ट्रान्सेंडैंटल समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 17:02, 11 August 2023

अनुप्रयुक्त गणित में, अबीजीय समीकरण वास्तविक (या समिश्र) संख्याओं पर एक समीकरण है जो बीजगणितीय नहीं है, अर्थात यदि इसका कम से कम एक पक्ष एक अबीजीय फलन का वर्णन करता है।^[1] इसके कुछ उदाहरण निम्नलिखित है:

{\begin{aligned}x&=e^{-x}\\x&=\cos x\\2^{x}&=x^{2}\end{aligned}}

किसी अबीजीय समीकरण को प्राथमिक फलनों के बीच एक समीकरण होने की आवश्यकता नहीं होती है, हालांकि अधिकांश प्रकाशित उदाहरण हैं।

कुछ स्थितियों में, किसी अबीजीय समीकरण को एक समतुल्य बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तित करके हल किया जा सकता है। ऐसे ही कुछ रूपांतरणों का संक्षिप्त वर्णन नीचे दिया गया है; संगणक बीजगणित प्रणालियां अधिक व्यापक रूपांतरण प्रदान कर सकती हैं।^[2]

हालांकि, सामान्यतः, केवल सन्निकट हल प्राप्त किया जा सकता हैं।^[3]

एक बीजगणितीय समीकरण में रूपांतरण

एकल चर में अबीजीय समीकरणों के कुछ वर्गों के लिए उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करने के लिए एड हॉक विधियाँ विद्यमान हैं, जिन्हें तब हल किया जा सकता है।

चरघातांकी समीकरण

यदि अज्ञात, मान लीजिए x, केवल घातांकों में प्रकट होता है:

प्राकृतिक लघुगणक को दोनों पक्षों पर लागू करने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त किया जा सकता है,^[4] उदाहरण।

4^{x}=3^{x^{2}-1}\cdot 2^{5x},

x\ln 4=(x^{2}-1)\ln 3+5x\ln 2

में परिवर्तित हो जाता है, जो कि

x^{2}\ln 3+x(5\ln 2-\ln 4)-\ln 3=0

में सरलीकृत हो जाता है, जिसका हल है

x={\frac {-3\ln 2\pm {\sqrt {9(\ln 2)^{2}-4(\ln 3)^{2}}}}{2\ln 3}}.

यह कार्य नहीं करेगा यदि संकलन "आधार रेखा पर" होता है, जैसा कि

4^{x}=3^{x^{2}-1}+2^{5x}

में है।

यदि सभी "आधार स्थिरांक" को पूर्णांक या किसी संख्या q की परिमेय घातों के रूप में लिखा जा सकता है, तो y=q^x को प्रतिस्थापित करना सफल हो सकता है, उदाहरण।

2^{x-1}+4^{x-2}-8^{x-2}=0,

y=2^x का उपयोग करके

{\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{16}}y^{2}-{\frac {1}{64}}y^{3}=0

में परिवर्तित हो जाता है, जिसका हल

y\in \{0,-4,8\}

है, इसलिए

x=\log _{2}8=3

ही एकमात्र वास्तविक हल है।^[5]

यह तब काम नहीं करेगा जब वर्ग या x की उच्च घात किसी घातांक (एक्सपोनेंट) में होती है, या यदि "आधार स्थिरांक" उभयनिष्ठ q को "सहभाजित" नहीं करते हैं।

कभी-कभी, y=xe^x को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है; y के हल ज्ञात होने के बाद, x के लिए लैम्बर्ट W फलन को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है,^{[citation needed]} उदाहरण के लिए:

x^{2}e^{2x}+2=3xe^{x}

में परिवर्तित हो जाता है

y^{2}+2=3y,

जिसके हल हैं

y\in \{1,2\},

इसलिए

x\in \{W_{0}(1),W_{0}(2),W_{-1}(1),W_{-1}(2)\}

, जहाँ

W_{0}

और

W_{-1}

बहु-मूल्यवान

W

फलन की वास्तविक-मूल्यवान शाखाओं को दर्शाते हैं।

लघुगणकीय समीकरण

यदि अज्ञात x केवल लघुगणक फलन के आर्ग्यूमेंट्स में होता है:

दोनों पक्षों में घातांक लगाने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदाहरण।

2\log _{5}(3x-1)-\log _{5}(12x+1)=0

घातांक का उपयोग करके

5.

से

{\frac {(3x-1)^{2}}{12x+1}}=1,

को आधार बनाता है, जिसका हल

x\in \{0,2\}

है। यदि केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार किया जाए, तो

x=0

एक हल नहीं है, क्योंकि यह दिए गए समीकरण में एक अवास्तविक उप-व्यंजक

\log _{5}(-1)

की ओर अग्रसारित करता है।

इसके लिए मूल समीकरण में एक विशिष्ट आधार के सापेक्ष में लघुगणकों के पूर्णांक-गुणांक रैखिक संयोजनों और x में बहुपद होने के लिए लघुगणक आर्ग्यूमेंट्स की आवश्यकता होती है।^[6]

यदि सभी "लघुगणक कॉल" का एक विशिष्ट आधार $b$ और एक विशिष्ट आर्ग्यूमेंट व्यंजक $f(x),$ है, तो $y=\log _{b}(f(x))$ को प्रतिस्थापित करने से एक सरल समीकरण हो सकता है,^[7] उदाहरण।

5\ln(\sin x^{2})+6=7{\sqrt {\ln(\sin x^{2})+8}}

रूपांतरण,

y=\ln(\sin x^{2}),

से

5y+6=7{\sqrt {y+8}},

का उपयोग करते हुए जो बीजगणितीय है और इसे हल किया जा सकता है।^{[clarification needed]} उसके बाद, प्रतिस्थापन समीकरण के व्युत्क्रम संचालन को लागू करने से

{\sqrt {\arcsin \exp y}}=x

प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण

यदि अज्ञात x केवल त्रिकोणमितीय कार्यों के तर्क के रूप में होता है:

पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं और त्रिकोणमितीय योग और कई सूत्रों को लागू करते हुए, $\sin(nx+a),\cos(mx+b),\tan(lx+c),...$ रूप के आर्ग्यूमेंट्स को पूर्णांक 22 $n,m,l,...$ के साथ, माना $\sin x$ , रूप के आर्ग्यूमेंट्स में परिवर्तित किया जा सकता है, इसके पश्चात, $y=\sin(x)$ को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है,^[8] उदाहरण।

\sin(x+a)=(\cos ^{2}x)-1

में परिवर्तित हो जाता है

(\sin x)(\cos a)+{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}(\sin a)=1-(\sin ^{2}x)-1

, और, प्रतिस्थापन के बाद, करने के लिए

y(\cos a)+{\sqrt {1-y^{2}}}(\sin a)=-y^{2}

जो बीजगणितीय है^[9] और हल किया जा सकता है। इसके बाद

x=2k\pi +\arcsin y

लगाने पर हल प्राप्त होता है।

अतिपरवलीय (हाइपरबोलिक) समीकरण

यदि अज्ञात x अतिपरवलीय फलनों के आर्ग्यूमेंट्स के भीतर केवल रैखिक व्यंजकों में होता है,

उनके परिभाषित घातीय व्यंजकों द्वारा उन्हें प्रकट करने और $y=exp(x)$ को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है,^[10] उदाहरण।

3\cosh x=4+\sinh(2x-6)

प्रकट होता है

{\frac {3}{2}}(e^{x}+{\frac {1}{e^{x}}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(e^{x})^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{(e^{x})^{2}}}\right),

जो समीकरण में परिवर्तित हो जाता है

{\frac {3}{2}}(y+{\frac {1}{y}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{y^{2}}}\right),

जो बीजगणितीय है^[11] और हल किया जा सकता है।

x=\ln y

को लागू करने से मूल समीकरण के हल प्राप्त होते हैं।

सन्निकट हल

अबीजीय समीकरणों के सन्निकट संख्यात्मक हल संख्यात्मक, विश्लेषणात्मक सन्निकटन या ग्राफिकल विधियों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

यादृच्छिक समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों को रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम कहा जाता है।

कुछ स्थितियों में, ज़ीरो के निकट टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समीकरण को अच्छी तरह से सन्निकट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $k\approx 1$ के लिए, $\sin x=kx$ के हल लगभग $(1-k)x-x^{3}/6=0$ के हल हैं, अर्थात् $x=0$ और $x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}$ ।

एक ग्राफिकल हल के लिए, एक विधि है कि एक एकल चर अबीजीय समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक निर्भर चर के बराबर सेट करना और हल खोजने के लिए उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का उपयोग करके दो ग्राफ़ों को प्लॉट करना है (चित्र देखें)।

अन्य हल

उच्च-क्रम समीकरणों की कुछ अबीजीय प्रणालियों को अज्ञातों के "पृथक्करण" द्वारा हल किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में कम किया जा सकता है।^[12]^[13]
अबीजीय समीकरणों/असमानताओं को हल करते समय निम्नलिखित का भी उपयोग किया जा सकता है: यदि $x_{0}$ समीकरण $f(x)=g(x)$ और $f(x)\leq c\leq g(x)$ का हल है, तो इस हल को $f(x_{0})=g(x_{0})=c$ को संतुष्ट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम $\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$ को हल करना चाहते हैं। दिए गए समीकरण को $-1<x<3$ के लिए परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $f(x)=\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)$ और $g(x)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$ हैं। यह दिखाना आसान है कि $f(x)\leq 2$ और $g(x)\geq 2$ इसलिए यदि समीकरण का कोई हल है, तो उसे $f(x)=g(x)=2$ को संतुष्ट करना होगा। $f(x)=2$ से हमें $x=1\in (-1,3)$ मिलते हैं। वास्तव में, $f(1)=g(1)=2$ और इसलिए $x=1$ ही समीकरण का एकमात्र वास्तविक हल है।

यह भी देखें

श्रीमती मिनिवर की समस्या

संदर्भ

↑ I.N. Bronstein and K.A. Semendjajew and G. Musiol and H. Mühlig (2005). गणित की पॉकेट बुक (in German). Frankfurt/Main: Harri Deutsch.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link) Here: Sect.1.6.4.1, p.45. The domain of equations is left implicit throughout the book.
↑ For example, according to the Wolfram Mathematica tutorial page on equation solving, both $2^{x}=x$ and $e^{x}+x+1=0$ can be solved by symbolic expressions, while $x=\cos x$ can only be solved approximatively.
↑ Bronstein et al., p.45-46
↑ Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.a, p.46
↑ Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.b, p.46
↑ Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.b, p.46
↑ Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.a, p.46
↑ Bronstein et al., Sect.1.6.4.4, p.46-47
↑ over an appropriate field, containing $\sin a$ and $\cos a$
↑ Bronstein et al., Sect.1.6.4.5, p.47
↑ over an appropriate field, containing $e^{6}$
↑ V. A. Varyuhin, S. A. Kas'yanyuk, “On a certain method for solving nonlinear systems of a special type”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 6:2 (1966), 347–352; U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 6:2 (1966), 214–221
↑ V.A. Varyukhin, Fundamental Theory of Multichannel Analysis (VA PVO SV, Kyiv, 1993) [in Russian]

John P. Boyd (2014). Solving Transcendental Equations: The Chebyshev Polynomial Proxy and Other Numerical Rootfinders, Perturbation Series, and Oracles. Other Titles in Applied Mathematics. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). doi:10.1137/1.9781611973525. ISBN 978-1-61197-351-8.

श्रेणी:समीकरण

[1] I.N. Bronstein and K.A. Semendjajew and G. Musiol and H. Mühlig (2005). गणित की पॉकेट बुक (in German). Frankfurt/Main: Harri Deutsch.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link) Here: Sect.1.6.4.1, p.45. The domain of equations is left implicit throughout the book.

[2] For example, according to the Wolfram Mathematica tutorial page on equation solving, both $2^{x}=x$ and $e^{x}+x+1=0$ can be solved by symbolic expressions, while $x=\cos x$ can only be solved approximatively.

[3] Bronstein et al., p.45-46

[4] Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.a, p.46

[5] Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.b, p.46

[6] Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.b, p.46

[7] Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.a, p.46

[8] Bronstein et al., Sect.1.6.4.4, p.46-47

[9] ver an appropriate field, containing $\sin a$ and $\cos a$

[10] Bronstein et al., Sect.1.6.4.5, p.47

[11] ver an appropriate field, containing $e^{6}$

[12] V. A. Varyuhin, S. A. Kas'yanyuk, “On a certain method for solving nonlinear systems of a special type”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 6:2 (1966), 347–352; U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 6:2 (1966), 214–221

[book-13] V.A. Varyukhin, Fundamental Theory of Multichannel Analysis (VA PVO SV, Kyiv, 1993) [in Russian]

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[6]

[7]

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{more citations needed|date = अक्टूबर 2011}}
-अनुप्रयुक्त गणित में, एक अनुवांशिक समीकरण [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] (या [[जटिल संख्या|जटिल]]) संख्याओं पर एक [[समीकरण]] है जो [[बीजगणितीय समीकरण|बीजगणितीय]] नहीं है, अर्थात यदि इसका कम से कम एक पक्ष एक अनुवांशिक कार्य का वर्णन करता है।<ref>{{cite book | author=I.N. Bronstein and K.A. Semendjajew and G. Musiol and H. Mühlig | title=गणित की पॉकेट बुक| location=Frankfurt/Main |
+अनुप्रयुक्त गणित में, '''अबीजीय समीकरण''' [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] (या [[जटिल संख्या|समिश्र]]) संख्याओं पर एक [[समीकरण]] है जो [[बीजगणितीय समीकरण|बीजगणितीय]] नहीं है, अर्थात यदि इसका कम से कम एक पक्ष एक अबीजीय फलन का वर्णन करता है।<ref>{{cite book | author=I.N. Bronstein and K.A. Semendjajew and G. Musiol and H. Mühlig | title=गणित की पॉकेट बुक| location=Frankfurt/Main |
-publisher=Harri Deutsch | year=2005 |language=German}} Here: Sect.1.6.4.1, p.45. The domain of equations is left implicit throughout the book.</ref> उदाहरणों में शामिल हैं:
+publisher=Harri Deutsch | year=2005 |language=German}} Here: Sect.1.6.4.1, p.45. The domain of equations is left implicit throughout the book.</ref> इसके कुछ उदाहरण निम्नलिखित है:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 8: / Line 8: @@
 ^x &= x^2
 \end{align}</math>
-एक पारलौकिक समीकरण को प्राथमिक कार्यों के बीच एक समीकरण होने की आवश्यकता नहीं है, हालांकि अधिकांश प्रकाशित उदाहरण हैं।
+किसी अबीजीय समीकरण को प्राथमिक फलनों के बीच एक समीकरण होने की आवश्यकता नहीं होती है, हालांकि अधिकांश प्रकाशित उदाहरण हैं।
-कुछ मामलों में, एक अनुभवातीत समीकरण को एक समतुल्य बीजीय समीकरण में बदलकर हल किया जा सकता है। ऐसे ही कुछ परिवर्तनों का रेखाचित्र नीचे दिया गया है; [[कंप्यूटर बीजगणित]] प्रणालियां अधिक विस्तृत रूपांतर प्रदान कर सकती हैं।<ref>For example, according to the [[Wolfram Mathematica]] tutorial page on [https://reference.wolfram.com/language/tutorial/ManipulatingEquationsAndInequalities.html#16840 equation solving], both <math>2^x = x</math> and <math>e^x + x + 1 = 0</math> can be solved by symbolic expressions, while <math>x = \cos x</math> can only be solved approximatively.</ref>
+कुछ स्थितियों में, किसी अबीजीय समीकरण को एक समतुल्य बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तित करके हल किया जा सकता है। ऐसे ही कुछ रूपांतरणों का संक्षिप्त वर्णन नीचे दिया गया है; [[कंप्यूटर बीजगणित|संगणक बीजगणित]] प्रणालियां अधिक व्यापक रूपांतरण प्रदान कर सकती हैं।<ref>For example, according to the [[Wolfram Mathematica]] tutorial page on [https://reference.wolfram.com/language/tutorial/ManipulatingEquationsAndInequalities.html#16840 equation solving], both <math>2^x = x</math> and <math>e^x + x + 1 = 0</math> can be solved by symbolic expressions, while <math>x = \cos x</math> can only be solved approximatively.</ref>
-हालांकि, सामान्य तौर पर, केवल अनुमानित समाधान ही खोजे जा सकते हैं।<ref>Bronstein et al., p.45-46</ref>
+हालांकि, सामान्यतः, केवल सन्निकट हल प्राप्त किया जा सकता हैं।<ref>Bronstein et al., p.45-46</ref>
-== एक बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तन ==
+== एक बीजगणितीय समीकरण में रूपांतरण ==
-एक चर में पारलौकिक समीकरणों के कुछ वर्गों के लिए उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में बदलने के लिए तदर्थ विधियाँ मौजूद हैं, जिन्हें तब हल किया जा सकता है।
+एकल चर में अबीजीय समीकरणों के कुछ वर्गों के लिए उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करने के लिए एड हॉक विधियाँ विद्यमान हैं, जिन्हें तब हल किया जा सकता है।
-=== घातीय समीकरण ===
+=== चरघातांकी समीकरण ===
-यदि अज्ञात, मान लीजिए x, केवल घातांकों में होता है:
+यदि अज्ञात, मान लीजिए x, केवल घातांकों में प्रकट होता है:
-* [[प्राकृतिक]] लघुगणक को दोनों पक्षों पर लागू करने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.a, p.46</ref> उदा।
+* [[प्राकृतिक|प्राकृतिक लघुगणक]] को दोनों पक्षों पर लागू करने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त किया जा सकता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.a, p.46</ref> उदाहरण।
-: <math>4^x = 3^{x^2-1} \cdot 2^{5x},</math> <math>x \ln 4 = (x^2-1) \ln 3 + 5x \ln 2</math> में बदल जाता है, जो कि <math>x^2 \ln 3 + x(5 \ln 2 - \ln 4) -\ln 3 = 0</math> में सरल हो जाता है, जिसका समाधान है
+: <math>4^x = 3^{x^2-1} \cdot 2^{5x},</math> <math>x \ln 4 = (x^2-1) \ln 3 + 5x \ln 2</math> में परिवर्तित हो जाता है, जो कि <math>x^2 \ln 3 + x(5 \ln 2 - \ln 4) -\ln 3 = 0</math> में सरलीकृत हो जाता है, जिसका हल है
 :<math>x = \frac{ -3 \ln 2 \pm \sqrt{9(\ln 2)^2 - 4 (\ln 3)^2} }{ 2 \ln 3 } .</math>
-: यह काम नहीं करेगा यदि जोड़ "आधार रेखा पर" होता है, जैसा कि <math>4^x = 3^{x^2-1} + 2^{5x} </math> में है।
+: यह कार्य नहीं करेगा यदि संकलन "आधार रेखा पर" होता है, जैसा कि <math>4^x = 3^{x^2-1} + 2^{5x} </math> में है।
-* यदि सभी "आधार स्थिरांक" को पूर्णांक या किसी संख्या q की तर्कसंगत शक्तियों के रूप में लिखा जा सकता है, तो y=qx को प्रतिस्थापित करना सफल हो सकता है, उदा।
+* यदि सभी "आधार स्थिरांक" को पूर्णांक या किसी संख्या ''q'' की परिमेय घातों के रूप में लिखा जा सकता है, तो  ''y''=''q<sup>x</sup>'' को प्रतिस्थापित करना सफल हो सकता है, उदाहरण।
-: <math>2^{x-1} + 4^{x-2} - 8^{x-2} = 0</math> y=2 का उपयोग करके रूपांतरित करता है<sup>x</sup>, को  <math>\frac{1}{2} y + \frac{1}{16} y^2 - \frac{1}{64} y^3 = 0</math> जिसके समाधान हैं <math>y \in \{ 0, -4, 8\}</math>, इसलिए <math>x= \log_2 8 = 3</math> ही वास्तविक समाधान है।<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.b, p.46</ref>
+: <math>2^{x-1} + 4^{x-2} - 8^{x-2} = 0,</math> ''y''=2<sup>''x''</sup> का उपयोग करके <math>\frac{1}{2} y + \frac{1}{16} y^2 - \frac{1}{64} y^3 = 0</math> में परिवर्तित हो जाता है, जिसका हल <math>y \in \{ 0, -4, 8\}</math> है, इसलिए <math>x= \log_2 8 = 3</math> ही एकमात्र वास्तविक हल है।<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.2.b, p.46</ref>
-: यह तब काम नहीं करेगा जब वर्ग या एक्स की उच्च शक्ति एक एक्सपोनेंट में होती है, या यदि "आधार स्थिरांक" एक सामान्य क्यू को "साझा" नहीं करते हैं।
+: यह तब काम नहीं करेगा जब वर्ग या ''x'' की उच्च घात किसी घातांक (एक्सपोनेंट) में होती है, या यदि "आधार स्थिरांक" उभयनिष्ठ ''q'' को "सहभाजित" नहीं करते हैं।
-* कभी-कभी, y=xex को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है; y के समाधान ज्ञात होने के बाद, x के लिए [[लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह|लैम्बर्ट W फ़ंक्शन]] को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है,{{citation needed|date=January 2022}} उदाहरण के लिए:
+* कभी-कभी, ''y''=''x''e<sup>''x''</sup> को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है; ''y'' के हल ज्ञात होने के बाद, ''x'' के लिए [[लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह|लैम्बर्ट W फलन]] को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है,{{citation needed|date=January 2022}} उदाहरण के लिए:
-: <math>x^2e^{2x} + 2 = 3x e^x</math> में बदल जाता है <math>y^2 + 2 = 3y,</math> जिसके समाधान हैं <math>y \in \{1,2\},</math> इसलिए <math>x \in \{ W_0(1), W_0(2), W_{-1}(1), W_{-1}(2) \}</math>, कहां <math>W_0</math> और <math>W_{-1}</math> बहु-मूल्यवान की वास्तविक-मूल्यवान शाखाओं को दर्शाता है <math>W</math> समारोह।
+: <math>x^2e^{2x} + 2 = 3x e^x</math> में परिवर्तित हो जाता है <math>y^2 + 2 = 3y,</math> जिसके हल हैं <math>y \in \{1,2\},</math> इसलिए <math>x \in \{ W_0(1), W_0(2), W_{-1}(1), W_{-1}(2) \}</math>, जहाँ <math>W_0</math> और <math>W_{-1}</math> बहु-मूल्यवान <math>W</math> फलन की वास्तविक-मूल्यवान शाखाओं को दर्शाते हैं।
 === लघुगणकीय समीकरण ===
-यदि अज्ञात x केवल लघुगणक फ़ंक्शन के तर्कों में होता है:
+यदि अज्ञात ''x'' केवल लघुगणक फलन के आर्ग्यूमेंट्स में होता है:
-* दोनों पक्षों में [[घातांक]] लगाने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदा।
+* दोनों पक्षों में [[घातांक]] लगाने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदाहरण।
-:<math>2 \log_5 (3x-1) - \log_5 (12x+1) = 0</math> घातांक का उपयोग करके <math>5.</math> से <math>\frac{ (3x-1)^2 }{ 12x+1 } = 1,</math> को आधार बनाता है, जिसका समाधान <math>x \in \{ 0, 2\} </math> है। यदि केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार किया जाए, तो <math>x = 0</math> एक समाधान नहीं है, क्योंकि यह दिए गए समीकरण में एक गैर-वास्तविक उप-अभिव्यक्ति <math>\log_5(-1)</math> की ओर ले जाता है।
+:<math>2 \log_5 (3x-1) - \log_5 (12x+1) = 0</math> घातांक का उपयोग करके <math>5.</math> से <math>\frac{ (3x-1)^2 }{ 12x+1 } = 1,</math> को आधार बनाता है, जिसका हल <math>x \in \{ 0, 2\} </math> है। यदि केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार किया जाए, तो <math>x = 0</math> एक हल नहीं है, क्योंकि यह दिए गए समीकरण में एक अवास्तविक उप-व्यंजक <math>\log_5(-1)</math> की ओर अग्रसारित करता है।
-:इसके लिए मूल समीकरण को लघुगणक w.r.t के [[पूर्णांक]]-गुणांक रैखिक संयोजनों को शामिल करने की आवश्यकता है। एक अद्वितीय आधार, और लघुगणक तर्क x में बहुपद होना चाहिए।<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.b, p.46</ref>
+:इसके लिए मूल समीकरण में एक विशिष्ट आधार के सापेक्ष में लघुगणकों के [[पूर्णांक]]-गुणांक रैखिक संयोजनों और ''x'' में बहुपद होने के लिए लघुगणक आर्ग्यूमेंट्स की आवश्यकता होती है।<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.b, p.46</ref>
-* यदि सभी "लघुगणक कॉल" का एक अनूठा आधार <math>b</math> और एक अद्वितीय तर्क अभिव्यक्ति <math>f(x),</math> है, तो <math>y = \log_b (f(x))</math> को प्रतिस्थापित करने से एक सरल समीकरण हो सकता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.a, p.46</ref> उदा।
+* यदि सभी "लघुगणक कॉल" का एक विशिष्ट आधार <math>b</math> और एक विशिष्ट आर्ग्यूमेंट व्यंजक <math>f(x),</math> है, तो <math>y = \log_b (f(x))</math> को प्रतिस्थापित करने से एक सरल समीकरण हो सकता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.3.a, p.46</ref> उदाहरण।
 : <math>5 \ln(\sin x^2) + 6 = 7 \sqrt{ \ln(\sin x^2) + 8 }</math> रूपांतरण, <math>y = \ln(\sin x^2) ,</math> से <math>5 y + 6 = 7 \sqrt{ y + 8 },</math> का उपयोग करते हुए जो बीजगणितीय है और इसे हल किया जा सकता है।{{clarify|reason=Provide the solution; adapt constants if necessary.|date=January 2022}} उसके बाद, प्रतिस्थापन समीकरण के व्युत्क्रम संचालन को लागू करने से <math>\sqrt{ \arcsin \exp y } = x</math> प्राप्त होता है।
 === त्रिकोणमितीय समीकरण ===
-यदि अज्ञात x अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के तर्कों के अंदर केवल रैखिक अभिव्यक्तियों में होता है,
+यदि अज्ञात x केवल त्रिकोणमितीय कार्यों के तर्क के रूप में होता है:
-* पायथागॉरियन पहचान और त्रिकोणमितीय योग और कई सूत्रों को लागू करते हुए, फॉर्म <math>\sin(nx+a), \cos(mx+b), \tan(lx+c), ...</math> के तर्कों को पूर्णांक 22<math>n,m,l,...</math> के साथ फॉर्म के तर्कों में परिवर्तित किया जा सकता है, कहते हैं, <math>\sin x</math> उसके बाद, <math>y = \sin(x)</math> को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.4, p.46-47</ref> उदा।
+* पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं और त्रिकोणमितीय योग और कई सूत्रों को लागू करते हुए, <math>\sin(nx+a), \cos(mx+b), \tan(lx+c), ...</math> रूप के आर्ग्यूमेंट्स को पूर्णांक 22<math>n,m,l,...</math> के साथ, माना <math>\sin x</math>, रूप के आर्ग्यूमेंट्स में परिवर्तित किया जा सकता है, इसके पश्चात, <math>y = \sin(x)</math> को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.4, p.46-47</ref> उदाहरण।
-: <math>\sin(x+a) = (\cos^2 x) - 1</math> में बदल जाता है <math>(\sin x)(\cos a) + \sqrt{ 1 - \sin^2 x }(\sin a) = 1 - (\sin^2 x) - 1</math>, और, प्रतिस्थापन के बाद, करने के लिए <math>y (\cos a) + \sqrt{ 1 - y^2 }(\sin a) = - y^2</math> जो बीजगणितीय है<ref>over an appropriate field, containing <math>\sin a</math> and <math>\cos a</math></ref> और सुलझाया जा सकता है। इसके बाद अप्लाई कर रहे हैं <math>x = 2k\pi + \arcsin y</math> समाधान प्राप्त करता है।
+: <math>\sin(x+a) = (\cos^2 x) - 1</math> में परिवर्तित हो जाता है <math>(\sin x)(\cos a) + \sqrt{ 1 - \sin^2 x }(\sin a) = 1 - (\sin^2 x) - 1</math>, और, प्रतिस्थापन के बाद, करने के लिए <math>y (\cos a) + \sqrt{ 1 - y^2 }(\sin a) = - y^2</math> जो बीजगणितीय है<ref>over an appropriate field, containing <math>\sin a</math> and <math>\cos a</math></ref> और हल किया जा सकता है। इसके बाद <math>x = 2k\pi + \arcsin y</math> लगाने पर हल प्राप्त होता है।
-=== अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण ===
+=== अतिपरवलीय (हाइपरबोलिक) समीकरण ===
-यदि अज्ञात x अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के तर्कों के भीतर केवल रैखिक व्यंजकों में होता है,
+यदि अज्ञात x अतिपरवलीय फलनों के आर्ग्यूमेंट्स के भीतर केवल रैखिक व्यंजकों में होता है,
-* उनके परिभाषित घातीय व्यंजकों द्वारा उन्हें प्रकट करने और <math>y = exp(x)</math> को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.5, p.47</ref> उदा.
+* उनके परिभाषित घातीय व्यंजकों द्वारा उन्हें प्रकट करने और <math>y = exp(x)</math> को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है,<ref>Bronstein et al., Sect.1.6.4.5, p.47</ref> उदाहरण।
-: <math>3 \cosh x = 4 + \sinh (2x-6)</math> प्रकट होता है <math>\frac{3}{2} (e^x + \frac{1}{e^x}) = 4 + \frac{1}{2} \left( \frac{(e^x)^2}{e^6} - \frac{e^6}{(e^x)^2} \right) ,</math> जो समीकरण में बदल जाता है <math>\frac{3}{2} (y + \frac{1}{y}) = 4 + \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{e^6} - \frac{e^6}{y^2} \right) ,</math> जो बीजगणितीय है<ref>over an appropriate field, containing <math>e^6</math></ref> और सुलझाया जा सकता है। को लागू करने <math>x = \ln y</math> मूल समीकरण का हल प्राप्त करता है।
+: <math>3 \cosh x = 4 + \sinh (2x-6)</math> प्रकट होता है <math>\frac{3}{2} (e^x + \frac{1}{e^x}) = 4 + \frac{1}{2} \left( \frac{(e^x)^2}{e^6} - \frac{e^6}{(e^x)^2} \right) ,</math> जो समीकरण में परिवर्तित हो जाता है <math>\frac{3}{2} (y + \frac{1}{y}) = 4 + \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{e^6} - \frac{e^6}{y^2} \right) ,</math> जो बीजगणितीय है<ref>over an appropriate field, containing <math>e^6</math></ref> और हल किया जा सकता है। <math>x = \ln y</math> को लागू करने से मूल समीकरण के हल प्राप्त होते हैं।
-== अनुमानित समाधान ==
+== सन्निकट हल ==
-ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के अनुमानित [[संख्यात्मक समाधान]] संख्यात्मक, विश्लेषणात्मक सन्निकटन या ग्राफिकल विधियों का उपयोग करके पाए जा सकते हैं।
+अबीजीय समीकरणों के सन्निकट [[संख्यात्मक समाधान|संख्यात्मक हल]] संख्यात्मक, विश्लेषणात्मक सन्निकटन या ग्राफिकल विधियों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।
-मनमाना समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों को [[रूट-खोज एल्गोरिदम|रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम]] कहा जाता है।
+यादृच्छिक समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों को [[रूट-खोज एल्गोरिदम|रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम]] कहा जाता है।
-कुछ मामलों में, शून्य के पास [[टेलर श्रृंखला]] का उपयोग करके समीकरण को अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>k \approx 1</math> के लिए, <math>\sin x = k x</math> के समाधान लगभग <math>(1-k) x - x^3/6=0</math>  के समाधान हैं, अर्थात् <math>x=0</math> और <math>x = \plusmn \sqrt{6} \sqrt{1-k}</math>।
+कुछ स्थितियों में, ज़ीरो के निकट [[टेलर श्रृंखला]] का उपयोग करके समीकरण को अच्छी तरह से सन्निकट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>k \approx 1</math> के लिए, <math>\sin x = k x</math> के हल लगभग <math>(1-k) x - x^3/6=0</math>  के हल हैं, अर्थात् <math>x=0</math> और <math>x = \plusmn \sqrt{6} \sqrt{1-k}</math>।
-एक ग्राफिकल समाधान के लिए, एक विधि है कि एक एकल चर अनुवांशिक समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक निर्भर चर के बराबर सेट करना और समाधान खोजने के लिए उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का उपयोग करके दो ग्राफ़ों को प्लॉट करना है (चित्र देखें)।
+एक ग्राफिकल हल के लिए, एक विधि है कि एक एकल चर अबीजीय समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक निर्भर चर के बराबर सेट करना और हल खोजने के लिए उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का उपयोग करके दो ग्राफ़ों को प्लॉट करना है (चित्र देखें)।
-== अन्य समाधान ==
+== अन्य हल ==
-* उच्च-क्रम समीकरणों की कुछ पारलौकिक प्रणालियों को अज्ञातों के "पृथक्करण" द्वारा हल किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में कम किया जा सकता है।<ref>[http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=7414&option_lang=eng V. A. Varyuhin, S. A. Kas'yanyuk, “On a certain method for solving nonlinear systems of a special type”], Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 6:2 (1966),  347–352; U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 6:2 (1966), 214–221</ref><ref name="book">V.A. Varyukhin, Fundamental Theory of Multichannel Analysis (VA PVO SV, Kyiv, 1993) [in Russian]</ref>
+* उच्च-क्रम समीकरणों की कुछ अबीजीय प्रणालियों को अज्ञातों के "पृथक्करण" द्वारा हल किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में कम किया जा सकता है।<ref>[http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=7414&option_lang=eng V. A. Varyuhin, S. A. Kas'yanyuk, “On a certain method for solving nonlinear systems of a special type”], Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 6:2 (1966),  347–352; U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 6:2 (1966), 214–221</ref><ref name="book">V.A. Varyukhin, Fundamental Theory of Multichannel Analysis (VA PVO SV, Kyiv, 1993) [in Russian]</ref>
-* ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों/असमानताओं को हल करते समय निम्नलिखित का भी उपयोग किया जा सकता है: यदि <math>x_0</math> समीकरण <math>f(x)=g(x)</math> और <math>f(x)\leq c\leq g(x)</math> का हल है, तो इस समाधान को <math>f(x_0)=g(x_0)=c</math> को संतुष्ट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम <math>\log_{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)+\cot^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)</math> को हल करना चाहते हैं। दिए गए समीकरण को <math>-1<x<3</math> के लिए परिभाषित किया गया है। मान लीजिए <math>f(x)=\log_{2}\left(3+2x-x^{2}\right)</math> और <math>g(x)=\tan^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)+\cot^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)</math> हैं। यह दिखाना आसान है कि <math>f(x)\leq 2</math> और <math>g(x)\geq 2</math> इसलिए यदि समीकरण का कोई समाधान है, तो उसे <math>f(x)=g(x)=2</math> को संतुष्ट करना होगा। <math>f(x)=2</math> से हमें <math>x=1\in(-1,3)</math> मिलते हैं। वास्तव में, <math>f(1)=g(1)=2</math> और इसलिए <math>x=1</math> ही समीकरण का एकमात्र वास्तविक समाधान है।
+* अबीजीय समीकरणों/असमानताओं को हल करते समय निम्नलिखित का भी उपयोग किया जा सकता है: यदि <math>x_0</math> समीकरण <math>f(x)=g(x)</math> और <math>f(x)\leq c\leq g(x)</math> का हल है, तो इस हल को <math>f(x_0)=g(x_0)=c</math> को संतुष्ट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम <math>\log_{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)+\cot^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)</math> को हल करना चाहते हैं। दिए गए समीकरण को <math>-1<x<3</math> के लिए परिभाषित किया गया है। मान लीजिए <math>f(x)=\log_{2}\left(3+2x-x^{2}\right)</math> और <math>g(x)=\tan^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)+\cot^{2}\left(\frac{\pi x}{4}\right)</math> हैं। यह दिखाना आसान है कि <math>f(x)\leq 2</math> और <math>g(x)\geq 2</math> इसलिए यदि समीकरण का कोई हल है, तो उसे <math>f(x)=g(x)=2</math> को संतुष्ट करना होगा। <math>f(x)=2</math> से हमें <math>x=1\in(-1,3)</math> मिलते हैं। वास्तव में, <math>f(1)=g(1)=2</math> और इसलिए <math>x=1</math> ही समीकरण का एकमात्र वास्तविक हल है।
 == यह भी देखें ==
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