सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "thumb|सेंट्रोसिमेट्रिक 5×5 मैट्रिक्स का समरूपता पैटर्न {{abo...") |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
[[File:Matrix symmetry qtl4.svg|thumb|सेंट्रोसिमेट्रिक 5×5 मैट्रिक्स का समरूपता पैटर्न]] | [[File:Matrix symmetry qtl4.svg|thumb|सेंट्रोसिमेट्रिक 5×5 मैट्रिक्स का समरूपता पैटर्न]] | ||
{{about|a matrix symmetric about its center|a matrix symmetric about its diagonal| Symmetric matrix}} | {{about|a matrix symmetric about its center|a matrix symmetric about its diagonal| Symmetric matrix}} | ||
गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और [[मैट्रिक्स (गणित)]] में, | गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और [[मैट्रिक्स (गणित)]] में, सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) होता है जो अपने केंद्र के बारे में सममित होता है। अधिक सटीक रूप से, ''n''×''n'' मैट्रिक्स ''A'' = [''A''<sub>''i'',''j''</sub>] सेंट्रोसिमेट्रिक है जब इसकी प्रविष्टियाँ संतुष्ट होती हैं | ||
:ए<sub>''i'',''j''</sub> = ए<sub>''n''−''i'' + 1,''n''−''j'' + 1</sub> i, j ∊{1, ..., n} के लिए। | :ए<sub>''i'',''j''</sub> = ए<sub>''n''−''i'' + 1,''n''−''j'' + 1</sub> i, j ∊{1, ..., n} के लिए। | ||
यदि J n×n [[विनिमय मैट्रिक्स]] को [[प्रतिविकर्ण]] पर 1 और अन्यत्र 0 के साथ दर्शाता है (अर्थात, J<sub>''i'',''n'' + 1 − ''i''</sub> = 1; जे<sub>''i'',''j''</sub> = 0 यदि j ≠ n +1− i), तो | यदि J n×n [[विनिमय मैट्रिक्स]] को [[प्रतिविकर्ण]] पर 1 और अन्यत्र 0 के साथ दर्शाता है (अर्थात, J<sub>''i'',''n'' + 1 − ''i''</sub> = 1; जे<sub>''i'',''j''</sub> = 0 यदि j ≠ n +1− i), तो मैट्रिक्स A सेंट्रोसिमेट्रिक है यदि और केवल यदि AJ = JA। | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
| Line 16: | Line 16: | ||
==बीजगणितीय संरचना और गुण== | ==बीजगणितीय संरचना और गुण== | ||
*यदि ए और बी | *यदि ए और बी क्षेत्र (गणित) एफ पर सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स हैं, तो एफ में किसी भी सी के लिए ए + बी और सीए भी हैं। इसके अलावा, [[मैट्रिक्स उत्पाद]] एबी सेंट्रोसिमेट्रिक है, क्योंकि जेएबी = एजेबी = एबीजे। चूँकि पहचान मैट्रिक्स भी सेंट्रोसिमेट्रिक है, यह इस प्रकार है कि F पर n×n सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स का [[सेट (गणित)]] सभी n×n मैट्रिक्स के रिंग या [[साहचर्य बीजगणित]] के क्षेत्र पर बीजगणित के लिए उप-बीजगणित # उप-बीजगणित है। | ||
*यदि A, m-आयामी eigenbasis वाला | *यदि A, m-आयामी eigenbasis वाला सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, तो इसके m eigenvectors में से प्रत्येक को चुना जा सकता है ताकि वे या तो x = Jx या x = −Jx को संतुष्ट करें जहां J एक्सचेंज मैट्रिक्स है। | ||
*यदि A अलग-अलग eigenvalues के साथ | *यदि A अलग-अलग eigenvalues के साथ सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, तो A के साथ मैट्रिक्स को कम्यूट करने वाले मैट्रिक्स को सेंट्रोसिमेट्रिक होना चाहिए।<ref name=acta/>*एम × एम सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स में अद्वितीय तत्वों की अधिकतम संख्या है <math>(m^2+m\%2)/2</math>. | ||
==संबंधित संरचनाएं== | ==संबंधित संरचनाएं== | ||
n×n मैट्रिक्स A को तिरछा-सेंट्रोसिमेट्रिक कहा जाता है यदि इसकी प्रविष्टियाँ A को संतुष्ट करती हैं<sub>''i'',''j''</sub> = −ए<sub>''n''−''i''+1,''n''−''j''+1</sub> i, j ∊ {1, ..., n} के लिए। समान रूप से, यदि AJ = −JA है, तो A तिरछा-सेंट्रोसिमेट्रिक है, जहां J ऊपर परिभाषित विनिमय मैट्रिक्स है। | |||
सेंट्रोसिमेट्रिक संबंध AJ = JA खुद को | सेंट्रोसिमेट्रिक संबंध AJ = JA खुद को प्राकृतिक सामान्यीकरण के लिए उधार देता है, जहां J को [[अनैच्छिक मैट्रिक्स]] K (यानी, K) से बदल दिया जाता है।<sup>2</sup> = मैं)<ref name="AA">{{Cite journal|doi=10.1016/0024-3795(73)90049-9|first=Alan |last=Andrew|title= कुछ आव्यूहों के eigenvectors|journal= Linear Algebra Appl.| volume= 7 |year=1973|issue=2|pages=151–162|doi-access=free}}</ref><ref name="simax0">{{cite journal | ||
|last1=Tao | |last1=Tao | ||
|first1=David | |first1=David | ||
| Line 36: | Line 36: | ||
|doi=10.1137/S0895479801386730 | |doi=10.1137/S0895479801386730 | ||
|url=https://zenodo.org/record/1236140 | |url=https://zenodo.org/record/1236140 | ||
}}</ref><ref name="laa">{{cite journal|doi=10.1016/j.laa.2003.07.013|first=W. F.|last= Trench|title= सामान्यीकृत समरूपता या तिरछी समरूपता वाले मैट्रिक्स की विशेषता और गुण|journal=Linear Algebra Appl. |volume=377 |year=2004|pages=207–218|doi-access=free}}</ref> या, अधिक सामान्यतः, | }}</ref><ref name="laa">{{cite journal|doi=10.1016/j.laa.2003.07.013|first=W. F.|last= Trench|title= सामान्यीकृत समरूपता या तिरछी समरूपता वाले मैट्रिक्स की विशेषता और गुण|journal=Linear Algebra Appl. |volume=377 |year=2004|pages=207–218|doi-access=free}}</ref> या, अधिक सामान्यतः, मैट्रिक्स K, K को संतुष्ट करता है<sup>m</sup> = I [[पूर्णांक]] m > 1 के लिए।<ref name=acta>{{cite journal | last = Yasuda | first = Mark | title = कम्यूटिंग और एंटी-कम्यूटिंग एम-इन्वोल्यूशन के कुछ गुण| journal = Acta Mathematica Scientia | volume = 32 | issue = 2 | pages = 631–644 | year = 2012| doi = 10.1016/S0252-9602(12)60044-7}}</ref> रूपान्तरण संबंध के लिए उलटी समस्या {{nowrap|1=''AK = KA''}} निश्चित मैट्रिक्स ए के साथ आवागमन करने वाले सभी अनैच्छिक K की पहचान करने का भी अध्ययन किया गया है।<ref name=acta/> | ||
सममित मैट्रिक्स सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स को कभी-कभी द्विसममित मैट्रिक्स कहा जाता है। जब फ़ील्ड (गणित) [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र होता है, तो यह दिखाया गया है कि [[द्विसममितीय मैट्रिक्स]] वास्तव में वे सममित मैट्रिक्स होते हैं जिनके [[eigenvalue]] एक्सचेंज मैट्रिक्स द्वारा पूर्व या बाद के गुणन के बाद संभावित संकेत परिवर्तनों से अलग रहते हैं।<ref name = "simax0"/> | सममित मैट्रिक्स सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स को कभी-कभी द्विसममित मैट्रिक्स कहा जाता है। जब फ़ील्ड (गणित) [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र होता है, तो यह दिखाया गया है कि [[द्विसममितीय मैट्रिक्स]] वास्तव में वे सममित मैट्रिक्स होते हैं जिनके [[eigenvalue]] एक्सचेंज मैट्रिक्स द्वारा पूर्व या बाद के गुणन के बाद संभावित संकेत परिवर्तनों से अलग रहते हैं।<ref name = "simax0"/> समान परिणाम [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] सेंट्रोसिमेट्रिक और स्क्यू-सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स के लिए है।<ref name="simax1">{{cite journal | last = Yasuda | first = Mark | title = हर्मिटियन सेंट्रोसिमेट्रिक और हर्मिटियन स्क्यू-सेंट्रोसिमेट्रिक के-मैट्रिसेस का एक वर्णक्रमीय लक्षण वर्णन| journal = SIAM J. Matrix Anal. Appl. | volume = 25 | issue = 3 | pages = 601–605 | year = 2003 | doi = 10.1137/S0895479802418835}}</ref> | ||
== संदर्भ == | |||
==संदर्भ== | |||
{{reflist}} | {{reflist}} | ||
Revision as of 22:51, 23 July 2023
गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और मैट्रिक्स (गणित) में, सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) होता है जो अपने केंद्र के बारे में सममित होता है। अधिक सटीक रूप से, n×n मैट्रिक्स A = [Ai,j] सेंट्रोसिमेट्रिक है जब इसकी प्रविष्टियाँ संतुष्ट होती हैं
- एi,j = एn−i + 1,n−j + 1 i, j ∊{1, ..., n} के लिए।
यदि J n×n विनिमय मैट्रिक्स को प्रतिविकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 के साथ दर्शाता है (अर्थात, Ji,n + 1 − i = 1; जेi,j = 0 यदि j ≠ n +1− i), तो मैट्रिक्स A सेंट्रोसिमेट्रिक है यदि और केवल यदि AJ = JA।
उदाहरण
- सभी 2×2 सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स का रूप होता है
- सभी 3×3 सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स का रूप होता है
- सममित मैट्रिक्स Toeplitz मैट्रिक्स मैट्रिक्स सेंट्रोसिमेट्रिक हैं।
बीजगणितीय संरचना और गुण
- यदि ए और बी क्षेत्र (गणित) एफ पर सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स हैं, तो एफ में किसी भी सी के लिए ए + बी और सीए भी हैं। इसके अलावा, मैट्रिक्स उत्पाद एबी सेंट्रोसिमेट्रिक है, क्योंकि जेएबी = एजेबी = एबीजे। चूँकि पहचान मैट्रिक्स भी सेंट्रोसिमेट्रिक है, यह इस प्रकार है कि F पर n×n सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स का सेट (गणित) सभी n×n मैट्रिक्स के रिंग या साहचर्य बीजगणित के क्षेत्र पर बीजगणित के लिए उप-बीजगणित # उप-बीजगणित है।
- यदि A, m-आयामी eigenbasis वाला सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, तो इसके m eigenvectors में से प्रत्येक को चुना जा सकता है ताकि वे या तो x = Jx या x = −Jx को संतुष्ट करें जहां J एक्सचेंज मैट्रिक्स है।
- यदि A अलग-अलग eigenvalues के साथ सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स है, तो A के साथ मैट्रिक्स को कम्यूट करने वाले मैट्रिक्स को सेंट्रोसिमेट्रिक होना चाहिए।[1]*एम × एम सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स में अद्वितीय तत्वों की अधिकतम संख्या है .
संबंधित संरचनाएं
n×n मैट्रिक्स A को तिरछा-सेंट्रोसिमेट्रिक कहा जाता है यदि इसकी प्रविष्टियाँ A को संतुष्ट करती हैंi,j = −एn−i+1,n−j+1 i, j ∊ {1, ..., n} के लिए। समान रूप से, यदि AJ = −JA है, तो A तिरछा-सेंट्रोसिमेट्रिक है, जहां J ऊपर परिभाषित विनिमय मैट्रिक्स है।
सेंट्रोसिमेट्रिक संबंध AJ = JA खुद को प्राकृतिक सामान्यीकरण के लिए उधार देता है, जहां J को अनैच्छिक मैट्रिक्स K (यानी, K) से बदल दिया जाता है।2 = मैं)[2][3][4] या, अधिक सामान्यतः, मैट्रिक्स K, K को संतुष्ट करता हैm = I पूर्णांक m > 1 के लिए।[1] रूपान्तरण संबंध के लिए उलटी समस्या AK = KA निश्चित मैट्रिक्स ए के साथ आवागमन करने वाले सभी अनैच्छिक K की पहचान करने का भी अध्ययन किया गया है।[1]
सममित मैट्रिक्स सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स को कभी-कभी द्विसममित मैट्रिक्स कहा जाता है। जब फ़ील्ड (गणित) वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो यह दिखाया गया है कि द्विसममितीय मैट्रिक्स वास्तव में वे सममित मैट्रिक्स होते हैं जिनके eigenvalue एक्सचेंज मैट्रिक्स द्वारा पूर्व या बाद के गुणन के बाद संभावित संकेत परिवर्तनों से अलग रहते हैं।[3] समान परिणाम हर्मिटियन मैट्रिक्स सेंट्रोसिमेट्रिक और स्क्यू-सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स के लिए है।[5]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Yasuda, Mark (2012). "कम्यूटिंग और एंटी-कम्यूटिंग एम-इन्वोल्यूशन के कुछ गुण". Acta Mathematica Scientia. 32 (2): 631–644. doi:10.1016/S0252-9602(12)60044-7.
- ↑ Andrew, Alan (1973). "कुछ आव्यूहों के eigenvectors". Linear Algebra Appl. 7 (2): 151–162. doi:10.1016/0024-3795(73)90049-9.
- ↑ 3.0 3.1 Tao, David; Yasuda, Mark (2002). "A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices". SIAM J. Matrix Anal. Appl. 23 (3): 885–895. doi:10.1137/S0895479801386730.
- ↑ Trench, W. F. (2004). "सामान्यीकृत समरूपता या तिरछी समरूपता वाले मैट्रिक्स की विशेषता और गुण". Linear Algebra Appl. 377: 207–218. doi:10.1016/j.laa.2003.07.013.
- ↑ Yasuda, Mark (2003). "हर्मिटियन सेंट्रोसिमेट्रिक और हर्मिटियन स्क्यू-सेंट्रोसिमेट्रिक के-मैट्रिसेस का एक वर्णक्रमीय लक्षण वर्णन". SIAM J. Matrix Anal. Appl. 25 (3): 601–605. doi:10.1137/S0895479802418835.
अग्रिम पठन
- Muir, Thomas (1960). A Treatise on the Theory of Determinants. Dover. p. 19. ISBN 0-486-60670-8.
- Weaver, James R. (1985). "Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors". American Mathematical Monthly. 92 (10): 711–717. doi:10.2307/2323222. JSTOR 2323222.
