संख्यात्मक प्रसार: Difference between revisions
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'''संख्यात्मक प्रसार''' एक समस्या है जो निरंतरता के [[कंप्यूटर सिमुलेशन]] के साथ होती है, जैसे कि फ्लूइड्स (द्रव्य) में, जिसमें सिमुलेशन माध्यम वास्तविक माध्यम की तुलना में अधिक प्रसारशीलता प्रदर्शित करती है। यह घटना विशेष रूप से गंभीर हो सकती है जब सिस्टम बिल्कुल भी प्रसारित नहीं होती, जैसे कि एक आईडियल फ्लूइड जो किसी संख्यात्मक मॉडल में कुछ कल्पनागत श्लेषकता प्राप्त कर रहा हो। | |||
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[[यूलेरियन विधि]] में, समय और स्थान को एक अलग ग्रिड में विभाजित किया जाता है और गति के निरंतर [[अंतर समीकरण]] | [[यूलेरियन विधि]] में, समय और स्थान को एक अलग ग्रिड में विभाजित किया जाता है और गति के निरंतर [[अंतर समीकरण]] को [[परिमित-अंतर समीकरण|परिमित-अंतर समीकरणो]] में विभाजित किया जाता है।<ref>[http://www.mathematik.tu-dortmund.de/~kuzmin/cfdintro/lecture10.pdf Analysis of numerical dissipation and dispersion ], Dortmund.</ref> असतत समीकरण सामान्यतः मूल अंतर समीकरणों की तुलना में अधिक [[प्रसार]] वाले होते हैं, जिससे अनुरूपित प्रणाली इच्छित भौतिक प्रणाली से भिन्न व्यवहार करती है।<ref>http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/5all.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> अंतर की मात्रा और चरित्र सिम्युलेटेड सिस्टम और उपयोग किए जाने वाले विवेक के प्रकार पर निर्भर करता है। अधिकांश द्रव गतिकी या [[मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स]] सिमुलेशन उच्च निष्ठा प्राप्त करने के लिए संख्यात्मक प्रसार को न्यूनतम संभव तक कम करने का प्रयास करते हैं - लेकिन कुछ परिस्थितियों में [[गणितीय विलक्षणता]] से बचने के लिए प्रसार को सोच समझ कर सिस्टम में जोड़ा जाता है। | ||
उदाहरण के लिए, तरल पदार्थ में शॉक तरंगें और [[प्लाज्मा (भौतिकी)|प्लाज्मा]] में करंट शीट कुछ अनुमानों में असीम रूप से पतली होती हैं; इससे संख्यात्मक कोड के लिए कठिनाई हो सकती है। कठिनाई से बचने का एक आसान तरीका प्रसार जोड़ना है जो सदमे या [[वर्तमान शीट]] को सुचारू बनाता है। उच्च क्रम की संख्यात्मक विधियों (वर्णक्रमीय विधियों सहित) में निम्न क्रम की विधियों की तुलना में कम संख्यात्मक प्रसार होता है। | |||
उदाहरण के रूप में, फ्लूइड में शॉक वेव और प्लाज्मा में करंट शीट कुछ अनुमानों में अनंतता की तुलना में बहुत पतली होते हैं; इसका कुछ संख्यात्मक कोडों के लिए समस्या उत्पन्न कर सकता है। इस समस्या को बचने का एक सरल विधि यह है कि प्रसार जो शॉक या करंट शीट को कोमल करता है, तथा उसे जोड़ता है। उच्च-क्रम संख्यात्मक विधियाँ कम-क्रम संख्यात्मक विधियों की तुलना में अधिक संख्यात्मक प्रसार रखती हैं। | |||
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Revision as of 13:53, 29 July 2023
संख्यात्मक प्रसार एक समस्या है जो निरंतरता के कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ होती है, जैसे कि फ्लूइड्स (द्रव्य) में, जिसमें सिमुलेशन माध्यम वास्तविक माध्यम की तुलना में अधिक प्रसारशीलता प्रदर्शित करती है। यह घटना विशेष रूप से गंभीर हो सकती है जब सिस्टम बिल्कुल भी प्रसारित नहीं होती, जैसे कि एक आईडियल फ्लूइड जो किसी संख्यात्मक मॉडल में कुछ कल्पनागत श्लेषकता प्राप्त कर रहा हो।
स्पष्टीकरण
यूलेरियन विधि में, समय और स्थान को एक अलग ग्रिड में विभाजित किया जाता है और गति के निरंतर अंतर समीकरण को परिमित-अंतर समीकरणो में विभाजित किया जाता है।[1] असतत समीकरण सामान्यतः मूल अंतर समीकरणों की तुलना में अधिक प्रसार वाले होते हैं, जिससे अनुरूपित प्रणाली इच्छित भौतिक प्रणाली से भिन्न व्यवहार करती है।[2] अंतर की मात्रा और चरित्र सिम्युलेटेड सिस्टम और उपयोग किए जाने वाले विवेक के प्रकार पर निर्भर करता है। अधिकांश द्रव गतिकी या मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स सिमुलेशन उच्च निष्ठा प्राप्त करने के लिए संख्यात्मक प्रसार को न्यूनतम संभव तक कम करने का प्रयास करते हैं - लेकिन कुछ परिस्थितियों में गणितीय विलक्षणता से बचने के लिए प्रसार को सोच समझ कर सिस्टम में जोड़ा जाता है।
उदाहरण के लिए, तरल पदार्थ में शॉक तरंगें और प्लाज्मा में करंट शीट कुछ अनुमानों में असीम रूप से पतली होती हैं; इससे संख्यात्मक कोड के लिए कठिनाई हो सकती है। कठिनाई से बचने का एक आसान तरीका प्रसार जोड़ना है जो सदमे या वर्तमान शीट को सुचारू बनाता है। उच्च क्रम की संख्यात्मक विधियों (वर्णक्रमीय विधियों सहित) में निम्न क्रम की विधियों की तुलना में कम संख्यात्मक प्रसार होता है।
उदाहरण के रूप में, फ्लूइड में शॉक वेव और प्लाज्मा में करंट शीट कुछ अनुमानों में अनंतता की तुलना में बहुत पतली होते हैं; इसका कुछ संख्यात्मक कोडों के लिए समस्या उत्पन्न कर सकता है। इस समस्या को बचने का एक सरल विधि यह है कि प्रसार जो शॉक या करंट शीट को कोमल करता है, तथा उसे जोड़ता है। उच्च-क्रम संख्यात्मक विधियाँ कम-क्रम संख्यात्मक विधियों की तुलना में अधिक संख्यात्मक प्रसार रखती हैं।
उदाहरण
संख्यात्मक प्रसार के एक उदाहरण के रूप में, पानी के माध्यम से फैलने वाली हरी डाई की एक बूंद के स्पष्ट समय-अग्रिम का उपयोग करके एक यूलरियन सिमुलेशन पर विचार करें। यदि पानी सिमुलेशन ग्रिड के माध्यम से तिरछे बह रहा है, तो डाई को प्रवाह की सटीक दिशा में ले जाना असंभव है: प्रत्येक समय कदम पर सिमुलेशन ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दिशाओं में से प्रत्येक में कुछ डाई स्थानांतरित कर सकता है। कुछ समय के कदमों के बाद, डाई इस पार्श्व स्थानांतरण के कारण ग्रिड के माध्यम से फैल जाएगी। यह संख्यात्मक प्रभाव एक अतिरिक्त उच्च प्रसार दर का रूप लेता है।[3] जब संख्यात्मक प्रसार संवेग वेक्टर के घटकों पर लागू होता है, तो इसे संख्यात्मक चिपचिपाहट कहा जाता है; जब यह चुंबकीय क्षेत्र पर लागू होता है, तो इसे संख्यात्मक प्रतिरोधकता कहा जाता है।
पानी के एक चरण के भीतर एक उच्च दबाव वाले एयरबबल (नीला) के साथ चरण फ़ील्ड मॉडल | चरण फ़ील्ड-समस्या पर विचार करें। चूंकि पानी में हवा के विस्तार के दौरान कोई रासायनिक या थर्मोडायनामिकल प्रतिक्रियाएं नहीं होती हैं, इसलिए सिमुलेशन के दौरान किसी अन्य (यानी गैर लाल या नीले) चरण के साथ आने की कोई संभावना नहीं है। एकल चरणों के बीच की ये अशुद्धियाँ संख्यात्मक प्रसार पर आधारित हैं और बहुभुज जाल शोधन द्वारा कम की जा सकती हैं।
यह भी देखें
- झूठा प्रसार
- संख्यात्मक फैलाव
- संख्यात्मक त्रुटि
