सदिशीकरण (गणित)

For other uses, see सदिशीकरण.

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और आव्यूह (गणित) में, आव्यूह (गणित) का सदिशीकरण रैखिक परिवर्तन है जो आव्यूह को सदिश (गणित और भौतिकी) में परिवर्तित करता है। विशेष रूप से a m × n आव्यूह A का सदिशीकरण, जिसे vec(A) कहा जाता है, mn × 1 स्तंभ सदिश है जो आव्यूह A के स्तंभों को एक दूसरे के ऊपर रखकर प्राप्त किया जाता है:

$$\operatorname {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{\mathrm {T} }$$

यहां, $a_{i,j}$ A की i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ में अवयव का प्रतिनिधित्व करता है, और सुपरस्क्रिप्ट ${}^{\mathrm {T} }$ ट्रांसपोज़ को दर्शाता है। सदिशीकरण, इनके (अर्थात्, आव्यूहों और सदिशों के) मध्य समरूपता $\mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}$ को सदिश स्थानों के रूप में समन्वयित करके व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए, 2×2 आव्यूह $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$,के लिए सदिशीकरण $\operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}$ है .

सदिशकृत जोड़ का चित्रण वीडियो

A के सदिशीकरण और उसके स्थानान्तरण के सदिशीकरण के मध्य संबंध कम्यूटेशन आव्यूह द्वारा दिया गया है।

क्रोनकर उत्पाद के साथ संगतता

आव्यूह गुणन को आव्यूह पर रैखिक परिवर्तन के रूप में व्यक्त करने के लिए क्रोनेकर उत्पाद के साथ सदिशीकरण का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से,

$$\operatorname {vec} (ABC)=(C^{\mathrm {T} }\otimes A)\operatorname {vec} (B)$$

आयाम k×l, l×m, और m×n के आव्यूह A, B, और C के लिए। उदाहरण के लिए, (समष्टि प्रविष्टियों वाले सभी n×n आव्यूहों के $\operatorname {ad} _{A}(X)=AX-XA$ ली बीजगणित gl(n, C) का संयुक्त एंडोमोर्फिज्म), फिर $\operatorname {vec} (\operatorname {ad} _{A}(X))=(I_{n}\otimes A-A^{\mathrm {T} }\otimes I_{n}){\text{vec}}(X)$, जहां $I_{n}$ n×n पहचान आव्यूह है।

दो अन्य उपयोगी सूत्रीकरण हैं:

$${\begin{aligned}\operatorname {vec} (ABC)&=(I_{n}\otimes AB)\operatorname {vec} (C)=(C^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\\\operatorname {vec} (AB)&=(I_{m}\otimes A)\operatorname {vec} (B)=(B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\end{aligned}}$$

अधिक सामान्यतः, यह दिखाया गया है कि सदिशीकरण किसी भी श्रेणी के आव्यूह की मोनोइडल संवृत संरचना में स्व-एडजंक्शन है।

हैडामर्ड उत्पादों के साथ संगतता

सदिशीकरण एक बीजगणित समरूपता है जो हैडामर्ड (एंट्रीवाइज) उत्पाद के साथ n × n आव्यूह के स्थान से लेकर हैडामर्ड उत्पाद के साथ Cⁿ² तक है:

$$\operatorname {vec} (A\circ B)=\operatorname {vec} (A)\circ \operatorname {vec} (B).$$

आंतरिक उत्पादों के साथ संगतता

सदिशीकरण आव्यूह मानदंड फ्रोबेनियस मानदंड (या हिल्बर्ट-श्मिट) आंतरिक उत्पाद के साथ n×n आव्यूह के स्थान से 'Cⁿ²' तक एकात्मक परिवर्तन है।:

$$\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)=\operatorname {vec} (A)^{\dagger }\operatorname {vec} (B),$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट ^† संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है।

एक रैखिक योग के रूप में सदिशीकरण

आव्यूह सदिशीकरण ऑपरेशन को एक रैखिक योग के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए X एक m × n आव्यूह है जिसे हम सदिश करना चाहते हैं, और e_i को n-डायमेंशनल स्पेस के लिए i-th कैनोनिकल बेस सदिश होने दें, जो कि है। ${\textstyle \mathbf {e} _{i}=\left[0,\dots ,0,1,0,\dots ,0\right]^{\mathrm {T} }}$ मान लीजिए Bi एक (mn) × m ब्लॉक आव्यूह है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {B} _{i}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \\\mathbf {I} _{m}\\\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {I} _{m}$$

B_i में m × m आकार के n ब्लॉक आव्यूह होते हैं, जो स्तंभ-वार स्टैक्ड होते हैं, और यह सभी आव्यूह i-वें को छोड़कर सभी-शून्य हैं, जो कि m × m पहचान आव्यूह I_m है।

फिर X का सदिश संस्करण इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{i}\mathbf {X} \mathbf {e} _{i}$$

X को e_i से गुणा करने पर i-th स्तंभ निकलता है, जबकि B_i से गुणा करने पर यह अंतिम सदिश में वांछित स्थिति में आ जाता है।

वैकल्पिक रूप से, रैखिक योग को क्रोनकर उत्पाद का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

$$\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {X} \mathbf {e} _{i}$$

अर्ध-सदिशीकरण

एक सममित आव्यूह A के लिए, सदिश vec(A) में आवश्यकता से अधिक जानकारी होती है, क्योंकि आव्यूह पूरी तरह से निचले त्रिकोणीय आव्यूह भाग के साथ समरूपता द्वारा निर्धारित होता है, अर्थात, n(n + 1)/2 मुख्य विकर्ण पर और नीचे प्रविष्टियाँ ऐसे आव्यूह के लिए, अर्ध-सदिशीकरण कभी-कभी सदिशीकरण की तुलना में अधिक उपयोगी होता है। एक सममित n × n आव्यूह A का अर्ध-सदिशीकरण, vec (A), n(n + 1)/2 × 1 स्तंभ सदिश है जो A के केवल निचले त्रिकोणीय भाग को सदिश करके प्राप्त किया जाता है:

$$\operatorname {vech} (A)=[A_{1,1},\ldots ,A_{n,1},A_{2,2},\ldots ,A_{n,2},\ldots ,A_{n-1,n-1},A_{n,n-1},A_{n,n}]^{\mathrm {T} }.$$

उदाहरण के लिए, 2×2 आव्यूह $A={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}$ के लिए , अर्ध-सदिशीकरण $\operatorname {vech} (A)={\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}$ है .

ऐसे अद्वितीय आव्यूह उपस्थित हैं जो आव्यूह के आधे-सदिशीकरण को उसके सदिशीकरण और इसके विपरीत में परिवर्तित करते हैं, जिन्हें क्रमशः डुप्लीकेशन आव्यूह और एलिमिनेशन आव्यूह कहा जाता है।

प्रोग्रामिंग लैंग्वेज

मैट्रिसेस प्रयुक्त करने वाली प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में सदिशीकरण के आसान साधन हो सकते हैं। मैटलैब/जीएनयू ऑक्टेव में आव्यूह A को A(:). द्वारा वेक्टरकृत किया जा सकता है जीएनयू ऑक्टेव क्रमश vec(A) और vech(A) सदिशीकरण और अर्ध-सदिशीकरण की भी अनुमति देता है । जूलिया (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज ) के पास vec(A) है पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज ) में NumPy सरणियाँ प्रयुक्त होती हैं , जबकि आर प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में वांछित प्रभाव इसके माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है आर प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में, फ़ंक्शन vec() पैकेज 'ks' सदिशीकरण और कार्य की अनुमति देता है vech() 'ks' और 'sn' दोनों पैकेजों में प्रयुक्त किया गया अर्ध-सदिशीकरण की अनुमति देता है।

यह भी देखें

• डुप्लीकेशन और एलिमिनेशन आव्यूह
• वोइगट नोटेशन
• पैक्ड स्टोरेज आव्यूह
• पंक्ति-प्रमुख क्रम या स्तंभ-प्रमुख क्रम
• मैट्रिकाइजेशन

संदर्भ

• Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, 2nd Ed., Wiley. ISBN 0-471-98633-X.