सापेक्षवादी यूलर समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 14:23, 11 August 2023

द्रव यांत्रिकी और भौतिकी में, सापेक्षतावादी यूलर समीकरण यूलर समीकरणों का एक सामान्यीकरण होता है जो सामान्य सापेक्षता के प्रभावों को दर्शाता है। उनके पास उच्च-ऊर्जा भौतिकी और संख्यात्मक सापेक्षता अनुप्रयोग होता है, जहां उनका उपयोग सामान्यतः गामा-किरण विस्फोट और अभिवृद्धि चक्र जैसी घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, अधिकांशतः चुंबकीय क्षेत्र के साथ भी किया जाता है।^[1] ध्यान दें: साहित्य के साथ निरंतरता के लिए, यह लेख प्राकृतिक इकाइयों, अर्थात् प्रकाश की गति का उपयोग करता है $c=1$

प्रेरणा

पृथ्वी पर देखे जाने वाले अधिकांश तरल पदार्थों के लिए, न्यूटोनियन यांत्रिकी पर आधारित पारंपरिक तरल यांत्रिकी पर्याप्त होते है। चूँकि, जैसे-जैसे द्रव का वेग प्रकाश की गति के करीब पहुंचता है या मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से गुजरता है, या दबाव ऊर्जा घनत्व के करीब पहुंचता है ( $P\sim \rho$ ), तब यह समीकरण मान्य नहीं होता है।^[2] ऐसी स्थितियाँ भौतिकी अनुप्रयोगों में अधिकांशतः घटित होती है। उदाहरण के लिए, गामा-किरण प्रस्फोट में प्रायः केवल गति ही प्रदर्शित होती है $0.01\%$ प्रकाश की गति से भी कम,^[3] और न्यूट्रॉन सितारों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र इससे भी अधिक होते है $10^{11}$ पृथ्वी से कई गुना अधिक ऊर्जशील होते है।^[4] इन कठिन परिस्थितियों में, केवल तरल पदार्थों का सापेक्षिक उपचार ही पर्याप्त होता है।

परिचय

गति के समीकरण तनाव-ऊर्जा टेंसर के निरंतरता समीकरण में निहित है $T^{\mu \nu }$ :

\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,

जहाँ $\nabla _{\mu }$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है.^[5] एक उत्तम तरल पदार्थ के लिए,

T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.

जहाँ $e$ द्रव का कुल द्रव्यमान-ऊर्जा घनत्व (शेष द्रव्यमान और आंतरिक ऊर्जा घनत्व दोनों सहित) है, $p$ द्रव दबाव है, $u^{\mu }$ द्रव का चार-वेग है, और $g^{\mu \nu }$ मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) है।^[2] उपरोक्त समीकरणों में, सामान्यतः एक संरक्षण नियम (भौतिकी) जोड़ा जाता है, सामान्यतः बेरिऑन संख्या का संरक्षण जोड़ा जाता है। यदि $n$ बेरिऑन का संख्या घनत्व है, तो यह कहा जा सकता है

\nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.

यदि द्रव तीन-वेग मौलिक यांत्रिकी है तो ये समीकरण मौलिक यूलर समीकरणों में कम हो जाते है। प्रकाश की गति की तुलना में विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन, दबाव ऊर्जा घनत्व से बहुत कम होते है, और उत्तरार्द्ध बाकी द्रव्यमान घनत्व पर अधिक होते है। इस प्रणाली को बंद करने के लिए, अवस्था का एक समीकरण, जैसे आदर्श गैस या फर्मी गैस, भी जोड़ा जाता है।^[1]

समतल स्थान में गति के समीकरण

समतल स्थान के स्थिति में, अर्थात् $\nabla _{\mu }=\partial _{\mu }$ और एक मीट्रिक हस्ताक्षर का उपयोग करना $(-,+,+,+)$ गति के समीकरण है,^[6]

(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p

जहाँ $e=\gamma \rho c^{2}+\rho \epsilon$ प्रणाली की ऊर्जा घनत्व है, साथ में $p$ दबाव है, और $u^{\mu }=\gamma (1,{\frac {\mathbf {v} }{c}})$ प्रणाली का चार-वेग है।

योगों और समीकरणों का विस्तार करते हुए, हमारे पास है ${\frac {d}{dt}}$ सामग्री व्युत्पन्न के रूप में है

(e+p){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }

फिर, $u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}$ वेग के व्यवहार का निरीक्षण करने पर हम देखते है कि गति के समीकरण बन जाते है

(e+p){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}(\gamma v_{i})=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}

ध्यान दें कि गैर-सापेक्षतावादी है ${\frac {1}{c^{2}}}(e+p)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \epsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho$ . इसका मतलब है कि तरल पदार्थ की ऊर्जा उसकी बाकी ऊर्जा पर अधिक होती है।

इस सीमा में, हमारे पास है $\gamma \rightarrow 1$ और $c\rightarrow \infty$ , और यूलर समीकरण है $\rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p$ .

गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति

गति के समीकरण को निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित स्थानिक प्रक्षेपण टेंसर स्थिति का लाभ उठाते है:

\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0^{\nu }

यह हम देखकर सिद्ध करते है $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$ और फिर प्रत्येक पक्ष को इससे गुणा करते है $u_{\nu }$ . ऐसा करने पर, और उस पर ध्यान देने पर $u^{\mu }u_{\mu }=-1$ , के पास है $u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$ . सूचकांकों को पुनः अंकित करते है $\alpha$ जैसे $\nu$ दिखाता है कि दोनों पूरी तरह से निरसित हो जाते है। यह निरसित एक स्थानिक टेंसर के साथ टेम्पोरल टेंसर के संकुचन का अपेक्षित परिणाम होता है।

अब, जब हम उस पर ध्यान देते है

T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }

जहां हमने इसे स्पष्ट रूप से परिभाषित किया है $w\equiv e+p$ .

हम उसका पता लगा सकते है

{\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}

और इस तरह है

u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p

फिर, इस तथ्य पर ध्यान दें $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ और $u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0$ . ध्यान दें कि दूसरी पहचान पहली से मिलती होनी चाहिए। इन सरलीकरणों के अंतर्गत, हम उसे प्राप्त करते है

u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p

और इस प्रकार है $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0$ , हम प्राप्त करते है

(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0

हमारे पास दो निरस्तीकरण है, और इस प्रकार हम प्राप्त करते है

(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Rezzolla, L. (Luciano) (14 June 2018). सापेक्षतावादी हाइड्रोडायनामिक्स. Zanotti, Olindo. Oxford. ISBN 978-0-19-880759-9. OCLC 1044938862.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
↑ ^2.0 ^2.1 Thorne, Kip S.; Blandford, Roger D. (2017). आधुनिक शास्त्रीय भौतिकी. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 719–720. ISBN 9780691159027.
↑ Lithwick, Yoram; Sari, Re'em (July 2001). "गामा-किरण विस्फोट में लोरेंत्ज़ कारकों की निचली सीमा". The Astrophysical Journal. 555 (1): 540–545. arXiv:astro-ph/0011508. Bibcode:2001ApJ...555..540L. doi:10.1086/321455. S2CID 228707.
↑ सूर्य और तारों का परिचय. Green, S. F., Jones, Mark H. (Mark Henry), Burnell, S. Jocelyn. (Co-published ed.). Cambridge: Open University. 2004. ISBN 0-521-83737-5. OCLC 54663723.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
↑ Schutz, Bernard (2009). सामान्य सापेक्षता में पहला कोर्स. Cambridge University Press. ISBN 978-0521887052.
↑ Lifshitz, L.D.; Landau, E.M. (1987). द्रव यांत्रिकी (2nd ed.). Elsevier. p. 508. ISBN 0-7506-2767-0.

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[:0-1] 1.0 ^1.1 Rezzolla, L. (Luciano) (14 June 2018). सापेक्षतावादी हाइड्रोडायनामिक्स. Zanotti, Olindo. Oxford. ISBN 978-0-19-880759-9. OCLC 1044938862.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[:1-2] 2.0 ^2.1 Thorne, Kip S.; Blandford, Roger D. (2017). आधुनिक शास्त्रीय भौतिकी. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 719–720. ISBN 9780691159027.

[3] Lithwick, Yoram; Sari, Re'em (July 2001). "गामा-किरण विस्फोट में लोरेंत्ज़ कारकों की निचली सीमा". The Astrophysical Journal. 555 (1): 540–545. arXiv:astro-ph/0011508. Bibcode:2001ApJ...555..540L. doi:10.1086/321455. S2CID 228707.

[4] सूर्य और तारों का परिचय. Green, S. F., Jones, Mark H. (Mark Henry), Burnell, S. Jocelyn. (Co-published ed.). Cambridge: Open University. 2004. ISBN 0-521-83737-5. OCLC 54663723.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

[:2-5] Schutz, Bernard (2009). सामान्य सापेक्षता में पहला कोर्स. Cambridge University Press. ISBN 978-0521887052.

[6] Lifshitz, L.D.; Landau, E.M. (1987). द्रव यांत्रिकी (2nd ed.). Elsevier. p. 508. ISBN 0-7506-2767-0.

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-{{More citations needed|date=April 2020}}
+द्रव यांत्रिकी और भौतिकी में, '''सापेक्षतावादी यूलर समीकरण''' यूलर समीकरणों का एक सामान्यीकरण होता है जो [[सामान्य सापेक्षता]] के प्रभावों को दर्शाता है। उनके पास [[उच्च-ऊर्जा खगोल भौतिकी|उच्च-ऊर्जा भौतिकी]] और [[संख्यात्मक सापेक्षता]] अनुप्रयोग होता है, जहां उनका उपयोग सामान्यतः [[गामा-किरण विस्फोट]] और [[अभिवृद्धि डिस्क|अभिवृद्धि चक्र]] जैसी घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, अधिकांशतः चुंबकीय क्षेत्र के साथ भी किया जाता है।<ref name=":0">{{Cite book|last=Rezzolla, L. (Luciano)|title=सापेक्षतावादी हाइड्रोडायनामिक्स|others=Zanotti, Olindo|date=14 June 2018|isbn=978-0-19-880759-9|location=Oxford|oclc=1044938862}}</ref> ध्यान दें: साहित्य के साथ निरंतरता के लिए, यह लेख प्राकृतिक इकाइयों, अर्थात् प्रकाश की गति का उपयोग करता है <math>c=1</math>
-[[द्रव यांत्रिकी]] और [[खगोल भौतिकी]] में, सापेक्षतावादी यूलर समीकरण यूलर समीकरणों (द्रव गतिशीलता) का एक सामान्यीकरण है जो [[सामान्य सापेक्षता]] के प्रभावों को दर्शाता है। उनके पास [[उच्च-ऊर्जा खगोल भौतिकी]] और [[संख्यात्मक सापेक्षता]] में अनुप्रयोग हैं, जहां उनका उपयोग आमतौर पर [[गामा-किरण विस्फोट]], [[अभिवृद्धि डिस्क]] और [[न्यूट्रॉन स्टार]] जैसी घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, अक्सर [[मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स]] के अतिरिक्त के साथ।<ref name=":0">{{Cite book|last=Rezzolla, L. (Luciano)|title=सापेक्षतावादी हाइड्रोडायनामिक्स|others=Zanotti, Olindo|date=14 June 2018|isbn=978-0-19-880759-9|location=Oxford|oclc=1044938862}}</ref> ध्यान दें: साहित्य के साथ निरंतरता के लिए, यह लेख प्राकृतिक इकाइयों, अर्थात् प्रकाश की गति का उपयोग करता है <math>c=1</math> और [[आइंस्टीन संकेतन]].
 == प्रेरणा ==
-पृथ्वी पर देखे जाने वाले अधिकांश तरल पदार्थों के लिए, न्यूटोनियन यांत्रिकी पर आधारित पारंपरिक तरल यांत्रिकी पर्याप्त है। हालाँकि, जैसे-जैसे द्रव का वेग प्रकाश की गति के करीब पहुंचता है या मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से गुजरता है, या दबाव ऊर्जा घनत्व के करीब पहुंचता है (<math>P\sim\rho</math>), ये समीकरण अब मान्य नहीं हैं।<ref name=":1">{{Cite book|last1=Thorne|first1=Kip S.|title=आधुनिक शास्त्रीय भौतिकी|last2=Blandford|first2=Roger D.|publisher=Princeton University Press|year=2017|isbn=9780691159027|location=Princeton, New Jersey|pages=719–720}}</ref> ऐसी स्थितियाँ खगोलभौतिकी अनुप्रयोगों में अक्सर घटित होती हैं। उदाहरण के लिए, गामा-किरण प्रस्फोट में प्रायः केवल गति ही प्रदर्शित होती है <math>0.01%</math> प्रकाश की गति से भी कम,<ref>{{Cite journal|last1=Lithwick|first1=Yoram|last2=Sari|first2=Re'em|date=July 2001|title=गामा-किरण विस्फोट में लोरेंत्ज़ कारकों की निचली सीमा|journal=The Astrophysical Journal|volume=555|issue=1|pages=540–545|doi=10.1086/321455|arxiv=astro-ph/0011508|bibcode=2001ApJ...555..540L|s2cid=228707}}</ref> और न्यूट्रॉन सितारों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र इससे भी अधिक होते हैं <math>10^{11}</math> पृथ्वी से कई गुना अधिक शक्तिशाली।<ref>{{Cite book|title=सूर्य और तारों का परिचय|date=2004|publisher=Open University|others=Green, S. F., Jones, Mark H. (Mark Henry), Burnell, S. Jocelyn.|isbn=0-521-83737-5|edition=Co-published|location=Cambridge|oclc=54663723}}</ref> इन चरम परिस्थितियों में, केवल तरल पदार्थों का सापेक्षिक उपचार ही पर्याप्त होगा।
+पृथ्वी पर देखे जाने वाले अधिकांश तरल पदार्थों के लिए, न्यूटोनियन यांत्रिकी पर आधारित पारंपरिक तरल यांत्रिकी पर्याप्त होते है। चूँकि, जैसे-जैसे द्रव का वेग प्रकाश की गति के करीब पहुंचता है या मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से गुजरता है, या दबाव ऊर्जा घनत्व के करीब पहुंचता है (<math>P\sim\rho</math>), तब यह समीकरण मान्य नहीं होता है।<ref name=":1">{{Cite book|last1=Thorne|first1=Kip S.|title=आधुनिक शास्त्रीय भौतिकी|last2=Blandford|first2=Roger D.|publisher=Princeton University Press|year=2017|isbn=9780691159027|location=Princeton, New Jersey|pages=719–720}}</ref> ऐसी स्थितियाँ भौतिकी अनुप्रयोगों में अधिकांशतः घटित होती है। उदाहरण के लिए, गामा-किरण प्रस्फोट में प्रायः केवल गति ही प्रदर्शित होती है <math>0.01%</math> प्रकाश की गति से भी कम,<ref>{{Cite journal|last1=Lithwick|first1=Yoram|last2=Sari|first2=Re'em|date=July 2001|title=गामा-किरण विस्फोट में लोरेंत्ज़ कारकों की निचली सीमा|journal=The Astrophysical Journal|volume=555|issue=1|pages=540–545|doi=10.1086/321455|arxiv=astro-ph/0011508|bibcode=2001ApJ...555..540L|s2cid=228707}}</ref> और न्यूट्रॉन सितारों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र इससे भी अधिक होते है <math>10^{11}</math> पृथ्वी से कई गुना अधिक ऊर्जशील होते है।<ref>{{Cite book|title=सूर्य और तारों का परिचय|date=2004|publisher=Open University|others=Green, S. F., Jones, Mark H. (Mark Henry), Burnell, S. Jocelyn.|isbn=0-521-83737-5|edition=Co-published|location=Cambridge|oclc=54663723}}</ref> इन कठिन परिस्थितियों में, केवल तरल पदार्थों का सापेक्षिक उपचार ही पर्याप्त होता है।
 == परिचय ==
-[[गति के समीकरण]] तनाव-ऊर्जा टेंसर के निरंतरता समीकरण में निहित हैं <math>T^{\mu\nu}</math>:
+[[गति के समीकरण]] तनाव-ऊर्जा टेंसर के निरंतरता समीकरण में निहित है <math>T^{\mu\nu}</math>:
 :<math>\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0,</math>
-कहाँ <math>\nabla_\mu</math> [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]] है.<ref name=":2">{{Cite book|last=Schutz|first=Bernard|title=सामान्य सापेक्षता में पहला कोर्स|url=https://archive.org/details/firstcourseingen00bern_0|url-access=registration|publisher=Cambridge University Press|year=2009|isbn=978-0521887052}}</ref> एक [[उत्तम तरल]] पदार्थ के लिए,
+जहाँ <math>\nabla_\mu</math> [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]] है.<ref name=":2">{{Cite book|last=Schutz|first=Bernard|title=सामान्य सापेक्षता में पहला कोर्स|url=https://archive.org/details/firstcourseingen00bern_0|url-access=registration|publisher=Cambridge University Press|year=2009|isbn=978-0521887052}}</ref> एक [[उत्तम तरल]] पदार्थ के लिए,
 :<math>T^{\mu\nu}  \, =  (e+p)u^\mu u^\nu+p g^{\mu\nu}.</math>
-यहाँ <math>e</math> द्रव का कुल द्रव्यमान-ऊर्जा घनत्व (शेष द्रव्यमान और आंतरिक ऊर्जा घनत्व दोनों सहित) है, <math>p</math> [[द्रव दबाव]] है, <math>u^\mu</math> द्रव का [[चार-वेग]] है, और <math>g^{\mu\nu}</math> [[मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)]] है।<ref name=":1" />उपरोक्त समीकरणों में, आमतौर पर एक [[संरक्षण कानून (भौतिकी)]] जोड़ा जाता है, आमतौर पर बेरिऑन संख्या का संरक्षण। अगर <math>n</math> यह [[बेरिऑन]] का [[संख्या घनत्व]] है, यह कहा जा सकता है
+जहाँ <math>e</math> द्रव का कुल द्रव्यमान-ऊर्जा घनत्व (शेष द्रव्यमान और आंतरिक ऊर्जा घनत्व दोनों सहित) है, <math>p</math> [[द्रव दबाव]] है, <math>u^\mu</math> द्रव का [[चार-वेग]] है, और <math>g^{\mu\nu}</math> [[मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)]] है।<ref name=":1" /> उपरोक्त समीकरणों में, सामान्यतः एक [[संरक्षण कानून (भौतिकी)|संरक्षण नियम (भौतिकी)]] जोड़ा जाता है, सामान्यतः बेरिऑन संख्या का संरक्षण जोड़ा जाता है। यदि <math>n</math> [[बेरिऑन]] का [[संख्या घनत्व]] है, तो यह कहा जा सकता है
 :<math>
 \nabla_\mu
 (nu^\mu)=0.</math>
-यदि द्रव तीन-वेग शास्त्रीय यांत्रिकी है तो ये समीकरण शास्त्रीय यूलर समीकरणों में कम हो जाते हैं # प्रकाश की गति की तुलना में विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन, दबाव [[ऊर्जा घनत्व]] से बहुत कम है, और उत्तरार्द्ध बाकी द्रव्यमान घनत्व पर हावी है . इस प्रणाली को बंद करने के लिए, अवस्था का एक समीकरण, जैसे [[आदर्श गैस]] या [[फर्मी गैस]], भी जोड़ा जाता है।<ref name=":0" />
+यदि द्रव तीन-वेग मौलिक यांत्रिकी है तो ये समीकरण मौलिक यूलर समीकरणों में कम हो जाते है। प्रकाश की गति की तुलना में विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन, दबाव [[ऊर्जा घनत्व]] से बहुत कम होते है, और उत्तरार्द्ध बाकी द्रव्यमान घनत्व पर अधिक होते है। इस प्रणाली को बंद करने के लिए, अवस्था का एक समीकरण, जैसे [[आदर्श गैस]] या [[फर्मी गैस]], भी जोड़ा जाता है।<ref name=":0" />
 ==समतल स्थान में गति के समीकरण==
-समतल स्थान के मामले में, अर्थात् <math>\nabla_{\mu} = \partial_{\mu}</math> और एक [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] का उपयोग करना <math>(-,+,+,+)</math>गति के समीकरण हैं,<ref>{{cite book |last1= Lifshitz|first1= L.D.|last2= Landau|first2= E.M.|title= द्रव यांत्रिकी|edition= 2nd|publisher= Elsevier |date= 1987 |page= 508|isbn= 0-7506-2767-0}}</ref>
+समतल स्थान के स्थिति में, अर्थात् <math>\nabla_{\mu} = \partial_{\mu}</math> और एक [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] का उपयोग करना <math>(-,+,+,+)</math>गति के समीकरण है,<ref>{{cite book |last1= Lifshitz|first1= L.D.|last2= Landau|first2= E.M.|title= द्रव यांत्रिकी|edition= 2nd|publisher= Elsevier |date= 1987 |page= 508|isbn= 0-7506-2767-0}}</ref>
 :<math>
 (e+p)u^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu} = -\partial^{\nu}p - u^{\nu}u^{\mu}\partial_{\mu}p
 </math>
-कहाँ <math>e = \gamma \rho c^2 + \rho \epsilon</math> सिस्टम का ऊर्जा घनत्व है, साथ में <math>p</math> दबाव होना, और <math>u^{\mu} = \gamma(1, \frac{\mathbf{v}}{c})</math> प्रणाली का चार-वेग होना।
+जहाँ <math>e = \gamma \rho c^2 + \rho \epsilon</math> प्रणाली की ऊर्जा घनत्व है, साथ में <math>p</math> दबाव है, और <math>u^{\mu} = \gamma(1, \frac{\mathbf{v}}{c})</math> प्रणाली का चार-वेग है।
-योगों और समीकरणों का विस्तार करते हुए, हमारे पास (का उपयोग करके) है <math>\frac{d}{dt}</math> [[सामग्री व्युत्पन्न]] के रूप में)
+योगों और समीकरणों का विस्तार करते हुए, हमारे पास है <math>\frac{d}{dt}</math> [[सामग्री व्युत्पन्न]] के रूप में है
 :<math>
 (e+p)\frac{\gamma}{c}\frac{du^{\mu}}{dt} = -\partial^{\mu}p - \frac{\gamma}{c}\frac{dp}{dt}u^{\mu}
 </math>
-फिर, चुनना <math>u^{\nu} = u^i = \frac{\gamma}{c}v_i</math> वेग के व्यवहार का निरीक्षण करने पर हम देखते हैं कि गति के समीकरण बन जाते हैं
+फिर, <math>u^{\nu} = u^i = \frac{\gamma}{c}v_i</math> वेग के व्यवहार का निरीक्षण करने पर हम देखते है कि गति के समीकरण बन जाते है
 :<math>
 (e+p)\frac{\gamma}{c^2}\frac{d}{dt}(\gamma v_i) = -\partial_i p -\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{dp}{dt}v_i
 </math>
-ध्यान दें कि गैर-सापेक्षतावादी सीमा लेने पर, हमारे पास है <math>\frac{1}{c^2}(e+p) = \gamma \rho + \frac{1}{c^2}\rho \epsilon + \frac{1}{c^2}p \approx \rho</math>. इसका मतलब है कि तरल पदार्थ की ऊर्जा उसकी [[बाकी ऊर्जा]] पर हावी होती है।
+ध्यान दें कि गैर-सापेक्षतावादी है <math>\frac{1}{c^2}(e+p) = \gamma \rho + \frac{1}{c^2}\rho \epsilon + \frac{1}{c^2}p \approx \rho</math>. इसका मतलब है कि तरल पदार्थ की ऊर्जा उसकी [[बाकी ऊर्जा]] पर अधिक होती है।
-इस सीमा में, हमारे पास है <math>\gamma \rightarrow 1</math> और <math>c\rightarrow \infty</math>, और देख सकते हैं कि हम यूलर समीकरण लौटाते हैं <math>\rho \frac{dv_i}{dt} = -\partial_i p</math>.
+इस सीमा में, हमारे पास है <math>\gamma \rightarrow 1</math> और <math>c\rightarrow \infty</math>, और यूलर समीकरण है <math>\rho \frac{dv_i}{dt} = -\partial_i p</math>.
 ===गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति===
-गति के समीकरण निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित स्थानिक प्रक्षेपण टेंसर स्थिति का लाभ उठाते हैं:
+गति के समीकरण को निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित स्थानिक प्रक्षेपण टेंसर स्थिति का लाभ उठाते है:
 :<math>
 \partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = 0^{\nu}
 </math>
-ये हम देखकर साबित करते हैं <math>\partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha}</math> और फिर प्रत्येक पक्ष को इससे गुणा करें <math>u_{\nu}</math>. ऐसा करने पर, और उस पर ध्यान देने पर <math>u^{\mu}u_{\mu} = -1</math>, अपने पास <math>u_{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\nu} - u_{\alpha}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha}</math>. सूचकांकों को पुनः लेबल करना <math>\alpha</math> जैसा <math>\nu</math> दिखाता है कि दोनों पूरी तरह से रद्द हैं। यह रद्दीकरण एक स्थानिक टेंसर के साथ टेम्पोरल टेंसर के संकुचन का अपेक्षित परिणाम है।
+यह हम देखकर सिद्ध करते है <math>\partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha}</math> और फिर प्रत्येक पक्ष को इससे गुणा करते है <math>u_{\nu}</math>. ऐसा करने पर, और उस पर ध्यान देने पर <math>u^{\mu}u_{\mu} = -1</math>, के पास है <math>u_{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\nu} - u_{\alpha}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha}</math>. सूचकांकों को पुनः अंकित करते है <math>\alpha</math> जैसे <math>\nu</math> दिखाता है कि दोनों पूरी तरह से निरसित हो जाते है। यह निरसित एक स्थानिक टेंसर के साथ टेम्पोरल टेंसर के संकुचन का अपेक्षित परिणाम होता है।
-अब, जब हम उस पर ध्यान देते हैं
+अब, जब हम उस पर ध्यान देते है
 :<math>
 T^{\mu\nu} = wu^{\mu}u^{\nu} + pg^{\mu\nu}
@@ Line 52: / Line 49: @@
 जहां हमने इसे स्पष्ट रूप से परिभाषित किया है <math>w \equiv e+p</math>.
-हम उसका हिसाब लगा सकते हैं
+हम उसका पता लगा सकते है
 : <math>
    \begin{align}
@@ Line 59: / Line 56: @@
    \end{align}
 </math>
-और इस तरह
+और इस तरह है
 :<math>
 u^{\nu}u_{\alpha}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = (\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu}u^{\alpha}u_{\alpha} + w(\partial_{\mu}u^{\mu})u^{\nu} u^{\alpha}u_{\alpha} + wu^{\mu}u^{\nu} u_{\alpha}\partial_{\mu}u^{\alpha} + u^{\nu}u_{\alpha}\partial^{\alpha}p
 </math>
-फिर, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें <math>u^{\alpha}u_{\alpha} = -1</math> और <math>u^{\alpha}\partial_{\nu}u_{\alpha} = 0</math>. ध्यान दें कि दूसरी पहचान पहली से मिलती है। इन सरलीकरणों के अंतर्गत, हम उसे पाते हैं
+फिर, इस तथ्य पर ध्यान दें <math>u^{\alpha}u_{\alpha} = -1</math> और <math>u^{\alpha}\partial_{\nu}u_{\alpha} = 0</math>. ध्यान दें कि दूसरी पहचान पहली से मिलती होनी चाहिए। इन सरलीकरणों के अंतर्गत, हम उसे प्राप्त करते है
 :<math>
 u^{\nu}u_{\alpha}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = -(\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu} - w(\partial_{\mu}u^{\mu})u^{\nu} + u^{\nu}u^{\alpha}\partial_{\alpha}p
 </math>
-और इस प्रकार द्वारा <math>\partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = 0</math>, अपने पास
+और इस प्रकार है <math>\partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = 0</math>, हम प्राप्त करते है
 :<math>
 (\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu} + w(\partial_{\mu}u^{\mu}) u^{\nu} + wu^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu} + \partial^{\nu}p -(\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu} - w(\partial_{\mu}u^{\mu})u^{\nu} + u^{\nu}u^{\alpha}\partial_{\alpha}p = 0
 </math>
-हमारे पास दो रद्दीकरण हैं, और इस प्रकार हम बचे हैं
+हमारे पास दो निरस्तीकरण है, और इस प्रकार हम प्राप्त करते है
 :<math>
 (e+p)u^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu} = - \partial^{\nu}p - u^{\nu}u^{\alpha}\partial_{\alpha}p = 0
 </math>
 ==यह भी देखें==
 *[[सापेक्षिक ऊष्मा चालन]]
-* [[राज्य का समीकरण (ब्रह्मांड विज्ञान)]]
+* [[राज्य का समीकरण (ब्रह्मांड विज्ञान)|छेत्र का समीकरण (ब्रह्मांड विज्ञान)]]
 ==संदर्भ==
 {{Reflist}}
-{{DEFAULTSORT:Relativistic Euler Equations}}[[Category: विशेष सापेक्षता]] [[Category: द्रव गतिकी के समीकरण]]
+{{DEFAULTSORT:Relativistic Euler Equations}}
 {{relativity-stub}}
+[[Category:All stub articles|Relativistic Euler Equations]]
+[[Category:CS1 maint]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Created On 26/07/2023|Relativistic Euler Equations]]
-[[Category:Created On 26/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page|Relativistic Euler Equations]]
+[[Category:Pages with script errors|Relativistic Euler Equations]]
+[[Category:Relativity stubs|Relativistic Euler Equations]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:द्रव गतिकी के समीकरण|Relativistic Euler Equations]]
+[[Category:विशेष सापेक्षता|Relativistic Euler Equations]]

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