एबेलियन समूह की रैंक: Difference between revisions

Latest revision as of 11:09, 12 August 2023

गणित में, एबेलियन समूह A की श्रेणी, प्रुफ़र श्रेणी, या विमोटन-मुक्त श्रेणी एक अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय का गणनांक है।^[1] A की श्रेणी A में निहित बृहत्तम मुक्त एबेलियन समूह के आकार को निर्धारित करती है। यदि A विमोटन-मुक्त है तो यह परिमाप श्रेणी A की परिमेय संख्याओं पर सदिश समष्टि में अंतःस्थापित हो जाता है। परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के लिए, श्रेणी एक प्रबल निश्चर है और ऐसे प्रत्येक समूह को उसके श्रेणी और विमोटन उपसमूह द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। श्रेणी 1 के विमोटन-रिक्त एबेलियन समूहों को पूर्णतः वर्गीकृत किया गया है। यद्यपि, उच्च श्रेणी के एबेलियन समूहों का सिद्धांत अधिक अन्तर्वलित है।

प्रारंभिक एबेलियन समूहों के संदर्भ में श्रेणी शब्द का विभिन्न अर्थ है।

परिभाषा

एबेलियन समूह A का एक उपसमुच्चय {a_α} 'रैखिक रूप से स्वतंत्र' ('Z' से अधिक) है यदि इन तत्वों का एकमात्र रैखिक संयोजन जो शून्य के समान है, वह नगण्य है: यदि

\sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,

जहां परिमित गुणांक n_α के अतिरिक्त सभी शून्य हैं (जिससे कि योग वास्तव में परिमित हो), तो सभी गुणांक शून्य हैं। A में किन्हीं दो अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय में समान गणनांक होती है, जिसे A का श्रेणी कहा जाता है।

एबेलियन समूह की श्रेणी एक सदिश समष्टि के विमा के अनुरूप होती है। सदिश समष्टि के स्थिति में मुख्य अंतर विमोटन की उपस्थिति है। एबेलियन समूह A के एक तत्व को विमोटन के रूप में वर्गीकृत किया गया है यदि इसका क्रम परिमित है। सभी विमोटन तत्वों का समुच्चय एक उपसमूह है, जिसे विमोटन उपसमूह कहा जाता है और इसे T(A) से दर्शाया जाता है। किसी समूह को विमोटन-मुक्त कहा जाता है यदि उसमें कोई गैर-नगण्य विमोटन तत्व न हों। कारक-समूह A/T(A), A का अद्वितीय अधिकतम विमोटन-मुक्त भागफल है और इसकी श्रेणी A की श्रेणी के साथ सन्निपतित होती है।

समान गुणधर्मों के साथ श्रेणी की धारणा को किसी भी समाकल डोमेन पर मॉड्यूल (गणित) के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि Z पर मॉड्यूल के अनुरूप एबेलियन समूहों की स्थिति। इसके लिए, परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल#जेनेरिक श्रेणी देखें।

गुण

एबेलियन समूह A का श्रेणी Q-सदिश समष्टि A ⊗ Q के आयाम से मेल खाता है। यदि A विमोटन-मुक्त है तो विहित मानचित्र A → A ⊗ Q अंतःक्षेपक है तथा A का श्रेणी Q-सदिश समष्टि का न्यूनतम आयाम है जिसमें A एबेलियन उपसमूह के रूप में सम्मिलित है। विशेष रूप से किसी भी मध्यवर्ती समूह Zⁿ < A < Qⁿ की श्रेणी n है।
श्रेणी 0 के एबेलियन समूह यथार्थत:आवधिक एबेलियन समूह हैं।
परिमेय संख्याओं के समूह 'Q' की श्रेणी 1 है। श्रेणी 1 के विमोटन-मुक्त एबेलियन समूहों को Q के उपसमूहों के रूप में सिद्ध किया जाता है तथा आइसोमोर्फिज्म तक उनका एक संतोषजनक वर्गीकरण होता है। इसके विपरीत, श्रेणी 2 के विमोटन-मुक्त एबेलियन समूहों का कोई संतोषजनक वर्गीकरण नहीं है।^[2]
अल्प शुद्ध अनुक्रमों पर श्रेणी योगात्मक है: यदि

0\to A\to B\to C\to 0\;

एबेलियन समूहों का एक अल्प शुद्ध अनुक्रम है तो rk B = rk A + rk C। यह Q की समतलता और सदिश समष्टि के लिए संबंधित तथ्य से ज्ञात होता है।

श्रेणी यादृच्छिक प्रत्यक्ष योग पर योगात्मक है:

\operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),

जहां दाहिनी ओर का योग कार्डिनल अंकगणित का उपयोग करता है।

उच्च श्रेणी के समूह

1 से अधिक श्रेणी वाले एबेलियन समूह रोचक उदाहरणों के स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कार्डिनल D के लिए श्रेणी D के विमोटल मुक्त एबेलियन समूह उपस्थित हैं जो अविभाज्य मॉड्यूल हैं, अर्थात उनके उचित उपसमूहों की एक युग्म के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि 1 से अधिक श्रेणी का विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह केवल श्रेणी 1 के विमोटल-मुक्त एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग से निर्मित नहीं किया जा सकता है, जिसका सिद्धांत अच्छी तरह से समझा जाता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक पूर्णांक $n\geq 3$ , के लिए श्रेणी $2n-2$ का एक विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह होता है जो एक साथ दो अविभाज्य समूहों और n अविभाज्य समूहों का योग होता है।^{[citation needed]} इसलिए 4 से अधिक या बराबर सम श्रेणी वाले समूह के अविभाज्य योगों की संख्या भी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

प्रत्यक्ष योग अपघटन की गैर-विशिष्टता के विषय में एक और परिणाम ए.एल.एस. कॉर्नर के कारण है: दिए गए पूर्णांक $n\geq k\geq 1$ , में श्रेणी n का एक विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह A उपस्थित है, जैसे कि किसी भी विभाजन के लिए $n=r_{1}+\cdots +r_{k}$ k में प्राकृतिक योग होता है तथा समूह A श्रेणी $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ के k अविभाज्य उपसमूहों का प्रत्यक्ष योग है। इस प्रकार परिमित श्रेणी के विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह के एक निश्चित प्रत्यक्ष योग अपघटन में अविभाज्य सारांशों के श्रेणी का क्रम A के अपरिवर्तनीय होने से बहुत दूर है।

अन्य आश्चर्यजनक उदाहरणों में विमोटल-मुक्त श्रेणी 2 समूह A_n_,m और B_n_,m सम्मिलित हैं, जैसे किAⁿ Bⁿ के लिए आइसोमोर्फिक है यदि और केवल यदि n, m द्वारा विभाज्य है।

अपरिमित श्रेणी के एबेलियन समूहों के लिए एक समूह K और एक उपसमूह G का उदाहरण है

K अविभाज्य है;
K, G और एक अन्य तत्व द्वारा उत्पन्न होता है; और
G का प्रत्येक अशून्य प्रत्यक्ष योग विश्लेषणीय होता है।

सामान्यीकरण

श्रेणी की धारणा को किसी भी मॉड्यूल M के लिए एक अभिन्न डोमेन R पर सामान्यीकृत किया जा सकता है क्योंकि क्षेत्र के साथ मॉड्यूल के प्रदिश उत्पाद के भागफल क्षेत्र R₀ से अधिक आयाम है:

\operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}

यह समझ में आता है क्योंकि R₀ एक क्षेत्र है और इस प्रकार इसके ऊपर कोई भी मॉड्यूल (या, अधिक विशिष्ट वेक्टर स्पेस) स्वतंत्र है।

यह एक सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक एबेलियन समूह पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल है। इससे सरलता से ज्ञात होता है कि Q पर उत्पाद का आयाम अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय का गणनांक है क्योंकि किसी भी विमोटल तत्व x और किसी भी परिमेय q के लिए,

x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.

यह भी देखें

एक समूह की श्रेणी

संदर्भ

↑ Page 46 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
↑ Thomas, Simon; Schneider, Scott (2012), "Countable Borel equivalence relations", in Cummings, James; Schimmerling, Ernest (eds.), Appalachian Set Theory: 2006-2012, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 406, Cambridge University Press, pp. 25–62, CiteSeerX 10.1.1.648.3113, doi:10.1017/CBO9781139208574.003, ISBN 9781107608504. On p. 46, Thomas and Schneider refer to "...this failure to classify even the rank 2 groups in a satisfactory way..."

[1] Page 46 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

[2] Thomas, Simon; Schneider, Scott (2012), "Countable Borel equivalence relations", in Cummings, James; Schimmerling, Ernest (eds.), Appalachian Set Theory: 2006-2012, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 406, Cambridge University Press, pp. 25–62, CiteSeerX 10.1.1.648.3113, doi:10.1017/CBO9781139208574.003, ISBN 9781107608504. On p. 46, Thomas and Schneider refer to "...this failure to classify even the rank 2 groups in a satisfactory way..."

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 {{Short description|Number of elements in a subset of a commutative group}}
-गणित में, '''[[एबेलियन समूह]] A की रैंक''', प्रुफ़र रैंक, या  विमोटन-मुक्त रैंक एक अधिकतम [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] उपसमुच्चय का [[प्रमुखता|गणनांक]] है।<ref>Page 46 of {{Lang Algebra|edition=3}}</ref> A की रैंक A में निहित बृहत्तम मुक्त एबेलियन समूह के आकार को निर्धारित करती है। यदि A विमोटन-मुक्त है तो यह परिमाप रैंक A की परिमेय संख्याओं पर [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] में अंतःस्थापित हो जाता है। [[अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह|परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों]] के लिए, रैंक एक प्रबल निश्चर है और ऐसे प्रत्येक समूह को उसके रैंक और [[मरोड़ उपसमूह|विमोटन उपसमूह]] द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। रैंक 1 के विमोटन-रिक्त एबेलियन समूहों को पूर्णतः वर्गीकृत किया गया है। यद्यपि, उच्च रैंक के एबेलियन समूहों का सिद्धांत अधिक अन्तर्वलित है।
+गणित में, '''[[एबेलियन समूह]] A की श्रेणी''', प्रुफ़र श्रेणी, या  विमोटन-मुक्त श्रेणी एक अधिकतम [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] उपसमुच्चय का [[प्रमुखता|गणनांक]] है।<ref>Page 46 of {{Lang Algebra|edition=3}}</ref> A की श्रेणी A में निहित बृहत्तम मुक्त एबेलियन समूह के आकार को निर्धारित करती है। यदि A विमोटन-मुक्त है तो यह परिमाप श्रेणी A की परिमेय संख्याओं पर [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] में अंतःस्थापित हो जाता है। [[अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह|परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों]] के लिए, श्रेणी एक प्रबल निश्चर है और ऐसे प्रत्येक समूह को उसके श्रेणी और [[मरोड़ उपसमूह|विमोटन उपसमूह]] द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। श्रेणी 1 के विमोटन-रिक्त एबेलियन समूहों को पूर्णतः वर्गीकृत किया गया है। यद्यपि, उच्च श्रेणी के एबेलियन समूहों का सिद्धांत अधिक अन्तर्वलित है।
-प्रारंभिक एबेलियन समूहों के संदर्भ में रैंक शब्द का विभिन्न अर्थ है।
+प्रारंभिक एबेलियन समूहों के संदर्भ में श्रेणी शब्द का विभिन्न अर्थ है।
 == परिभाषा ==
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 : <math>\sum_\alpha n_\alpha a_\alpha = 0, \quad n_\alpha\in\mathbb{Z},</math>
-जहां परिमित गुणांक ''n<sub>α</sub>'' के अतिरिक्त सभी शून्य हैं (जिससे कि योग वास्तव में परिमित हो), तो सभी गुणांक शून्य हैं। A में किन्हीं दो अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय में समान गणनांक होती है, जिसे A का रैंक कहा जाता है।
+जहां परिमित गुणांक ''n<sub>α</sub>'' के अतिरिक्त सभी शून्य हैं (जिससे कि योग वास्तव में परिमित हो), तो सभी गुणांक शून्य हैं। A में किन्हीं दो अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय में समान गणनांक होती है, जिसे A का श्रेणी कहा जाता है।
-एबेलियन समूह की रैंक एक सदिश समष्टि के विमा के अनुरूप होती है। सदिश समष्टि के स्थिति में मुख्य अंतर विमोटन की उपस्थिति है। एबेलियन समूह A के एक तत्व को विमोटन के रूप में वर्गीकृत किया गया है यदि इसका क्रम परिमित है। सभी विमोटन तत्वों का समुच्चय एक उपसमूह है, जिसे विमोटन उपसमूह कहा जाता है और इसे T(A) से दर्शाया जाता है। किसी समूह को विमोटन-मुक्त कहा जाता है यदि उसमें कोई गैर-नगण्य विमोटन तत्व न हों। कारक-समूह A/T(A), A का अद्वितीय अधिकतम विमोटन-मुक्त भागफल है और इसकी रैंक A की रैंक के साथ सन्निपतित होती है।
+एबेलियन समूह की श्रेणी एक सदिश समष्टि के विमा के अनुरूप होती है। सदिश समष्टि के स्थिति में मुख्य अंतर विमोटन की उपस्थिति है। एबेलियन समूह A के एक तत्व को विमोटन के रूप में वर्गीकृत किया गया है यदि इसका क्रम परिमित है। सभी विमोटन तत्वों का समुच्चय एक उपसमूह है, जिसे विमोटन उपसमूह कहा जाता है और इसे T(A) से दर्शाया जाता है। किसी समूह को विमोटन-मुक्त कहा जाता है यदि उसमें कोई गैर-नगण्य विमोटन तत्व न हों। कारक-समूह A/T(A), A का अद्वितीय अधिकतम विमोटन-मुक्त भागफल है और इसकी श्रेणी A की श्रेणी के साथ सन्निपतित होती है।
-समान गुणधर्मों के साथ रैंक की धारणा को किसी भी [[अभिन्न डोमेन|समाकल डोमेन]] पर [[मॉड्यूल (गणित)]] के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि Z पर मॉड्यूल के अनुरूप एबेलियन समूहों की स्थिति। इसके लिए, परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल#जेनेरिक रैंक देखें।
+समान गुणधर्मों के साथ श्रेणी की धारणा को किसी भी [[अभिन्न डोमेन|समाकल डोमेन]] पर [[मॉड्यूल (गणित)]] के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि Z पर मॉड्यूल के अनुरूप एबेलियन समूहों की स्थिति। इसके लिए, परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल#जेनेरिक श्रेणी देखें।
 == गुण ==
-* एबेलियन समूह A का रैंक Q-सदिश समष्टि A ⊗ Q के आयाम से मेल खाता है। यदि A विमोटन-मुक्त है तो विहित मानचित्र A → A ⊗ Q अंतःक्षेपक है तथा A का रैंक Q-सदिश समष्टि का न्यूनतम आयाम है जिसमें A एबेलियन उपसमूह के रूप में सम्मिलित है। विशेष रूप से किसी भी मध्यवर्ती समूह '''Z'''<sup>n</sup> < A < '''Q'''<sup>n</sup> की रैंक n है।
+* एबेलियन समूह A का श्रेणी Q-सदिश समष्टि A ⊗ Q के आयाम से मेल खाता है। यदि A विमोटन-मुक्त है तो विहित मानचित्र A → A ⊗ Q अंतःक्षेपक है तथा A का श्रेणी Q-सदिश समष्टि का न्यूनतम आयाम है जिसमें A एबेलियन उपसमूह के रूप में सम्मिलित है। विशेष रूप से किसी भी मध्यवर्ती समूह '''Z'''<sup>n</sup> < A < '''Q'''<sup>n</sup> की श्रेणी n है।
-* रैंक 0 के एबेलियन समूह यथार्थत:आवधिक एबेलियन समूह हैं।
+* श्रेणी 0 के एबेलियन समूह यथार्थत:आवधिक एबेलियन समूह हैं।
-* परिमेय संख्याओं के समूह 'Q' की रैंक 1 है। रैंक 1 के विमोटन-मुक्त एबेलियन समूहों को Q के उपसमूहों के रूप में सिद्ध किया जाता है तथा आइसोमोर्फिज्म तक उनका एक संतोषजनक वर्गीकरण होता है। इसके विपरीत, रैंक 2 के विमोटन-मुक्त एबेलियन समूहों का कोई संतोषजनक वर्गीकरण नहीं है।<ref>{{citation|first1=Simon|last1=Thomas|first2=Scott|last2=Schneider|contribution=Countable Borel equivalence relations|title=Appalachian Set Theory: 2006-2012|volume=406|series=London Mathematical Society Lecture Note Series|editor1-first=James|editor1-last=Cummings|editor2-first=Ernest|editor2-last=Schimmerling|publisher=Cambridge University Press|year=2012|isbn=9781107608504|pages=25–62|doi=10.1017/CBO9781139208574.003|citeseerx=10.1.1.648.3113}}. On [https://books.google.com/books?id=pN9Tu83CyioC&pg=PA46 p.&nbsp;46], Thomas and Schneider refer to "...this failure to classify even the rank 2 groups in a satisfactory way..."</ref>
+* परिमेय संख्याओं के समूह 'Q' की श्रेणी 1 है। श्रेणी 1 के विमोटन-मुक्त एबेलियन समूहों को Q के उपसमूहों के रूप में सिद्ध किया जाता है तथा आइसोमोर्फिज्म तक उनका एक संतोषजनक वर्गीकरण होता है। इसके विपरीत, श्रेणी 2 के विमोटन-मुक्त एबेलियन समूहों का कोई संतोषजनक वर्गीकरण नहीं है।<ref>{{citation|first1=Simon|last1=Thomas|first2=Scott|last2=Schneider|contribution=Countable Borel equivalence relations|title=Appalachian Set Theory: 2006-2012|volume=406|series=London Mathematical Society Lecture Note Series|editor1-first=James|editor1-last=Cummings|editor2-first=Ernest|editor2-last=Schimmerling|publisher=Cambridge University Press|year=2012|isbn=9781107608504|pages=25–62|doi=10.1017/CBO9781139208574.003|citeseerx=10.1.1.648.3113}}. On [https://books.google.com/books?id=pN9Tu83CyioC&pg=PA46 p.&nbsp;46], Thomas and Schneider refer to "...this failure to classify even the rank 2 groups in a satisfactory way..."</ref>
-* अल्प शुद्ध अनुक्रमों पर रैंक योगात्मक है: यदि
+* अल्प शुद्ध अनुक्रमों पर श्रेणी योगात्मक है: यदि
 ::<math>0\to A\to B\to C\to 0\;</math>
 :एबेलियन समूहों का एक अल्प शुद्ध अनुक्रम है तो rk ''B'' = rk ''A'' + rk ''C''। यह Q की समतलता और सदिश समष्टि के लिए संबंधित तथ्य से ज्ञात होता है।
-* रैंक यादृच्छिक [[प्रत्यक्ष योग]] पर योगात्मक है:
+* श्रेणी यादृच्छिक [[प्रत्यक्ष योग]] पर योगात्मक है:
 ::<math>\operatorname{rank}\left(\bigoplus_{j\in J}A_j\right) = \sum_{j\in J}\operatorname{rank}(A_j),</math>
 : जहां दाहिनी ओर का योग [[कार्डिनल अंकगणित]] का उपयोग करता है।
-== उच्च रैंक के समूह ==
+== उच्च श्रेणी के समूह ==
-से अधिक श्रेणी वाले एबेलियन समूह रोचक उदाहरणों के स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कार्डिनल D के लिए श्रेणी D के विमोटल मुक्त एबेलियन समूह उपस्थित हैं जो [[अविभाज्य मॉड्यूल]] हैं, अर्थात उनके उचित उपसमूहों की एक युग्म के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि 1 से अधिक रैंक का विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह केवल रैंक 1 के विमोटल-मुक्त एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग से निर्मित नहीं किया जा सकता है, जिसका सिद्धांत अच्छी तरह से समझा जाता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक पूर्णांक <math>n\ge 3</math>, के लिए रैंक <math>2n-2</math> का एक विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह होता है जो एक साथ दो अविभाज्य समूहों और n अविभाज्य समूहों का योग होता है।{{Citation needed|date=July 2010}} इसलिए 4 से अधिक या बराबर सम रैंक वाले समूह के अविभाज्य योगों की संख्या भी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।
+से अधिक श्रेणी वाले एबेलियन समूह रोचक उदाहरणों के स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कार्डिनल D के लिए श्रेणी D के विमोटल मुक्त एबेलियन समूह उपस्थित हैं जो [[अविभाज्य मॉड्यूल]] हैं, अर्थात उनके उचित उपसमूहों की एक युग्म के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि 1 से अधिक श्रेणी का विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह केवल श्रेणी 1 के विमोटल-मुक्त एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग से निर्मित नहीं किया जा सकता है, जिसका सिद्धांत अच्छी तरह से समझा जाता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक पूर्णांक <math>n\ge 3</math>, के लिए श्रेणी <math>2n-2</math> का एक विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह होता है जो एक साथ दो अविभाज्य समूहों और n अविभाज्य समूहों का योग होता है।{{Citation needed|date=July 2010}} इसलिए 4 से अधिक या बराबर सम श्रेणी वाले समूह के अविभाज्य योगों की संख्या भी अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।
-'''प्रत्यक्ष योग अपघटन की गैर-विशिष्टता के बारे में एक और परिणाम ए.एल.एस. के कारण है। कोना: पूर्णांक दिए गए हैं <math>n\ge k\ge 1</math>, किसी भी विभाजन के लिए रैंक n का एक मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह A मौजूद है <math>n = r_1 + \cdots + r_k</math> k प्राकृतिक सारांश में, समूह A रैंकों के k अविभाज्य उपसमूहों का प्रत्यक्ष योग है <math>r_1, r_2, \ldots, r_k</math>.{{Citation needed|date=July 2010}} इस प्रकार परिमित रैंक के मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह के एक निश्चित प्रत्यक्ष योग अपघटन में अविभाज्य सारांशों के रैंकों का क्रम ए के अपरिवर्तनीय होने से बहुत दूर है।'''
+प्रत्यक्ष योग अपघटन की गैर-विशिष्टता के विषय में एक और परिणाम ए.एल.एस. कॉर्नर के कारण है: दिए गए पूर्णांक <math>n\ge k\ge 1</math>, में श्रेणी n का एक विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह A उपस्थित है, जैसे कि किसी भी विभाजन के लिए <math>n = r_1 + \cdots + r_k</math> k  में प्राकृतिक योग होता है तथा समूह A श्रेणी '''<math>r_1, r_2, \ldots, r_k</math>''' के k अविभाज्य उपसमूहों का प्रत्यक्ष योग है। इस प्रकार परिमित श्रेणी के विमोटल-मुक्त एबेलियन समूह के एक निश्चित प्रत्यक्ष योग अपघटन में अविभाज्य सारांशों के श्रेणी का क्रम A के अपरिवर्तनीय होने से बहुत दूर है।
-अन्य आश्चर्यजनक उदाहरणों में विमोटल-मुक्त रैंक 2 समूह ''A<sub>n</sub>''<sub>,''m''</sub> और ''B<sub>n</sub>''<sub>,''m''</sub> सम्मिलित हैं, जैसे कि''A<sup>n</sup>  B<sup>n</sup>'' के लिए आइसोमोर्फिक है यदि और केवल यदि n, m द्वारा विभाज्य है।
+अन्य आश्चर्यजनक उदाहरणों में विमोटल-मुक्त श्रेणी 2 समूह ''A<sub>n</sub>''<sub>,''m''</sub> और ''B<sub>n</sub>''<sub>,''m''</sub> सम्मिलित हैं, जैसे कि''A<sup>n</sup>  B<sup>n</sup>'' के लिए आइसोमोर्फिक है यदि और केवल यदि n, m द्वारा विभाज्य है।
-अपरिमित रैंक के एबेलियन समूहों के लिए एक समूह K और एक उपसमूह G का उदाहरण है
+अपरिमित श्रेणी के एबेलियन समूहों के लिए एक समूह K और एक उपसमूह G का उदाहरण है
 * K अविभाज्य है;
 * K, G और एक अन्य तत्व द्वारा उत्पन्न होता है; और
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 ==सामान्यीकरण==
-रैंक की धारणा को किसी भी मॉड्यूल M के लिए एक अभिन्न डोमेन R पर सामान्यीकृत किया जा सकता है क्योंकि क्षेत्र के साथ मॉड्यूल के [[टेंसर उत्पाद|प्रदिश उत्पाद]] के भागफल क्षेत्र ''R''<sub>0</sub> से अधिक आयाम है:
+श्रेणी की धारणा को किसी भी मॉड्यूल M के लिए एक अभिन्न डोमेन R पर सामान्यीकृत किया जा सकता है क्योंकि क्षेत्र के साथ मॉड्यूल के [[टेंसर उत्पाद|प्रदिश उत्पाद]] के भागफल क्षेत्र ''R''<sub>0</sub> से अधिक आयाम है:
 ::<math>\operatorname{rank} (M)=\dim_{R_0} M\otimes_R R_0</math>
 यह समझ में आता है क्योंकि ''R''<sub>0</sub> एक क्षेत्र है और इस प्रकार इसके ऊपर कोई भी मॉड्यूल (या, अधिक विशिष्ट वेक्टर स्पेस) स्वतंत्र है।
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 ::<math>x\otimes_{\mathbf Z} q = 0.</math>
 ==यह भी देखें==
-*समूह की रैंक
+*एक समूह की श्रेणी
 ==संदर्भ==
 {{Refimprove|date=September 2008}}
 {{reflist}}
-[[Category: एबेलियन समूह सिद्धांत]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from July 2010]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 13/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
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