कांटोरोविच प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 11:21, 12 August 2023

कांटोरोविच प्रमेय, या न्यूटन-कांटोरोविच प्रमेय, न्यूटन की विधि के अनुक्रम की अर्ध-स्थानीय सीमा पर एक गणितीय कथन है। यह पहली बार 1948 में लियोनिद कांटोरोविच द्वारा कहा गया था। ^[1]^[2] यह बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय के रूप के समान है, हालांकि यह एक निश्चित बिंदु (गणित) के स्थान पर किसी फलन के शून्य के अस्तित्व और विशिष्टता को बताता है। ^[3] न्यूटन की विधि बिंदुओं का एक अनुक्रम बनाती है जो कुछ स्तिथियों के अंतर्गत समीकरण $f(x)=0$ के विलयन x या समीकरण $F(x)=0$ की प्रणाली के सदिश विलयन में परिवर्तित हो जाएगी। कांटोरोविच प्रमेय इस अनुक्रम के प्रारंभिक बिंदु पर स्थितियाँ देता है। यदि वे स्थितियाँ पूरी हो जाती हैं तो प्रारंभिक बिंदु के करीब एक विलयन सदिश होता है और अनुक्रम उस बिंदु पर परिवर्तित हो जाता है। ^[1]^[2]

पुर्वानुमान

मान लीजिये $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ एक विवृत उपसमुच्चय है और $F:X\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक के साथ एक अवकलनीय फलन $F^{\prime }(\mathbf {x} )$ स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर है (उदाहरण के लिए यदि $F$ दो बार भिन्न है)। यानी यह मान लिया गया है कि किसी $x\in X$ के लिए भी एक विवृत उपसमुच्चय $U\subset X$ इस प्रकार है कि $x\in U$ और वहां एक स्थिरांक सदिश $L>0$ इस प्रकार है कि किसी $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U$ के लिए निम्न

\|F'(\mathbf {x} )-F'(\mathbf {y} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|

धारण करता है। बाईं ओर का मानदंड कुछ संचालक मानदंड है जो दाईं ओर के सदिश मानदंड के साथ संगत है। इस असमानता को केवल सदिश मानदंड का उपयोग करने के लिए फिर से लिखा जा सकता है। फिर किसी भी सदिश के लिए $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ असमता

\|F'(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )-F'(\mathbf {y} )(\mathbf {v} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|\,\|\mathbf {v} \|

अवश्य धारण करता है।

अब कोई भी प्रारंभिक बिंदु $\mathbf {x} _{0}\in X$ चुनें। मान लीजिए $F'(\mathbf {x} _{0})$ उलटा है और न्यूटन चरण $\mathbf {h} _{0}=-F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}F(\mathbf {x} _{0})$ का निर्माण करता है।

अगली धारणा यह है कि केवल अगला बिंदु $\mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} _{0}$ ही नहीं लेकिन पूरी गोलक $B(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)$ सम्मुच्चय $X$ के अंदर समाहित है। मान लीजिये $M$ इस गोलक पर जैकोबियन के लिए लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक बनें (यह मानते हुए कि यह सदिश है)।

अंतिम तैयारी के रूप में, जब तक संभव हो, अनुक्रमों का पुनरावर्ती निर्माण $(\mathbf {x} _{k})_{k}$ , $(\mathbf {h} _{k})_{k}$ , $(\alpha _{k})_{k}$ के अनुसार करें

{\begin{alignedat}{2}\mathbf {h} _{k}&=-F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}F(\mathbf {x} _{k})\\[0.4em]\alpha _{k}&=M\,\|F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}\|\,\|\mathbf {h} _{k}\|\\[0.4em]\mathbf {x} _{k+1}&=\mathbf {x} _{k}+\mathbf {h} _{k}.\end{alignedat}}

कथन

अब अगर $\alpha _{0}\leq {\tfrac {1}{2}}$ तब

एक विलयन $\mathbf {x} ^{*}$ का $F(\mathbf {x} ^{*})=0$ सवृत गोलक के अंदर सदिश ${\bar {B}}(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)$ है और
$\mathbf {x} _{0}$ से प्रारम्भ होने वाला न्यूटन पुनरावृत्ति कम से कम अभिसरण के रैखिक क्रम के साथ $\mathbf {x} ^{*}$ में परिवर्तित हो जाता है।

एक कथन जो अधिक सटीक है लेकिन सिद्ध करना थोड़ा अधिक कठिन है, वह द्विघात बहुपद की वर्गमूल $t^{\ast }\leq t^{**}$ का उपयोग करता है

p(t)=\left({\tfrac {1}{2}}L\|F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}\|^{-1}\right)t^{2}-t+\|\mathbf {h} _{0}\|

,

t^{\ast /**}={\frac {2\|\mathbf {h} _{0}\|}{1\pm {\sqrt {1-2\alpha _{0}}}}}

और उनका अनुपात

\theta ={\frac {t^{*}}{t^{**}}}={\frac {1-{\sqrt {1-2\alpha _{0}}}}{1+{\sqrt {1-2\alpha _{0}}}}}.

तब

एक विलयन $\mathbf {x} ^{*}$ सवृत गोलक के अंदर सदिश ${\bar {B}}(\mathbf {x} _{1},\theta \|\mathbf {h} _{0}\|)\subset {\bar {B}}(\mathbf {x} _{0},t^{*})$ है
बड़ी गोलक $B(\mathbf {x} _{0},t^{*\ast })$ के अंदर यह अद्वितीय है
और $F$ के समाधान में अभिसरण द्विघात बहुपद $p(t)$ के न्यूटन पुनरावृत्ति के अभिसरण से इसकी सबसे छोटी वर्गमूल $t^{\ast }$ तक प्रभावित होता है, ^[4] अगर $t_{0}=0,\,t_{k+1}=t_{k}-{\tfrac {p(t_{k})}{p'(t_{k})}}$ , तब
$\|\mathbf {x} _{k+p}-\mathbf {x} _{k}\|\leq t_{k+p}-t_{k}$ ।
एरर प्राक्कलन से द्विघात अभिसरण प्राप्त होता है ^[5] : $\|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} ^{*}\|\leq \theta ^{2^{n}}\|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} _{n}\|\leq {\frac {\theta ^{2^{n}}}{2^{n}}}\|\mathbf {h} _{0}\|.$

परिणाम

1986 में, यामामोटो ने सिद्ध किया कि डोरिंग (1969), ओस्ट्रोव्स्की (1971, 1973) जैसे न्यूटन पद्धति के त्रुटि मूल्यांकन,^[6]^[7] ग्रैग-तापिया (1974), पोट्रा-बर्ड (1980), ^[8] हनी (1981), ^[9] पोट्रा (1984), ^[10] कांटोरोविच प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है। ^[11]

सामान्यीकरण

कांटोरोविच प्रमेय के लिए एक q-एनालॉग है। ^[12]^[13] अन्य सामान्यीकरणों/विविधताओं के लिए, ओर्टेगा और रीनबोल्ड्ट (1970) देखें। ^[14]

अनुप्रयोग

ओशी और तानबे ने दावा किया कि कांटोरोविच प्रमेय को रैखिक प्रोग्रामिंग के विश्वसनीय विलयन प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है।^[15]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Deuflhard, P. (2004). अरेखीय समस्याओं के लिए न्यूटन विधियाँ। एफ़िन इनवेरिएंस और अनुकूली एल्गोरिदम. Springer Series in Computational Mathematics. Vol. 35. Berlin: Springer. ISBN 3-540-21099-7.
↑ ^2.0 ^2.1 Zeidler, E. (1985). Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems. New York: Springer. ISBN 0-387-96499-1.
↑ Dennis, John E.; Schnabel, Robert B. (1983). "The Kantorovich and Contractive Mapping Theorems". अप्रतिबंधित अनुकूलन और अरेखीय समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. pp. 92–94. ISBN 0-13-627216-9.
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↑ Rajkovic, P. M.; Stankovic, M. S.; Marinkovic, S. D. (2003). "समीकरणों और प्रणालियों को हल करने के लिए q-पुनरावृत्तीय तरीकों पर". Novi Sad J. Math. 33 (2): 127–137.
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अग्रिम पठन

John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard: Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach, Matrix Editions, ISBN 978-0-9715766-3-6 (preview of 3. edition and sample material including Kant.-thm.)
Yamamoto, Tetsuro (2001). "Historical Developments in Convergence Analysis for Newton's and Newton-like Methods". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century. North-Holland. pp. 241–263. ISBN 0-444-50617-9.

[Deuflhard-1] 1.0 ^1.1 Deuflhard, P. (2004). अरेखीय समस्याओं के लिए न्यूटन विधियाँ। एफ़िन इनवेरिएंस और अनुकूली एल्गोरिदम. Springer Series in Computational Mathematics. Vol. 35. Berlin: Springer. ISBN 3-540-21099-7.

[Zeidler-2] 2.0 ^2.1 Zeidler, E. (1985). Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems. New York: Springer. ISBN 0-387-96499-1.

[3] Dennis, John E.; Schnabel, Robert B. (1983). "The Kantorovich and Contractive Mapping Theorems". अप्रतिबंधित अनुकूलन और अरेखीय समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. pp. 92–94. ISBN 0-13-627216-9.

[4] Ortega, J. M. (1968). "न्यूटन-कैंटोरोविच प्रमेय". Amer. Math. Monthly. 75 (6): 658–660. doi:10.2307/2313800. JSTOR 2313800.

[5] Gragg, W. B.; Tapia, R. A. (1974). "न्यूटन-कैंटोरोविच प्रमेय के लिए इष्टतम त्रुटि सीमाएं". SIAM Journal on Numerical Analysis. 11 (1): 10–13. Bibcode:1974SJNA...11...10G. doi:10.1137/0711002. JSTOR 2156425.

[6] Ostrowski, A. M. (1971). "बानाच स्थानों में न्यूटन की विधि". C. R. Acad. Sci. Paris. 27 (A): 1251–1253.

[7] Ostrowski, A. M. (1973). यूक्लिडियन और बानाच स्पेस में समीकरणों का समाधान. New York: Academic Press. ISBN 0-12-530260-6.

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[10] Potra, F. A. (1984). "न्यूटन की विधि के लिए पश्चवर्ती त्रुटि अनुमान पर". Beiträge zur Numerische Mathematik. 12: 125–138.

[11] Yamamoto, T. (1986). "कांटोरोविच मान्यताओं के तहत न्यूटन की विधि के लिए तीव्र त्रुटि सीमाएं खोजने की एक विधि". Numerische Mathematik. 49 (2–3): 203–220. doi:10.1007/BF01389624.

[12] Rajkovic, P. M.; Stankovic, M. S.; Marinkovic, S. D. (2003). "समीकरणों और प्रणालियों को हल करने के लिए q-पुनरावृत्तीय तरीकों पर". Novi Sad J. Math. 33 (2): 127–137.

[13] Rajković, P. M.; Marinković, S. D.; Stanković, M. S. (2005). "On q-Newton–Kantorovich method for solving systems of equations". Applied Mathematics and Computation. 168 (2): 1432–1448. doi:10.1016/j.amc.2004.10.035.

[14] Ortega, J. M.; Rheinboldt, W. C. (1970). अनेक चरों में अरेखीय समीकरणों का पुनरावृत्तीय समाधान. SIAM. OCLC 95021.

[15] Oishi, S.; Tanabe, K. (2009). "रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए इष्टतम बिंदु का संख्यात्मक समावेशन". JSIAM Letters. 1: 5–8. doi:10.14495/jsiaml.1.5.

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 अब अगर <math>\alpha_0\le\tfrac12</math> तब
 #एक विलयन <math>\mathbf x^*</math> का <math>F(\mathbf x^*)=0</math> सवृत गोलक के अंदर सदिश <math>\bar B(\mathbf x_1,\|\mathbf h_0\|)</math> है और
-#'''न्यूटन पुनरावृत्ति''' शुरू हो रही है <math>\mathbf x_0</math> में एकत्रित हो जाता है <math>\mathbf x^*</math> अभिसरण के कम से कम रैखिक क्रम के साथ।
+#<math>\mathbf x_0</math> से प्रारम्भ होने वाला न्यूटन पुनरावृत्ति कम से कम अभिसरण के रैखिक क्रम के साथ <math>\mathbf x^*</math> में परिवर्तित हो जाता है।
-एक कथन जो अधिक सटीक है लेकिन साबित करना थोड़ा अधिक कठिन है, वह जड़ों का उपयोग करता है <math>t^\ast\le t^{**}</math> द्विघात बहुपद का
+एक कथन जो अधिक सटीक है लेकिन सिद्ध करना थोड़ा अधिक कठिन है, वह द्विघात बहुपद की वर्गमूल <math>t^\ast\le t^{**}</math> का उपयोग करता है
 :<math>
 p(t)
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 </math>
 तब
-#एक विलयन <math>\mathbf x^*</math> सवृत गोलक के अंदर सदिश है <math>\bar B(\mathbf x_1,\theta\|\mathbf h_0\|)\subset\bar B(\mathbf x_0,t^*)</math>
+#एक विलयन <math>\mathbf x^*</math> सवृत गोलक के अंदर सदिश <math>\bar B(\mathbf x_1,\theta\|\mathbf h_0\|)\subset\bar B(\mathbf x_0,t^*)</math> है
-#बड़ी गोलक के अंदर यह अनोखा है <math>B(\mathbf x_0,t^{*\ast})</math>
+#बड़ी गोलक <math>B(\mathbf x_0,t^{*\ast})</math> के अंदर यह अद्वितीय है
-#और विलयन के लिए अभिसरण <math>F</math> द्विघात बहुपद के न्यूटन पुनरावृत्ति के अभिसरण का प्रभुत्व है <math>p(t)</math> अपनी सबसे छोटी जड़ की ओर <math>t^\ast</math>,<ref>{{cite journal |first=J. M. |last=Ortega |title=न्यूटन-कैंटोरोविच प्रमेय|journal=Amer. Math. Monthly |volume=75 |year=1968 |issue=6 |pages=658–660 |jstor=2313800 |doi=10.2307/2313800}}</ref> अगर <math>t_0=0,\,t_{k+1}=t_k-\tfrac{p(t_k)}{p'(t_k)}</math>, तब
+#और <math>F</math> के समाधान में अभिसरण द्विघात बहुपद <math>p(t)</math> के न्यूटन पुनरावृत्ति के अभिसरण से इसकी सबसे छोटी वर्गमूल <math>t^\ast</math> तक प्रभावित होता है, <ref>{{cite journal |first=J. M. |last=Ortega |title=न्यूटन-कैंटोरोविच प्रमेय|journal=Amer. Math. Monthly |volume=75 |year=1968 |issue=6 |pages=658–660 |jstor=2313800 |doi=10.2307/2313800}}</ref> अगर <math>t_0=0,\,t_{k+1}=t_k-\tfrac{p(t_k)}{p'(t_k)}</math>, तब
-#:<math>\|\mathbf x_{k+p}-\mathbf x_k\|\le t_{k+p}-t_k.</math>
+#:<math>\|\mathbf x_{k+p}-\mathbf x_k\|\le t_{k+p}-t_k</math>।
-#त्रुटि अनुमान से द्विघात अभिसरण प्राप्त होता है<ref>{{cite journal |first1=W. B. |last1=Gragg |first2=R. A. |last2=Tapia |year=1974 |title=न्यूटन-कैंटोरोविच प्रमेय के लिए इष्टतम त्रुटि सीमाएं|journal=SIAM Journal on Numerical Analysis |volume=11 |issue=1 |pages=10–13 |jstor=2156425 |doi=10.1137/0711002|bibcode=1974SJNA...11...10G }}</ref> #:<math>
+#एरर प्राक्कलन से द्विघात अभिसरण प्राप्त होता है <ref>{{cite journal |first1=W. B. |last1=Gragg |first2=R. A. |last2=Tapia |year=1974 |title=न्यूटन-कैंटोरोविच प्रमेय के लिए इष्टतम त्रुटि सीमाएं|journal=SIAM Journal on Numerical Analysis |volume=11 |issue=1 |pages=10–13 |jstor=2156425 |doi=10.1137/0711002|bibcode=1974SJNA...11...10G }}</ref> : <math>
    \|\mathbf x_{n+1}-\mathbf x^*\|
      \le \theta^{2^n}\|\mathbf x_{n+1}-\mathbf x_n\|
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 ==परिणाम==
-में, यामामोटो ने साबित किया कि डोरिंग (1969), ओस्ट्रोव्स्की (1971, 1973) जैसे न्यूटन पद्धति के त्रुटि मूल्यांकन,<ref>{{cite journal |first=A. M. |last=Ostrowski |title=बानाच स्थानों में न्यूटन की विधि|journal=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=27 |issue=A |year=1971 |pages=1251–1253 }}</ref><ref>{{cite book |first=A. M. |last=Ostrowski |title=यूक्लिडियन और बानाच स्पेस में समीकरणों का समाधान|publisher=Academic Press |location=New York |year=1973 |isbn=0-12-530260-6 }}</ref> ग्रैग-तापिया (1974), पोट्रा-बर्ड (1980),<ref>{{cite journal |first1=F. A. |last1=Potra |first2=V. |last2=Ptak |title=न्यूटन की प्रक्रिया के लिए तीव्र त्रुटि सीमाएँ|journal=Numer. Math. |volume=34 |year=1980 |pages=63–72 |doi=10.1007/BF01463998 }}</ref> हनी (1981),<ref>{{cite journal |first=G. J. |last=Miel |title=न्यूटन की विधि के लिए कांटोरोविच प्रमेय का एक अद्यतन संस्करण|journal=Computing |volume=27 |issue=3 |year=1981 |pages=237–244 |doi=10.1007/BF02237981 }}</ref> पोट्रा (1984),<ref>{{cite journal |first=F. A. |last=Potra |title=न्यूटन की विधि के लिए पश्चवर्ती त्रुटि अनुमान पर|journal=Beiträge zur Numerische Mathematik |volume=12 |year=1984 |pages=125–138 }}</ref> कांटोरोविच प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last=Yamamoto |first=T. |year=1986 |title=कांटोरोविच मान्यताओं के तहत न्यूटन की विधि के लिए तीव्र त्रुटि सीमाएं खोजने की एक विधि|journal=[[Numerische Mathematik]] |volume=49 |issue=2–3 |pages=203–220 |doi=10.1007/BF01389624 }}</ref>
+में, यामामोटो ने सिद्ध किया कि डोरिंग (1969), ओस्ट्रोव्स्की (1971, 1973) जैसे न्यूटन पद्धति के त्रुटि मूल्यांकन,<ref>{{cite journal |first=A. M. |last=Ostrowski |title=बानाच स्थानों में न्यूटन की विधि|journal=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=27 |issue=A |year=1971 |pages=1251–1253 }}</ref><ref>{{cite book |first=A. M. |last=Ostrowski |title=यूक्लिडियन और बानाच स्पेस में समीकरणों का समाधान|publisher=Academic Press |location=New York |year=1973 |isbn=0-12-530260-6 }}</ref> ग्रैग-तापिया (1974), पोट्रा-बर्ड (1980), <ref>{{cite journal |first1=F. A. |last1=Potra |first2=V. |last2=Ptak |title=न्यूटन की प्रक्रिया के लिए तीव्र त्रुटि सीमाएँ|journal=Numer. Math. |volume=34 |year=1980 |pages=63–72 |doi=10.1007/BF01463998 }}</ref> हनी (1981), <ref>{{cite journal |first=G. J. |last=Miel |title=न्यूटन की विधि के लिए कांटोरोविच प्रमेय का एक अद्यतन संस्करण|journal=Computing |volume=27 |issue=3 |year=1981 |pages=237–244 |doi=10.1007/BF02237981 }}</ref> पोट्रा (1984), <ref>{{cite journal |first=F. A. |last=Potra |title=न्यूटन की विधि के लिए पश्चवर्ती त्रुटि अनुमान पर|journal=Beiträge zur Numerische Mathematik |volume=12 |year=1984 |pages=125–138 }}</ref> कांटोरोविच प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है। <ref>{{cite journal |last=Yamamoto |first=T. |year=1986 |title=कांटोरोविच मान्यताओं के तहत न्यूटन की विधि के लिए तीव्र त्रुटि सीमाएं खोजने की एक विधि|journal=[[Numerische Mathematik]] |volume=49 |issue=2–3 |pages=203–220 |doi=10.1007/BF01389624 }}</ref>
 ==सामान्यीकरण==
-कांटोरोविच प्रमेय के लिए एक q-एनालॉग|q-एनालॉग है।<ref>{{cite journal |last1=Rajkovic |first1=P. M. |last2=Stankovic |first2=M. S. |last3=Marinkovic |first3=S. D. |year=2003 |title=समीकरणों और प्रणालियों को हल करने के लिए q-पुनरावृत्तीय तरीकों पर|journal=Novi Sad J. Math |volume=33 |issue=2 |pages=127–137 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Rajković |first1=P. M. |last2=Marinković |first2=S. D. |last3=Stanković |first3=M. S. |year=2005 |title=On q-Newton–Kantorovich method for solving systems of equations |journal=Applied Mathematics and Computation |volume=168 |issue=2 |pages=1432–1448 |doi=10.1016/j.amc.2004.10.035 }}</ref> अन्य सामान्यीकरणों/विविधताओं के लिए, ओर्टेगा और रीनबोल्ड्ट (1970) देखें।<ref>{{cite book |last1=Ortega |first1=J. M. |last2=Rheinboldt |first2=W. C. |year=1970 |title=अनेक चरों में अरेखीय समीकरणों का पुनरावृत्तीय समाधान|publisher=SIAM |oclc=95021 }}</ref>
+कांटोरोविच प्रमेय के लिए एक q-एनालॉग है। <ref>{{cite journal |last1=Rajkovic |first1=P. M. |last2=Stankovic |first2=M. S. |last3=Marinkovic |first3=S. D. |year=2003 |title=समीकरणों और प्रणालियों को हल करने के लिए q-पुनरावृत्तीय तरीकों पर|journal=Novi Sad J. Math |volume=33 |issue=2 |pages=127–137 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Rajković |first1=P. M. |last2=Marinković |first2=S. D. |last3=Stanković |first3=M. S. |year=2005 |title=On q-Newton–Kantorovich method for solving systems of equations |journal=Applied Mathematics and Computation |volume=168 |issue=2 |pages=1432–1448 |doi=10.1016/j.amc.2004.10.035 }}</ref> अन्य सामान्यीकरणों/विविधताओं के लिए, ओर्टेगा और रीनबोल्ड्ट (1970) देखें। <ref>{{cite book |last1=Ortega |first1=J. M. |last2=Rheinboldt |first2=W. C. |year=1970 |title=अनेक चरों में अरेखीय समीकरणों का पुनरावृत्तीय समाधान|publisher=SIAM |oclc=95021 }}</ref>
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 * [[John H. Hubbard]] and [[Barbara Burke Hubbard]]: ''Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach'', Matrix Editions, {{ISBN|978-0-9715766-3-6}} ([http://matrixeditions.com/UnifiedApproachSamples.html preview of 3. edition and sample material including Kant.-thm.])
 * {{cite book |first=Tetsuro |last=Yamamoto |chapter=Historical Developments in Convergence Analysis for Newton's and Newton-like Methods |pages=241–263 |editor-first=C. |editor-last=Brezinski |editor2-first=L. |editor2-last=Wuytack |title=Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century |publisher=North-Holland |year=2001 |isbn=0-444-50617-9 }}
-[[Category: कार्यात्मक विश्लेषण]] [[Category: संख्यात्मक विश्लेषण]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: वेक्टर स्थानों में अनुकूलन]] [[Category: अनुकूलन एल्गोरिदम और विधियाँ]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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