एक सेट की क्षमता

गणित में, यूक्लिडियन स्थान में सेट की क्षमता उस सेट के आकार का एक माप है। मान लीजिए, लेब्सेग माप के विपरीत, जो सेट की मात्रा या भौतिक मात्रा को मापता है, क्षमता किसी सेट की विद्युत आवेश धारण करने की क्षमता का गणितीय एनालॉग है। अधिक सटीक रूप से, किसी दिए गए संभावित ऊर्जा को बनाए रखते हुए सेट द्वारा धारण किया जा सकने वाला कुल आवेश सेट की धारिता है। संभावित ऊर्जा की गणना हार्मोनिक या न्यूटोनियन क्षमता के लिए अनंत पर आदर्श आधार के संबंध में और कैपेसिटरी क्षमता के लिए एक सतह के संबंध में की जाती है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

सेट की क्षमता और क्षमतापूर्ण सेट की धारणा 1950 में गुस्ताव चॉक्वेट द्वारा प्रस्तुत की गई थी: विस्तृत विवरण के लिए, संदर्भ (Choquet 1986) देखें।

परिभाषाएँ

कंडेंसर क्षमता

मान लीजिए Σ n-आयाम विषयक यूक्लिडियन स्थान ℝⁿ में एक बंद, शांत, (n - 1)-आयाम विषयक ऊनविम पृष्ठ है , n ≥ 3; K, n-आयाम विषयकसघन स्थान (अर्थात, बंद सेट और परिबद्ध सेट) सेट को निरूपित करेगा, जिसकी सीमा Σ है। मान लीजिए S अन्य (n - 1)-आयाम विषयक ऊनविम पृष्ठ है जो Σ को घिराव करता है: विद्युत चुंबकत्व में इसकी उत्पत्ति के संदर्भ में, जोड़ी (Σ,S) को एक कैपेसिटरी के रूप में जाना जाता है। एस के सापेक्ष Σ की 'कंडेंसर क्षमता', जिसे सी(Σ, एस) या कैप(Σ, एस) कहा जाता है, सतह अभिन्न द्वारा दी गई है

$C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',$

जहाँ

• u Σ और S के बीच क्षेत्र D पर सीमा अनुबंधों Σ पर u(x) = 1 और S पर u(x) = 0 के साथ परिभाषित अद्वितीय हार्मोनिक फलन है;
• S′ Σ और S के बीच की कोई मध्यवर्ती सतह है;
• ν S' के लिए बाहरी इकाई सामान्य क्षेत्र है और

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)$

S' के पार u का सामान्य व्युत्पन्न है; और

• σ_n= 2π^n⁄2 ⁄ Γ(n⁄ 2) ℝⁿ में इकाई गोले का सतह क्षेत्र है.

C(Σ,S) को आयतन आयतन अभिन्न द्वारा समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है

$C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.$

कैपेसिटरी क्षमता में परिवर्तनशील निरूपण वर्णन होता है: C(Σ, S) डिरिचलेट की ऊर्जा कार्यात्मकता का न्यूनतम है

$I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x$

D पर सभी निरंतर-अवकल फलन पर v, Σ पर v(x) = 1 और S पर v(x) = 0 के साथ।

हार्मोनिक/न्यूटोनियन क्षमता

अनुमानतः, K की हार्मोनिक क्षमता, Σ से घिरा क्षेत्र, अनंत के संबंध में Σ की कैपेसिटरी क्षमता लेकर पाया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि K के पूरक में u हार्मोनिक फलन है जो Σ पर u = 1 और u(x) → 0 को x → ∞ के रूप में संतुष्ट करता है। इस प्रकार u सरल स्तर Σ की न्यूटोनियन क्षमता है। फिर K की 'हार्मोनिक क्षमता' (जिसे 'न्यूटोनियन क्षमता' के रूप में भी जाना जाता है) को C(K) या कैप(K) द्वारा दर्शाया जाता है। तब परिभाषित किया जाता है

$C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.$

यदि S, K को पूरी तरह से घिराव वाला एक सुधार योग्य ऊनविम पृष्ठ है, तो हार्मोनिक क्षमता को u के बाहरी सामान्य व्युत्पन्न के S पर अभिन्न अंग के रूप में समान रूप से फिर से लिखा जा सकता है:

$C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .$

हार्मोनिक क्षमता को कैपेसिटरी क्षमता की सीमा के रूप में भी समझा जा सकता है। समझदारी से, अर्थात S_r ℝⁿ में मूल बिंदु के चारों ओर त्रिज्या r के गोले को निरूपित करता है। चूँकि K परिबद्ध है, पर्याप्त रूप से बड़े r के लिए, Sr, K का घिराव करता है और (Σ, Sr) एक कंडेंसर युग्म बनाएगा। हार्मोनिक क्षमता तब सीमित होती है क्योंकि r अनंत की ओर प्रवृत्त होता है

$C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).$

हार्मोनिक क्षमता संवाहक K की इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता का गणितीय रूप से अमूर्त संस्करण है और प्रायः अ-नकारात्मक और सीमित 0 ≤ C(K) <+∞ होती है।

सामान्यीकरण

ऊपर दिए गए विशेष सीमा मूल्यों को प्राप्त करने वाली ऊर्जा कार्यात्मकता के न्यूनतम के रूप में सेट की क्षमता का निरूपण वर्णन, विविधताओं की गणना में अन्य ऊर्जा कार्यात्मकताओं तक बढ़ाया जा सकता है।

विस्तार प्रपत्र दीर्घवृत्तीय प्रचालक

विस्तार रूप के साथ एक समान दीर्घवृत्तीय आंशिक अंतर समीकरण का समाधान

$\nabla \cdot (A\nabla u)=0$

संबद्ध ऊर्जा कार्यात्मकता के न्यूनीकरण हैं

$I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x$

उचित सीमा अनुबंधों के अधीन।

E युक्त अनुक्षेत्र D के संबंध में सेट E की क्षमता को E पर v(x) = 1 के साथ D पर सभी निरंतर-विभेदित फलन v पर ऊर्जा की अधिकतम मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है; और D की सीमा पर v(x) = 0.

न्यूनतम ऊर्जा एक फलन द्वारा प्राप्त की जाती है जिसे D के संबंध में E की कैपेसिटरी क्षमता के रूप में जाना जाता है, और यह E के संकेतक फलन द्वारा प्रदान किए गए अवरोध फलन के साथ D पर अवरोध समस्या को हल करता है। कैपेसिटरी क्षमता को वैकल्पिक रूप से उपयुक्त सीमा अनुबंधों के साथ समीकरण के अद्वितीय समाधान के रूप में वर्णित किया गया है।

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक क्षमता
• क्षमता
• न्यूटोनियन क्षमता
• संभावित सिद्धांत

संदर्भ

• Brélot, Marcel (1967) [1960], Lectures on potential theory (Notes by K. N. Gowrisankaran and M. K. Venkatesha Murthy.) (PDF), Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics., vol. No. 19 (2nd ed.), Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, pp. ii+170+iv, MR 0259146, Zbl 0257.31001. The second edition of these lecture notes, revised and enlarged with the help of S. Ramaswamy, re–typeset, proof read once and freely available for download.
• Choquet, Gustave (1986), "La naissance de la théorie des capacités: réflexion sur une expérience personnelle", Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série générale, La Vie des sciences (in French), 3 (4): 385–397, MR 0867115, Zbl 0607.01017{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link), available from Gallica. A historical account of the development of capacity theory by its founder and one of the main contributors; an English translation of the title reads: "The birth of capacity theory: reflections on a personal experience".
• Doob, Joseph Leo (1984), Classical potential theory and its probabilistic counterpart, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 262, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. xxiv+846, ISBN 0-387-90881-1, MR 0731258, Zbl 0549.31001
• Littman, W.; Stampacchia, G.; Weinberger, H. (1963), "Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze, Serie III, 17 (12): 43–77, MR 0161019, Zbl 0116.30302, available at NUMDAM.
• Ransford, Thomas (1995), Potential theory in the complex plane, London Mathematical Society Student Texts, vol. 28, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-46654-7, Zbl 0828.31001
• Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Capacity of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press