रेले नंबर

द्रव यांत्रिकी में, द्रव के लिए रेले संख्या (रा, लॉर्ड रेले के बाद ) उछाल-संचालित प्रवाह से जुड़ी आयामहीन संख्या है, जिसे मुक्त (या प्राकृतिक) संवहन के रूप में भी जाना जाता है। यह द्रव के प्रवाह शासन की विशेषता बताता है: निश्चित निचली सीमा में मान लामिना का प्रवाह दर्शाता है; उच्च श्रेणी में मान, अशांत प्रवाह निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य के नीचे, कोई द्रव गति नहीं होती है और ऊष्मा हस्तांतरण संवहन के अतिरिक्त थर्मल चालन द्वारा होता है। अधिकांश इंजीनियरिंग उद्देश्यों के लिए, रेले संख्या 10⁶ से 10⁸ के आसपास बड़ी होती है।

रेले संख्या को ग्राशोफ़ संख्या (Gr) के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है, जो तरल पदार्थ के अंदर उछाल और श्यानता के बीच संबंध का वर्णन करता है, और प्रांटल संख्या (Pr), जो गति प्रसार और थर्मल प्रसार के बीच संबंध का वर्णन करता है:Ra = Gr × Pr. इसलिए इसे संवेग और तापीय प्रसार के अनुपात से गुणा किए गए उछाल और श्यानता बलों के अनुपात के रूप में भी देखा जा सकता है: Ra = B/μ × ν/α इसका नुसेल्ट संख्या (Nu) से गहरा संबंध है।

व्युत्पत्ति

रेले संख्या तरल पदार्थ (जैसे पानी या हवा) के व्यवहार का वर्णन करती है जब तरल का द्रव्यमान घनत्व असमान होता है। द्रव्यमान घनत्व में अंतर समान्यत: तापमान अंतर के कारण होता है। समान्यत: कोई तरल पदार्थ उष्म होने पर फैलता है और कम सघन हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण द्रव का सघन भाग डूब जाता है, जिसे संवहन कहते हैं। लॉर्ड रेले ने रेले-बेनार्ड संवहन के स्थिति का अध्ययन किया गया था जब रेले नंबर, रा, किसी तरल पदार्थ के लिए महत्वपूर्ण मान से नीचे होता है, तो कोई प्रवाह नहीं होता है और ऊष्मा हस्तांतरण पूरी तरह से थर्मल चालन द्वारा होता है; जब यह उस मान से अधिक हो जाता है, तो ऊष्मा प्राकृतिक संवहन द्वारा स्थानांतरित हो जाती है।

जब द्रव्यमान घनत्व में अंतर तापमान अंतर के कारण होता है, तो रा, परिभाषा के अनुसार, गति $u$ पर संवहन तापीय परिवहन के लिए समय मापदंड पर प्रसार थर्मल परिवहन के लिए समय मापदंड का अनुपात है :

$$\mathrm {Ra} ={\frac {\text{time scale for thermal transport via diffusion}}{{\text{time scale for thermal transport via convection at speed}}~u}}.$$

इसका मतलब है कि रेले नंबर पेकलेट नंबर का प्रकार है। तीनों आयामों और द्रव्यमान घनत्व अंतर $\Delta \rho$ में आकार $l$ के तरल पदार्थ की मात्रा के लिए, गुरुत्वाकर्षण के कारण बल $\Delta \rho l^{3}g$ क्रम का है, जहां $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। स्टोक्स समीकरण से, जब तरल पदार्थ की मात्रा कम हो रही है, शयन खिंचाव क्रम $\eta lu$ का होता है, जहां $\eta$ तरल पदार्थ की गतिशील श्यानता है। जब इन दोनों बलों को समान किया जाता है, तो गति $u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta$ होती है। इस प्रकार प्रवाह के माध्यम से परिवहन के लिए समय का मापदंड $l/u\sim \eta /\Delta \rho lg$ है। दूरी $l$ पर तापीय विसरण का समय मापदंड $l^{2}/\alpha$ है, जहाँ $\alpha$ तापीय विसरणशीलता है। इस प्रकार रेले संख्या रा है

$$\mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}$$

जहां हमने औसत द्रव्यमान घनत्व $\rho$ थर्मल विस्तार गुणांक $\beta$ और दूरी $l$ के पार तापमान अंतर $\Delta T$ के तरल पदार्थ के लिए घनत्व अंतर $\Delta \rho =\rho \beta \Delta T$ अनुमानित किया है।

रेलेघ संख्या को ग्राशोफ़ संख्या और प्रांटल संख्या के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .$$

उत्कृष्ट परिभाषा

एक ऊर्ध्वाधर दीवार के निकट मुक्त संवहन के लिए, रेले संख्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr}$$

जहाँ :

• x विशेषता लंबाई है
• Ra_x विशेषता लंबाई x के लिए रेले संख्या है
• g गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाला त्वरण है
• β थर्मल विस्तार का गुणांक है (आदर्श गैसों के लिए 1/T के समान , जहां T पूर्ण तापमान है)।
• $\nu$ गतिज श्यानता है
• α तापीय विसरणशीलता है
• T_s सतह का तापमान है
• T_∞ शांत तापमान है (वस्तु की सतह से दूर द्रव तापमान)
• Gr_x विशेषता लंबाई x के लिए ग्राशोफ़ संख्या है
• Pr प्रांटल नंबर है

उपरोक्त में, द्रव गुण Pr, ν, α और β का मूल्यांकन फिल्म तापमान पर किया जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}.$$

एक समान दीवार हीटिंग फ्लक्स के लिए, संशोधित रेले संख्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}$$

जहाँ :

• q″_o एकसमान सतह ऊष्मा प्रवाह है
• k तापीय चालकता है।

अन्य अनुप्रयोग

ठोस बनाने वाली मिश्रधातुएँ

रेले नंबर का उपयोग ठोस मिश्र धातु के भावुक क्षेत्र में ए-सेग्रीगेट्स जैसे संवहन संबंधी अस्थिरताओं की पूर्वानुमान करने के लिए मानदंड के रूप में भी किया जा सकता है। भावुक क्षेत्र रेले नंबर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}$$

जहाँ :

• K औसत पारगम्यता है (मश के प्रारंभिक भाग की)
• L विशेषता लंबाई का मापदंड है
• α तापीय विसरणशीलता है
• ν गतिज श्यानता है
• R जमने या इज़ोटेर्म गति है।

जब रेले संख्या निश्चित महत्वपूर्ण मान से अधिक हो जाती है तो ए-सेग्रीगेट्स बनने की पूर्वानुमान की जाती है। यह महत्वपूर्ण मूल्य मिश्र धातु की संरचना से स्वतंत्र है, और यह सुजुकी मानदंड जैसे संवहनी अस्थिरता की पूर्वानुमान के लिए अन्य मानदंडों पर रेले संख्या मानदंड का मुख्य लाभ है।

तोराबी राड एट अल. दिखाया गया कि स्टील मिश्र धातुओं के लिए महत्वपूर्ण रेले संख्या 17 है। पिकरिंग एट अल. तोराबी रेड की मानदंड का पता लगाया जाता है, और इसकी प्रभावशीलता को और सत्यापित किया गया। सीसा-टिन और निकल-आधारित सुपर-मिश्र धातुओं के लिए महत्वपूर्ण रेले नंबर भी विकसित किए गए थे।

छिद्रपूर्ण मीडिया

उपरोक्त रेले नंबर हवा या पानी जैसे थोक तरल पदार्थ में संवहन के लिए है, किंतु संवहन तब भी हो सकता है जब तरल पदार्थ अंदर होता है और छिद्रपूर्ण माध्यम भरता है, जैसे कि पानी से संतृप्त छिद्रपूर्ण चट्टान। फिर रेले नंबर, जिसे कभी-कभी रेले-डार्सी नंबर भी कहा जाता है, जो की अलग है। थोक तरल पदार्थ में, अथार्त , छिद्रपूर्ण माध्यम में नहीं, स्टोक्स समीकरण से, तरल के आकार $l$ के डोमेन की गिरने की गति $u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta$ छिद्रपूर्ण माध्यम में, इस अभिव्यक्ति को डार्सी के नियम $u\sim \Delta \rho kg/\eta$ से प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसमें छिद्रपूर्ण माध्यम की पारगम्यता $k$ होती है। रेले या रेले-डार्सी नंबर तब है

$$\mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}$$

यह ठोस मिश्रधातु के गूदेदार क्षेत्र में, ए-सेग्रीगेट्स पर भी प्रयुक्त होता है।

भूभौतिकीय अनुप्रयोग

भूभौतिकी में, रेले संख्या मौलिक महत्व की है: यह पृथ्वी के आवरण जैसे तरल पदार्थ के अंदर संवहन की उपस्थिति और शक्ति को निरुपित करती है। मेंटल ठोस है जो भूवैज्ञानिक समय के मापदंड पर तरल पदार्थ के रूप में व्यवहार करता है। अकेले आंतरिक तापन, Ra_H, के कारण पृथ्वी के मेंटल के लिए रेले संख्या इस प्रकार दी गई है:

$$\mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\eta \alpha k}}$$

जहाँ :

• H प्रति इकाई द्रव्यमान रेडियोजेनिक ताप उत्पादन की दर है
• η गतिशील श्यानता है
• k तापीय चालकता है
• D मेंटल (भूविज्ञान) की गहराई है।

कोर से मेंटल के निचले हीटिंग के लिए रेले नंबर, Ra_T, को इस प्रकार भी परिभाषित किया जा सकता है:

$$\mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho _{0}^{2}g\beta \Delta T_{\text{sa}}D^{3}C_{P}}{\eta k}}$$

जहाँ :

• ΔT_sa संदर्भ मेंटल तापमान और कोर-मेंटल सीमा के बीच सुपरएडियाबेटिक तापमान अंतर है
• C_P स्थिर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता है।

पृथ्वी के आवरण के लिए उच्च मान निरुपित करता है कि पृथ्वी के अंदर संवहन सशक्त और समय-परिवर्तनशील है, और यह संवहन गहरे आंतरिक भाग से सतह तक पहुंचाई जाने वाली लगभग सभी ऊष्मा के लिए उत्तदायित्व है।

यह भी देखें

• ग्राशोफ़ संख्या
• प्रैंडटल नंबर
• रेनॉल्ड्स संख्या
• पेकलेट संख्या
• नुसेल्ट संख्या
• रेले-बेनार्ड संवहन

संदर्भ

• Turcotte, D.; Schubert, G. (2002). Geodynamics (2nd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66186-7.

बाहरी संबंध

• Rayleigh number calculator