गणना===
===गणना===
उपरोक्त आव्यूहों और सदिशों को देखते हुए, उनका समाधान मानक न्यूनतम-वर्ग विधियों के माध्यम से पाया जाता है; उदाहरण के लिए, [[सामान्य मैट्रिक्स]] बनाना और [[चोलेस्की अपघटन]] को लागू करना, [[क्यूआर फैक्टराइजेशन]] को सीधे जैकोबियन मैट्रिक्स पर लागू करना, बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त तरीके आदि।
उपरोक्त आव्यूहों और सदिशों को देखते हुए, उनका समाधान मानक न्यूनतम-वर्ग विधियों के माध्यम से पाया जाता है; उदाहरण के लिए, [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह]] बनाना और [[चोलेस्की अपघटन]] को लागू करना, [[क्यूआर फैक्टराइजेशन]] को सीधे जैकोबियन आव्यूह पर लागू करना, बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त तरीके आदि।


==कार्यपूर्ण उदाहरण==
==कार्यपूर्ण उदाहरण==
Line 41: Line 43:
*प्राचलिक समायोजन अधिकांश [[प्रतिगमन विश्लेषण]] के समान है और गॉस-मार्कोव मॉडल के साथ मेल खाता है
*प्राचलिक समायोजन अधिकांश [[प्रतिगमन विश्लेषण]] के समान है और गॉस-मार्कोव मॉडल के साथ मेल खाता है
*{{anchor|Gauss–Helmert model}}संयुक्त समायोजन, जिसे गॉस-हेल्मर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है (जर्मन गणितज्ञों/जियोडेसिस्ट कार्ल फ्रेडरिक गॉस|सी.एफ. गॉस और फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट|एफ.आर. हेल्मर्ट के नाम पर),<ref name="Kotz2006">{{cite book | last1=Kotz | first1=Samuel | last2=Read | first2=Campbell B. | last3=Balakrishnan | first3=N. | last4=Vidakovic | first4=Brani | last5=Johnson | first5=Norman L. | chapter=Gauss-Helmert Model | title=सांख्यिकीय विज्ञान का विश्वकोश| publisher=John Wiley & Sons, Inc. | publication-place=Hoboken, NJ, USA | date=2004-07-15 | isbn=978-0-471-66719-3 | doi=10.1002/0471667196.ess0854.pub2 | page=}}</ref><ref name="Förstner&Wrobel2016">{{cite book | last1=Förstner | first1=Wolfgang | last2=Wrobel | first2=Bernhard P. | title=फोटोग्रामेट्रिक कंप्यूटर विजन| chapter=Estimation | publisher=Springer International Publishing | publication-place=Cham | year=2016 | isbn=978-3-319-11549-8 | issn=1866-6795 | doi=10.1007/978-3-319-11550-4_4 | pages=75–190}}</ref> त्रुटि-में-चर मॉडल और [[कुल न्यूनतम वर्ग]]ों से संबंधित है। रेफरी नाम = शेफ़रिन&स्नो2010 >{{cite journal | last1=Schaffrin | first1=Burkhard | last2=Snow | first2=Kyle | title=टाइखोनोव प्रकार का टोटल लीस्ट-स्क्वायर नियमितीकरण और कोरिंथ में एक प्राचीन रेसट्रैक| journal=Linear Algebra and Its Applications | publisher=Elsevier BV | volume=432 | issue=8 | year=2010 | issn=0024-3795 | doi=10.1016/j.laa.2009.09.014 | pages=2061–2076| doi-access=free }}</ref><ref name="Neitzel2010">{{cite journal | last=Neitzel | first=Frank | title=Generalization of total least-squares on example of unweighted and weighted 2D similarity transformation | journal=Journal of Geodesy | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=84 | issue=12 | date=2010-09-17 | issn=0949-7714 | doi=10.1007/s00190-010-0408-0 | pages=751–762| bibcode=2010JGeod..84..751N | s2cid=123207786 }}</ref>
*{{anchor|Gauss–Helmert model}}संयुक्त समायोजन, जिसे गॉस-हेल्मर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है (जर्मन गणितज्ञों/जियोडेसिस्ट कार्ल फ्रेडरिक गॉस|सी.एफ. गॉस और फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट|एफ.आर. हेल्मर्ट के नाम पर),<ref name="Kotz2006">{{cite book | last1=Kotz | first1=Samuel | last2=Read | first2=Campbell B. | last3=Balakrishnan | first3=N. | last4=Vidakovic | first4=Brani | last5=Johnson | first5=Norman L. | chapter=Gauss-Helmert Model | title=सांख्यिकीय विज्ञान का विश्वकोश| publisher=John Wiley & Sons, Inc. | publication-place=Hoboken, NJ, USA | date=2004-07-15 | isbn=978-0-471-66719-3 | doi=10.1002/0471667196.ess0854.pub2 | page=}}</ref><ref name="Förstner&Wrobel2016">{{cite book | last1=Förstner | first1=Wolfgang | last2=Wrobel | first2=Bernhard P. | title=फोटोग्रामेट्रिक कंप्यूटर विजन| chapter=Estimation | publisher=Springer International Publishing | publication-place=Cham | year=2016 | isbn=978-3-319-11549-8 | issn=1866-6795 | doi=10.1007/978-3-319-11550-4_4 | pages=75–190}}</ref> त्रुटि-में-चर मॉडल और [[कुल न्यूनतम वर्ग]]ों से संबंधित है। रेफरी नाम = शेफ़रिन&स्नो2010 >{{cite journal | last1=Schaffrin | first1=Burkhard | last2=Snow | first2=Kyle | title=टाइखोनोव प्रकार का टोटल लीस्ट-स्क्वायर नियमितीकरण और कोरिंथ में एक प्राचीन रेसट्रैक| journal=Linear Algebra and Its Applications | publisher=Elsevier BV | volume=432 | issue=8 | year=2010 | issn=0024-3795 | doi=10.1016/j.laa.2009.09.014 | pages=2061–2076| doi-access=free }}</ref><ref name="Neitzel2010">{{cite journal | last=Neitzel | first=Frank | title=Generalization of total least-squares on example of unweighted and weighted 2D similarity transformation | journal=Journal of Geodesy | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=84 | issue=12 | date=2010-09-17 | issn=0949-7714 | doi=10.1007/s00190-010-0408-0 | pages=751–762| bibcode=2010JGeod..84..751N | s2cid=123207786 }}</ref>
*प्राथमिक पैरामीटर सहप्रसरण मैट्रिक्स का उपयोग [[तिखोनोव नियमितीकरण]] के समान है
*प्राथमिक पैरामीटर सहप्रसरण आव्यूह का उपयोग [[तिखोनोव नियमितीकरण]] के समान है


==एक्सटेंशन==
==एक्सटेंशन==

Revision as of 20:01, 6 August 2023

न्यूनतम-वर्ग समायोजन, न्यूनतम वर्ग अवलोकन अवशेष के सिद्धांत पर आधारित, समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान हेतु एक प्रारूप है। इसका उपयोग व्यापक रूप से सर्वेक्षण, भूगणित और फोटोग्राममिति में, सर्वसमावेशी रूप से किया जाता है।

सूत्रीकरण

न्यूनतम वर्ग समायोजन के तीन रूप हैं: प्राचलिक, औपबंधिक और संयुक्त:

  • 'प्राचलिक समायोजन' में, कोई अवलोकन समीकरण h(X)=Y प्राप्त कर सकता है जो स्पष्ट रूप से मानदंड X के संदर्भ में अवलोकन Y से संबंधित है (जिससे A-मॉडल का निर्माण होता है)।
  • औपबंधिक समायोजन में, एक औपबंधिक समीकरण होता है जिसमें केवल अवलोकन Y संबंधित होते हैं और इसमें कोई पैरामीटर X नहीं होता है, जो इसे g(Y)=0 रूप में प्रकट करता है (जिससे B-मॉडल का निर्माण होता है)।
  • संयुक्त समायोजन में, न सिर्फ पैरामीटर X बल्कि अवलोकन Y भी मिश्रित मॉडल समीकरण f(X,Y)=0 में निहित रूप से सम्मिलित होते हैं। इस समीकरण के माध्यम से दोनों पैरामीटर और अवलोकनों के बीच संबंध का समाधान किया जाता है।

स्पष्ट रूप से, प्राचलिक और औपबंधिक समायोजन अधिक सामान्य संयुक्त परिप्रेक्ष्य के अनुरूप होते हैं जब क्रमशः f(X,Y)=h(X)-Y और f(X,Y)=g(Y)। फिर भी विशेष परिप्रेक्ष्य में सरल समाधान की आवश्यकता होती है, जैसा कि नीचे बताया गया है। प्रायः साहित्य में, Y को L से दर्शाया जा सकता है।

समाधान

उपरोक्त समानताएँ केवल अनुमानित मापदंडों और अवलोकन के लिए मान्य हैं। इस प्रकार है। इसके विपरीत, मापे गए अवलोकन और अनुमानित पैरामीटर एक गैर-शून्य प्रकटीकरण उत्पन्न करता है:

कोई समीकरणों के टेलर श्रृंखला विस्तार के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसके परिणामस्वरूप जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक या डिजाइन आव्यूह उत्पन्न होता है: पहला,

और दूसरा,

रेखीयकृत मॉडल तब:

जहाँ प्राथमिक मानों के लिए अनुमानित पैरामीटर सुधार हैं, और आँकड़ों में पोस्ट-फिट अवलोकन त्रुटियाँ और अवशेष हैं।

प्राचलिक समायोजन में, दूसरा डिज़ाइन आव्यूह एक इकाई है, और मिसक्लोजर वेक्टर को पूर्व-फिट अवशेषों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, इसलिए तंत्र सरल हो जाता है:

जो साधारण न्यूनतम वर्ग के रूप में है।

औपबंधिक समायोजन में, पहला डिज़ाइन आव्यूह , A=0 शून्य है।

अधिक सामान्य विषयों के लिए, लैग्रेंज गुणक को दो जैकोबियन आव्यूह से संबंधित करने के लिए प्रस्तुत किया गया है, और बाधा न्यूनतम वर्ग समस्या को एक अप्रतिबंधित समायोजन में परिवर्तित कर दिया गया है। किसी भी स्थिति में, और वैक्टर के साथ-साथ संबंधित पैरामीटर और पोस्टीरियर सहप्रसरण आव्यूह का अवलोकन उनके यादृच्छिकता की ओर प्रवर्धित होता है।

गणना

उपरोक्त आव्यूहों और सदिशों को देखते हुए, उनका समाधान मानक न्यूनतम-वर्ग विधियों के माध्यम से पाया जाता है; उदाहरण के लिए, सामान्य आव्यूह बनाना और चोलेस्की अपघटन को लागू करना, क्यूआर फैक्टराइजेशन को सीधे जैकोबियन आव्यूह पर लागू करना, बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त तरीके आदि।

कार्यपूर्ण उदाहरण

अनुप्रयोग

संबंधित अवधारणाएँ

  • प्राचलिक समायोजन अधिकांश प्रतिगमन विश्लेषण के समान है और गॉस-मार्कोव मॉडल के साथ मेल खाता है
  • संयुक्त समायोजन, जिसे गॉस-हेल्मर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है (जर्मन गणितज्ञों/जियोडेसिस्ट कार्ल फ्रेडरिक गॉस|सी.एफ. गॉस और फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट|एफ.आर. हेल्मर्ट के नाम पर),[1][2] त्रुटि-में-चर मॉडल और कुल न्यूनतम वर्गों से संबंधित है। रेफरी नाम = शेफ़रिन&स्नो2010 >Schaffrin, Burkhard; Snow, Kyle (2010). "टाइखोनोव प्रकार का टोटल लीस्ट-स्क्वायर नियमितीकरण और कोरिंथ में एक प्राचीन रेसट्रैक". Linear Algebra and Its Applications. Elsevier BV. 432 (8): 2061–2076. doi:10.1016/j.laa.2009.09.014. ISSN 0024-3795.</ref>[3]
  • प्राथमिक पैरामीटर सहप्रसरण आव्यूह का उपयोग तिखोनोव नियमितीकरण के समान है

एक्सटेंशन

यदि रैंक की कमी का सामना करना पड़ता है, तो इसे प्रायः अतिरिक्त समीकरणों को सम्मिलित करके मापदंडों और/या टिप्पणियों पर बाधाएं डालकर ठीक किया जा सकता है, जिससे न्यूनतम वर्ग सीमित हो जाते हैं।

संदर्भ

  1. Kotz, Samuel; Read, Campbell B.; Balakrishnan, N.; Vidakovic, Brani; Johnson, Norman L. (2004-07-15). "Gauss-Helmert Model". सांख्यिकीय विज्ञान का विश्वकोश. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc. doi:10.1002/0471667196.ess0854.pub2. ISBN 978-0-471-66719-3.
  2. Förstner, Wolfgang; Wrobel, Bernhard P. (2016). "Estimation". फोटोग्रामेट्रिक कंप्यूटर विजन. Cham: Springer International Publishing. pp. 75–190. doi:10.1007/978-3-319-11550-4_4. ISBN 978-3-319-11549-8. ISSN 1866-6795.
  3. Neitzel, Frank (2010-09-17). "Generalization of total least-squares on example of unweighted and weighted 2D similarity transformation". Journal of Geodesy. Springer Science and Business Media LLC. 84 (12): 751–762. Bibcode:2010JGeod..84..751N. doi:10.1007/s00190-010-0408-0. ISSN 0949-7714. S2CID 123207786.


ग्रन्थसूची

Lecture notes and technical reports
Books and chapters
  • Friedrich Robert Helmert. Die Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate (Adjustment computation based on the method of least squares). Leipzig: Teubner, 1872. <http://eudml.org/doc/203764>.
  • Reino Antero Hirvonen, "Adjustments by least squares in geodesy and photogrammetry", Ungar, New York. 261 p., ISBN 0804443971, ISBN 978-0804443975, 1971.
  • Edward M. Mikhail, Friedrich E. Ackermann, "Observations and least squares", University Press of America, 1982
  • Wolf, Paul R. (1995). "Survey Measurement Adjustments by Least Squares". The Surveying Handbook. pp. 383–413. doi:10.1007/978-1-4615-2067-2_16. ISBN 978-1-4613-5858-9.
  • Peter Vaníček and E.J. Krakiwsky, "Geodesy: The Concepts." Amsterdam: Elsevier. (third ed.): ISBN 0-444-87777-0, ISBN 978-0-444-87777-2; chap. 12, "Least-squares solution of overdetermined models", pp. 202–213, 1986.
  • Gilbert Strang and Kai Borre, "Linear Algebra, Geodesy, and GPS", SIAM, 624 pages, 1997.
  • Paul Wolf and Bon DeWitt, "Elements of Photogrammetry with Applications in GIS", McGraw-Hill, 2000
  • Karl-Rudolf Koch, "Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models", 2a ed., Springer, 2000
  • P.J.G. Teunissen, "Adjustment theory, an introduction", Delft Academic Press, 2000
  • Edward M. Mikhail, James S. Bethel, J. Chris McGlone, "Introduction to Modern Photogrammetry", Wiley, 2001
  • Harvey, Bruce R., "Practical least squares and statistics for surveyors", Monograph 13, Third Edition, School of Surveying and Spatial Information Systems, University of New South Wales, 2006
  • Huaan Fan, "Theory of Errors and Least Squares Adjustment", Royal Institute of Technology (KTH), Division of Geodesy and Geoinformatics, Stockholm, Sweden, 2010, ISBN 91-7170-200-8.
  • Gielsdorf, F.; Hillmann, T. (2011). "Mathematics and Statistics". Springer Handbook of Geographic Information. p. 7. doi:10.1007/978-3-540-72680-7_2. ISBN 978-3-540-72678-4.
  • Charles D. Ghilani, "Adjustment Computations: Spatial Data Analysis", John Wiley & Sons, 2011
  • Charles D. Ghilani and Paul R. Wolf, "Elementary Surveying: An Introduction to Geomatics", 13th Edition, Prentice Hall, 2011
  • Erik Grafarend and Joseph Awange, "Applications of Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Total Least Squares", Springer, 2012
  • Alfred Leick, Lev Rapoport, and Dmitry Tatarnikov, "GPS Satellite Surveying", 4th Edition, John Wiley & Sons, ISBN 9781119018612; Chapter 2, "Least-Squares Adjustments", pp. 11–79, doi:10.1002/9781119018612.ch2
  • A. Fotiou (2018) "A Discussion on Least Squares Adjustment with Worked Examples" In: Fotiou A., D. Rossikopoulos, eds. (2018): “Quod erat demonstrandum. In quest for the ultimate geodetic insight.” Special issue for Professor Emeritus Athanasios Dermanis. Publication of the School of Rural and Surveying Engineering, Aristotle University of Thessaloniki, 405 pages. ISBN 978-960-89704-4-1 [1]
  • John Olusegun Ogundare (2018), "Understanding Least Squares Estimation and Geomatics Data Analysis", John Wiley & Sons, 720 pages, ISBN 9781119501404.
  • Shen, Yunzhong; Xu, Guochang (2012-07-31). "Regularization and Adjustment". Sciences of Geodesy - II. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-28000-9_6. ISBN 978-3-642-27999-7.