श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि: Difference between revisions

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गणित में, '''श्रेणीबद्ध [[ सदिश स्थल |सदिश समष्टि]]''' सदिश समष्टि होता है जिसमें ''श्रेणीबद्ध (गणित)'' या ''ग्रेडेशन'' की अतिरिक्त संरचना होती है, जो सदिश समष्टि का रैखिक उपसमष्टि के सदिश समष्टि के प्रत्यक्ष योग में अपघटन होता है।
गणित में, ग्रेडेड [[ सदिश स्थल ]] एक वेक्टर स्पेस होता है जिसमें ''ग्रेडेड (गणित)'' या ''ग्रेडेशन'' की अतिरिक्त संरचना होती है, जो वेक्टर स्पेस का रैखिक उप-स्थान के वेक्टर स्पेस के प्रत्यक्ष योग में अपघटन होता है।


== पूर्णांक उन्नयन ==
== पूर्णांक उन्नयन ==
होने देना <math>\mathbb{N}</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]]ों का समुच्चय बनें। एक <math display="inline">\mathbb{N}</math>-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस, जिसे अक्सर उपसर्ग के बिना ग्रेडेड वेक्टर स्पेस कहा जाता है <math>\mathbb{N}</math>, एक सदिश समष्टि है {{math|''V''}} फॉर्म के प्रत्यक्ष योग में एक अपघटन के साथ
मान लीजिए <math>\mathbb{N}</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] का समुच्चय है। <math display="inline">\mathbb{N}</math> -श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि को अधिकांशतः उपसर्ग <math>\mathbb{N}</math> के बिना बस श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि कहा जाता है, यह सदिश समष्टि {{math|''V''}} है जो रूप के प्रत्यक्ष योग में अपघटन के साथ होता है


: <math>V = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} V_n</math>
: <math>V = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} V_n</math>
जहां प्रत्येक <math>V_n</math> एक सदिश स्थान है. किसी दिए गए n के तत्वों के लिए <math>V_n</math> फिर डिग्री ''एन'' के सजातीय तत्व कहलाते हैं।
जहां प्रत्येक <math>V_n</math> सदिश समष्टि है। किसी दिए गए n के लिए <math>V_n</math> के अवयवो को डिग्री n के सजातीय अवयव कहा जाता है।


श्रेणीबद्ध सदिश स्थान सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, एक या कई चर वाले सभी [[बहुपद]]ों का समुच्चय एक श्रेणीबद्ध सदिश स्थान बनाता है, जहाँ डिग्री ''n'' के सजातीय तत्व एक बहुपद ''n'' की डिग्री के [[एकपद]]ी के बिल्कुल रैखिक संयोजन होते हैं।
श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, या अनेक वैरीएबल वाले सभी [[बहुपद]] का समुच्चय श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि बनाता है, जहाँ डिग्री ''n'' के सजातीय अवयव बहुपद ''n'' की डिग्री के [[एकपद|एकपदी]] के लिए पूर्ण रूप से रैखिक संयोजन होते हैं।


==सामान्य ग्रेडेशन==
==सामान्य ग्रेडेशन==
ग्रेडेड वेक्टर स्पेस के उप-स्थानों को प्राकृतिक संख्याओं के सेट द्वारा अनुक्रमित करने की आवश्यकता नहीं है, और किसी भी सेट I के तत्वों द्वारा अनुक्रमित किया जा सकता है। I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस V सेट I के तत्वों i द्वारा अनुक्रमित उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग में एक अपघटन के साथ एक वेक्टर स्पेस है:
श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि के उप-समष्टिो को प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित करने की आवश्यकता नहीं है, और किसी भी समुच्चय के अवयवो द्वारा अनुक्रमित किया जा सकता है। I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि V समुच्चय I के अवयवो i द्वारा अनुक्रमित उपसमष्टि के प्रत्यक्ष योग में अपघटन के साथ सदिश समष्टि है:
: <math>V = \bigoplus_{i \in I} V_i.</math>
: <math>V = \bigoplus_{i \in I} V_i.</math>
इसलिए, ए <math>\mathbb{N}</math>-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, सिर्फ एक I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस है जहां सेट I है <math>\mathbb{N}</math> ([[प्राकृतिक संख्या]]ओं का समुच्चय)।
इसलिए, <math>\mathbb{N}</math> -श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, सिर्फ I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि है जहां समुच्चय I <math>\mathbb{N}</math> (प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय) है।


वह स्थिति जहां I वलय है (गणित) <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> (तत्व 0 और 1) भौतिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। ए <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस को [[ सुपरवेक्टर स्थान ]] के रूप में भी जाना जाता है।
वह स्थिति जहां I वलय <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> है (अवयव 0 और 1) भौतिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। इस प्रकार <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि को [[ सुपरवेक्टर स्थान |सुपरवेक्टर समष्टि]] के रूप में भी जाना जाता है।


==समरूपता==
==समरूपता==
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सामान्य सूचकांक समुच्चय I के लिए, दो I-वर्गीकृत सदिश समष्टिो के बीच रैखिक मानचित्र {{nowrap|''f'' : ''V'' → ''W''}} को श्रेणीबद्ध रेखीय मानचित्र कहा जाता है इस प्रकार यदि यह सजातीय अवयवो की ग्रेडिंग को संरक्षित करता है। श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र को श्रेणीबद्ध सदिश समष्टिो का समरूपता (या रूपवाद) या सजातीय रैखिक मानचित्र भी कहा जाता है:
सामान्य सूचकांक सेट I के लिए, दो I-वर्गीकृत वेक्टर स्थानों के बीच एक रैखिक मानचित्र {{nowrap|''f'' : ''V'' → ''W''}} को श्रेणीबद्ध रेखीय मानचित्र कहा जाता है यदि यह सजातीय तत्वों की ग्रेडिंग को संरक्षित करता है। एक श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र को श्रेणीबद्ध सदिश स्थानों का समरूपता (या रूपवाद) या सजातीय रैखिक मानचित्र भी कहा जाता है:


:<math>f(V_i)\subseteq W_i</math> मैं में सभी के लिए।
:I में सभी i के लिए <math>f(V_i)\subseteq W_i</math>


एक निश्चित क्षेत्र (गणित) और एक निश्चित सूचकांक सेट के लिए, श्रेणीबद्ध वेक्टर रिक्त स्थान एक [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिनकी आकृतियाँ श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र हैं।
एक निश्चित क्षेत्र (गणित) और निश्चित सूचकांक समुच्चय के लिए, श्रेणीबद्ध सदिश रिक्त समष्टि [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिनकी आकृतियाँ श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र हैं।


जब I एक क्रमविनिमेय [[मोनोइड]] मोनॉइड (जैसे कि प्राकृतिक संख्याएं) है, तो कोई आम तौर पर रैखिक मानचित्रों को परिभाषित कर सकता है जो संपत्ति द्वारा I में किसी भी डिग्री के 'सजातीय' होते हैं
जब क्रमविनिमेय [[मोनोइड]] (जैसे कि प्राकृतिक संख्याएं) है, तो कोई सामान्यतः रैखिक मानचित्रों को परिभाषित कर सकता है जो प्रोपर्टी द्वारा में किसी भी डिग्री के 'सजातीय' होते हैं


:<math>f(V_j)\subseteq W_{i+j}</math> I में सभी j के लिए,
:<math>f(V_j)\subseteq W_{i+j}</math> I में सभी j के लिए,


जहां + मोनॉइड ऑपरेशन को दर्शाता है। यदि इसके अलावा मैं [[रद्दीकरण संपत्ति]] को संतुष्ट करता हूं ताकि इसे [[एबेलियन समूह]] ए में [[एम्बेडिंग]] किया जा सके जो इसे उत्पन्न करता है (उदाहरण के लिए पूर्णांक यदि मैं प्राकृतिक संख्या है), तो कोई रैखिक मानचित्र भी परिभाषित कर सकता है जो एक ही संपत्ति द्वारा ए में डिग्री आई के सजातीय हैं (लेकिन अब + ए में समूह संचालन को दर्शाता है)। विशेष रूप से, I में I के लिए एक रेखीय मानचित्र डिग्री -i का सजातीय होगा यदि
जहां + मोनॉइड ऑपरेशन को दर्शाता है। यदि इसके अतिरिक्त [[रद्दीकरण संपत्ति|निराकरण प्रोपर्टी]] को संतुष्ट करता है जिससे इसे [[एबेलियन समूह]] में [[एम्बेडिंग]] किया जा सकता है जो इसे उत्पन्न करता है (उदाहरण के लिए पूर्णांक यदि I प्राकृतिक संख्या है), तो कोई रैखिक मानचित्र भी परिभाषित कर सकता है जो ही प्रोपर्टी द्वारा डिग्री I के सजातीय हैं (किन्तु अब +   में समूह संचालन A को दर्शाता है)। विशेष रूप से, I में I के लिए रेखीय मानचित्र डिग्री -i का सजातीय होगा यदि


:<math>f(V_{i+j})\subseteq W_j</math> I में सभी j के लिए, जबकि
:<math>f(V_{i+j})\subseteq W_j</math> I में सभी j के लिए, जबकि
:<math>f(V_j)=0\,</math> अगर {{nowrap|''j'' − ''i''}} I में नहीं है.
:<math>f(V_j)=0\,</math> यदि {{nowrap|''j'' − ''i''}} I में नहीं है.


जिस प्रकार एक सदिश स्थान से रैखिक मानचित्रों का सेट अपने आप में एक [[साहचर्य बीजगणित]] (वेक्टर अंतरिक्ष का [[एंडोमोर्फिज्म बीजगणित]]) बनाता है, उसी प्रकार एक स्थान से सजातीय रैखिक मानचित्रों का सेट - या तो डिग्री को I तक सीमित करता है या समूह A में किसी भी डिग्री की अनुमति देता है - उन सूचकांक सेटों पर साहचर्य [[श्रेणीबद्ध बीजगणित]] बनाता है।
जिस प्रकार सदिश समष्टि से रैखिक मानचित्रों का समुच्चय अपने आप में [[साहचर्य बीजगणित]] (सदिश समष्टि का [[एंडोमोर्फिज्म बीजगणित]]) बनाता है, उसी प्रकार समष्टि से सजातीय रैखिक मानचित्रों का समुच्चय या तो डिग्री को तक सीमित करता है या समूह A में किसी भी डिग्री की अनुमति देता है - उन सूचकांक समुच्चयो पर साहचर्य [[श्रेणीबद्ध बीजगणित]] बनाता है।


==<span id= Directsum ></span><span id= Tensorproduct ></span>ग्रेडेड वेक्टर स्पेस पर संचालन ==
==श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि पर संचालन ==
वेक्टर स्पेस पर कुछ ऑपरेशनों को ग्रेडेड वेक्टर स्पेस के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।
सदिश समष्टि पर कुछ ऑपरेशनों को श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।


दो I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस V और W को देखते हुए, उनके 'प्रत्यक्ष योग' में ग्रेडेशन के साथ अंतर्निहित वेक्टर स्पेस V ⊕ W है
दो I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि V और W को देखते हुए, उनके 'प्रत्यक्ष योग' में ग्रेडेशन के साथ अंतर्निहित सदिश समष्टि V ⊕ W है
:(V ⊕ W)<sub>''i''</sub> = वी<sub>i</sub>⊕ W<sub>i</sub>.
:(V ⊕ W)<sub>''i''</sub> = V<sub>i</sub> ⊕ W<sub>i</sub>.


यदि I एक [[अर्धसमूह]] है, तो दो I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस V और W का 'टेंसर उत्पाद' एक और I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस है, <math>V \otimes W</math>, ग्रेडेशन के साथ
यदि I [[अर्धसमूह]] है तो दो I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि V और W का टेंसर उत्पाद ग्रेडेशन के साथ और I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि <math>V \otimes W</math> है
: <math>(V \otimes W)_i = \bigoplus_{\left\{\left(j,k\right) \,:\; j+k=i\right\}} V_j \otimes W_k.</math>
: <math>(V \otimes W)_i = \bigoplus_{\left\{\left(j,k\right) \,:\; j+k=i\right\}} V_j \otimes W_k.</math>
==हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला==


एक <math>\N</math> -श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि दिया गया है जो प्रत्येक <math>n\in \N,</math> के लिए परिमित-आयामी है इसकी हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|फॉर्मल पॉवर श्रृंखला]] है


==हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला==
दिया गया ए <math>\N</math>-श्रेणीबद्ध सदिश स्थान जो प्रत्येक के लिए परिमित-आयामी है <math>n\in \N,</math> इसकी हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] है
:<math>\sum_{n\in\N}\dim_K(V_n)\, t^n.</math>
:<math>\sum_{n\in\N}\dim_K(V_n)\, t^n.</math>
उपरोक्त सूत्रों से, एक प्रत्यक्ष योग और एक टेंसर उत्पाद की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला
उपरोक्त सूत्रों से, प्रत्यक्ष योग की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला और श्रेणीबद्ध सदिश रिक्त समष्टि (प्रत्येक डिग्री में परिमित आयामी) के टेंसर उत्पाद क्रमशः संबंधित हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला का योग और उत्पाद हैं।
श्रेणीबद्ध वेक्टर रिक्त स्थान (प्रत्येक डिग्री में परिमित आयामी) क्रमशः संबंधित हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला का योग और उत्पाद हैं।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* ग्रेडेड (गणित)
* श्रेणीबद्ध (गणित)
* श्रेणीबद्ध बीजगणित
* श्रेणीबद्ध बीजगणित
* [[कोमॉड्यूल]]
* [[कोमॉड्यूल]]
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* लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम
* लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                   ==
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, N.]] (1974) ''Algebra I'' (Chapters 1-3), {{ISBN|978-3-540-64243-5}}, Chapter 2, Section 11; Chapter 3.
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, N.]] (1974) ''Algebra I'' (Chapters 1-3), {{ISBN|978-3-540-64243-5}}, Chapter 2, Section 11; Chapter 3.


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Latest revision as of 15:27, 10 August 2023

गणित में, श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि सदिश समष्टि होता है जिसमें श्रेणीबद्ध (गणित) या ग्रेडेशन की अतिरिक्त संरचना होती है, जो सदिश समष्टि का रैखिक उपसमष्टि के सदिश समष्टि के प्रत्यक्ष योग में अपघटन होता है।

पूर्णांक उन्नयन

मान लीजिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का समुच्चय है। -श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि को अधिकांशतः उपसर्ग के बिना बस श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि कहा जाता है, यह सदिश समष्टि V है जो रूप के प्रत्यक्ष योग में अपघटन के साथ होता है

जहां प्रत्येक सदिश समष्टि है। किसी दिए गए n के लिए के अवयवो को डिग्री n के सजातीय अवयव कहा जाता है।

श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, या अनेक वैरीएबल वाले सभी बहुपद का समुच्चय श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि बनाता है, जहाँ डिग्री n के सजातीय अवयव बहुपद n की डिग्री के एकपदी के लिए पूर्ण रूप से रैखिक संयोजन होते हैं।

सामान्य ग्रेडेशन

श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि के उप-समष्टिो को प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित करने की आवश्यकता नहीं है, और किसी भी समुच्चय के अवयवो द्वारा अनुक्रमित किया जा सकता है। I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि V समुच्चय I के अवयवो i द्वारा अनुक्रमित उपसमष्टि के प्रत्यक्ष योग में अपघटन के साथ सदिश समष्टि है:

इसलिए, -श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, सिर्फ I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि है जहां समुच्चय I (प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय) है।

वह स्थिति जहां I वलय है (अवयव 0 और 1) भौतिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। इस प्रकार -श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि को सुपरवेक्टर समष्टि के रूप में भी जाना जाता है।

समरूपता

सामान्य सूचकांक समुच्चय I के लिए, दो I-वर्गीकृत सदिश समष्टिो के बीच रैखिक मानचित्र f : V → W को श्रेणीबद्ध रेखीय मानचित्र कहा जाता है इस प्रकार यदि यह सजातीय अवयवो की ग्रेडिंग को संरक्षित करता है। श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र को श्रेणीबद्ध सदिश समष्टिो का समरूपता (या रूपवाद) या सजातीय रैखिक मानचित्र भी कहा जाता है:

I में सभी i के लिए

एक निश्चित क्षेत्र (गणित) और निश्चित सूचकांक समुच्चय के लिए, श्रेणीबद्ध सदिश रिक्त समष्टि श्रेणी (गणित) बनाते हैं जिनकी आकृतियाँ श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र हैं।

जब क्रमविनिमेय मोनोइड (जैसे कि प्राकृतिक संख्याएं) है, तो कोई सामान्यतः रैखिक मानचित्रों को परिभाषित कर सकता है जो प्रोपर्टी द्वारा में किसी भी डिग्री के 'सजातीय' होते हैं

I में सभी j के लिए,

जहां + मोनॉइड ऑपरेशन को दर्शाता है। यदि इसके अतिरिक्त निराकरण प्रोपर्टी को संतुष्ट करता है जिससे इसे एबेलियन समूह में एम्बेडिंग किया जा सकता है जो इसे उत्पन्न करता है (उदाहरण के लिए पूर्णांक यदि I प्राकृतिक संख्या है), तो कोई रैखिक मानचित्र भी परिभाषित कर सकता है जो ही प्रोपर्टी द्वारा डिग्री I के सजातीय हैं (किन्तु अब + में समूह संचालन A को दर्शाता है)। विशेष रूप से, I में I के लिए रेखीय मानचित्र डिग्री -i का सजातीय होगा यदि

I में सभी j के लिए, जबकि
यदि j − i I में नहीं है.

जिस प्रकार सदिश समष्टि से रैखिक मानचित्रों का समुच्चय अपने आप में साहचर्य बीजगणित (सदिश समष्टि का एंडोमोर्फिज्म बीजगणित) बनाता है, उसी प्रकार समष्टि से सजातीय रैखिक मानचित्रों का समुच्चय या तो डिग्री को तक सीमित करता है या समूह A में किसी भी डिग्री की अनुमति देता है - उन सूचकांक समुच्चयो पर साहचर्य श्रेणीबद्ध बीजगणित बनाता है।

श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि पर संचालन

सदिश समष्टि पर कुछ ऑपरेशनों को श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

दो I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि V और W को देखते हुए, उनके 'प्रत्यक्ष योग' में ग्रेडेशन के साथ अंतर्निहित सदिश समष्टि V ⊕ W है

(V ⊕ W)i = Vi ⊕ Wi.

यदि I अर्धसमूह है तो दो I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि V और W का टेंसर उत्पाद ग्रेडेशन के साथ और I-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि है

हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला

एक -श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि दिया गया है जो प्रत्येक के लिए परिमित-आयामी है इसकी हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला फॉर्मल पॉवर श्रृंखला है

उपरोक्त सूत्रों से, प्रत्यक्ष योग की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला और श्रेणीबद्ध सदिश रिक्त समष्टि (प्रत्येक डिग्री में परिमित आयामी) के टेंसर उत्पाद क्रमशः संबंधित हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला का योग और उत्पाद हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

  • Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 2, Section 11; Chapter 3.
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