विवश सामान्यीकृत व्युत्क्रम: Difference between revisions

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रैखिक बीजगणित में, एक अतिरिक्त बाधा के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान करके एक बाधित सामान्यीकृत व्युत्क्रम प्राप्त किया जाता है कि समाधान किसी दिए गए उप-स्थान में है। एक यह भी कहता है कि समस्या का वर्णन बाधित रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा किया गया है।
रैखिक बीजगणित में, एक अतिरिक्त बाधा के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान करके एक '''विवश सामान्यीकृत व्युत्क्रम''' प्राप्त किया जाता है कि समाधान किसी दिए गए उप-स्थान में है। एक यह भी कहता है कि समस्या का वर्णन विवश रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा किया गया है।


कई व्यावहारिक समस्याओं में समाधान <math>x</math> समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली का
कई व्यावहारिक समस्याओं में, समीकरण
:<math>
:<math>
Ax=b\qquad (\text{with given }A\in\R^{m\times n}\text{ and } b\in\R^m)
Ax=b\qquad (\text{with given }A\in\R^{m\times n}\text{ and } b\in\R^m)
</math>
</math>
केवल तभी स्वीकार्य है जब यह <math>\R^m</math> के एक निश्चित [[रैखिक उपस्थान]] <math>L</math> में हो।
की एक रैखिक प्रणाली का समाधान <math>x</math> तभी स्वीकार्य होता है जब यह <math>\R^m</math> के एक निश्चित [[रैखिक उपस्थान]] <math>L</math> में होता है।


निम्नलिखित में, <math>L</math> पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण को <math>P_L</math> द्वारा दर्शाया जाएगा। रैखिक समीकरणों की विवश प्रणाली
निम्नलिखित में, <math>L</math> पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण को <math>P_L</math> द्वारा दर्शाया जाता हैं। रैखिक समीकरणों
:<math>Ax=b\qquad x\in L</math>
:<math>Ax=b\qquad x\in L</math>
इसका कोई समाधान है यदि और केवल यदि समीकरणों की अप्रतिबंधित प्रणाली हो
की विवश प्रणाली का कोई समाधान है यदि और केवल यदि समीकरण
:<math>(A P_L) x = b\qquad x\in\R^m</math>
:<math>(A P_L) x = b\qquad x\in\R^m</math>
हल करने योग्य है. यदि उपस्थान <math>L</math> का एक उचित उपस्थान है <math>\R^m</math>, फिर अप्रतिबंधित समस्या का मैट्रिक्स <math>(A P_L)</math> सिस्टम मैट्रिक्स होने पर भी एकवचन हो सकता है <math>A</math> बाधित समस्या का समाधान उलटा है (उस स्थिति में, <math>m=n</math>). इसका मतलब यह है कि किसी को विवश समस्या के समाधान के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम का उपयोग करने की आवश्यकता है। तो, का एक सामान्यीकृत उलटा <math>(A P_L)</math> ए भी कहा जाता है <math>L</math>-बाधित छद्मविपरीत <math>A</math>.
की अप्रतिबंधित प्रणाली समाधान करने योग्य है। यदि उप-स्थान <math>L</math>, <math>\R^m</math> का एक उचित उप-स्थान है, तो अप्रतिबंधित समस्या का आव्यूह <math>(A P_L)</math> एकवचन हो सकता है, तथापि विवश समस्या का प्रणाली आव्यूह <math>A</math> व्युत्क्रम (उस स्थिति में, <math>m=n</math>) है। इसका अर्थ यह है कि किसी को विवश समस्या के समाधान के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम का उपयोग करने की आवश्यकता है। तो, <math>(A P_L)</math> के सामान्यीकृत व्युत्क्रम को <math>A</math> का <math>L</math>-विवश स्यूडो व्युत्क्रम भी कहा जाता है।


छद्म व्युत्क्रम का एक उदाहरण जिसका उपयोग किसी विवश समस्या के समाधान के लिए किया जा सकता है वह है बॉटल-डफिन व्युत्क्रम <math>A</math> करने के लिए बाध्य <math>L</math>, जिसे समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है
स्यूडो व्युत्क्रम का एक उदाहरण जिसका उपयोग किसी विवश समस्या के समाधान के लिए किया जा सकता है, वह <math>L</math> के लिए बाध्य <math>A</math> का '''बॉटल-डफिन व्युत्क्रम''' है, जिसे समीकरण  
:<math>A_L^{(-1)}:=P_L(A P_L + P_{L^\perp})^{-1},</math>
:<math>A_L^{(-1)}:=P_L(A P_L + P_{L^\perp})^{-1},</math>
यदि दाहिनी ओर व्युत्क्रम मौजूद है।
द्वारा परिभाषित किया गया है, यदि दाईं ओर व्युत्क्रम उपस्थित है।
 
श्रेणी:मैट्रिसेस




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Latest revision as of 10:47, 14 August 2023

रैखिक बीजगणित में, एक अतिरिक्त बाधा के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान करके एक विवश सामान्यीकृत व्युत्क्रम प्राप्त किया जाता है कि समाधान किसी दिए गए उप-स्थान में है। एक यह भी कहता है कि समस्या का वर्णन विवश रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा किया गया है।

कई व्यावहारिक समस्याओं में, समीकरण

की एक रैखिक प्रणाली का समाधान तभी स्वीकार्य होता है जब यह के एक निश्चित रैखिक उपस्थान में होता है।

निम्नलिखित में, पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण को द्वारा दर्शाया जाता हैं। रैखिक समीकरणों

की विवश प्रणाली का कोई समाधान है यदि और केवल यदि समीकरण

की अप्रतिबंधित प्रणाली समाधान करने योग्य है। यदि उप-स्थान , का एक उचित उप-स्थान है, तो अप्रतिबंधित समस्या का आव्यूह एकवचन हो सकता है, तथापि विवश समस्या का प्रणाली आव्यूह व्युत्क्रम (उस स्थिति में, ) है। इसका अर्थ यह है कि किसी को विवश समस्या के समाधान के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम का उपयोग करने की आवश्यकता है। तो, के सामान्यीकृत व्युत्क्रम को का -विवश स्यूडो व्युत्क्रम भी कहा जाता है।

स्यूडो व्युत्क्रम का एक उदाहरण जिसका उपयोग किसी विवश समस्या के समाधान के लिए किया जा सकता है, वह के लिए बाध्य का बॉटल-डफिन व्युत्क्रम है, जिसे समीकरण

द्वारा परिभाषित किया गया है, यदि दाईं ओर व्युत्क्रम उपस्थित है।