रीमैन श्रृंखला प्रमेय: Difference between revisions

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गणित में, रीमैन श्रृंखला प्रमेय, जिसे रीमैन पुनर्व्यवस्था प्रमेय भी कहा जाता है, जिसका नाम 19वीं सदी के जर्मन गणितज्ञ [[बर्नहार्ड रीमैन]] के नाम पर रखा गया है, कहता है कि यदि वास्तविक संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला [[सशर्त रूप से अभिसरण]] है, तो इसकी शर्तों को क्रम[[परिवर्तन]] में व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि नई श्रृंखला एक मनमानी वास्तविक संख्या, या [[अपसारी श्रृंखला]] में परिवर्तित हो जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि वास्तविक संख्याओं की एक श्रृंखला [[पूर्ण अभिसरण]] है यदि और केवल यदि यह [[बिना शर्त अभिसरण]] है।
गणित में, रीमैन श्रृंखला प्रमेय, जिसे रीमैन पुनर्व्यवस्था प्रमेय भी कहा जाता है, जिसका नाम 19वीं सदी के जर्मन गणितज्ञ [[बर्नहार्ड रीमैन]] के नाम पर रखा गया है, कहना  है कि यदि वास्तविक संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला [[सशर्त रूप से अभिसरण]] है, तो इसकी परिस्थितियों को क्रम[[परिवर्तन]] में व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि नई श्रृंखला एक मनमानी वास्तविक संख्या, या [[अपसारी श्रृंखला]] में अभिसरण हो जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि वास्तविक संख्याओं की एक श्रृंखला [[पूर्ण अभिसरण]] है यदि और केवल तभी जब यह [[बिना शर्त अभिसरण|बिना परिस्थिति अभिसरण]] है।


उदाहरण के तौर पर, श्रृंखला 1 - 1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + ⋯ 0 में परिवर्तित हो जाती है (पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में पदों के लिए, आंशिक योग मनमाने ढंग से 0 के करीब हो जाता है); लेकिन सभी पदों को उनके निरपेक्ष मानों से बदलने पर 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯ प्राप्त होता है, जिसका योग अनंत होता है। इस प्रकार मूल श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, और इसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है (पहले दो सकारात्मक पदों के बाद पहला नकारात्मक पद, उसके बाद अगले दो सकारात्मक पद और फिर अगला नकारात्मक पद, आदि) एक ऐसी श्रृंखला देने के लिए जो अभिसरण करती है एक अलग योग के लिए: 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ⋯ = [[प्राकृतिक]] लघुगणक 2. अधिक सामान्यतः, इस प्रक्रिया का उपयोग ''p'' सकारात्मक के साथ ''q'' के बाद किया जाता है। ' नकारात्मक योग ln(''p''/''q'') देता है। अन्य पुनर्व्यवस्थाएँ अन्य सीमित राशियाँ देती हैं या किसी राशि में परिवर्तित नहीं होती हैं।
एक उदाहरण के रूप में, श्रृंखला 1 - 1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + ⋯ 0 में अभिसरण होता है (पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में पदों के लिए, आंशिक योग मनमाने ढंग से 0 के निकट हो जाता है); लेकिन सभी पदों को उनके पूर्ण मूल्यों के साथ प्रतिस्थापित करने से 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯ प्राप्त होता है, जिसका योग अनंत होता है। इस प्रकार मूल श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, और इसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है (पहले दो सकारात्मक पदों के बाद पहला नकारात्मक पद, उसके बाद अगले दो सकारात्मक पद और फिर अगला नकारात्मक पद, आदि) एक श्रृंखला देने के लिए जो एक अलग योग में  अभिसरण करती : 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ⋯ = [[प्राकृतिक]] लघुगणक 2। इस प्रक्रिया का उपयोग ''p'' सकारात्मक के साथ करने के बाद  ''q'' नकारात्मक का उपयोग करने से एलएन (पी / क्यू) का योग मिलता है। अन्य पुनर्व्यवस्थाएँ अन्य सीमित राशियाँ देती हैं या किसी राशि में अभिसरण नहीं होती हैं।


==इतिहास==
==इतिहास==
यह एक बुनियादी परिणाम है कि परिमित अनेक संख्याओं का योग उन्हें जोड़ने के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। उदाहरण के लिए, {{math|2 + 3 + 7 {{=}} 7 + 2 + 3}}. यह अवलोकन कि संख्याओं के अनंत अनुक्रम का योग सारांश के क्रम पर निर्भर हो सकता है, इसका श्रेय आमतौर पर 1833 में [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] को दिया जाता है।{{sfnm|1a1=Cauchy|1y=1833|1loc=Section 8|2a1=Apostol|2y=1967|2p=411}} उन्होंने [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] का विश्लेषण किया, जिसमें दिखाया गया कि इसके सारांशों की कुछ पुनर्व्यवस्थाओं के परिणामस्वरूप अलग-अलग सीमाएँ होती हैं। लगभग उसी समय, [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] ने इस बात पर प्रकाश डाला कि ऐसी घटनाओं को पूर्ण अभिसरण के संदर्भ में खारिज कर दिया गया है, और कुछ अन्य श्रृंखलाओं के लिए कॉची की घटनाओं के और उदाहरण दिए जो पूरी तरह से अभिसरण में विफल रहते हैं।{{sfnm|1a1=Dirichlet|1y=1837|1loc=Section 1}}
यह एक मूल परिणाम है कि परिमित रूप से कई संख्याओं का योग उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें उन्हें जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{math|2 + 3 + 7 {{=}} 7 + 2 + 3}}।  यह अवलोकन कि संख्याओं के अनंत अनुक्रम का योग सारांश के क्रम पर निर्भर हो सकता है, इसका श्रेय आमतौर पर 1833 में [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] को जिम्मेदार ठहराया जाता है।{{sfnm|1a1=Cauchy|1y=1833|1loc=Section 8|2a1=Apostol|2y=1967|2p=411}} उन्होंने वैकल्पिक [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] का विश्लेषण किया, जिसमें दिखाया गया कि इसके सारांशों की कुछ पुनर्व्यवस्थाओं के परिणामस्वरूप अलग-अलग सीमाएँ होती हैं। लगभग उसी समय, [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] ने इस बात पर प्रकाश डाला कि ऐसी घटनाओं को पूर्ण अभिसरण के संदर्भ में निरस्त कर दिया गया है, और कुछ अन्य श्रृंखलाओं के लिए कॉची की घटनाओं के और उदाहरण दिए जो पूरी तरह से अभिसरण होने में विफल रहते हैं।{{sfnm|1a1=Dirichlet|1y=1837|1loc=Section 1}}


फूरियर श्रृंखला और [[रीमैन एकीकरण]] के सिद्धांत के अपने विश्लेषण के दौरान, बर्नहार्ड रीमैन ने पुनर्व्यवस्था घटना का पूरा विवरण दिया।{{sfnm|1a1=Riemann|1y=1868}} उन्होंने साबित किया कि एक अभिसरण श्रृंखला के मामले में जो पूरी तरह से अभिसरण नहीं करती है ([[सशर्त अभिसरण]] के रूप में जाना जाता है), पुनर्व्यवस्था पाई जा सकती है ताकि नई श्रृंखला किसी भी मनमाने ढंग से निर्धारित वास्तविक संख्या में परिवर्तित हो जाए।{{sfnm|1a1=Kline|1y=1990|1p=966}} रीमैन के प्रमेय को अब [[गणितीय विश्लेषण]] के क्षेत्र का एक बुनियादी हिस्सा माना जाता है।{{sfnm|1a1=Apostol|1y=1967|1loc=Section 10.21|2a1=Apostol|2y=1974|2loc=Section 8.18|3a1=Rudin|3y=1976|3loc=Theorem 3.54|4a1=Whittaker|4a2=Watson|4y=2021|4loc=Section II.17}}
फूरियर श्रृंखला और [[रीमैन एकीकरण]] के सिद्धांत के अपने विश्लेषण के दौरान, बर्नहार्ड रीमैन ने पुनर्व्यवस्था घटना का पूरा विवरण दिया।{{sfnm|1a1=Riemann|1y=1868}} उन्होंने प्रमाणित किया कि एक अभिसरण श्रृंखला के विषय में जो पूरी तरह से अभिसरण नहीं करती है ([[सशर्त अभिसरण]] के रूप में जाना जाता है), पुनर्व्यवस्था पाई जा सकती है ताकि नई श्रृंखला किसी भी मनमाने ढंग से निर्धारित वास्तविक संख्या में अभिसरण हो जाए।{{sfnm|1a1=Kline|1y=1990|1p=966}} रीमैन के प्रमेय को अब [[गणितीय विश्लेषण]] के क्षेत्र का एक मूल भाग माना जाता है।{{sfnm|1a1=Apostol|1y=1967|1loc=Section 10.21|2a1=Apostol|2y=1974|2loc=Section 8.18|3a1=Rudin|3y=1976|3loc=Theorem 3.54|4a1=Whittaker|4a2=Watson|4y=2021|4loc=Section II.17}}


किसी भी श्रृंखला के लिए, कोई व्यक्ति सारांश के सभी संभावित पुनर्व्यवस्थाओं के अनुरूप सभी संभावित योगों के सेट पर विचार कर सकता है। रीमैन के प्रमेय को यह कहते हुए तैयार किया जा सकता है कि, वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला के लिए, यह सेट या तो खाली है, एक एकल बिंदु (पूर्ण अभिसरण के मामले में), या संपूर्ण [[वास्तविक संख्या रेखा]] (सशर्त अभिसरण के मामले में)। इस सूत्रीकरण में, रीमैन के प्रमेय को पॉल लेवी (गणितज्ञ)|पॉल लेवी और [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] द्वारा श्रृंखला तक विस्तारित किया गया था, जिनके सारांश [[जटिल संख्या]]एं हैं या, और भी अधिक सामान्यतः, एक परिमित-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान के तत्व हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि संभावित योगों का समुच्चय एक वास्तविक एफ़िन उपस्थान बनाता है। अनंत-आयामी स्थानों में श्रृंखला के लिए लेवी-स्टीनित्ज़ प्रमेय के विस्तार पर कई लेखकों द्वारा विचार किया गया है।{{sfnm|1a1=Banaszczyk|1y=1991|1loc=Section 10|2a1=Mauldin|2y=2015|2loc=Problem 28 and Problem 106}}
किसी भी श्रृंखला के लिए, कोई सभी संभावित समरूपी के सेट पर विचार कर सकता है, जो योगों के सभी संभावित पुनर्व्यवस्था के अनुरूप है।। रीमैन के प्रमेय को यह कहते हुए तैयार किया जा सकता है कि, वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला के लिए, यह सेट या तो खाली है, एक एकल बिंदु (पूर्ण अभिसरण के विषय में), या संपूर्ण [[वास्तविक संख्या रेखा]] (सशर्त अभिसरण के विषय में)। इस सूत्रीकरण में, रीमैन के प्रमेय को पॉल लेवी और [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] द्वारा श्रृंखला तक विस्तारित किया गया था, जिनके सारांश [[जटिल संख्या]]एं हैं या, इससे भी अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान के तत्व हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि संभावित योगों का समुच्चय एक वास्तविक एफ़िन उपस्थान बनाता है। कई लेखकों द्वारा अनंत-आयामी स्थानों में श्रृंखला के लिए लेवी-स्टीनित्ज़ प्रमेय के विस्तार पर कई लेखकों द्वारा विचार किया गया है।{{sfnm|1a1=Banaszczyk|1y=1991|1loc=Section 10|2a1=Mauldin|2y=2015|2loc=Problem 28 and Problem 106}}


==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ==
एक श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> यदि कोई मान मौजूद है तो [[अभिसरण श्रृंखला]] <math>\ell</math> इस प्रकार कि आंशिक योगों का क्रम
एक श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> यदि कोई मान उपस्थित है तो [[अभिसरण श्रृंखला]] <math>\ell</math> इस प्रकार कि आंशिक योगों का क्रम


:<math>(S_1, S_2, S_3, \ldots), \quad S_n = \sum_{k=1}^n a_k,</math>
:<math>(S_1, S_2, S_3, \ldots), \quad S_n = \sum_{k=1}^n a_k,</math>
में एकत्रित हो जाता है <math>\ell</math>. अर्थात्, किसी भी ε > 0 के लिए, एक पूर्णांक N मौजूद है जैसे कि यदि n ≥ N, तो
<math>\ell</math> में अभिसरण होता है। अर्थात्, किसी भी ε > 0 के लिए, एक पूर्णांक N उपस्थित है जैसे कि यदि n ≥ N, तो


:<math>\left\vert S_n - \ell \right\vert \le \varepsilon.</math>
:<math>\left\vert S_n - \ell \right\vert \le \varepsilon.</math>
एक श्रृंखला सशर्त अभिसरण यदि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> अभिसरण लेकिन श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty \left\vert a_n \right\vert</math> विचलन
यदि श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> अभिसरण होती है लेकिन श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty \left\vert a_n \right\vert</math> अलग हो जाता है।


क्रमपरिवर्तन केवल धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) से स्वयं पर एक आक्षेप है। इसका मतलब यह है कि अगर <math>\sigma</math> किसी भी धनात्मक पूर्णांक के लिए एक क्रमपरिवर्तन है <math>b,</math> वहाँ बिल्कुल एक धनात्मक पूर्णांक मौजूद है <math>a</math> ऐसा है कि <math>\sigma (a) = b.</math> विशेषकर, यदि <math>x \ne y</math>, तब <math>\sigma (x) \ne \sigma (y)</math>.
क्रमपरिवर्तन केवल धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) से स्वयं पर एक आक्षेप है। इसका मतलब है कि यदि <math>\sigma</math> एक क्रमपरिवर्तन है, तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक <math>b</math> के लिए, वास्तव में एक धनात्मक पूर्णांक <math>a</math> उपस्थित है जैसे कि <math>\sigma (a) = b.</math> विशेषकर, यदि <math>x \ne y</math>, तो <math>\sigma (x) \ne \sigma (y)</math>


==प्रमेय का कथन==
==प्रमेय का कथन==


लगता है कि <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots)</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं का एक क्रम है, और वह <math display="inline"> \sum_{n=1}^\infty a_n</math> सशर्त रूप से अभिसरण है। होने देना <math>M</math> एक वास्तविक संख्या हो. फिर एक क्रमपरिवर्तन मौजूद है <math>\sigma</math> ऐसा है कि
मान लीजिए कि <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots)</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं का एक क्रम है, और यह कि <math display="inline"> \sum_{n=1}^\infty a_n</math> सशर्त रूप से अभिसरण है। <math>M</math> को एक वास्तविक संख्या होने दें।  फिर एक क्रमपरिवर्तन <math>\sigma</math> उपस्थित है जैसे कि


:<math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M.</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M.</math>
वहाँ भी एक क्रमपरिवर्तन मौजूद है <math>\sigma</math> ऐसा है कि
एक क्रमपरिवर्तन <math>\sigma</math> उपस्थित है  


:<math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \infty.</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \infty.</math>
योग को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित भी किया जा सकता है <math>-\infty</math> या किसी सीमा, सीमित या अनंत तक पहुंचने में असफल होना।
योग को <math>-\infty</math> तक विस्तारित करने या किसी भी सीमा, परिमित या अनंत तक पहुंचने में विफल रहने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।


==वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला==
==वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला==


===योग बदलना===
===योग बदलना===
प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला का एक उत्कृष्ट उदाहरण है:
प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला एक सशर्त अभिसरण श्रृंखला का एक क्लासिक उदाहरण है:<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math>
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math>
 
 
अभिसारी है, जबकि
अभिसारी है, जबकि
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
<math display="block">\sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
साधारण हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) है, जो विचलन करती है। हालाँकि मानक प्रस्तुति में वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला अभिसरण होती है {{math|ln(2)}}, इसके पदों को किसी भी संख्या में अभिसरण करने या यहां तक ​​कि विचलन करने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। इसका एक उदाहरण इस प्रकार है. सामान्य क्रम में लिखी गई श्रृंखला से आरंभ करें,
साधारण हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) है, जो अलग हो जाती है। यद्यपि मानक प्रस्तुति में वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला {{math|ln(2)}} में परिवर्तित हो जाती है, इसके पदों को किसी भी संख्या में अभिसरण करने या यहां तक ​​कि विचलन करने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। इसका एक उदाहरण इस प्रकार है। सामान्य क्रम में लिखी गई श्रृंखला से आरंभ करें,


:<math>1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots</math>
:<math>1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots</math>
और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें:
और परिस्थितियों को पुनर्व्यवस्थित करें:


:<math>1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \cdots</math>
:<math>1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \cdots</math>
जहां पैटर्न है: पहले दो पद 1 और −1/2 हैं, जिनका योग 1/2 है। अगला पद −1/4 है।
जहां पैटर्न है: पहले दो पद 1 और −1/2 हैं, जिनका योग 1/2 है। अगला पद −1/4 है। अगले दो पद 1/3 और −1/6 हैं, जिनका योग 1/6 है। अगला पद -1/8 है। अगले दो पद 1/5 और −1/10 हैं, जिनका योग 1/10 है। सामान्य तौर पर, योग तीन के ब्लॉक से बना होता है:
अगले दो पद 1/3 और −1/6 हैं, जिनका योग 1/6 है। अगला पद -1/8 है।
अगले दो पद 1/5 और −1/10 हैं, जिनका योग 1/10 है।
सामान्य तौर पर, योग तीन के ब्लॉक से बना होता है:


:<math>\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k},\quad k = 1, 2, \dots.</math>
:<math>\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k},\quad k = 1, 2, \dots.</math>
यह वास्तव में प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था है: प्रत्येक विषम पूर्णांक एक बार सकारात्मक रूप से आता है, और सम पूर्णांक प्रत्येक एक बार, नकारात्मक रूप से आते हैं (उनमें से आधे 4 के गुणज के रूप में, अन्य आधे दोगुने विषम पूर्णांक के रूप में)। तब से
यह वास्तव में प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला का एक पुनर्व्यवस्था है: प्रत्येक विषम पूर्णांक एक बार सकारात्मक रूप से होता है, और सम पूर्णांक एक बार नकारात्मक रूप से होते हैं (उनमें से आधे 4 के गुणज के रूप में, अन्य आधे दोगुने विषम पूर्णांक के रूप में)। चूंकि


:<math>\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} = \frac{1}{2(2k - 1)},</math>
:<math>\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} = \frac{1}{2(2k - 1)},</math>
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={}& \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots\right) = \frac{1}{2} \ln(2)
={}& \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots\right) = \frac{1}{2} \ln(2)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जो सामान्य राशि का आधा है.
जो सामान्य राशि का आधा है।


===मनमाना योग प्राप्त करना===
===मनमाना योग प्राप्त करना===
पिछले अनुभाग के परिणाम को पुनर्प्राप्त करने और सामान्यीकृत करने का एक प्रभावी तरीका इस तथ्य का उपयोग करना है
पिछले अनुभाग के परिणाम को पुनर्प्राप्त करने और सामान्यीकृत करने का एक प्रभावी तरीका इस तथ्य का उपयोग करना है कि


:<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over n} = \gamma + \ln n + o(1),</math>
:<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over n} = \gamma + \ln n + o(1),</math>
जहां γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, और जहां बिग ओ नोटेशन|नोटेशन ओ(1) एक मात्रा को दर्शाता है जो वर्तमान चर पर निर्भर करता है (यहां, चर एन है) इस तरह से कि यह मात्रा 0 हो जाती है जब परिवर्तनशील अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है।
जहां γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, और जहां संकेतन ओ(1) एक मात्रा को दर्शाता है जो वर्तमान चर पर निर्भर करता है (यहां, चर एन है)इस तरह से कि यह मात्रा 0 तक जाती है जब चर अनंत की ओर जाता है।


इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि q सम पदों का योग संतुष्ट करता है
यह इस प्रकार है कि q सम पदों का योग<math>{1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 6} + \cdots + {1 \over 2 q} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln q + o(1)</math> को संतुष्ट करता है और अंतर लेने से, कोई देखता है कि p विषम पदों का योग


:<math>{1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 6} + \cdots + {1 \over 2 q} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln q + o(1),</math>
:<math>{1} + {1 \over 3} + {1 \over 5} + \cdots + {1 \over 2 p - 1} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln p + \ln 2 + o(1)</math> को संतुष्ट करता है।
और अंतर लेने पर, कोई देखता है कि p विषम पदों का योग संतुष्ट करता है
मान लीजिए कि दो सकारात्मक पूर्णांक ए और बी दिए गए हैं, और यह कि वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला का एक पुनर्व्यवस्था, क्रम में, वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला से एक सकारात्मक शब्द, उसके बाद बी नकारात्मक शब्दों को लेने और इस पैटर्न को अनंत पर दोहराने से बनती है ( प्रत्यावर्ती श्रृंखला स्वयं {{nowrap|1=''a'' = ''b'' = 1}} से मेल खाती है, पूर्ववर्ती खंड में उदाहरण a = 1 से मेल खाता है,  b = 2):


:<math>{1} + {1 \over 3} + {1 \over 5} + \cdots + {1 \over 2 p - 1} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln p + \ln 2 + o(1).</math>
<math>{1} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over 2 a - 1} - {1 \over 2} - {1 \over 4} - \cdots - {1 \over 2 b} + {1 \over 2 a + 1} + \cdots + {1 \over 4 a - 1} - {1 \over 2b + 2} - \cdots</math>
मान लीजिए कि दो सकारात्मक पूर्णांक ए और बी दिए गए हैं, और वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था, क्रम में, वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला से सकारात्मक शब्दों को लेने के बाद, बी नकारात्मक शब्दों के बाद, और इस पैटर्न को अनंत पर दोहराते हुए बनाई गई है ( प्रत्यावर्ती श्रृंखला स्वयं से मेल खाती है {{nowrap|1=''a'' = ''b'' = 1}}, पिछले अनुभाग में उदाहरण a = 1, b = 2 से मेल खाता है):


:<math>{1} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over 2 a - 1} - {1 \over 2} - {1 \over 4} - \cdots - {1 \over 2 b} + {1 \over 2 a + 1} + \cdots + {1 \over 4 a - 1} - {1 \over 2b + 2} - \cdots</math>
फिर इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के क्रम (a+b)n के आंशिक योग में {{nowrap|1=''p'' = ''an''}} धनात्मक विषम पद और {{nowrap|1=''q'' = ''bn''}} ऋणात्मक सम पद सम्मिलित हैं, अतः
फिर इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के क्रम का आंशिक योग (a+b)n शामिल है {{nowrap|1=''p'' = ''an''}} सकारात्मक विषम पद और {{nowrap|1=''q'' = ''bn''}} अत: ऋणात्मक सम पद


:<math>S_{(a+b)n} = {1 \over 2} \ln p + \ln 2 - {1 \over 2} \ln q + o(1) = {1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 + o(1).</math>
:<math>S_{(a+b)n} = {1 \over 2} \ln p + \ln 2 - {1 \over 2} \ln q + o(1) = {1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 + o(1).</math>
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला का योग है<ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |url=https://books.google.com/books?id=o2D4DwAAQBAJ |title=कैलकुलस, खंड 1|date=1991-01-16 |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-00005-1 |pages=416 |language=en}}</ref>
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला का योग है<ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |url=https://books.google.com/books?id=o2D4DwAAQBAJ |title=कैलकुलस, खंड 1|date=1991-01-16 |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-00005-1 |pages=416 |language=en}}</ref>
:<math>{1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 = \ln\left( 2 \sqrt{\frac ab} \right).</math>
:<math>{1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 = \ln\left( 2 \sqrt{\frac ab} \right).</math>
अब मान लीजिए कि, अधिक सामान्यतः, प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला की एक पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला इस तरह से व्यवस्थित की जाती है कि अनुपात {{nowrap|''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub>}} क्रम n के आंशिक योग में सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों की संख्या के बीच एक सकारात्मक सीमा r की ओर रुझान होता है। तब ऐसी पुनर्व्यवस्था का योग बनेगा
अब मान लीजिए कि, अधिक सामान्यतः, प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला की एक पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला इस तरह से व्यवस्थित की जाती है कि क्रम n के आंशिक योग में सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों की संख्या के बीच का अनुपात {{nowrap|''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub>}} एक सकारात्मक सीमा r की ओर जाता है। फिर, इस तरह की पुनर्व्यवस्था का योग होगा


:<math>\ln\left( 2 \sqrt{r} \right),</math>
<math>\ln\left( 2 \sqrt{r} \right),</math>
और यह बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या x को वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला की पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है: यह एक पुनर्व्यवस्था बनाने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए सीमा r बराबर है {{nowrap|to e<sup>2''x''</sup>/ 4}}.
 
और यह बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या x को वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला की पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है: यह एक पुनर्व्यवस्था बनाने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए सीमा r {{nowrap|से e<sup>2''x''</sup>/ 4}} समान है।


==प्रमाण==
==प्रमाण==


===एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सकारात्मक वास्तविक एम === का योग है
एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सकारात्मक वास्तविक एम को दर्शाता है।
प्रमेय और उसके प्रमाण के बारे में रीमैन का विवरण पूरा पढ़ें:{{sfnm|1a1=Riemann|1y=1868|1loc=quoted from the 2004 English translation}}
 
रीमैन ने प्रमेय और इसके प्रमाण का वर्णन किया है::{{sfnm|1a1=Riemann|1y=1868|1loc=quoted from the 2004 English translation}}
{{Blockquote
{{Blockquote
|text=... infinite series fall into two distinct classes, depending on whether or not they remain convergent when all the terms are made positive. In the first class the terms can be arbitrarily rearranged; in the second, on the other hand, the value is dependent on the ordering of the terms. Indeed, if we denote the positive terms of a series in the second class by {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ...}} and the negative terms by {{math|−''b''<sub>1</sub>, −''b''<sub>2</sub>, −''b''<sub>3</sub>, ...}} then it is clear that {{math|Σ''a''}} as well as {{math|Σ''b''}} must be infinite. For if they were both finite, the series would still be convergent after making all the signs the same. If only one were infinite, then the series would diverge. Clearly now an arbitrarily given value {{mvar|C}} can be obtained by a suitable reordering of the terms. We take alternately the positive terms of the series until the sum is greater than {{mvar|C}}, and then the negative terms until the sum is less than {{mvar|C}}. The deviation from {{mvar|C}} never amounts to more than the size of the term at the last place the signs were switched. Now, since the number {{mvar|a}} as well as the numbers {{mvar|b}} become infinitely small with increasing index, so also are the deviations from {{mvar|C}}. If we proceed sufficiently far in the series, the deviation becomes arbitrarily small, that is, the series converges to {{mvar|C}}.
|text=... infinite series fall into two distinct classes, depending on whether or not they remain convergent when all the terms are made positive. In the first class the terms can be arbitrarily rearranged; in the second, on the other hand, the value is dependent on the ordering of the terms. Indeed, if we denote the positive terms of a series in the second class by {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ...}} and the negative terms by {{math|−''b''<sub>1</sub>, −''b''<sub>2</sub>, −''b''<sub>3</sub>, ...}} then it is clear that {{math|Σ''a''}} as well as {{math|Σ''b''}} must be infinite. For if they were both finite, the series would still be convergent after making all the signs the same. If only one were infinite, then the series would diverge. Clearly now an arbitrarily given value {{mvar|C}} can be obtained by a suitable reordering of the terms. We take alternately the positive terms of the series until the sum is greater than {{mvar|C}}, and then the negative terms until the sum is less than {{mvar|C}}. The deviation from {{mvar|C}} never amounts to more than the size of the term at the last place the signs were switched. Now, since the number {{mvar|a}} as well as the numbers {{mvar|b}} become infinitely small with increasing index, so also are the deviations from {{mvar|C}}. If we proceed sufficiently far in the series, the deviation becomes arbitrarily small, that is, the series converges to {{mvar|C}}.
}}
}}


इसे इस प्रकार अधिक विवरण दिया जा सकता है।{{sfnm|1a1=Apostol|1y=1967|1loc=Section 10.21|2a1=Whittaker|2a2=Watson|2y=2021|2loc=Section II.17}} याद रखें कि वास्तविक पदों की सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला में अनंत रूप से कई नकारात्मक पद और अनंत रूप से कई सकारात्मक पद होते हैं। सबसे पहले, दो मात्राएँ परिभाषित करें, <math>a_{n}^{+}</math> और <math>a_{n}^{-}</math> द्वारा:
इसे निम्नानुसार अधिक विस्तार दिया जा सकता है।{{sfnm|1a1=Apostol|1y=1967|1loc=Section 10.21|2a1=Whittaker|2a2=Watson|2y=2021|2loc=Section II.17}} याद रखें कि वास्तविक पदों की सशर्त अभिसरण श्रृंखला में अनंत रूप से कई नकारात्मक पद और अनंत रूप से कई सकारात्मक पद होते हैं। सबसे पहले, दो मात्राएँ <math>a_{n}^{+}</math> और <math>a_{n}^{-}</math> निम्न द्वारा परिभाषित करें:


:<math>a_{n}^{+} = \begin{cases}a_n&\text{if }a_n\geq 0\\ 0&\text{if }a_n<0,\end{cases} \qquad a_{n}^{-} = \begin{cases}0&\text{if }a_n\geq 0\\ a_n&\text{if }a_n<0.\end{cases}</math>
:<math>a_{n}^{+} = \begin{cases}a_n&\text{if }a_n\geq 0\\ 0&\text{if }a_n<0,\end{cases} \qquad a_{n}^{-} = \begin{cases}0&\text{if }a_n\geq 0\\ a_n&\text{if }a_n<0.\end{cases}</math>
यानि कि सीरीज <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n^{+}</math> सभी शामिल हैं ए<sub>''n''</sub> सकारात्मक, सभी नकारात्मक शब्दों को शून्य और श्रृंखला से प्रतिस्थापित किया गया <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n^{-}</math> सभी शामिल हैं ए<sub>''n''</sub> नकारात्मक, सभी सकारात्मक शब्दों के स्थान पर शून्य। तब से <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> सशर्त रूप से अभिसरण है, 'सकारात्मक' और 'नकारात्मक' श्रृंखला दोनों अलग-अलग हैं। होने देना {{mvar|M}} कोई भी वास्तविक संख्या हो. बस पर्याप्त सकारात्मक शर्तें लें <math>a_{n}^{+}</math> ताकि उनका योग अधिक हो जाए {{mvar|M}}. यानी चलो {{math|''p''<sub>1</sub>}} ऐसा सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक हो
यही है, श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n^{+}</math> में सभी ए<sub>''n''</sub> सकारात्मक सम्मिलित हैं, सभी नकारात्मक शब्दों को शून्यशून्य द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और श्रृंखला  <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n^{-}</math> से सभी ए<sub>''n''</sub> नकारात्मक सम्मिलित हैं, जिसमें सभी सकारात्मक शब्दों को शून्य द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। चूंकि <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> सशर्त रूप से अभिसरण है, इसलिए 'सकारात्मक' और 'नकारात्मक' श्रृंखला दोनों अलग हो जाते हैं। {{mvar|M}} को कोई वास्तविक संख्या होने दें। केवल धनात्मक शब्दों <math>a_{n}^{+}</math> को पर्याप्त मात्रा में लें ताकि उनका योग {{mvar|M}}. से अधिक हो जाए । यही है,  {{math|''p''<sub>1</sub>}} को सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक माना जाए जैसे कि


:<math>M < \sum_{n=1}^{p_1} a_{n}^{+}.</math>
:<math>M < \sum_{n=1}^{p_1} a_{n}^{+}.</math>
यह इसलिए संभव है क्योंकि इसका आंशिक योग है <math>a_{n}^{+}</math> शृंखला की प्रवृत्ति होती है <math>+\infty</math>. अब चलो {{math|''q''<sub>1</sub>}} ऐसा सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक हो
यह संभव है क्योंकि <math>a_{n}^{+}</math> शृंखला आंशिक योग <math>+\infty</math> होते हैं।  अब मान लीजिए कि {{math|''q''<sub>1</sub>}} सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जैसे कि
:<math>M>\sum_{n=1}^{p_1} a_n^++\sum_{n=1}^{q_1} a_n^-.</math>
:<math>M>\sum_{n=1}^{p_1} a_n^++\sum_{n=1}^{q_1} a_n^-.</math>
यह संख्या आंशिक योग के कारण मौजूद है <math>a_{n}^{-}</math> प्रवृत्त <math>-\infty</math>. अब आगमनात्मक रूप से परिभाषित करना जारी रखें {{math|''p''<sub>2</sub>}} सबसे छोटे पूर्णांक से बड़ा है {{math|''p''<sub>1</sub>}} ऐसा है कि
यह संख्या उपस्थित है क्योंकि <math>a_{n}^{-}</math>के आंशिक योग <math>-\infty</math> होते हैं। अब आगमनात्मक रूप से जारी रखें {{math|''p''<sub>2</sub>}} को  {{math|''p''<sub>1</sub>}} से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में परिभाषित करें जैसे कि  
:<math>M<\sum_{n=1}^{p_2}a_n^++\sum_{n=1}^{q_1}a_n^-,</math>
:<math>M<\sum_{n=1}^{p_2}a_n^++\sum_{n=1}^{q_1}a_n^-,</math>
और इसी तरह। परिणाम को एक नए अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है
और इसी तरह। परिणाम को एक नए अनुक्रम <math>a_1^+,\ldots,a_{p_1}^+,a_1^-,\ldots,a_{q_1}^-,a_{p_1+1}^+,\ldots,a_{p_2}^+,a_{q_1+1}^-,\ldots,a_{q_2}^-,a_{p_2+1}^+,\ldots.</math>के रूप में देखा जा सकता है।
:<math>a_1^+,\ldots,a_{p_1}^+,a_1^-,\ldots,a_{q_1}^-,a_{p_1+1}^+,\ldots,a_{p_2}^+,a_{q_1+1}^-,\ldots,a_{q_2}^-,a_{p_2+1}^+,\ldots.</math>
 
इसके अलावा इस नए अनुक्रम के आंशिक योग भी मिलते हैं {{mvar|M}}. इसे इस बात से देखा जा सकता है कि किसी के लिए भी {{mvar|i}},
इसके अतिरिक्त इस नए अनुक्रम के आंशिक योग {{mvar|M}} में परिवर्तित होती है।से इस तथ्य से देखा जा सकता है कि किसी भी {{mvar|i}} के लिए,
:<math>\sum_{n=1}^{p_{i+1}-1} a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-\leq M<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, </math>
:<math>\sum_{n=1}^{p_{i+1}-1} a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-\leq M<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, </math>
पहली असमानता इस तथ्य के कारण बनी हुई है {{math|''p''<sub>''i''+1</sub>}} को इससे बड़ी सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} जो दूसरी असमानता को सत्य बनाता है; परिणामस्वरूप, यह ऐसा मानता है
इस तथ्य के कारण पहली असमानता के साथ कि  {{math|''p''<sub>''i''+1</sub>}} को {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} से बड़ी सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जो दूसरी असमानता को सच बनाता है; परिणामस्वरूप, यह मानता है कि
:<math>0<\left(\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-\right) - M \leq a_{p_{i+1}}^+.</math>
:<math>0<\left(\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-\right) - M \leq a_{p_{i+1}}^+.</math>
चूँकि सशर्त अभिसरण की धारणा के कारण दाहिनी ओर शून्य में परिवर्तित हो जाता है, इससे पता चलता है कि {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub>)}}'नए अनुक्रम का वां आंशिक योग अभिसरित होता है {{mvar|M}} जैसा {{mvar|i}} बढ़ती है। इसी प्रकार, {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''+1</sub>)}}'वाँ आंशिक योग भी एकत्रित होता है {{mvar|M}}. के बाद से {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub> + 1)}}'वां, {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub> + 2)}}'वां, ... {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''+1</sub> − 1)}}'वें आंशिक योग के बीच मूल्यांकित किया जाता है {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub>)}}'वें और {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''+1</sub>)}}'वां आंशिक योग, यह इस प्रकार है कि आंशिक योगों का पूरा क्रम अभिसरित होता है {{mvar|M}}.
चूँकि सशर्त अभिसरण की धारणा के कारण दाहिनी ओर शून्य में अभिसरण हो जाता है, इससे पता चलता है कि नए अनुक्रम का {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub>)}}' वां आंशिक योग अभिसरित होता है {{mvar|M}} जैसा बढ़ती है। इसी प्रकार, {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''+1</sub>)}}'वाँ का आंशिक योग {{mvar|i}}  बढ़ने के साथ {{mvar|M}}. में परिवर्तित हो जाता है। चूँकि {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub> + 1)}}'वां, {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub> + 2)}}'वां, ... {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''+1</sub> − 1)}}'वें की आंशिक योग का मान  {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''</sub>)}}'वें और {{math|(''p''<sub>''i''+1</sub> + ''q''<sub>''i''+1</sub>)}}'वां आंशिक योग के बीच होता है, यह इस प्रकार है कि आंशिक योगों का पूरा अनुक्रम {{mvar|M}} अभिसरित होता है।


मूल अनुक्रम में प्रत्येक प्रविष्टि {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} इस नए अनुक्रम में प्रकट होता है जिसका आंशिक योग परिवर्तित होता है {{mvar|M}}. मूल अनुक्रम की वे प्रविष्टियाँ जो शून्य हैं, नए अनुक्रम में दो बार दिखाई देंगी (एक बार 'सकारात्मक' अनुक्रम में और एक बार 'नकारात्मक' अनुक्रम में), और हर सेकंड ऐसी उपस्थिति को हटाया जा सकता है, जो सारांश को प्रभावित नहीं करता है फिर भी। इस प्रकार नया अनुक्रम मूल अनुक्रम का क्रमपरिवर्तन है।
मूल अनुक्रम {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} में प्रत्येक प्रविष्टि  इस नए अनुक्रम में प्रकट होता है जिसका आंशिक योग {{mvar|M}} में अभिसरण होता है। मूल अनुक्रम की वे प्रविष्टियाँ जो शून्य हैं, नए अनुक्रम में दो बार दिखाई देंगी (एक बार 'सकारात्मक' अनुक्रम में और एक बार 'नकारात्मक' अनुक्रम में), और हर सेकंड ऐसी उपस्थिति को हटाया जा सकता है, जो किसी भी तरह से योग को प्रभावित नहीं करता है। नया अनुक्रम इस प्रकार मूल अनुक्रम का क्रमपरिवर्तन है।


===एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो अनंत तक विचरण करता है===
===एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो अनंत तक विचरण करता है===
होने देना <math display="inline"> \sum_{i=1}^\infty a_i</math> एक सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला बनें। निम्नलिखित इस बात का प्रमाण है कि इस श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था मौजूद है जो कि होती है <math>\infty</math> (यह दिखाने के लिए एक समान तर्क का उपयोग किया जा सकता है <math>-\infty</math> भी प्राप्त किया जा सकता है)।
मान लें कि <math display="inline"> \sum_{i=1}^\infty a_i</math> एक सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला बनें। निम्नलिखित इस बात का प्रमाण है कि इस श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था उपस्थित है जो <math>\infty</math> की ओर जाता है  (यह दिखाने के लिए एक समान तर्क का उपयोग किया जा सकता है कि <math>-\infty</math> भी प्राप्त किया जा सकता है)।


रीमैन के मूल सूत्रीकरण के उपरोक्त प्रमाण को केवल संशोधित करने की आवश्यकता है {{math|''p''<sub>''i''+1</sub>}} को इससे बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया है {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} ऐसा है कि
रीमैन के मूल सूत्रीकरण के उपरोक्त प्रमाण को केवल संशोधित करने की आवश्यकता है ताकि {{math|''p''<sub>''i''+1</sub>}} को {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जा सके, जैसे कि,
:<math>i+1<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, </math>
:<math>i+1<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, </math>
और साथ {{math|''q''<sub>''i''+1</sub>}} से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया {{math|''q''<sub>''i''</sub>}} ऐसा है कि
और {{math|''q''<sub>''i''+1</sub>}} के साथ {{math|''q''<sub>''i''</sub>}} से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया है जैसे कि
:<math>i+1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.</math>
:<math>i+1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.</math>
का चुनाव {{math|''i''+1}} बाईं ओर का कोई महत्व नहीं है, क्योंकि इसे अनंत तक बढ़ते हुए किसी भी क्रम से बदला जा सकता है। तब से <math>a_n^-</math> के रूप में शून्य में परिवर्तित हो जाता है {{mvar|n}} पर्याप्त रूप से बड़े के लिए बढ़ता है {{mvar|i}} वहाँ है
बाईं ओर {{math|''i''+1}} का चुनाव महत्वहीन है, क्योंकि इसे अनंत तक बढ़ते हुए किसी भी क्रम से बदला जा सकता है। चूँकि <math>a_n^-</math> {{mvar|n}} बढ़ने के साथ शून्य में अभिसरण होता है, पर्याप्त रूप से बड़े {{mvar|i}} के लिए
:<math>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^- > i,</math>
:<math>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^- > i,</math>
और यह साबित करता है (जैसा कि उपरोक्त अभिसरण के विश्लेषण के साथ) कि नए अनुक्रम के आंशिक योगों का क्रम अनंत तक भिन्न होता है।
होता है और यह प्रमाणित करता है (जैसा कि उपरोक्त अभिसरण के विश्लेषण के साथ) कि नए अनुक्रम के आंशिक योगों का क्रम अनंत तक भिन्न होता है।


=== एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सीमा, परिमित या अनंत तक पहुंचने में विफल रहता है ===
=== एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सीमा, परिमित या अनंत तक पहुंचने में विफल रहता है ===
उपरोक्त प्रमाण को केवल इसलिए संशोधित करने की आवश्यकता है {{math|''p''<sub>''i''+1</sub>}} को इससे बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया है {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} ऐसा है कि
उपरोक्त प्रमाण को केवल संशोधित करने की आवश्यकता है ताकि  {{math|''p''<sub>''i''+1</sub>}} को {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जाए जैसे कि
:<math>1<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, </math>
:<math>1<\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-, </math>
और साथ {{math|''q''<sub>''i''+1</sub>}} से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया {{math|''q''<sub>''i''</sub>}} ऐसा है कि
और {{math|''q''<sub>''i''+1</sub>}} साथ {{math|''q''<sub>''i''</sub>}} से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया  ऐसा है जैसे
:<math>-1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.</math>
:<math>-1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.</math>
इससे सीधे तौर पर पता चलता है कि आंशिक योगों के अनुक्रम में अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ हैं जो 1 से बड़ी हैं, और अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ हैं जो 1 से कम हैं {{math|−1}}, ताकि आंशिक योगों का क्रम अभिसरित न हो सके।
यह सीधे दर्शाता है कि आंशिक योगों के अनुक्रम में अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ होती हैं जो 1 से बड़ी हैं, और अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ भी होती हैं जो {{math|−1}} से कम होती हैं , ताकि आंशिक योगों का क्रम अभिसरित न कर सके।  


== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
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=== सिएरपिंस्की प्रमेय ===
=== सिएरपिंस्की प्रमेय ===


एक अनंत श्रृंखला दी गई है <math>a = (a_1, a_2, ...)</math>, हम निश्चित बिंदुओं के एक सेट पर विचार कर सकते हैं <math>I \subset \N</math>, और उन वास्तविक संख्याओं का अध्ययन करें जिन्हें श्रृंखला में जोड़ा जा सकता है यदि हमें केवल सूचकांकों को क्रमबद्ध करने की अनुमति है <math>I</math>. यानी हमने जाने दिया<math display="block">S(a, I) = \left\{\sum_{n\in \N} a_{\pi(n)}: \pi\text{ is a permutation on }\N, \text{ such that }\forall n\not\in I, \pi(n) =n, \text{ and the summation converges.}\right\}</math>इस अंकन के साथ, हमारे पास है:
एक अनंत श्रृंखला <math>a = (a_1, a_2, ...)</math> दी गई है , हम <math>I \subset \N</math> निश्चित बिंदुओं के एक सेट पर विचार कर सकते हैं, और वास्तविक संख्याओं का अध्ययन कर सकते हैं जिन्हें श्रृंखला केवल <math>I</math> सूचकांकों को म्यूट करने की अनुमति है। हम<math display="block">S(a, I) = \left\{\sum_{n\in \N} a_{\pi(n)}: \pi\text{ is a permutation on }\N, \text{ such that }\forall n\not\in I, \pi(n) =n, \text{ and the summation converges.}\right\}</math>इस अंकन के साथ, हमारे पास है:


* अगर <math>I \Delta I'</math> तो फिर, परिमित है <math>S(a, I) = S(a, I')</math>. यहाँ <math>\Delta</math> मतलब [[सममित अंतर]].
* यदि <math>I \Delta I'</math> परिमित है, तो <math>S(a, I) = S(a, I')</math>. यहाँ <math>\Delta</math> का अर्थ है [[सममित अंतर|सममित अंतर।]]
* अगर <math>I \subset I'</math> तब <math>S(a, I) \subset S(a, I')</math>.
*
* यदि श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी योग है, तो <math>S(a, I) = \left\{\sum_{n\in\N} a_n\right\}</math> किसी के लिए <math>I</math>.
* यदि <math>I \subset I'</math> तो <math>S(a, I) \subset S(a, I')</math>
* यदि श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण योग है, तो रीमैन श्रृंखला प्रमेय द्वारा, <math>S(a, \N) = [-\infty, +\infty]</math>.
* यदि श्रृंएक पूरी तरह से अभिसरण योग है, तो किसी भी <math>I</math> के लिए <math>S(a, I) = \left\{\sum_{n\in\N} a_n\right\}</math>
* एक सशर्त अभिसरण योग है, तो रीमैन श्रृंखला प्रमेय द्वारा, <math>S(a, \N) = [-\infty, +\infty]</math>


वाकलॉ सिएरपिंस्की|सिएरपिंस्की ने साबित किया कि केवल सकारात्मक शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से कोई व्यक्ति मूल श्रृंखला के योग से कम या उसके बराबर किसी भी निर्धारित मूल्य में परिवर्तित होने वाली श्रृंखला प्राप्त कर सकता है, लेकिन सामान्य तौर पर बड़े मूल्यों को प्राप्त नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Sierpiński |first1=Wacław |date=1910 |title=Przyczynek do teoryi szeregów rozbieżnych [Contribution à la théorie des séries divergentes] |trans-title=Contribution to the theory of divergent series |url=https://books.google.com/books?id=QnM7AQAAIAAJ&dq=Sierpi%C5%84ski++%22Przyczynek+do%22+%22szereg%C3%B3w+rozbieznych+%22&pg=RA2-PA89 |journal=Sprawozdania Z Posiedzen Towarzystwa Naukowego Warszawskiego |language=Polish |volume=3 |pages=89–93}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Sierpiński |first=Wacław |date=1910 |title=Uwaga do twierdzenia Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych [Remarque sur le théorème de Riemann relatif aux séries semiconvergentes] |trans-title=Remark on Riemann's theorem relating to semi-convergent series |url=https://eudml.org/doc/215291 |journal=Prace Matematyczno-Fizyczne |language=Polish |volume=21 |issue=1 |pages=17–20}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Sierpiński |first1=Wacław |date=1911 |title=Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes [O pewnej własności szeregów warunkowo zbieżnych] |url=https://books.google.com/books?id=k2A1AQAAMAAJ&dq=%22Sur+une+propri%C3%A9t%C3%A9+des+s%C3%A9ries+qui+ne+sont+pas+absolument+convergentes%22&pg=PA149 |journal=Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Séries A |volume= |pages=149–158}}</ref> यानी चलो <math>a</math> तो, एक सशर्त रूप से अभिसरण योग हो <math>S(a, \{n\in \N: a_n > 0\})</math> रोकना <math>\left[-\infty, \sum_{n\in\N} a_n\right]</math>, लेकिन इसकी कोई गारंटी नहीं है कि इसमें कोई अन्य नंबर भी शामिल है।
सिएरपिंस्की ने प्रमाणित किया कि केवल सकारात्मक शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से मूल श्रृंखला के योग से कम या उसके समान किसी भी निर्धारित मूल्य में अभिसरण प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन सामान्य रूप से बड़े मूल्य प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।<ref>{{cite journal |last1=Sierpiński |first1=Wacław |date=1910 |title=Przyczynek do teoryi szeregów rozbieżnych [Contribution à la théorie des séries divergentes] |trans-title=Contribution to the theory of divergent series |url=https://books.google.com/books?id=QnM7AQAAIAAJ&dq=Sierpi%C5%84ski++%22Przyczynek+do%22+%22szereg%C3%B3w+rozbieznych+%22&pg=RA2-PA89 |journal=Sprawozdania Z Posiedzen Towarzystwa Naukowego Warszawskiego |language=Polish |volume=3 |pages=89–93}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Sierpiński |first=Wacław |date=1910 |title=Uwaga do twierdzenia Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych [Remarque sur le théorème de Riemann relatif aux séries semiconvergentes] |trans-title=Remark on Riemann's theorem relating to semi-convergent series |url=https://eudml.org/doc/215291 |journal=Prace Matematyczno-Fizyczne |language=Polish |volume=21 |issue=1 |pages=17–20}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Sierpiński |first1=Wacław |date=1911 |title=Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes [O pewnej własności szeregów warunkowo zbieżnych] |url=https://books.google.com/books?id=k2A1AQAAMAAJ&dq=%22Sur+une+propri%C3%A9t%C3%A9+des+s%C3%A9ries+qui+ne+sont+pas+absolument+convergentes%22&pg=PA149 |journal=Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Séries A |volume= |pages=149–158}}</ref> अर्थात्, मान लीजिए कि <math>a</math> एक सशर्त अभिसरण योग है, तो <math>S(a, \{n\in \N: a_n > 0\})</math> में <math>\left[-\infty, \sum_{n\in\N} a_n\right]</math>सम्मिलित है, लेकिन इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि इसमें कोई अन्य संख्या है।


अधिक सामान्यतः, चलो <math>J</math> का एक [[आदर्श (सेट सिद्धांत)]] बनें <math>\N</math>, तो हम परिभाषित कर सकते हैं <math>S(a, J) = \cup_{I\in J} S(a, I)</math>.
अधिक आम तौर पर, <math>J</math> को <math>\N</math> का [[आदर्श (सेट सिद्धांत)]] माना जाता है, तब हम <math>S(a, J) = \cup_{I\in J} S(a, I)</math> परिभाषित कर सकते हैं।


होने देना <math>J_d</math> सभी [[प्राकृतिक घनत्व]] सेटों का सेट बनें <math>I\subset \N</math>, वह है, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|[0,n]\cap I|}{n} = 0</math>. यह स्पष्ट है कि <math>J_d</math> का एक आदर्श है <math>\N</math>.
मान लें कि <math>J_d</math> सभी [[प्राकृतिक घनत्व]] सेटों का सेट है <math>I\subset \N</math>, वह है, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|[0,n]\cap I|}{n} = 0</math>. यह स्पष्ट है कि <math>J_d</math> <math>\N</math> का एक आदर्श है।


{{math_theorem|name=(Władysław, 2007)<ref>{{cite journal | last1=Wilczyński| first1=Władysław | title=On Riemann derangement theorem|journal=Słupskie Prace Matematyczno-Fizyczne|date=2007|volume=4|pages=79–82}}</ref>|
{{math_theorem|name=(Władysław, 2007)<ref>{{cite journal | last1=Wilczyński| first1=Władysław | title=On Riemann derangement theorem|journal=Słupskie Prace Matematyczno-Fizyczne|date=2007|volume=4|pages=79–82}}</ref>|
If <math>a</math> is a conditionally convergent sum, then <math>S(a, J_d) = [-\infty, -\infty]</math> (that is, it is sufficient to rearrange a set of indices of asymptotic density zero).
If <math>a</math> is a conditionally convergent sum, then <math>S(a, J_d) = [-\infty, -\infty]</math> (that is, it is sufficient to rearrange a set of indices of asymptotic density zero).
}}
}}
प्रमाण रेखाचित्र: दिया गया <math>a</math>, एक सशर्त रूप से अभिसरण योग, कुछ का निर्माण करें <math>I\in J_d</math> ऐसा है कि <math>\sum_{n\in I}a_n</math> और <math>\sum_{n\not\in I}a_n</math> दोनों सशर्त रूप से अभिसरण हैं। फिर, पुनर्व्यवस्थित करना <math>\sum_{n\in I}a_n</math> किसी भी संख्या में अभिसरण करने के लिए पर्याप्त है <math>[-\infty, +\infty]</math>.
प्रमाण रेखाचित्र: दिया गया <math>a</math>, सशर्त रूप से अभिसरण योग, कुछ <math>I\in J_d</math> का निर्माण इस प्रकार करें कि <math>\sum_{n\in I}a_n</math> और <math>\sum_{n\not\in I}a_n</math> दोनों सशर्त रूप से अभिसरण हैं। फिर, <math>\sum_{n\in I}a_n</math> को पुनर्व्यवस्थित करना  <math>[-\infty, +\infty]</math> में किसी भी संख्या में अभिसरण करने के लिए पर्याप्त है।


फिलिपो और स्ज़ुका ने सिद्ध किया कि अन्य आदर्शों में भी यह गुण है।<ref>{{cite journal| last1=Filipów|first1=Rafał| last2=Szuca |first2=Piotr| title=एक छोटे सेट पर सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|date=February 2010|volume=362|issue=1|pages=64–71|doi=10.1016/j.jmaa.2009.07.029|doi-access=free}}</ref>
फिलिपो और स्ज़ुका ने सिद्ध किया कि अन्य आदर्शों में भी यह गुण है।<ref>{{cite journal| last1=Filipów|first1=Rafał| last2=Szuca |first2=Piotr| title=एक छोटे सेट पर सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|date=February 2010|volume=362|issue=1|pages=64–71|doi=10.1016/j.jmaa.2009.07.029|doi-access=free}}</ref>


=== स्टीनित्ज़ का प्रमेय ===
{{Main|लेवी-स्टीनित्ज़ प्रमेय}}


=== स्टीनित्ज़ का प्रमेय ===
जटिल संख्याओं की <math display="inline">\sum a_n</math>अभिसरण श्रृंखला को देखते हुए, उस श्रृंखला की शर्तों को पुन: व्यवस्थित करके प्राप्त सभी श्रृंखला <math display="inline">\sum a_{\sigma(n)} </math> के लिए संभावित योगों के सेट पर विचार करते समय कई मामले हो सकते हैं:
{{Main|Lévy–Steinitz theorem}}
एक अभिसरण श्रृंखला दी गई है <math display="inline">\sum a_n</math>जटिल संख्याओं की, सभी श्रृंखलाओं के लिए संभावित योगों के सेट पर विचार करते समय कई मामले सामने आ सकते हैं <math display="inline">\sum a_{\sigma(n)} </math> उस श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित (अनुक्रमित) करके प्राप्त किया गया:


* श्रृंखला <math display="inline">\sum a_n</math> बिना शर्त जुट सकते हैं; फिर, सभी पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाएं एकत्रित हो जाती हैं, और उनका योग समान होता है: पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योगों का सेट एक बिंदु तक कम हो जाता है;
* श्रृंखला <math display="inline">\sum a_n</math> बिना परिस्थिति अभिसरण हो सकती है; फिर, सभी पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाएं एकत्रित हो जाती हैं, और उनका योग समान होता है: पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योगों का सेट एक बिंदु तक कम हो जाता है;
* श्रृंखला <math display="inline">\sum a_n</math> बिना शर्त एकजुट होने में विफल हो सकता है; यदि S उन पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाओं के योगों के समुच्चय को दर्शाता है जो अभिसरण करते हैं, तो, या तो समुच्चय S जटिल तल 'C' में एक रेखा L है, जो कि फॉर्म का है <math display="block">L = \{a + t b : t \in \R \}, \quad a, b \in \Complex, \ b \ne 0,</math> या समुच्चय S संपूर्ण जटिल तल 'C' है।
* श्रृंखला <math display="inline">\sum a_n</math> बिना परिस्थिति एकजुट होने में विफल हो सकता है; यदि S उन पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाओं के योगों के समुच्चय को दर्शाता है जो अभिसरण करते हैं, तो, या तो समुच्चय S जटिल तल 'C' में एक रेखा L है, जिसका रूप<math display="block">L = \{a + t b : t \in \R \}, \quad a, b \in \Complex, \ b \ne 0,</math> या समुच्चय S संपूर्ण जटिल तल 'C' है।


अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी वास्तविक [[सदिश स्थल]] ई में वैक्टर की एक अभिसरण श्रृंखला को देखते हुए, अभिसरण पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योगों का सेट ई का एक एफ़िन स्थान है।
अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी वास्तविक [[सदिश स्थल]] ई में वैक्टर की एक अभिसरण श्रृंखला को देखते हुए, पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के अभिसरण योगों का सेट ई का एक एफ़िन स्थान है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
*{{slink|Absolute convergence|Rearrangements and unconditional convergence}}
*{{slink|पूर्ण अभिसरण|पुनर्व्यवस्था और बिना शर्त अभिसरण।}}


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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{{Bernhard Riemann}}
{{Bernhard Riemann}}
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Latest revision as of 11:06, 14 August 2023

गणित में, रीमैन श्रृंखला प्रमेय, जिसे रीमैन पुनर्व्यवस्था प्रमेय भी कहा जाता है, जिसका नाम 19वीं सदी के जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन के नाम पर रखा गया है, कहना है कि यदि वास्तविक संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, तो इसकी परिस्थितियों को क्रमपरिवर्तन में व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि नई श्रृंखला एक मनमानी वास्तविक संख्या, या अपसारी श्रृंखला में अभिसरण हो जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि वास्तविक संख्याओं की एक श्रृंखला पूर्ण अभिसरण है यदि और केवल तभी जब यह बिना परिस्थिति अभिसरण है।

एक उदाहरण के रूप में, श्रृंखला 1 - 1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + ⋯ 0 में अभिसरण होता है (पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में पदों के लिए, आंशिक योग मनमाने ढंग से 0 के निकट हो जाता है); लेकिन सभी पदों को उनके पूर्ण मूल्यों के साथ प्रतिस्थापित करने से 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯ प्राप्त होता है, जिसका योग अनंत होता है। इस प्रकार मूल श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, और इसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है (पहले दो सकारात्मक पदों के बाद पहला नकारात्मक पद, उसके बाद अगले दो सकारात्मक पद और फिर अगला नकारात्मक पद, आदि) एक श्रृंखला देने के लिए जो एक अलग योग में अभिसरण करती : 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ⋯ = प्राकृतिक लघुगणक 2। इस प्रक्रिया का उपयोग p सकारात्मक के साथ करने के बाद q नकारात्मक का उपयोग करने से एलएन (पी / क्यू) का योग मिलता है। अन्य पुनर्व्यवस्थाएँ अन्य सीमित राशियाँ देती हैं या किसी राशि में अभिसरण नहीं होती हैं।

इतिहास

यह एक मूल परिणाम है कि परिमित रूप से कई संख्याओं का योग उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें उन्हें जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, 2 + 3 + 7 = 7 + 2 + 3। यह अवलोकन कि संख्याओं के अनंत अनुक्रम का योग सारांश के क्रम पर निर्भर हो सकता है, इसका श्रेय आमतौर पर 1833 में ऑगस्टिन-लुई कॉची को जिम्मेदार ठहराया जाता है।[1] उन्होंने वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) का विश्लेषण किया, जिसमें दिखाया गया कि इसके सारांशों की कुछ पुनर्व्यवस्थाओं के परिणामस्वरूप अलग-अलग सीमाएँ होती हैं। लगभग उसी समय, पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने इस बात पर प्रकाश डाला कि ऐसी घटनाओं को पूर्ण अभिसरण के संदर्भ में निरस्त कर दिया गया है, और कुछ अन्य श्रृंखलाओं के लिए कॉची की घटनाओं के और उदाहरण दिए जो पूरी तरह से अभिसरण होने में विफल रहते हैं।[2]

फूरियर श्रृंखला और रीमैन एकीकरण के सिद्धांत के अपने विश्लेषण के दौरान, बर्नहार्ड रीमैन ने पुनर्व्यवस्था घटना का पूरा विवरण दिया।[3] उन्होंने प्रमाणित किया कि एक अभिसरण श्रृंखला के विषय में जो पूरी तरह से अभिसरण नहीं करती है (सशर्त अभिसरण के रूप में जाना जाता है), पुनर्व्यवस्था पाई जा सकती है ताकि नई श्रृंखला किसी भी मनमाने ढंग से निर्धारित वास्तविक संख्या में अभिसरण हो जाए।[4] रीमैन के प्रमेय को अब गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र का एक मूल भाग माना जाता है।[5]

किसी भी श्रृंखला के लिए, कोई सभी संभावित समरूपी के सेट पर विचार कर सकता है, जो योगों के सभी संभावित पुनर्व्यवस्था के अनुरूप है।। रीमैन के प्रमेय को यह कहते हुए तैयार किया जा सकता है कि, वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला के लिए, यह सेट या तो खाली है, एक एकल बिंदु (पूर्ण अभिसरण के विषय में), या संपूर्ण वास्तविक संख्या रेखा (सशर्त अभिसरण के विषय में)। इस सूत्रीकरण में, रीमैन के प्रमेय को पॉल लेवी और अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ द्वारा श्रृंखला तक विस्तारित किया गया था, जिनके सारांश जटिल संख्याएं हैं या, इससे भी अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान के तत्व हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि संभावित योगों का समुच्चय एक वास्तविक एफ़िन उपस्थान बनाता है। कई लेखकों द्वारा अनंत-आयामी स्थानों में श्रृंखला के लिए लेवी-स्टीनित्ज़ प्रमेय के विस्तार पर कई लेखकों द्वारा विचार किया गया है।[6]

परिभाषाएँ

एक श्रृंखला यदि कोई मान उपस्थित है तो अभिसरण श्रृंखला इस प्रकार कि आंशिक योगों का क्रम

में अभिसरण होता है। अर्थात्, किसी भी ε > 0 के लिए, एक पूर्णांक N उपस्थित है जैसे कि यदि n ≥ N, तो

यदि श्रृंखला अभिसरण होती है लेकिन श्रृंखला अलग हो जाता है।

क्रमपरिवर्तन केवल धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) से स्वयं पर एक आक्षेप है। इसका मतलब है कि यदि एक क्रमपरिवर्तन है, तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक के लिए, वास्तव में एक धनात्मक पूर्णांक उपस्थित है जैसे कि विशेषकर, यदि , तो

प्रमेय का कथन

मान लीजिए कि वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है, और यह कि सशर्त रूप से अभिसरण है। को एक वास्तविक संख्या होने दें। फिर एक क्रमपरिवर्तन उपस्थित है जैसे कि

एक क्रमपरिवर्तन उपस्थित है

योग को तक विस्तारित करने या किसी भी सीमा, परिमित या अनंत तक पहुंचने में विफल रहने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला

योग बदलना

प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला एक सशर्त अभिसरण श्रृंखला का एक क्लासिक उदाहरण है:


अभिसारी है, जबकि

साधारण हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) है, जो अलग हो जाती है। यद्यपि मानक प्रस्तुति में वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला ln(2) में परिवर्तित हो जाती है, इसके पदों को किसी भी संख्या में अभिसरण करने या यहां तक ​​कि विचलन करने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। इसका एक उदाहरण इस प्रकार है। सामान्य क्रम में लिखी गई श्रृंखला से आरंभ करें,

और परिस्थितियों को पुनर्व्यवस्थित करें:

जहां पैटर्न है: पहले दो पद 1 और −1/2 हैं, जिनका योग 1/2 है। अगला पद −1/4 है। अगले दो पद 1/3 और −1/6 हैं, जिनका योग 1/6 है। अगला पद -1/8 है। अगले दो पद 1/5 और −1/10 हैं, जिनका योग 1/10 है। सामान्य तौर पर, योग तीन के ब्लॉक से बना होता है:

यह वास्तव में प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला का एक पुनर्व्यवस्था है: प्रत्येक विषम पूर्णांक एक बार सकारात्मक रूप से होता है, और सम पूर्णांक एक बार नकारात्मक रूप से होते हैं (उनमें से आधे 4 के गुणज के रूप में, अन्य आधे दोगुने विषम पूर्णांक के रूप में)। चूंकि

यह शृंखला वास्तव में लिखी जा सकती है:

जो सामान्य राशि का आधा है।

मनमाना योग प्राप्त करना

पिछले अनुभाग के परिणाम को पुनर्प्राप्त करने और सामान्यीकृत करने का एक प्रभावी तरीका इस तथ्य का उपयोग करना है कि

जहां γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, और जहां संकेतन ओ(1) एक मात्रा को दर्शाता है जो वर्तमान चर पर निर्भर करता है (यहां, चर एन है)इस तरह से कि यह मात्रा 0 तक जाती है जब चर अनंत की ओर जाता है।

यह इस प्रकार है कि q सम पदों का योग को संतुष्ट करता है और अंतर लेने से, कोई देखता है कि p विषम पदों का योग

को संतुष्ट करता है।

मान लीजिए कि दो सकारात्मक पूर्णांक ए और बी दिए गए हैं, और यह कि वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला का एक पुनर्व्यवस्था, क्रम में, वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला से एक सकारात्मक शब्द, उसके बाद बी नकारात्मक शब्दों को लेने और इस पैटर्न को अनंत पर दोहराने से बनती है ( प्रत्यावर्ती श्रृंखला स्वयं a = b = 1 से मेल खाती है, पूर्ववर्ती खंड में उदाहरण a = 1 से मेल खाता है,  b = 2):

फिर इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के क्रम (a+b)n के आंशिक योग में p = an धनात्मक विषम पद और q = bn ऋणात्मक सम पद सम्मिलित हैं, अतः

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला का योग है[7]

अब मान लीजिए कि, अधिक सामान्यतः, प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला की एक पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला इस तरह से व्यवस्थित की जाती है कि क्रम n के आंशिक योग में सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों की संख्या के बीच का अनुपात pn/qn एक सकारात्मक सीमा r की ओर जाता है। फिर, इस तरह की पुनर्व्यवस्था का योग होगा

और यह बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या x को वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला की पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है: यह एक पुनर्व्यवस्था बनाने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए सीमा r से e2x/ 4 समान है।

प्रमाण

एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सकारात्मक वास्तविक एम को दर्शाता है।

रीमैन ने प्रमेय और इसके प्रमाण का वर्णन किया है::[8]

... infinite series fall into two distinct classes, depending on whether or not they remain convergent when all the terms are made positive. In the first class the terms can be arbitrarily rearranged; in the second, on the other hand, the value is dependent on the ordering of the terms. Indeed, if we denote the positive terms of a series in the second class by a1, a2, a3, ... and the negative terms by b1, −b2, −b3, ... then it is clear that Σa as well as Σb must be infinite. For if they were both finite, the series would still be convergent after making all the signs the same. If only one were infinite, then the series would diverge. Clearly now an arbitrarily given value C can be obtained by a suitable reordering of the terms. We take alternately the positive terms of the series until the sum is greater than C, and then the negative terms until the sum is less than C. The deviation from C never amounts to more than the size of the term at the last place the signs were switched. Now, since the number a as well as the numbers b become infinitely small with increasing index, so also are the deviations from C. If we proceed sufficiently far in the series, the deviation becomes arbitrarily small, that is, the series converges to C.

इसे निम्नानुसार अधिक विस्तार दिया जा सकता है।[9] याद रखें कि वास्तविक पदों की सशर्त अभिसरण श्रृंखला में अनंत रूप से कई नकारात्मक पद और अनंत रूप से कई सकारात्मक पद होते हैं। सबसे पहले, दो मात्राएँ और निम्न द्वारा परिभाषित करें:

यही है, श्रृंखला में सभी एn सकारात्मक सम्मिलित हैं, सभी नकारात्मक शब्दों को शून्यशून्य द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और श्रृंखला से सभी एn नकारात्मक सम्मिलित हैं, जिसमें सभी सकारात्मक शब्दों को शून्य द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। चूंकि सशर्त रूप से अभिसरण है, इसलिए 'सकारात्मक' और 'नकारात्मक' श्रृंखला दोनों अलग हो जाते हैं। M को कोई वास्तविक संख्या होने दें। केवल धनात्मक शब्दों को पर्याप्त मात्रा में लें ताकि उनका योग M. से अधिक हो जाए । यही है, p1 को सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक माना जाए जैसे कि

यह संभव है क्योंकि शृंखला आंशिक योग होते हैं। अब मान लीजिए कि q1 सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जैसे कि

यह संख्या उपस्थित है क्योंकि के आंशिक योग होते हैं। अब आगमनात्मक रूप से जारी रखें p2 को p1 से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में परिभाषित करें जैसे कि

और इसी तरह। परिणाम को एक नए अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है।

इसके अतिरिक्त इस नए अनुक्रम के आंशिक योग M में परिवर्तित होती है।से इस तथ्य से देखा जा सकता है कि किसी भी i के लिए,

इस तथ्य के कारण पहली असमानता के साथ कि pi+1 को pi से बड़ी सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जो दूसरी असमानता को सच बनाता है; परिणामस्वरूप, यह मानता है कि

चूँकि सशर्त अभिसरण की धारणा के कारण दाहिनी ओर शून्य में अभिसरण हो जाता है, इससे पता चलता है कि नए अनुक्रम का (pi+1 + qi)' वां आंशिक योग अभिसरित होता है M जैसा बढ़ती है। इसी प्रकार, (pi+1 + qi+1)'वाँ का आंशिक योग i बढ़ने के साथ M. में परिवर्तित हो जाता है। चूँकि (pi+1 + qi + 1)'वां, (pi+1 + qi + 2)'वां, ... (pi+1 + qi+1 − 1)'वें की आंशिक योग का मान (pi+1 + qi)'वें और (pi+1 + qi+1)'वां आंशिक योग के बीच होता है, यह इस प्रकार है कि आंशिक योगों का पूरा अनुक्रम M अभिसरित होता है।

मूल अनुक्रम an में प्रत्येक प्रविष्टि इस नए अनुक्रम में प्रकट होता है जिसका आंशिक योग M में अभिसरण होता है। मूल अनुक्रम की वे प्रविष्टियाँ जो शून्य हैं, नए अनुक्रम में दो बार दिखाई देंगी (एक बार 'सकारात्मक' अनुक्रम में और एक बार 'नकारात्मक' अनुक्रम में), और हर सेकंड ऐसी उपस्थिति को हटाया जा सकता है, जो किसी भी तरह से योग को प्रभावित नहीं करता है। नया अनुक्रम इस प्रकार मूल अनुक्रम का क्रमपरिवर्तन है।

एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो अनंत तक विचरण करता है

मान लें कि एक सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला बनें। निम्नलिखित इस बात का प्रमाण है कि इस श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था उपस्थित है जो की ओर जाता है (यह दिखाने के लिए एक समान तर्क का उपयोग किया जा सकता है कि भी प्राप्त किया जा सकता है)।

रीमैन के मूल सूत्रीकरण के उपरोक्त प्रमाण को केवल संशोधित करने की आवश्यकता है ताकि pi+1 को pi से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जा सके, जैसे कि,

और qi+1 के साथ qi से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया है जैसे कि

बाईं ओर i+1 का चुनाव महत्वहीन है, क्योंकि इसे अनंत तक बढ़ते हुए किसी भी क्रम से बदला जा सकता है। चूँकि n बढ़ने के साथ शून्य में अभिसरण होता है, पर्याप्त रूप से बड़े i के लिए

होता है और यह प्रमाणित करता है (जैसा कि उपरोक्त अभिसरण के विश्लेषण के साथ) कि नए अनुक्रम के आंशिक योगों का क्रम अनंत तक भिन्न होता है।

एक पुनर्व्यवस्था का अस्तित्व जो किसी भी सीमा, परिमित या अनंत तक पहुंचने में विफल रहता है

उपरोक्त प्रमाण को केवल संशोधित करने की आवश्यकता है ताकि pi+1 को pi से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जाए जैसे कि

और qi+1 साथ qi से बड़े सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना गया ऐसा है जैसे

यह सीधे दर्शाता है कि आंशिक योगों के अनुक्रम में अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ होती हैं जो 1 से बड़ी हैं, और अनंत रूप से कई प्रविष्टियाँ भी होती हैं जो −1 से कम होती हैं , ताकि आंशिक योगों का क्रम अभिसरित न कर सके।

सामान्यीकरण

सिएरपिंस्की प्रमेय

एक अनंत श्रृंखला दी गई है , हम निश्चित बिंदुओं के एक सेट पर विचार कर सकते हैं, और वास्तविक संख्याओं का अध्ययन कर सकते हैं जिन्हें श्रृंखला केवल सूचकांकों को म्यूट करने की अनुमति है। हम

इस अंकन के साथ, हमारे पास है:

  • यदि परिमित है, तो . यहाँ का अर्थ है सममित अंतर।
  • यदि तो
  • यदि श्रृंएक पूरी तरह से अभिसरण योग है, तो किसी भी के लिए
  • एक सशर्त अभिसरण योग है, तो रीमैन श्रृंखला प्रमेय द्वारा,

सिएरपिंस्की ने प्रमाणित किया कि केवल सकारात्मक शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से मूल श्रृंखला के योग से कम या उसके समान किसी भी निर्धारित मूल्य में अभिसरण प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन सामान्य रूप से बड़े मूल्य प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।[10][11][12] अर्थात्, मान लीजिए कि एक सशर्त अभिसरण योग है, तो में सम्मिलित है, लेकिन इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि इसमें कोई अन्य संख्या है।

अधिक आम तौर पर, को का आदर्श (सेट सिद्धांत) माना जाता है, तब हम परिभाषित कर सकते हैं।

मान लें कि सभी प्राकृतिक घनत्व सेटों का सेट है , वह है, . यह स्पष्ट है कि का एक आदर्श है।

(Władysław, 2007)[13] —  If is a conditionally convergent sum, then (that is, it is sufficient to rearrange a set of indices of asymptotic density zero).

प्रमाण रेखाचित्र: दिया गया , सशर्त रूप से अभिसरण योग, कुछ का निर्माण इस प्रकार करें कि और दोनों सशर्त रूप से अभिसरण हैं। फिर, को पुनर्व्यवस्थित करना में किसी भी संख्या में अभिसरण करने के लिए पर्याप्त है।

फिलिपो और स्ज़ुका ने सिद्ध किया कि अन्य आदर्शों में भी यह गुण है।[14]

स्टीनित्ज़ का प्रमेय

जटिल संख्याओं की अभिसरण श्रृंखला को देखते हुए, उस श्रृंखला की शर्तों को पुन: व्यवस्थित करके प्राप्त सभी श्रृंखला के लिए संभावित योगों के सेट पर विचार करते समय कई मामले हो सकते हैं:

  • श्रृंखला बिना परिस्थिति अभिसरण हो सकती है; फिर, सभी पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाएं एकत्रित हो जाती हैं, और उनका योग समान होता है: पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के योगों का सेट एक बिंदु तक कम हो जाता है;
  • श्रृंखला बिना परिस्थिति एकजुट होने में विफल हो सकता है; यदि S उन पुनर्व्यवस्थित श्रृंखलाओं के योगों के समुच्चय को दर्शाता है जो अभिसरण करते हैं, तो, या तो समुच्चय S जटिल तल 'C' में एक रेखा L है, जिसका रूप
    या समुच्चय S संपूर्ण जटिल तल 'C' है।

अधिक आम तौर पर, एक परिमित-आयामी वास्तविक सदिश स्थल ई में वैक्टर की एक अभिसरण श्रृंखला को देखते हुए, पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला के अभिसरण योगों का सेट ई का एक एफ़िन स्थान है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Cauchy 1833, Section 8; Apostol 1967, p. 411.
  2. Dirichlet 1837, Section 1.
  3. Riemann 1868.
  4. Kline 1990, p. 966.
  5. Apostol 1967, Section 10.21; Apostol 1974, Section 8.18; Rudin 1976, Theorem 3.54; Whittaker & Watson 2021, Section II.17.
  6. Banaszczyk 1991, Section 10; Mauldin 2015, Problem 28 and Problem 106.
  7. Apostol, Tom M. (1991-01-16). कैलकुलस, खंड 1 (in English). John Wiley & Sons. p. 416. ISBN 978-0-471-00005-1.
  8. Riemann 1868, quoted from the 2004 English translation.
  9. Apostol 1967, Section 10.21; Whittaker & Watson 2021, Section II.17.
  10. Sierpiński, Wacław (1910). "Przyczynek do teoryi szeregów rozbieżnych [Contribution à la théorie des séries divergentes]" [Contribution to the theory of divergent series]. Sprawozdania Z Posiedzen Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (in Polish). 3: 89–93.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
  11. Sierpiński, Wacław (1910). "Uwaga do twierdzenia Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych [Remarque sur le théorème de Riemann relatif aux séries semiconvergentes]" [Remark on Riemann's theorem relating to semi-convergent series]. Prace Matematyczno-Fizyczne (in Polish). 21 (1): 17–20.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
  12. Sierpiński, Wacław (1911). "Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes [O pewnej własności szeregów warunkowo zbieżnych]". Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Séries A: 149–158.
  13. Wilczyński, Władysław (2007). "On Riemann derangement theorem". Słupskie Prace Matematyczno-Fizyczne. 4: 79–82.
  14. Filipów, Rafał; Szuca, Piotr (February 2010). "एक छोटे सेट पर सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की पुनर्व्यवस्था". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 362 (1): 64–71. doi:10.1016/j.jmaa.2009.07.029.


बाहरी संबंध