शूर अपघटन: Difference between revisions

Latest revision as of 10:20, 22 August 2023

रैखिक बीजगणित के गणित अनुशासन में, शूर अपघटन या शूर त्रिभुज, जिसका नाम इसाई शूर के नाम पर रखा गया है, आव्युह अपघटन है। यह किसी को अनेैतिक रूप से समष्टि वर्ग आव्युह को ऊपरी-त्रिकोणीय आव्युह के आव्युह समकक्ष के रूप में लिखने की अनुमति देता है जिसके विकर्ण अवयव मूल आव्युह के स्वदेशीमूल्य हैं।

कथन

शूर अपघटन इस प्रकार पढ़ता है: यदि $A$ समष्टि संख्या प्रविष्टियों के साथ एक $n \times n$ वर्ग आव्युह है, तब $A$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है^[1]^[2]^[3]

A=QUQ^{-1}

जहां Q एकात्मक आव्युह है (जिससे इसका व्युत्क्रम ⁻¹Q भी Q का संयुग्मी स्थानान्तरण Q* हो), और U ऊपरी त्रिकोणीय आव्युह है, जिसे A का 'शूर रूप ' कहा जाता है। चूँकि U, A के समान (रैखिक बीजगणित) है, और चूंकि यह त्रिकोणीय है, इसलिए इसके स्वदेशीमूल्य U की विकर्ण प्रविष्टियां हैं।

शूर अपघटन का तात्पर्य है कि A-अपरिवर्तनीय उप-स्थानों का नेस्टेड अनुक्रम उपस्थित है ${0} = V 0 \subset V 1 \subset \dots \subset V n = C n$ , और यह कि क्रमबद्ध ऑर्थोनॉर्मल आधार उपस्थित है ( $C n$ मानक हर्मिटियन रूप के लिए) इस प्रकार कि नेस्टेड अनुक्रम में होने वाले प्रत्येक i के लिए प्रथम i आधार सदिशों $V i$ का विस्तार करता है। कुछ भिन्न रूप से वाक्यांशित, प्रथम भाग कहलाता है कि समष्टि परिमित-आयामी सदिश स्थान पर रैखिक ऑपरेटर जे ऑर्बिट और स्थिर पूर्ण ध्वज (रैखिक बीजगणित) $(V 1, ..., V n)$ को स्थिर करता है।

प्रमाण

शूर अपघटन के लिए रचनात्मक प्रमाण इस प्रकार है: समष्टि परिमित-आयामी सदिश स्थान पर प्रत्येक ऑपरेटर A में आइगेनवेल्यू λ होता है, जो कुछ आइजेनस्पेस V_λ के अनुरूप होता है। मान लीजिए V_λ^⊥ इसके ऑर्थोगोनल पूरक है। यह स्पष्ट है कि, इस ऑर्थोगोनल अपघटन के संबंध में, A में आव्युह प्रतिनिधित्व है (कोई यहां क्रमशः V_λ और V_λ^⊥ तक फैले किसी भी ऑर्थोनॉर्मल आधार Z₁ और Z₂ को चुन सकता है)

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}

जहां I_λ V_λ पर पहचान ऑपरेटर है। A₂₂ को छोड़कर उपरोक्त आव्युह ऊपरी-त्रिकोणीय होगा। किंतु सम्पूर्ण रूप में यही प्रक्रिया सब-आव्युह A₂₂ पर भी क्रियान्वित की जा सकती है जिसे V_λ^⊥ और इसके उपआव्युह पर ऑपरेटर के रूप में देखा गया है। इस प्रकार तब तक प्रारंभ रखें जब तक परिणामी आव्युह ऊपरी त्रिकोणीय न हो जाए। चूँकि प्रत्येक संयुग्मन ऊपरी-त्रिकोणीय ब्लॉक के आयाम को कम से कम बढ़ाता है, इसलिए इस प्रक्रिया में अधिकतम n चरण लगते हैं। इस प्रकार स्थान Cⁿ समाप्त हो जाएगा और प्रक्रिया ने वांछित परिणाम प्राप्त कर लिया है।^[4]

उपरोक्त तर्क को थोड़ा इस प्रकार दोहराया जा सकता है: मान लीजिए कि λ, A का स्वदेशीमूल्य है, जो कुछ ईजेनस्पेस V_λ के अनुरूप है। यदि A ऑपरेटर T को भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) Cⁿ/V_λ पर प्रेरित करता है। यह ऑपरेटर ऊपर से सम्पूर्ण रूप में A₂₂ उपआव्युह है। पूर्व के पश्चात्, T के पास ईजेनस्पेस होगा, मान लीजिए W_μ ⊂ Cⁿ modulo V_λ. ध्यान दें की भागफल मानचित्र के अंतर्गत W_μ की पूर्वछवि A का अपरिवर्तनीय उपस्थान है जिसमे V_λ सम्मिलित है। इस तरह से प्रारंभ रखें जब तक कि परिणामी भागफल स्थान का आयाम 0 न हो जाए। फिर प्रत्येक चरण पर पाए जाने वाले आइगेनस्पेस की क्रमिक पूर्वछवियाँ ध्वज बनाती हैं जिसे A स्थिर करता है।

चूँकि प्रत्येक वर्ग आव्युह में एक शूर अपघटन होता है, सामान्यतः यह अपघटन अद्वितीय नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आइजेनस्पेस V_λ का आयाम > 1 हो सकता है, ऐसी स्थिति में V_λ के लिए कोई भी ऑर्थोनॉर्मल आधार वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा।

त्रिकोणीय आव्युह U को U = D + N के रूप में लिखें, जहां D विकर्ण है और N सशक्त से ऊपरी त्रिकोणीय है (और इस प्रकार एक शून्यपोटेंट आव्युह है)। विकर्ण आव्युह D में अनेैतिक रूप से क्रम में A के स्वदेशीमूल्य सम्मिलित हैं (इसलिए इसका फ्रोबेनियस मानदंड, वर्ग, A के स्वदेशीमूल्य के वर्ग मापांक का योग है, जबकि A का फ्रोबेनियस मानदंड, वर्ग, A के वर्ग एकवचन मानों का योग है)। निलपोटेंट भाग N सामान्यतः अद्वितीय नहीं है, किंतु इसका फ्रोबेनियस मानदंड विशिष्ट रूप से A द्वारा निर्धारित किया जाता है (अतः इसलिए कि A का फ्रोबेनियस मानदंड U = D + N के फ्रोबेनियस मानदंड के सामान्तर है)।^[5]

यह स्पष्ट है कि यदि A एक सामान्य आव्युह है, तब इसके शूर अपघटन से U एक विकर्ण आव्युह होना चाहिए और Q के कॉलम सदिश A के आइजनसदिश हैं। इसलिए, शूर अपघटन वर्णक्रमीय अपघटन का विस्तार करता है। विशेष रूप से, यदि A धनात्मक निश्चित है, तब A का शूर अपघटन, इसका वर्णक्रमीय अपघटन, और इसका एकवचन मूल्य अपघटन मेल खाता है।

आव्युह के एक कम्यूटिंग वर्ग {A_i} को एक साथ त्रिकोणीय बनाया जा सकता है, अर्थात एक एकात्मक आव्युह Q उपस्थित है, जैसे कि, दिए गए वर्ग में प्रत्येक A_i के लिए, Q Ai Q* ऊपरी त्रिकोणीय है। इसका अनुमान उपरोक्त प्रमाण से सरलता से लगाया जा सकता है। {A_i} से अवयव A लें और फिर से एक ईजेनस्पेस V_A पर विचार करें। तब V_A {A_i} में सभी आव्यूहों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। इसलिए, {A_i} में सभी आव्युह को V_A में एक सामान्य ईजेनवेक्टर साझा करना होगा। प्रेरण तब अनुरोध सिद्ध करता है। परिणाम के रूप में, हमारे पास यह है कि सामान्य आव्युह के प्रत्येक आने वाले वर्ग को एक साथ विकर्ण किया जा सकता है।

अनंत आयामी सेटिंग में, बैनाच समिष्ट पर प्रत्येक बाउंडेड ऑपरेटर के पास एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान नहीं होता है। चूँकि, एक अनेैतिक रूप से वर्ग आव्युह का ऊपरी-त्रिकोणीकरण कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के लिए सामान्यीकरण करता है। समष्टि बानाच समिष्ट पर प्रत्येक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के पास विवृत अपरिवर्तनीय उप-स्थानों का एक नेस्ट होता है।

गणना

किसी दिए गए आव्युह के शूर अपघटन की गणना क्यूआर एल्गोरिदम या इसके वेरिएंट द्वारा संख्यात्मक रूप से की जाती है। दूसरे शब्दों में, आव्युह के अनुरूप विशेषता बहुपद की रूट की शूर अपघटन प्राप्त करने के लिए आवश्यक रूप से गणना नहीं की जाती है। इसके विपरीत, क्यूआर एल्गोरिदम का उपयोग किसी दिए गए विशेषता बहुपद की रूट की गणना करने के लिए उसके सहयोगी आव्युह के शूर अपघटन का पता लगाकर किया जा सकता है। इसी प्रकार, क्यूआर एल्गोरिदम का उपयोग किसी दिए गए आव्युह के आइगेनवैल्यू की गणना करने के लिए किया जाता है, जो शूर अपघटन के ऊपरी त्रिकोणीय आव्युह की विकर्ण प्रविष्टियां हैं। यद्यपि क्यूआर एल्गोरिथ्म औपचारिक रूप से संचालन का अनंत अनुक्रम है, मशीन परिशुद्धता के लिए अभिसरण व्यावहारिक रूप से ${\mathcal {O}}(n^{3})$ परिचालन बिग ओ नोटेशन में प्राप्त किया जाता है।^[6] लैपैक उपयोगकर्ता गाइड में नॉनसिमेट्रिक ईजेनप्रॉब्लम्स अनुभाग देखें।^[7]

अनुप्रयोग

लाई सिद्धांत अनुप्रयोगों में सम्मिलित हैं:

प्रत्येक व्युत्क्रमणीय ऑपरेटर बोरेल समूह में समाहित है।
प्रत्येक ऑपरेटर फ़्लैग मैनिफोल्ड का बिंदु तय करता है।

सामान्यीकृत शूर अपघटन

वर्ग आव्यूह A और B को देखते हुए, 'सामान्यीकृत शूर अपघटन' दोनों आव्यूहों को $A=QSZ^{*}$ और $B=QTZ^{*}$ के रूप में गुणनखंडित करता है, जहां Q और Z एकात्मक आव्युह हैं, और S और T ऊपरी त्रिकोणीय हैं। सामान्यीकृत शूर अपघटन को कभी-कभी 'क्यूजेड अपघटन' भी कहा जाता है।^[2]^: 375

सामान्यीकृत स्वदेशीमूल्य $\lambda$ जो सामान्यीकृत स्वदेशीमूल्य समस्या $A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}$ (जहाँ x अज्ञात अशून्य सदिश है) को हल करता है गणना S के विकर्ण अवयव और T के विकर्ण अवयव के अनुपात के रूप में की जा सकती है। अर्थात्, आव्युह अवयव को निरूपित करने के लिए सबस्क्रिप्ट का उपयोग करते हुए, ith सामान्यीकृत स्वदेशीमूल्य $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$ को संतुष्ट करता है।

संदर्भ

↑ Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). मैट्रिक्स विश्लेषण. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. (Section 2.3 and further at p. 79)
↑ ^2.0 ^2.1 Golub, G.H. & Van Loan, C.F. (1996). मैट्रिक्स संगणना (3rd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.(Section 7.7 at p. 313)
↑ Schott, James R. (2016). सांख्यिकी के लिए मैट्रिक्स विश्लेषण (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.
↑ Wagner, David. "Proof of Schur's Theorem" (PDF). Notes on Linear Algebra.
↑ Higham, Nick. "What Is a Schur Decomposition?".
↑ Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). संख्यात्मक रैखिक बीजगणित. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 193–194. ISBN 0-89871-361-7. OCLC 36084666.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
↑ Anderson, E; Bai, Z; Bischof, C; Blackford, S; Demmel, J; Dongarra, J; Du Croz, J; Greenbaum, A; Hammarling, S; McKenny, A; Sorensen, D (1995). लैपैक उपयोगकर्ता मार्गदर्शिका. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-447-8.

[horn1985-1] Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). मैट्रिक्स विश्लेषण. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. (Section 2.3 and further at p. 79)

[Golub1996-2] 2.0 ^2.1 Golub, G.H. & Van Loan, C.F. (1996). मैट्रिक्स संगणना (3rd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.(Section 7.7 at p. 313)

[3] Schott, James R. (2016). सांख्यिकी के लिए मैट्रिक्स विश्लेषण (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.

[4] Wagner, David. "Proof of Schur's Theorem" (PDF). Notes on Linear Algebra.

[:0-5] Higham, Nick. "What Is a Schur Decomposition?".

[6] Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). संख्यात्मक रैखिक बीजगणित. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 193–194. ISBN 0-89871-361-7. OCLC 36084666.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)

[7] Anderson, E; Bai, Z; Bischof, C; Blackford, S; Demmel, J; Dongarra, J; Du Croz, J; Greenbaum, A; Hammarling, S; McKenny, A; Sorensen, D (1995). लैपैक उपयोगकर्ता मार्गदर्शिका. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-447-8.

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 जहां ''I<sub>λ</sub>'' ''V<sub>λ</sub>'' पर पहचान ऑपरेटर है। ''A''<sub>22</sub> को छोड़कर उपरोक्त आव्युह ऊपरी-त्रिकोणीय होगा। किंतु सम्पूर्ण रूप में यही प्रक्रिया सब-आव्युह ''A''<sub>22</sub> पर भी क्रियान्वित की जा सकती है जिसे ''V<sub>λ</sub>''<sup>⊥</sup> और इसके उपआव्युह पर ऑपरेटर के रूप में देखा गया है। इस प्रकार तब तक प्रारंभ रखें जब तक परिणामी आव्युह ऊपरी त्रिकोणीय न हो जाए। चूँकि प्रत्येक संयुग्मन ऊपरी-त्रिकोणीय ब्लॉक के आयाम को कम से कम बढ़ाता है, इसलिए इस प्रक्रिया में अधिकतम n चरण लगते हैं। इस प्रकार स्थान '''C'''<sup>''n''</sup> समाप्त हो जाएगा और प्रक्रिया ने वांछित परिणाम प्राप्त कर लिया है।<ref>{{cite web |last1=Wagner |first1=David |title=Proof of Schur’s Theorem |url=https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/ila5/lafe_schur03.pdf |website=Notes on Linear Algebra}}</ref>
-उपरोक्त तर्क को थोड़ा इस प्रकार दोहराया जा सकता है: मान लीजिए कि λ, A का स्वदेशीमूल्य है, जो कुछ ईजेनस्पेस V<sub>&lambda;</sub> के अनुरूप है। A ऑपरेटर T को [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] '''C'''<sup>''n''</sup>/''V<sub>λ</sub>'' पर प्रेरित करता है। यह ऑपरेटर ऊपर से सम्पूर्ण रूप में ''A''<sub>22</sub> उपआव्युह है। पूर्व के पश्चात्, T के पास ईजेनस्पेस होगा, मान लीजिए ''W<sub>μ</sub>'' ⊂ '''C'''<sup>''n''</sup> modulo ''V<sub>λ</sub>''. ध्यान दें की भागफल मानचित्र के अंतर्गत ''W<sub>μ</sub>'' की पूर्वछवि ''A'' का अपरिवर्तनीय उपस्थान है जिसमे ''V<sub>λ</sub>'' सम्मिलित है। इस तरह से प्रारंभ रखें जब तक कि परिणामी भागफल स्थान का आयाम 0 न हो जाए। फिर प्रत्येक चरण पर पाए जाने वाले आइगेनस्पेस की क्रमिक पूर्वछवियाँ ध्वज बनाती हैं जिसे A स्थिर करता है।
+उपरोक्त तर्क को थोड़ा इस प्रकार दोहराया जा सकता है: मान लीजिए कि λ, A का स्वदेशीमूल्य है, जो कुछ ईजेनस्पेस V<sub>&lambda;</sub> के अनुरूप है। यदि A ऑपरेटर T को [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] '''C'''<sup>''n''</sup>/''V<sub>λ</sub>'' पर प्रेरित करता है। यह ऑपरेटर ऊपर से सम्पूर्ण रूप में ''A''<sub>22</sub> उपआव्युह है। पूर्व के पश्चात्, T के पास ईजेनस्पेस होगा, मान लीजिए ''W<sub>μ</sub>'' ⊂ '''C'''<sup>''n''</sup> modulo ''V<sub>λ</sub>''. ध्यान दें की भागफल मानचित्र के अंतर्गत ''W<sub>μ</sub>'' की पूर्वछवि ''A'' का अपरिवर्तनीय उपस्थान है जिसमे ''V<sub>λ</sub>'' सम्मिलित है। इस तरह से प्रारंभ रखें जब तक कि परिणामी भागफल स्थान का आयाम 0 न हो जाए। फिर प्रत्येक चरण पर पाए जाने वाले आइगेनस्पेस की क्रमिक पूर्वछवियाँ ध्वज बनाती हैं जिसे A स्थिर करता है।
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 == संदर्भ ==
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