सदिश क्षेत्रफल

3-आयामी अंतरिक्ष|3-आयामी ज्यामिति और वेक्टर कैलकुलस में, एक क्षेत्र वेक्टर एक यूक्लिडियन वेक्टर है जो एक क्षेत्र को एक दिशा (ज्यामिति) के साथ जोड़ता है, इस प्रकार तीन आयामों में एक उन्मुख क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।

तीन आयामों में प्रत्येक बंधा हुआ सेट सतह (टोपोलॉजी) को एक अद्वितीय क्षेत्र वेक्टर से जोड़ा जा सकता है जिसे इसका वेक्टर क्षेत्र कहा जाता है। यह सामान्य सतह के सतह अभिन्न अंग के बराबर है, और सामान्य (स्केलर (गणित)) सतह क्षेत्र से अलग है।

वेक्टर क्षेत्र को दो आयामों में हस्ताक्षरित क्षेत्र के त्रि-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

परिभाषा

अदिश क्षेत्र की एक परिमित समतल सतह के लिए S और इकाई सामान्य n̂, सदिश क्षेत्र S को क्षेत्र द्वारा मापी गई सामान्य इकाई के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S$$

एक उन्मुख सतह के लिए S एक सेट से बना है S_iसमतल पहलू_(ज्यामिति) क्षेत्रों का, सतह का सदिश क्षेत्र किसके द्वारा दिया जाता है

$$\mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}$$

कहाँ n̂_i क्षेत्र के लिए इकाई सामान्य वेक्टर है S_i.

घिरी हुई, उन्मुख घुमावदार सतहों के लिए जो पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं, हम अभी भी वेक्टर क्षेत्र को परिभाषित कर सकते हैं। सबसे पहले, हम सतह को अनंत छोटे तत्वों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक प्रभावी रूप से सपाट है। क्षेत्रफल के प्रत्येक अतिसूक्ष्म तत्व के लिए, हमारे पास एक क्षेत्रफल सदिश है, वह भी अतिसूक्ष्म।

$$d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS$$

कहाँ n̂ स्थानीय इकाई वेक्टर लंबवत है dS. एकीकृत करने से सतह के लिए सदिश क्षेत्र मिलता है।

$$\mathbf {S} =\int d\mathbf {S}$$

गुण

किसी सतह के सदिश क्षेत्र की व्याख्या उस तल में सतह के (हस्ताक्षरित) प्रक्षेपित क्षेत्र या छाया के रूप में की जा सकती है जिसमें यह सबसे बड़ा है; इसकी दिशा उस विमान के सामान्य द्वारा दी जाती है।

एक घुमावदार या पहलूदार (यानी गैर-तलीय) सतह के लिए, वेक्टर क्षेत्र वास्तविक सतह क्षेत्र की तुलना में परिमाण में छोटा होता है। एक चरम उदाहरण के रूप में, एक बंद सतह में मनमाने ढंग से बड़ा क्षेत्र हो सकता है, लेकिन इसका वेक्टर क्षेत्र आवश्यक रूप से शून्य है। जो सतहें एक सीमा साझा करती हैं, उनके क्षेत्र बहुत भिन्न हो सकते हैं, लेकिन उनका सदिश क्षेत्र एक ही होना चाहिए—सदिश क्षेत्र पूरी तरह से सीमा द्वारा निर्धारित होता है। ये स्टोक्स प्रमेय के परिणाम हैं।

एक समांतर चतुर्भुज का सदिश क्षेत्रफल इसे फैलाने वाले दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया जाता है; यह समान सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज के (वेक्टर) क्षेत्रफल का दोगुना है। सामान्य तौर पर, किसी भी सतह का वेक्टर क्षेत्र जिसकी सीमा में सीधी रेखा खंड (दो आयामों में बहुभुज के अनुरूप) का अनुक्रम होता है, की गणना सतह के त्रिभुज जाल के अनुरूप क्रॉस उत्पादों की एक श्रृंखला का उपयोग करके की जा सकती है। यह जूते का फीता फार्मूला का तीन आयामों में सामान्यीकरण है।

उचित रूप से चुने गए वेक्टर क्षेत्र पर लागू स्टोक्स प्रमेय का उपयोग करके, वेक्टर क्षेत्र के लिए एक सीमा अभिन्न अंग प्राप्त किया जा सकता है:

$$\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r}$$

कहाँ $\partial S$ की सीमा है S, यानी एक या अधिक उन्मुख बंद स्थान वक्र। यह ग्रीन के प्रमेय का उपयोग करके दो आयामी ग्रीन प्रमेय#क्षेत्र गणना|क्षेत्र गणना के अनुरूप है।

अनुप्रयोग

सतह अभिन्न की गणना करते समय क्षेत्र वैक्टर का उपयोग किया जाता है, जैसे सतह के माध्यम से वेक्टर क्षेत्र के प्रवाह का निर्धारण करते समय। फ्लक्स क्षेत्र के डॉट उत्पाद और (अनंत) क्षेत्र वेक्टर के अभिन्न अंग द्वारा दिया जाता है। जब फ़ील्ड सतह पर स्थिर होता है तो इंटीग्रल फ़ील्ड के डॉट उत्पाद और सतह के वेक्टर क्षेत्र को सरल बनाता है।

समतल पर क्षेत्रफल का प्रक्षेपण

एक विमान पर प्रक्षेपित क्षेत्र वेक्टर क्षेत्र एस के डॉट उत्पाद और लक्ष्य विमान इकाई सामान्य द्वारा दिया जाता है m̂:

$$A_{\parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}$$

उदाहरण के लिए, पर प्रक्षेपित क्षेत्र xy-प्लेन के बराबर है z-सदिश क्षेत्र का घटक, और इसके बराबर भी है

$$\mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta$$

कहाँ θ समतल के बीच का कोण सामान्य है n̂ और यह z-एक्सिस।

यह भी देखें

• बायवेक्टर , किसी भी संख्या में आयामों में एक उन्मुख क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है
• डी गुआ का प्रमेय, वेक्टर क्षेत्र के ऑर्थोगोनल घटकों में अपघटन पर
• पार उत्पाद
• सतह सामान्य
• सतह अभिन्न

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