जैकोबी रोटेशन: Difference between revisions

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[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में, जैकोबी घूर्णन घूर्णन है (गणित), ''Q''<sub>''k''ℓ</sub>एन-आयामी [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] के 2-आयामी रैखिक उप-स्थान का, एन × एन [[वास्तविक संख्या]] [[सममित मैट्रिक्स]], की ऑफ-मेन विकर्ण प्रविष्टियों की सममित जोड़ी को शून्य करने के लिए चुना जाता है, जब [[समान मैट्रिक्स]] के रूप में लागू किया जाता है:
[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में, '''जैकोबी रोटेशन''' n-आयामी [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] के 2-आयामी रैखिक(गणित) उप-स्थान का रोटेशन ''Q''<sub>''k''ℓ</sub> है, ''A'' तब [[समान मैट्रिक्स|समान आव्युह]] के रूप में प्रयुक्त किया जाता है | जब n × n [[वास्तविक संख्या]] [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्युह]], की ऑफ-मेन विकर्ण प्रविष्टियों की सममित जोड़ी को शून्य करने के लिए चुना जाता है,  


: <math> A \mapsto Q_{k\ell}^T A Q_{k\ell} = A' . \,\! </math>
: <math> A \mapsto Q_{k\ell}^T A Q_{k\ell} = A' . \,\!                                                                                                                                 </math>
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\begin{bmatrix}
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   &    &  &  &  & \ddots &  \\
   &    &  &  &  & \ddots &  \\
  {*} &  &  & \cdots &  &  & *
  {*} &  &  & \cdots &  &  & *
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यह [[जैकोबी आइजेनवैल्यू एल्गोरिथम]] में मुख्य ऑपरेशन है, जो [[संख्यात्मक रूप से स्थिर]] है और [[समानांतर प्रोसेसर]] पर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है। .
यह [[जैकोबी आइजेनवैल्यू एल्गोरिथम]] में मुख्य ऑपरेशन है, जो [[संख्यात्मक रूप से स्थिर]] है और [[समानांतर प्रोसेसर]] पर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है। .


केवल A की पंक्तियाँ k और ℓ और कॉलम k और ℓ प्रभावित होंगे, और वह A{{prime}} सममित रहेगा. इसके अलावा, Q के लिए स्पष्ट मैट्रिक्स<sub>''k''ℓ</sub> इसकी गणना शायद ही कभी की जाती है; इसके बजाय, सहायक मानों की गणना की जाती है और को कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर तरीके से अद्यतन किया जाता है। हालाँकि, संदर्भ के लिए, हम मैट्रिक्स को इस प्रकार लिख सकते हैं
केवल A की पंक्तियाँ k और ℓ और कॉलम k और ℓ से प्रभावित होंगे, और वह A{{prime}} सममित रहता हैं इसके अतिरिक्त , Q<sub>''k''ℓ</sub> के लिए स्पष्ट आव्युह इसकी गणना संभवतः ही कभी की जाती है; इसके अतिरिक्त, सहायक मानों की गणना की जाती है और A को कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर विधियों से अद्यतन किया जाता है। चूँकि, संदर्भ के लिए, हम आव्युह को इस प्रकार लिख सकते हैं


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\end{bmatrix} .
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अर्थात् प्र<sub>''k''ℓ</sub> चार प्रविष्टियों को छोड़कर पहचान मैट्रिक्स है, दो विकर्ण पर (क्यू)।<sub>''kk''</sub> और क्यू<sub>ℓℓ</sub>, दोनों c के बराबर हैं) और दो सममित रूप से विकर्ण से दूर रखे गए हैं (q)।<sub>''k''ℓ</sub> और क्यू<sub>ℓ''k''</sub>, क्रमशः s और −s के बराबर)यहां कुछ कोण θ के लिए c=cosθ और s=sinθ; लेकिन घुमाव लागू करने के लिए कोण की ही आवश्यकता नहीं होती। [[ क्रोनकर डेल्टा |क्रोनकर डेल्टा]] नोटेशन का उपयोग करके, मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ लिखी जा सकती हैं
अर्थात् Q<sub>''k''ℓ</sub> की चार प्रविष्टियों को छोड़कर इसकी पहचान आव्युह होती है, तथा दोनों विकर्ण पर q<sub>''kk''</sub> और q<sub>ℓℓ</sub>, दोनों c के समान हैं) और दो सममित रूप से विकर्ण से दूर रखे गए (q<sub>''k''ℓ</sub> और q<sub>ℓ''k''</sub>, क्रमशः s और −s के समान ) होते हैं। यहां कुछ कोण θ के लिए c=cosθ और s=sinθ किन्तु रोटेशन प्रयुक्त करने के लिए कोण की ही आवश्यकता नहीं होती है। [[ क्रोनकर डेल्टा |क्रोनकर डेल्टा]] नोटेशन का उपयोग करके, आव्युह प्रविष्टियाँ लिखी जा सकती हैं    


: <math> q_{ij} =  
: <math> q_{ij} =  
\delta_{ij} + (\delta_{ik}\delta_{jk}  
\delta_{ij} + (\delta_{ik}\delta_{jk}  
+ \delta_{i\ell}\delta_{j\ell})(c-1) + (\delta_{ik}\delta_{j\ell}  
+ \delta_{i\ell}\delta_{j\ell})(c-1) + (\delta_{ik}\delta_{j\ell}  
- \delta_{i\ell}\delta_{jk})s . \,\!
- \delta_{i\ell}\delta_{jk})s . \,\!                                                                                                                                                                        
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मान लीजिए h, k या ℓ के अलावा सूचकांक है (जो स्वयं अलग होना चाहिए)। फिर समानता अद्यतन, बीजगणितीय रूप से, उत्पन्न करता है
मान लीजिए h, k या ℓ के अतिरिक्त सूचकांक है (जो स्वयं भिन्न होना चाहिए)। फिर समानता अद्यतन, बीजगणितीय रूप से, उत्पन्न करता है


: <math> a'_{hk} = a'_{kh} = c a_{hk} - s a_{h\ell} \,\! </math>
: <math> a'_{hk} = a'_{kh} = c a_{hk} - s a_{h\ell} \,\!                                                                                                                                             </math>
: <math> a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = c a_{h\ell} + s a_{hk} \,\! </math>
: <math> a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = c a_{h\ell} + s a_{hk} \,\! </math>
: <math> a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = (c^2-s^2)a_{k\ell} + sc (a_{kk} - a_{\ell\ell}) = 0 \,\! </math>
: <math> a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = (c^2-s^2)a_{k\ell} + sc (a_{kk} - a_{\ell\ell}) = 0 \,\! </math>
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== संख्यात्मक रूप से स्थिर गणना ==
== संख्यात्मक रूप से स्थिर गणना                                       ==
अद्यतन के लिए आवश्यक मात्राएँ निर्धारित करने के लिए, हमें शून्य के लिए ऑफ-विकर्ण समीकरण को हल करना होगा {{Harv|Golub|Van Loan|1996|loc=§8.4}}. इसका अर्थ यह है कि
अद्यतन के लिए आवश्यक मात्राएँ निर्धारित करने के लिए, हमें शून्य के लिए ऑफ-विकर्ण {{Harv|गोलुब|वैन लोन|1996|loc=§8.4}} समीकरण को हल करना होता हैं इसका अर्थ यह है कि


: <math> \frac{c^2-s^2}{sc} = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{a_{k\ell}} . </math>
: <math> \frac{c^2-s^2}{sc} = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{a_{k\ell}} . </math>
इस मात्रा के आधे पर β सेट करें,
इस मात्रा के आधे पर β निर्धारित करें,


: <math> \beta = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{2 a_{k\ell}} . </math>
: <math> \beta = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{2 a_{k\ell}} .                                                                                                                                             </math>
यदि एक<sub>''k''ℓ</sub> शून्य है तो हम अद्यतन किए बिना रुक सकते हैं, इस प्रकार हम कभी भी शून्य से विभाजित नहीं होते हैं। मान लीजिए t tan θ है। फिर कुछ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ हम समीकरण को कम करते हैं
यदि ''a<sub>kℓ</sub>'' शून्य है तो हम अद्यतन किए बिना रुक सकते हैं, इस प्रकार हम कभी भी शून्य से विभाजित नहीं होते हैं। मान लीजिए t tan θ है। फिर कुछ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ हम समीकरण को कम करते हैं


: <math> t^2 + 2\beta t - 1 = 0 . \,\! </math>
: <math> t^2 + 2\beta t - 1 = 0 . \,\! </math>
स्थिरता के लिए हम समाधान चुनते हैं
स्थिरता के लिए हम समाधान चुनते हैं


: <math> t = \frac{\sgn(\beta)}{|\beta|+\sqrt{\beta^2+1}} . </math>
: <math> t = \frac{\sgn(\beta)}{|\beta|+\sqrt{\beta^2+1}} .                                                                                                                                   </math>
इससे हम c और s प्राप्त कर सकते हैं
इससे हम c और s प्राप्त कर सकते हैं


: <math> c = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \,\! </math>
: <math> c = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \,\!                                                                                                                                                                               </math>
: <math> s = c t \,\! </math>
: <math> s = c t \,\! </math>
हालाँकि अब हम पहले दिए गए बीजगणितीय अद्यतन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, उन्हें फिर से लिखना बेहतर हो सकता है। होने देना
चूँकि अब हम पहले दिए गए बीजगणितीय अद्यतन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, उन्हें फिर से लिखना उत्तम हो सकता है। मान लीजिये 


: <math> \rho= \frac{1-c}{s} , </math>
: <math> \rho= \frac{1-c}{s} , </math>
ताकि ρ = tan(θ/2). फिर संशोधित अद्यतन समीकरण हैं
जिससे ρ = tan(θ/2). फिर संशोधित अद्यतन समीकरण हैं


: <math> a'_{hk} = a'_{kh} = a_{hk} - s (a_{h\ell} + \rho a_{hk}) \,\! </math>
: <math> a'_{hk} = a'_{kh} = a_{hk} - s (a_{h\ell} + \rho a_{hk}) \,\! </math>
: <math> a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = a_{h\ell} + s (a_{hk} - \rho a_{h\ell}) \,\! </math>
: <math> a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = a_{h\ell} + s (a_{hk} - \rho a_{h\ell}) \,\! </math>
: <math> a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = 0 \,\! </math>
: <math> a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = 0 \,\! </math>
: <math> a'_{kk} = a_{kk} - t a_{k \ell} \,\! </math>
: <math> a'_{kk} = a_{kk} - t a_{k \ell} \,\!                                                                                                                                                                   </math>
: <math> a'_{\ell\ell} = a_{\ell\ell} + t a_{k \ell} \,\! </math>
: <math> a'_{\ell\ell} = a_{\ell\ell} + t a_{k \ell} \,\!                                                                                                                                                                       </math>
जैसा कि पहले कहा गया है, हमें कभी भी घूर्णन कोण θ की स्पष्ट रूप से गणना करने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, हम Q द्वारा निर्धारित सममित अद्यतन को पुन: उत्पन्न कर सकते हैं<sub>''k''ℓ</sub> केवल तीन मान k, ℓ, और t को बरकरार रखते हुए, शून्य रोटेशन के लिए t को शून्य पर सेट किया गया है।
जैसा कि पहले कहा गया है, हमें कभी भी रोटेशन कोण θ की स्पष्ट रूप से गणना करने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, हम Q<sub>''k''ℓ</sub> द्वारा निर्धारित सममित अद्यतन को पुन: उत्पन्न कर सकते हैं | इसमें केवल तीन मान k, ℓ, और t को निरंतर रखते हुए, शून्य रोटेशन के लिए t को शून्य पर निर्धारित किया गया है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें                       ==
* [[गिवेंस रोटेशन]]
* [[गिवेंस रोटेशन]]
*[[गृहस्थ परिवर्तन]]
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{{Numerical linear algebra}}
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Latest revision as of 17:19, 10 August 2023

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, जैकोबी रोटेशन n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के 2-आयामी रैखिक(गणित) उप-स्थान का रोटेशन Qk है, A तब समान आव्युह के रूप में प्रयुक्त किया जाता है | जब n × n वास्तविक संख्या सममित आव्युह, की ऑफ-मेन विकर्ण प्रविष्टियों की सममित जोड़ी को शून्य करने के लिए चुना जाता है,

यह जैकोबी आइजेनवैल्यू एल्गोरिथम में मुख्य ऑपरेशन है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर है और समानांतर प्रोसेसर पर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है। .

केवल A की पंक्तियाँ k और ℓ और कॉलम k और ℓ से प्रभावित होंगे, और वह A सममित रहता हैं इसके अतिरिक्त , Qk के लिए स्पष्ट आव्युह इसकी गणना संभवतः ही कभी की जाती है; इसके अतिरिक्त, सहायक मानों की गणना की जाती है और A को कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर विधियों से अद्यतन किया जाता है। चूँकि, संदर्भ के लिए, हम आव्युह को इस प्रकार लिख सकते हैं

अर्थात् Qk की चार प्रविष्टियों को छोड़कर इसकी पहचान आव्युह होती है, तथा दोनों विकर्ण पर qkk और qℓℓ, दोनों c के समान हैं) और दो सममित रूप से विकर्ण से दूर रखे गए (qk और qk, क्रमशः s और −s के समान ) होते हैं। यहां कुछ कोण θ के लिए c=cosθ और s=sinθ किन्तु रोटेशन प्रयुक्त करने के लिए कोण की ही आवश्यकता नहीं होती है। क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करके, आव्युह प्रविष्टियाँ लिखी जा सकती हैं

मान लीजिए h, k या ℓ के अतिरिक्त सूचकांक है (जो स्वयं भिन्न होना चाहिए)। फिर समानता अद्यतन, बीजगणितीय रूप से, उत्पन्न करता है


संख्यात्मक रूप से स्थिर गणना

अद्यतन के लिए आवश्यक मात्राएँ निर्धारित करने के लिए, हमें शून्य के लिए ऑफ-विकर्ण (गोलुब & वैन लोन 1996, §8.4) समीकरण को हल करना होता हैं इसका अर्थ यह है कि

इस मात्रा के आधे पर β निर्धारित करें,

यदि akℓ शून्य है तो हम अद्यतन किए बिना रुक सकते हैं, इस प्रकार हम कभी भी शून्य से विभाजित नहीं होते हैं। मान लीजिए t tan θ है। फिर कुछ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ हम समीकरण को कम करते हैं

स्थिरता के लिए हम समाधान चुनते हैं

इससे हम c और s प्राप्त कर सकते हैं

चूँकि अब हम पहले दिए गए बीजगणितीय अद्यतन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, उन्हें फिर से लिखना उत्तम हो सकता है। मान लीजिये

जिससे ρ = tan(θ/2). फिर संशोधित अद्यतन समीकरण हैं

जैसा कि पहले कहा गया है, हमें कभी भी रोटेशन कोण θ की स्पष्ट रूप से गणना करने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, हम Qk द्वारा निर्धारित सममित अद्यतन को पुन: उत्पन्न कर सकते हैं | इसमें केवल तीन मान k, ℓ, और t को निरंतर रखते हुए, शून्य रोटेशन के लिए t को शून्य पर निर्धारित किया गया है।

यह भी देखें

संदर्भ

  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9