लैक्स तुल्यता प्रमेय: Difference between revisions
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प्रमेय का महत्व यह है कि जबकि आंशिक [[अंतर समीकरण]] के समाधान के लिए परिमित अंतर विधि के समाधान का अभिसरण वांछित है, इसे स्थापित करना आमतौर पर मुश्किल है क्योंकि संख्यात्मक विधि को [[पुनरावृत्ति संबंध]] द्वारा परिभाषित किया जाता है जबकि अंतर समीकरण में | प्रमेय का महत्व यह है कि जबकि आंशिक [[अंतर समीकरण]] के समाधान के लिए परिमित अंतर विधि के समाधान का अभिसरण वांछित है, इसे स्थापित करना आमतौर पर मुश्किल है क्योंकि संख्यात्मक विधि को [[पुनरावृत्ति संबंध]] द्वारा परिभाषित किया जाता है जबकि अंतर समीकरण में अलग-अलग फ़ंक्शन फ़ंक्शन शामिल होता है। हालाँकि, स्थिरता - आवश्यकता है कि परिमित अंतर विधि सही आंशिक अंतर समीकरण का अनुमान लगाती है - सत्यापित करने के लिए सरल है, और अभिसरण की तुलना में स्थिरता दिखाना आम तौर पर बहुत आसान है (और यह दिखाने के लिए किसी भी घटना में इसकी आवश्यकता होगी कि राउंड-ऑफ त्रुटि गणना को नष्ट नहीं करेगी)। इसलिए अभिसरण आमतौर पर लैक्स तुल्यता प्रमेय के माध्यम से दिखाया जाता है। | ||
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यह प्रमेय [[पीटर लैक्स]] के कारण है। पीटर लैक्स और रॉबर्ट डी. रिचटमेयर के बाद इसे कभी-कभी लैक्स-रिचटमेयर प्रमेय भी कहा जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Lax |first1=P. D. |last2=Richtmyer |first2=R. D. |title=रैखिक परिमित अंतर समीकरणों की स्थिरता का सर्वेक्षण|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics|Comm. Pure Appl. Math.]] |volume=9 |year=1956 |issue=2 |pages=267–293 |mr=79204 |doi=10.1002/cpa.3160090206 }}</ref> | यह प्रमेय [[पीटर लैक्स]] के कारण है। पीटर लैक्स और रॉबर्ट डी. रिचटमेयर के बाद इसे कभी-कभी लैक्स-रिचटमेयर प्रमेय भी कहा जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Lax |first1=P. D. |last2=Richtmyer |first2=R. D. |title=रैखिक परिमित अंतर समीकरणों की स्थिरता का सर्वेक्षण|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics|Comm. Pure Appl. Math.]] |volume=9 |year=1956 |issue=2 |pages=267–293 |mr=79204 |doi=10.1002/cpa.3160090206 }}</ref> | ||
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Revision as of 11:42, 30 July 2023
संख्यात्मक विश्लेषण में, लैक्स तुल्यता प्रमेय आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए परिमित अंतर विधियों के विश्लेषण में मौलिक प्रमेय है। इसमें कहा गया है कि अच्छी तरह से प्रस्तुत रैखिक प्रारंभिक मूल्य समस्या के लिए न्यूमेरिकल_मेथड्स_फॉर_ऑर्डिनरी_डिफरेंशियल_इक्वेशंस#कंसिस्टेंसी_एंड_ऑर्डर परिमित अंतर विधि के लिए, विधि न्यूमेरिकल_मेथड्स_फॉर_ऑर्डिनरी_डिफरेंशियल_इक्वेशंस#कन्वर्जेंस है यदि और केवल अगर यह संख्यात्मक स्थिरता है#संख्यात्मक अंतर समीकरणों में स्थिरता।[1] प्रमेय का महत्व यह है कि जबकि आंशिक अंतर समीकरण के समाधान के लिए परिमित अंतर विधि के समाधान का अभिसरण वांछित है, इसे स्थापित करना आमतौर पर मुश्किल है क्योंकि संख्यात्मक विधि को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है जबकि अंतर समीकरण में अलग-अलग फ़ंक्शन फ़ंक्शन शामिल होता है। हालाँकि, स्थिरता - आवश्यकता है कि परिमित अंतर विधि सही आंशिक अंतर समीकरण का अनुमान लगाती है - सत्यापित करने के लिए सरल है, और अभिसरण की तुलना में स्थिरता दिखाना आम तौर पर बहुत आसान है (और यह दिखाने के लिए किसी भी घटना में इसकी आवश्यकता होगी कि राउंड-ऑफ त्रुटि गणना को नष्ट नहीं करेगी)। इसलिए अभिसरण आमतौर पर लैक्स तुल्यता प्रमेय के माध्यम से दिखाया जाता है।
इस संदर्भ में स्थिरता का मतलब है कि पुनरावृत्ति में प्रयुक्त मैट्रिक्स का मैट्रिक्स मानदंड अधिकतम ता (गणित) पर है, जिसे (व्यावहारिक) लैक्स-रिचटमेयर स्थिरता कहा जाता है।[2] अक्सर सुविधा के लिए वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण को प्रतिस्थापित किया जाता है, हालांकि वॉन न्यूमैन स्थिरता का तात्पर्य केवल कुछ मामलों में लैक्स-रिचटमेयर स्थिरता से है।
यह प्रमेय पीटर लैक्स के कारण है। पीटर लैक्स और रॉबर्ट डी. रिचटमेयर के बाद इसे कभी-कभी लैक्स-रिचटमेयर प्रमेय भी कहा जाता है।[3]
संदर्भ
- ↑ Strikwerda, John C. (1989). Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations (1st ed.). Chapman & Hall. pp. 26, 222. ISBN 0-534-09984-X.
- ↑ Smith, G. D. (1985). Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods (3rd ed.). Oxford University Press. pp. 67–68. ISBN 0-19-859641-3.
- ↑ Lax, P. D.; Richtmyer, R. D. (1956). "रैखिक परिमित अंतर समीकरणों की स्थिरता का सर्वेक्षण". Comm. Pure Appl. Math. 9 (2): 267–293. doi:10.1002/cpa.3160090206. MR 0079204.
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