लैक्स तुल्यता प्रमेय: Difference between revisions
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Revision as of 11:51, 30 July 2023
संख्यात्मक विश्लेषण में, लैक्स तुल्यता प्रमेय आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए परिमित अंतर विधियों के विश्लेषण में मौलिक प्रमेय है। इसमें कहा गया है कि उत्तम रूप से प्रस्तुत रैखिक प्रारंभिक मूल्य समस्या के लिए निरंतर सीमित अंतर विधि के लिए, विधि अभिसरण है यदि केवल यह स्थिर है। [1]
प्रमेय का महत्व यह है कि जबकि आंशिक अंतर समीकरण के समाधान के लिए परिमित अंतर विधि के समाधान का अभिसरण वांछित है, इसे स्थापित करना सामान्यतः कठिन है क्योंकि संख्यात्मक विधि को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है जबकि अंतर समीकरण में भिन्न-भिन्न फलन सम्मिलित होता है। चूँकि, स्थिरता आवश्यक है कि परिमित अंतर विधि सही आंशिक अंतर समीकरण का अनुमान लगाती है सत्यापित करने के लिए सरल है, और अभिसरण की तुलना में स्थिरता दिखाना सामान्यतः अधिक सरल है (और यह दिखाने के लिए किसी भी घटना में इसकी आवश्यकता होगी कि राउंड-ऑफ त्रुटि गणना को नष्ट नहीं करेगी)। इसलिए अभिसरण सामान्यतः लैक्स तुल्यता प्रमेय के माध्यम से दिखाया जाता है।
इस संदर्भ में स्थिरता का तात्पर्य है कि पुनरावृत्ति में प्रयुक्त आव्यूह का आव्यूह पैरामीटर अधिकतम एकता (गणित) है, जिसे (व्यावहारिक) लैक्स-रिचटमेयर स्थिरता कहा जाता है।[2] प्रायः सुविधा के लिए वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण को प्रतिस्थापित किया जाता है, चूँकि वॉन न्यूमैन स्थिरता का तात्पर्य केवल कुछ विषयों में लैक्स-रिचटमेयर स्थिरता से है।
यह प्रमेय पीटर लैक्स के कारण है। पीटर लैक्स और रॉबर्ट डी. रिचटमेयर के पश्चात इसे कभी-कभी लैक्स-रिचटमेयर प्रमेय भी कहा जाता है।[3]
संदर्भ
- ↑ Strikwerda, John C. (1989). Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations (1st ed.). Chapman & Hall. pp. 26, 222. ISBN 0-534-09984-X.
- ↑ Smith, G. D. (1985). Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods (3rd ed.). Oxford University Press. pp. 67–68. ISBN 0-19-859641-3.
- ↑ Lax, P. D.; Richtmyer, R. D. (1956). "रैखिक परिमित अंतर समीकरणों की स्थिरता का सर्वेक्षण". Comm. Pure Appl. Math. 9 (2): 267–293. doi:10.1002/cpa.3160090206. MR 0079204.
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