पीटर प्रमेय

गणित में, जाक पीटर के नाम पर (रैखिक) पीटर प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण का परिणाम है जो सामान्यीकृत फलन स्थानों पर उनके प्रभाव के संदर्भ में और स्पष्ट शब्दों में विभेदन का उल्लेख किए बिना विभेदक ऑपरेटर का लक्षण वर्णन देता है। पेत्रे प्रमेय परिमित क्रम प्रमेय का उदाहरण है जिसमें फलन या कारक, जिसे बहुत सामान्य विधि से परिभाषित किया गया है, वास्तव में उस पर लगाए गए कुछ बाहरी स्थिति या समरूपता के कारण बहुपद के रूप में दिखाया जा सकता है।

यह लेख पीटर प्रमेय के दो रूपों पर विचार करता है। पहला मूल संस्करण है, जो चूँकि अपने आप में अधिक उपयोगी है, वास्तव में अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए बहुत सामान्य है।

मूल पीटर प्रमेय

मान लीजिए कि M स्मूथ मैनिफोल्ड है और E और F, M मान पर दो सदिश बंडल हैं

$\Gamma ^{\infty }(E),\ {\hbox{and}}\ \Gamma ^{\infty }(F)$

E और F ऑपरेटर के स्मूथ खंडों के समष्टि बनें

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

एक शीफ (गणित) है जो खंडों पर रैखिक है जैसे कि D का समर्थन (गणित) बढ़ रहा है: E के प्रत्येक स्मूथ अनुभाग के लिए DS ⊆ supp S मूल पेत्रे प्रमेय का प्रमाण है कि, M में प्रत्येक बिंदु P के लिए, P का निकट U और पूर्णांक के (U पर निर्भर करता है) जैसे कि D, U पर ऑर्डर के का विभेदक ऑपरेटर है। इसका कारण है कि D E के k-जेट (गणित) से F के स्मूथ खंडों के समष्टि में रैखिक मैपिंग I_D के माध्यम से कारक है:

$D=i_{D}\circ j^{k}$

जहाँ

$j^{k}:\Gamma ^{\infty }E\rightarrow J^{k}E$

k-जेट ऑपरेटर है और

$i_{D}:J^{k}E\rightarrow F$

सदिश बंडलों का रैखिक मानचित्रण है।

प्रमाण

समस्या स्थानीय भिन्नता के अनुसार अपरिवर्तनीय है, इसलिए इसे सिद्ध करना पर्याप्त है जब M Rⁿ में विवृत समुच्चय है और E और F सामान्य बंडल हैं। इस बिंदु पर यह मुख्य रूप से दो लेम्मा पर निर्भर करता है:

• लेम्मा 1. यदि प्रमेय की परिकल्पनाएं संतुष्ट हैं, तो प्रत्येक x∈M और C > 0 के लिए, x का निकट V और धनात्मक पूर्णांक k उपस्थित है जैसे कि किसी भी y∈V\{x} और किसी भी अनुभाग के लिए E का s जिसका k-जेट y (j^ks(y)=0) पर विलुप्त हो जाता है, हमारे पास |Ds(y)|<C है।
• 'लेम्मा 2.' प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पहली प्रमेयिका पर्याप्त है।

हम लेम्मा 1 के प्रमाण से प्रारंभ करते हैं।

मान लीजिए कि लेम्मा गलत है। फिर x की ओर प्रवृत्ति वाला अनुक्रम x_k होता है और xk के चारों ओर बहुत असंयुक्त गोलों B_k का क्रम होता है (जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो ऐसी गोलों के बीच की जियोडेसिक दूरी गैर-शून्य है) और प्रत्येक B_k पर E के अनुभाग s_k ऐसे होते हैं कि j_ks_k(x_k) =0 किन्तु |Ds_k(x_k)|≥C>0 है

मान लें कि ρ(x) मूल बिंदु पर इकाई बॉल के लिए मानक बम्प फलन को दर्शाता है: प्रारंभ वास्तविक-मूल्य वाला फलन जो B_1/2(0) पर 1 के समान है, जो इकाई बॉल की सीमा पर अनंत क्रम में विलुप्त हो जाता है।

प्रत्येक दूसरे अनुभाग पर विचार करें s_2k x_2k पर यह संतुष्ट करते हैं

j^2ks_2k(x_2k)=0.

मान लीजिए कि 2k दिया गया है। फिर, चूंकि यह फलन प्रारंभ हैं और प्रत्येक j^2k(s_2k)(x_2k)=0 को संतुष्ट करते हैं, इसलिए छोटी गोला B′_δ(x_2k) को निर्दिष्ट करना संभव है जिससे उच्च क्रम के डेरिवेटिव निम्नलिखित अनुमान का पालन करें:

$\sum _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }s_{k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}$

जहाँ

$M_{k}=\sum _{|\alpha |\leq k}\sup |\nabla ^{\alpha }\rho |.$

अब

$\rho _{2k}(y):=\rho \left({\frac {y-x_{2k}}{\delta }}\right)$

B′_δ(x_2k) में समर्थित मानक बम्प फलन है, और उत्पाद s_2kρ_2k का व्युत्पन्न इस तरह से घिरा हुआ है

$\max _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }(\rho _{2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.$

परिणामस्वरूप, क्योंकि निम्नलिखित श्रृंखला और इसके डेरिवेटिव के सभी आंशिक योग समान रूप से अभिसरित होते हैं

$q(y)=\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{2k}(y)s_{2k}(y),$

q(y) सभी V पर प्रारंभ फलन है।

अब हम देखते हैं कि चूँकि x_2k के निकट में s_2k और $\rho$_2ks_2k समान हैं

$\lim _{k\rightarrow \infty }|Dq(x_{2k})|\geq C$

तो निरंतरता से |Dq(x)|≥ C>0. वहीं दूसरी ओर,

$\lim _{k\rightarrow \infty }Dq(x_{2k+1})=0$

चूंकि Dq(x_2k+1)=0 क्योंकि q, B_2k+1 में समान रूप से शून्य है और D गैर-बढ़ने वाला समर्थन है। जिससे Dq(x)=0. यह विरोधाभास है.

अब हम लेम्मा 2 को सिद्ध करते हैं।

सबसे पहले, आइए हम पहले लेम्मा से स्थिरांक C को हटा दें। हम दिखाते हैं कि, लेम्मा 1 जैसी समान परिकल्पना के अनुसार, |Ds(y)|=0। V\{x} में a y चुनें जिससे j^ks(y)=0 किन्तु |Ds(y)|=g>0. 2C/g के कारक द्वारा पुनर्स्केल करें। फिर यदि g गैर-शून्य है, तो D की रैखिकता से |Ds(y)|=2C>C, जो लेम्मा 1 द्वारा असंभव है। यह छिद्रित निकट V\{x} में प्रमेय को सिद्ध करता है।

अब, हमें विभेदक ऑपरेटर को छिद्रित निकट में केंद्रीय बिंदु x तक जारी रखना चाहिए। D प्रारंभ गुणांक वाला रैखिक विभेदक ऑपरेटर है। इसके अतिरिक्त, यह x पर प्रारंभ फलन के जर्म्स को भी प्रारंभ फलन के जर्म्स को भेजता है। इस प्रकार D के गुणांक भी x पर सहज हैं।

एक विशेष अनुप्रयोग

मान लीजिए कि M कॉम्पैक्ट (टोपोलॉजी) स्मूथ मैनिफोल्ड (संभवतः मैनिफोल्ड के साथ) है, और E और F, M पर परिमित आयामी सदिश बंडल हैं।

$\Gamma ^{\infty }(E)$ ऑपरेटर के सुचारू अनुभागों का संग्रह हो

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

एक प्रारंभ फलन है (फ़्रेचेट मैनिफोल्ड्स का) जो फाइबर पर रैखिक है और M पर आधार बिंदु का सम्मान करता है:

$\pi \circ D_{p}=p.$

पेत्रे प्रमेय का प्रमाण है कि प्रत्येक ऑपरेटर D के लिए, पूर्णांक k उपस्थित है जैसे कि D ऑर्डर k का विभेदक ऑपरेटर है। विशेष रूप से, हम विघटित कर सकते हैं

$D=i_{D}\circ j^{k}$

जहाँ $i_{D}$ E के अनुभागों के जेट (गणित) से बंडल F तक मैपिंग है। डिफरेंशियल ऑपरेटर कोऑर्डिनेट-इंडिपेंडेंट डिस्क्रिप्शन भी देखें।

उदाहरण: लाप्लासियन

निम्नलिखित ऑपरेटर पर विचार करें:

$(Lf)(x_{0})=\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx$

जहां $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ और $S_{r}$ त्रिज्या $r$ के साथ $x_{0}$ पर केन्द्रित गोला है। यह वास्तव में लाप्लासियन है। हम दिखाएंगे कि पीटर के प्रमेय के अनुसार $L$ विभेदक संचालिका है। मुख्य विचार यह है कि चूँकि $Lf(x_{0})$ को केवल $x_{0}$ के निकट $f$ के व्यवहार के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह प्रकृति में स्थानीय है; विशेष रूप से, यदि $f$ स्थानीय रूप से शून्य है, तो यह $Lf$ भी है, और इसलिए समर्थन नहीं बढ़ सकता है।

तकनीकी प्रमाण इस प्रकार है।

मान लीजिए कि $M=\mathbb {R} ^{d}$ और $E$ और $F$ रैंक $1$ के सामान्य बंडल हैं।

फिर $\Gamma ^{\infty }(E)$ और $\Gamma ^{\infty }(F)$ बस समष्टि हैं $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ पर सुचारू फलन का $\mathbb {R} ^{d}$ है। शीफ ${\mathcal {F}}(U)$ के रूप में विवृत समुच्चय $U$ पर सुचारू फलन का समुच्चय है और प्रतिबंध फलन है।

यह देखने के लिए कि $L$ वास्तव में रूपवाद है, हमें विवृत समुच्चय $U$ और $V$ के लिए $(Lu)|V=L(u|V)$ की जांच करने की आवश्यकता है, जिससे $V\subseteq U$ और $u\in C^{\infty }(U)$ में. यह स्पष्ट है क्योंकि $x\in V$ के लिए, दोनों $[(Lu)|V](x)$ और $[L(u|V)](x)$ बस $\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(u(y)-u(x))dy$, क्योंकि $S_{r}$ अंततः $U$ और $V$ दोनों के अंदर बैठता है।

यह जाँचना सरल है कि $L$ रैखिक है:

$L(f+g)=L(f)+L(g)$ और $L(af)=aL(f)$

अंत में, हम जाँचते हैं कि $L$ इस अर्थ में स्थानीय है कि $suppLf\subseteq suppf$ यदि $x_{0}\notin supp(f)$ तो $\exists r>0$ इस प्रकार है कि त्रिज्या $r$ की गोला में $f=0$ पर केंद्रित है। इस प्रकार, $x\in B(x_{0},r)$ के लिए

$\int _{S_{r'}}(f(y)-f(x))dy=0$

$r'<r-|x-x_{0}|$ के लिए, और इसलिए $(Lf)(x)=0$ इसलिए, $x_{0}\notin suppLf$

तो पीटर के प्रमेय के अनुसार $L$ विभेदक संचालिका है।

संदर्भ

• Peetre, J., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Math. Scand. 7 (1959), 211-218.
• Peetre, J., Rectification à l'article Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Math. Scand. 8 (1960), 116-120.
• Terng, C.L., Natural vector bundles and natural differential operators, Am. J. Math. 100 (1978), 775-828.