बीजगणितीय सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 09:35, 22 August 2023

गणितीय तर्क में अनौपचारिक रूप से, बीजगणितीय सिद्धांत एक ऐसा सिद्धांत है जो मुक्त वेरिएबल वाले पदों के बीच समीकरणों के संदर्भ में पूर्ण रूप से बताए गए सिद्धांतों का उपयोग करता है। अतः असमानताएँ और परिमाणक विशेष रूप से अस्वीकृत हैं। वाक्यात्मक तर्क प्रथम-क्रम तर्क का सबसेट है जिसमें केवल बीजगणितीय वाक्य सम्मिलित होते हैं।

इस प्रकार से यह धारणा बीजगणितीय संरचना की धारणा के अधिक समीप है, जो, आश्वास, केवल पर्यायवाची हो सकती है।

अतः यह कहना कि कोई सिद्धांत बीजगणितीय है, यह कहने से अधिक शसक्त स्थिति है कि यह प्राथमिक सिद्धांत है।

अनौपचारिक विवेचना

एक बीजगणितीय सिद्धांत में अतिरिक्त नियमों (स्वयंसिद्ध) के साथ n-एरी कार्यात्मक शब्दों का संग्रह होता है।

उदाहरण के लिए, समूह (गणित) का सिद्धांत एक बीजगणितीय सिद्धांत है क्योंकि इसमें तीन कार्यात्मक शब्द हैं: एक बाइनरी ऑपरेशन a × b, एक शून्य ऑपरेशन 1 (तटस्थ अवयव ), और एक यूनरी ऑपरेशन x ↦ x⁻¹क्रमशः साहचर्य, तटस्थता और व्युत्क्रम अवयव के नियमों के साथ अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

अर्धसमूह का सिद्धांत
जालक का सिद्धांत (क्रम)
वलय का सिद्धांत (गणित)

यह ज्यामितीय सिद्धांत का विरोध है जिसमें आंशिक कार्य (या बाइनरी संबंध) या अस्तित्वगत क्वांटर सम्मिलित हैं - उदाहरण देखें यूक्लिडियन ज्यामिति जहां बिंदुओं या रेखाओं का अस्तित्व माना जाता है।

श्रेणी-आधारित मॉडल-सैद्धांतिक व्याख्या

एक बीजगणितीय सिद्धांत T एक श्रेणी (गणित) है जिसका उद्देश्य (श्रेणी सिद्धांत) प्राकृतिक संख्याएं 0, 1, 2,... हैं, और जो, प्रत्येक n के लिए, n-रूपवाद का टुपल है:

proj_i: n → 1, i = 1, ..., n

यह n को 1 की n प्रतियों के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है।

उदाहरण: आइए एक बीजगणितीय सिद्धांत T को परिभाषित करें, जिसमें hom(n, m) को पूर्णांक के साथ ${\ce {n}}$ मुक्त वेरिएबल X₁, ..., X_n के बहुपदों के m-टुपल्स के रूप में लिया जाए गुणांक और संरचना के रूप में प्रतिस्थापन के साथ इस स्थिति में proj_i X_i के समान है। इस सिद्धांत T को क्रमविनिमेय वलय का सिद्धांत कहा जाता है।

बीजगणितीय सिद्धांत में, किसी भी रूपवाद n → m को हस्ताक्षर n → 1 के m आकारवाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इन बाद के आकारवाद को सिद्धांत के n-ary संचालन कहा जाता है।

यदि ई परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के साथ एक श्रेणी है, तो फ़ंक्टर श्रेणी [T, E] की पूर्ण उपश्रेणी एल्ग(T, E) जिसमें उन कारक सम्मिलित हैं जो परिमित उत्पादों को संरक्षित करते हैं, उन्हें 'T'-मॉडल या 'T'-बीजगणित की श्रेणी कहा जाता है।

ध्यान दें कि ऑपरेशन 2 → 1 के स्थिति के लिए, उपयुक्त बीजगणित A एक रूपवाद को परिभाषित किया जाता है

A(2) ≈ A(1) × A(1) → A(1)

यह भी देखें

संदर्भ

Lawvere, F. W., 1963, Functorial Semantics of Algebraic Theories, Proceedings of the National Academy of Sciences 50, No. 5 (November 1963), 869-872
Adámek, J., Rosický, J., Vitale, E. M., Algebraic Theories. A Categorical Introduction To General Algebra
Kock, A., Reyes, G., Doctrines in categorical logic, in Handbook of Mathematical Logic, ed. J. Barwise, North Holland 1977
Algebraic theory at the nLab

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-[[गणितीय तर्क]] में अनौपचारिक रूप से, एक बीजगणितीय सिद्धांत एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] है जो [[मुक्त चर]] वाले पदों के बीच [[समीकरण]]ों के संदर्भ में पूरी तरह से बताए गए सिद्धांतों का उपयोग करता है। [[असमानता (गणित)]] और [[परिमाणक (तर्क)]] विशेष रूप से अस्वीकृत हैं। वाक्यात्मक तर्क [[प्रथम-क्रम तर्क]] का सबसेट है जिसमें केवल बीजगणितीय वाक्य शामिल होते हैं।
+गणितीय तर्क में अनौपचारिक रूप से, '''बीजगणितीय सिद्धांत''' एक ऐसा सिद्धांत है जो मुक्त वेरिएबल वाले पदों के बीच समीकरणों के संदर्भ में पूर्ण रूप से बताए गए सिद्धांतों का उपयोग करता है। अतः असमानताएँ और परिमाणक विशेष रूप से अस्वीकृत हैं। वाक्यात्मक तर्क प्रथम-क्रम तर्क का सबसेट है जिसमें केवल बीजगणितीय वाक्य सम्मिलित होते हैं।
-यह धारणा [[बीजगणितीय संरचना]] की धारणा के बहुत करीब है, जो, यकीनन, सिर्फ एक पर्यायवाची हो सकती है।
+इस प्रकार से यह धारणा [[बीजगणितीय संरचना]] की धारणा के अधिक समीप है, जो, आश्वास, केवल पर्यायवाची हो सकती है।
-यह कहना कि कोई सिद्धांत बीजगणितीय है, यह कहने से अधिक मजबूत स्थिति है कि यह प्राथमिक सिद्धांत है।
+अतः यह कहना कि कोई सिद्धांत बीजगणितीय है, यह कहने से अधिक शसक्त स्थिति है कि यह प्राथमिक सिद्धांत है।
-==अनौपचारिक व्याख्या==
+==अनौपचारिक विवेचना==
-एक बीजगणितीय सिद्धांत में अतिरिक्त नियमों (स्वयंसिद्ध) के साथ एन-एरी कार्यात्मक शब्दों का एक संग्रह होता है।
+एक बीजगणितीय सिद्धांत में अतिरिक्त नियमों (स्वयंसिद्ध) के साथ n-एरी कार्यात्मक शब्दों का संग्रह होता है।
-उदाहरण के लिए, [[समूह (गणित)]] का सिद्धांत एक बीजगणितीय सिद्धांत है क्योंकि इसमें तीन कार्यात्मक शब्द हैं: एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] a × b, एक शून्य ऑपरेशन 1 ([[तटस्थ तत्व]]), और एक यूनरी ऑपरेशन x ↦ x<sup>−1</sup>क्रमशः साहचर्य, तटस्थता और व्युत्क्रम तत्व के नियमों के साथ। अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:
+उदाहरण के लिए, [[समूह (गणित)]] का सिद्धांत एक बीजगणितीय सिद्धांत है क्योंकि इसमें तीन कार्यात्मक शब्द हैं: एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] a × b, एक शून्य ऑपरेशन 1 ([[तटस्थ तत्व|तटस्थ अवयव]] ), और एक यूनरी ऑपरेशन x ↦ x<sup>−1</sup>क्रमशः साहचर्य, तटस्थता और व्युत्क्रम अवयव के नियमों के साथ अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
-*[[अर्धसमूह]]ों का सिद्धांत
+*[[अर्धसमूह]] का सिद्धांत
-* जाली का सिद्धांत (क्रम)
+* जालक का सिद्धांत (क्रम)
 * वलय का सिद्धांत (गणित)
-यह [[ज्यामितीय सिद्धांत]] का विरोध है जिसमें आंशिक कार्य (या द्विआधारी संबंध) या अस्तित्वगत क्वांटर शामिल हैं - उदाहरण देखें [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] जहां बिंदुओं या रेखाओं का अस्तित्व माना जाता है।
+यह [[ज्यामितीय सिद्धांत]] का विरोध है जिसमें आंशिक कार्य (या बाइनरी संबंध) या अस्तित्वगत क्वांटर सम्मिलित हैं - उदाहरण देखें [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] जहां बिंदुओं या रेखाओं का अस्तित्व माना जाता है।
-==श्रेणी-आधारित मॉडल-सैद्धांतिक व्याख्या==
+==श्रेणी-आधारित मॉडल-सैद्धांतिक व्याख्या                                                                                     ==
-{{See also|Lawvere theory|Equational logic}}
+{{See also|लॉवर सिद्धांत|समीकरणात्मक तर्क}}
-एक बीजगणितीय सिद्धांत टी एक [[श्रेणी (गणित)]] है जिसका उद्देश्य (श्रेणी सिद्धांत) [[प्राकृतिक संख्या]]एं 0, 1, 2,... हैं, और जो, प्रत्येक ''एन'' के लिए, ''एन''-रूपवाद का टुपल है:
+एक बीजगणितीय सिद्धांत '''T''' एक [[श्रेणी (गणित)]] है जिसका उद्देश्य (श्रेणी सिद्धांत) [[प्राकृतिक संख्या]]एं 0, 1, 2,... हैं, और जो, प्रत्येक ''n'' के लिए, ''n''-रूपवाद का टुपल है:
-:''प्रोज<sub>i</sub>: एन → 1, आई = 1, ..., एन
+:''proj<sub>i</sub>: n → 1, i = 1, ..., n''
 यह n को 1 की n प्रतियों के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है।
-उदाहरण: आइए एक बीजगणितीय सिद्धांत 'T' को परिभाषित करें जिसमें hom(n, m) को n मुक्त चर वाले [[बहुपद]]ों का m-टुपल माना जाए।<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ और रचना के रूप में प्रतिस्थापन के साथ। इस मामले में प्रो<sub>i</sub>एक्स के समान है<sub>i</sub>. इस सिद्धांत T को [[क्रमविनिमेय वलय]] का सिद्धांत कहा जाता है।
+उदाहरण: आइए एक बीजगणितीय सिद्धांत T को परिभाषित करें, जिसमें hom(n, m) को पूर्णांक के साथ <chem>n
+                                                                                                                                                                                                                                                                                 </chem> मुक्त वेरिएबल ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'' के बहुपदों के m-टुपल्स के रूप में लिया जाए गुणांक और संरचना के रूप में प्रतिस्थापन के साथ इस स्थिति में ''proj<sub>i</sub>'' ''X<sub>i</sub>'' के समान है। इस सिद्धांत T को क्रमविनिमेय वलय का सिद्धांत कहा जाता है।
 बीजगणितीय सिद्धांत में, किसी भी रूपवाद n → m को हस्ताक्षर n → 1 के m आकारवाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इन बाद के आकारवाद को सिद्धांत के n-ary संचालन कहा जाता है।
-यदि ई परिमित [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] के साथ एक श्रेणी है, तो फ़ंक्टर श्रेणी ['टी', ई] की [[पूर्ण उपश्रेणी]] एल्ग ('टी', ई) जिसमें उन फ़ैक्टर्स शामिल हैं जो परिमित उत्पादों को संरक्षित करते हैं, उन्हें 'टी'-मॉडल या 'टी'-बीजगणित की श्रेणी कहा जाता है।
+यदि ई परिमित [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] के साथ एक श्रेणी है, तो फ़ंक्टर श्रेणी ['''T''', ''E''] की [[पूर्ण उपश्रेणी]] एल्ग('''T''', ''E'') जिसमें उन कारक सम्मिलित हैं जो परिमित उत्पादों को संरक्षित करते हैं, उन्हें '<nowiki/>'''T'''<nowiki/>'-मॉडल या ''''T'''<nowiki/>'-बीजगणित की श्रेणी कहा जाता है।
-ध्यान दें कि ऑपरेशन 2 → 1 के मामले के लिए, उपयुक्त बीजगणित ए एक रूपवाद को परिभाषित करेगा
+ध्यान दें कि ऑपरेशन 2 → 1 के स्थिति के लिए, उपयुक्त बीजगणित ''A'' एक रूपवाद को परिभाषित किया जाता है
-:ए(2) ≈ ए(1) × ए(1) → ए(1)
+:: ''A''(2) ≈ ''A''(1) × ''A''(1) → ''A''(1)
-==यह भी देखें==
+==यह भी देखें                                                                                                                                                    ==
 *[[बीजगणितीय वाक्य]]
 *[[बीजगणितीय परिभाषा]]
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 * Kock, A., Reyes, G., Doctrines in categorical logic, in Handbook of Mathematical Logic, ed. [[Jon Barwise|J. Barwise]], North Holland 1977
 * {{nlab|id=algebraic+theory|title=Algebraic theory}}
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