निमज्जित सीमा विधि: Difference between revisions

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कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में, '''निमज्जित सीमा विधि''' मूल रूप से द्रव-संरचना (फाइबर) अंतःक्रिया को अनुकरण करने के लिए 1972 में चार्ल्स एस. पेस्किन द्वारा विकसित एक दृष्टिकोण को संदर्भित करती है।<ref>{{Cite journal|last=Peskin|first=Charles S|date=1972-10-01|title=Flow patterns around heart valves: A numerical method|journal=Journal of Computational Physics|volume=10|issue=2|pages=252–271|doi=10.1016/0021-9991(72)90065-4|bibcode=1972JCoPh..10..252P |issn=0021-9991}}</ref> संरचना विकृतियों और द्रव प्रवाह के युग्मन का उपचार [[कंप्यूटर सिमुलेशन|संख्यात्मक अनुकरण]] के लिए कई चुनौतीपूर्ण समस्याएं उत्पन्न करता है (इलास्टिक सीमा तरल पदार्थ के प्रवाह को परिवर्तित करती है और द्रव इलास्टिक सीमा को एक साथ स्थानांतरित करता है)। निमज्जित सीमा विधि में द्रव को यूलेरियन समन्वय प्रणाली में प्रदर्शित किया जाता है और संरचना को लैग्रैन्जियन निर्देशांक में प्रदर्शित किया जाता है। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों द्वारा गवर्न [[न्यूटोनियन तरल पदार्थ|न्यूटोनियन द्रव]] के लिए, द्रव समीकरण निम्न प्रकार हैं
 
कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में, विसर्जित सीमा विधि मूल रूप से द्रव-संरचना (फाइबर) इंटरैक्शन को अनुकरण करने के लिए 1972 में चार्ल्स एस. पेस्किन द्वारा विकसित एक दृष्टिकोण को संदर्भित करती है।<ref>{{Cite journal|last=Peskin|first=Charles S|date=1972-10-01|title=Flow patterns around heart valves: A numerical method|journal=Journal of Computational Physics|volume=10|issue=2|pages=252–271|doi=10.1016/0021-9991(72)90065-4|bibcode=1972JCoPh..10..252P |issn=0021-9991}}</ref> संरचना विकृतियों और द्रव प्रवाह के युग्मन का इलाज करना [[कंप्यूटर सिमुलेशन]] के लिए कई चुनौतीपूर्ण समस्याएं पैदा करता है (लोचदार सीमा तरल पदार्थ के प्रवाह को बदलती है और तरल पदार्थ लोचदार सीमा को एक साथ स्थानांतरित करता है)। निमज्जित सीमा विधि में द्रव को लैग्रैन्जियन और यूलेरियन निर्देशांक प्रणाली में दर्शाया जाता है और संरचना को लैग्रैन्जियन और यूलेरियन निर्देशांक में दर्शाया जाता है। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों द्वारा शासित [[न्यूटोनियन तरल पदार्थ]]ों के लिए, तरल समीकरण हैं


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= -\nabla p + \mu\, \Delta u(x,t) + f(x,t)  
= -\nabla p + \mu\, \Delta u(x,t) + f(x,t)  
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और यदि प्रवाह असम्पीडित है, तो हमारे पास आगे की शर्त है
और यदि प्रवाह असम्पीडित होता है, तो हमारे पास आगे के नियम इस प्रकार है  


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\nabla \cdot u = 0. \,
\nabla \cdot u = 0. \,
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विसर्जित संरचनाओं को आम तौर पर एक-आयामी फाइबर के संग्रह के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे दर्शाया जाता है <math> \Gamma </math>. प्रत्येक फाइबर को पैरामीट्रिक वक्र के रूप में देखा जा सकता है <math> X(s,t) </math> कहाँ <math> s </math> फाइबर के साथ लैग्रेंजियन समन्वय है और <math>t  </math> यह समय है। फाइबर की भौतिकी को फाइबर बल वितरण फ़ंक्शन के माध्यम से दर्शाया जाता है <math> F(s,t) </math>. स्प्रिंग बल, झुकने का प्रतिरोध या किसी अन्य प्रकार का व्यवहार इस शब्द में बनाया जा सकता है। द्रव पर संरचना द्वारा लगाए गए बल को फिर संवेग समीकरण में स्रोत शब्द के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है
निमज्जित संरचनाओं को सामान्यतः एक-आयामी फाइबर के संग्रह के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जिसे <math> \Gamma </math> द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। प्रत्येक फाइबर को पैरामीट्रिक वक्र <math> X(s,t) </math> के रूप में देखा जा सकता है जहाँ <math> s </math> फाइबर के साथ लैग्रेंजियन समन्वय होता है और <math>t  </math> समय होता है। फाइबर की भौतिकी को फाइबर बल वितरण फ़ंक्शन <math> F(s,t) </math> के माध्यम से प्रदर्शित किया जाता है। स्प्रिंग बल, बेन्डिंग प्रतिरोध या किसी अन्य प्रकार का व्यवहार इस शब्द में निर्मित किया जा सकता है। द्रव पर संरचना द्वारा लगाए गए बल को फिर संवेग समीकरण में स्रोत शब्द के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है


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f(x,t) = \int_\Gamma F(s,t) \, \delta\big(x - X(s,t)\big) \, ds,
f(x,t) = \int_\Gamma F(s,t) \, \delta\big(x - X(s,t)\big) \, ds,
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कहाँ <math> \delta </math> डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है|डिराक {{mvar|δ}} समारोह। लोचदार सतहों या त्रि-आयामी ठोस पदार्थों को मॉडल करने के लिए बल को कई आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। एक द्रव्यमान रहित संरचना मानते हुए, लोचदार फाइबर स्थानीय द्रव वेग के साथ चलता है और डेल्टा फ़ंक्शन के माध्यम से प्रक्षेपित किया जा सकता है
जहाँ <math> \delta </math> डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है। इलास्टिक सतहों या त्रि-आयामी ठोस पदार्थों को प्रतिरूप करने के लिए बल को कई आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। एक द्रव्यमान रहित संरचना मानते हुए, इलास्टिक फाइबर स्थानीय द्रव वेग के साथ चलता है और डेल्टा फ़ंक्शन के माध्यम से प्रक्षेपित किया जा सकता है


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\frac{\partial X(s,t)}{\partial t} = u(X,t) = \int_\Omega u(x,t) \, \delta\big(x - X(s,t)\big)  \, dx,
\frac{\partial X(s,t)}{\partial t} = u(X,t) = \int_\Omega u(x,t) \, \delta\big(x - X(s,t)\big)  \, dx,
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</math>
कहाँ <math> \Omega </math> संपूर्ण द्रव डोमेन को दर्शाता है।
जहाँ <math> \Omega </math> संपूर्ण द्रव कार्यक्षेत्र को प्रदर्शित करता है। इन समीकरणों का डिसक्रेटीजेशन द्रव पर एक यूलेरियन ग्रिड और फाइबर पर एक अलग लैग्रेंजियन ग्रिड मानकर किया जा सकता है। सुचारू कार्यों द्वारा डेल्टा वितरण का प्राक्कलन हमें दो ग्रिडों के मध्य अंतरण करने की अनुमति देता है। निमज्जित सीमा समीकरणों को हल करने के लिए किसी भी उपस्थित द्रव सॉल्वर को फाइबर समीकरणों के सॉल्वर के साथ जोड़ा जा सकता है। इस मूलभूत दृष्टिकोण के भिन्न रूप को इलास्टिक संरचनाओं से युक्त विभिन्न प्रकार की यांत्रिक प्रणालियों को अनुकरण करने के लिए प्रयुक्त किया जाता है जो द्रव प्रवाह के साथ अन्तःक्रिया करते हैं।
इन समीकरणों का विवेकीकरण द्रव पर एक यूलेरियन ग्रिड और फाइबर पर एक अलग लैग्रेंजियन ग्रिड मानकर किया जा सकता है।
सुचारू कार्यों द्वारा डेल्टा वितरण का अनुमान हमें दो ग्रिडों के बीच अंतरण करने की अनुमति देगा।
विसर्जित सीमा समीकरणों को हल करने के लिए किसी भी मौजूदा द्रव सॉल्वर को फाइबर समीकरणों के सॉल्वर के साथ जोड़ा जा सकता है।
इस बुनियादी दृष्टिकोण के वेरिएंट को लोचदार संरचनाओं से युक्त विभिन्न प्रकार की यांत्रिक प्रणालियों को अनुकरण करने के लिए लागू किया गया है जो द्रव प्रवाह के साथ बातचीत करते हैं।


पेस्किन द्वारा इस विधि के मूल विकास के बाद से, ग्रिड पर जटिल विसर्जित निकायों पर प्रवाह अनुकरण करने के लिए कई प्रकार के दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं जो शरीर की सतह के अनुरूप नहीं हैं। इनमें विसर्जित इंटरफ़ेस विधि, कार्टेशियन ग्रिड विधि, भूत द्रव विधि और कट-सेल विधि जैसी विधियां शामिल हैं। मित्तल और इयाकारिनो<ref>{{harvnb|Mittal|Iaccarino|2005}}.</ref> इन सभी (और अन्य संबंधित) विधियों को निमज्जित सीमा विधियों के रूप में देखें और इन विधियों के विभिन्न वर्गीकरण प्रदान करें। कार्यान्वयन के दृष्टिकोण से, वे विसर्जित सीमा विधियों को निरंतर बल और असतत बल विधियों में वर्गीकृत करते हैं। पूर्व में, विवेकाधीनता से पहले निरंतर नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में एक बल शब्द जोड़ा जाता है, जबकि बाद में, विवेकाधीन समीकरणों पर बल लागू किया जाता है (स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से)। इस वर्गीकरण के तहत, पेस्किन की मूल विधि एक सतत बल विधि है जबकि कार्टेशियन ग्रिड, कट-सेल और भूत-द्रव विधियां असतत बल विधियां हैं।
पेस्किन द्वारा इस विधि के मूल विकास के पश्चात् से, ग्रिड पर समष्टि निमज्जित निकायों पर प्रवाह अनुकरण करने के लिए कई प्रकार के दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं जो सरफेस बॉडी के अनुरूप नहीं होता हैं। इनमें निमज्जित इंटरफ़ेस विधि, कार्टेशियन ग्रिड विधि, घोस्ट द्रव विधि और कट-सेल विधि जैसी विधियाँ सम्मिलित होती हैं। मित्तल और इयाकारिनो<ref>{{harvnb|Mittal|Iaccarino|2005}}.</ref> इन सभी (और अन्य संबंधित) विधियों को निमज्जित सीमा विधियों के रूप में संदर्भित करते है और इन विधियों के विभिन्न वर्गीकरण करते है। कार्यान्वयन के दृष्टिकोण से, वे निमज्जित सीमा विधियों को निरंतर बल और असतत बल विधियों में वर्गीकृत करते हैं। पूर्व में, डिस्क्रेटीजेशन से पहले निरंतर नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में एक बल शब्द जोड़ा जाता है, जबकि पश्चात् में, डिस्क्रेटीजेशन समीकरणों पर बल प्रयुक्त किया जाता है (स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से)। इस वर्गीकरण के तहत, पेस्किन की मूल विधि एक सतत बल मेथड है जबकि कार्टेशियन ग्रिड, कट-सेल और भूत-द्रव विधियाँ असतत बल विधियाँ होती हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*[[स्टोकेस्टिक यूलेरियन लैग्रेंजियन विधि]]
*[[स्टोकेस्टिक यूलेरियन लैग्रेंजियन विधि]]
*स्टोकेशियन गतिकी
*स्टोकेशियन गतिकी
*द्रव की मात्रा विधि
*तरल पदार्थ की मात्रा विधि
*स्तर-निर्धारित विधि
*लेवल-सेट विधि
*[[मार्कर-और-सेल विधि]]
*[[मार्कर-और-सेल विधि]]


== सॉफ्टवेयर: संख्यात्मक कोड ==
== सॉफ्टवेयर: न्यूमेरिकल कोड ==
* [https://www.mentor.com/products/mechanical/floefd/ FloEFD: वाणिज्यिक सीएफडी आईबीएम कोड]
* [https://www.mentor.com/products/mechanical/floefd/ FloEFD: वाणिज्यिक सीएफडी आईबीएम कोड]
* [[उन्नत सिमुलेशन लाइब्रेरी]]
* [[उन्नत सिमुलेशन लाइब्रेरी]]
* [http://mango-selm.org/ मैंगो-सेल्म: निमज्जित सीमा विधियां और एसईएलएम सिमुलेशन, 3डी पैकेज, (पायथन इंटरफ़ेस, एलएएमएमपीएस एमडी इंटीग्रेशन), पी. एट्ज़बर्गर, यूसीएसबी]
* [http://mango-selm.org/ मैंगो-सेल्म: निमज्जित सीमा विधियाँ और एसईएलएम सिमुलेशन, 3डी पैकेज, (पायथन इंटरफ़ेस, एलएएमएमपीएस एमडी इंटीग्रेशन), पी. एट्ज़बर्गर, यूसीएसबी]
* [http://software.atzberger.org/ 3डी में स्टोचैस्टिक डूबे हुए सीमा तरीके, पी. एट्ज़बर्गर, यूसीएसबी]
* [http://software.atzberger.org/ 3डी में स्टोकेस्टिक निमज्जित सीमा विधि, पी. एट्ज़ बर्गर, यूसीएसबी]
* [http://www.math.utah.edu/IBIS/ 2डी में एकसमान जाली के लिए निमज्जित सीमा विधि, ए. फोगेलसन, यूटा]
* [http://www.math.utah.edu/IBIS/ 2डी में यूनिफार्म लैटिस के लिए निमज्जित सीमा विधि, ए. फोगेलसन, यूटा]
* [https://github.com/IBAMR/IBAMR IBAMR: 3डी में अनुकूली जाल के लिए निमज्जित सीमा विधि, बी. ग्रिफ़िथ, एनवाईयू।]
* [https://github.com/IBAMR/IBAMR IBAMR: 3डी में अडाप्टिव मेशेस के लिए निमज्जित सीमा विधि, बी. ग्रिफ़िथ, एनवाईयू।]
* [https://github.com/nickabattista/ib2d IB2d: 60+ उदाहरणों के साथ 2डी में MATLAB और पायथन के लिए विसर्जित सीमा विधि, एन.ए. बतिस्ता, टीसीएनजे]
* [https://github.com/nickabattista/ib2d IB2d: 60+ उदाहरणों के साथ 2डी में मैटलैब और पायथन के लिए निमज्जित सीमा विधि, एन.ए. बतिस्ता, टीसीएनजे]
* [http://espressomd.org/html/doc/advanced_methods.html#immersed-सीमा-विधि-for-soft-elastic-objects ESPResSo: नरम लोचदार वस्तुओं के लिए विसर्जित सीमा विधि]
* [http://espressomd.org/html/doc/advanced_methods.html#immersed-सीमा-विधि-for-soft-elastic-objects ESPResSo: सॉफ्ट इलास्टिक वस्तुओं के लिए निमज्जित सीमा विधि]
* [https://openfoamwiki.net/index.php/Extend-bazaar/Toolkits/ImmersedBoundary OpenFoam पर आधारित CFD IBM कोड]
* [https://openfoamwiki.net/index.php/Extend-bazaar/Toolkits/ImmersedBoundary OpenFoam पर आधारित CFD IBM कोड]
* [https://github.com/ChenguangZhang/sdfibm sdfibm: OpenFoam पर आधारित एक और CFD IBM कोड]
* [https://github.com/ChenguangZhang/sdfibm sdfibm: ओपनफोम पर आधारित एक और CFD IBM कोड]
* [https://www.simscale.com/docs/analyses-types/immersed-सीमा-विश्लेषण/ सिमस्केल: क्लाउड में द्रव यांत्रिकी और संयुग्मी गर्मी हस्तांतरण सिमुलेशन के लिए विसर्जित सीमा विधि]
* [https://www.simscale.com/docs/analyses-types/immersed-सीमा-विश्लेषण/ सिमस्केल: क्लाउड में द्रव यांत्रिकी और संयुग्मी हीट हस्तांतरण ट्रान्सफर के लिए निमज्जित सीमा विधि]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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== संदर्भ ==
==संदर्भ==
*{{Cite journal
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{{Numerical PDE}}
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Latest revision as of 10:27, 22 August 2023

कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में, निमज्जित सीमा विधि मूल रूप से द्रव-संरचना (फाइबर) अंतःक्रिया को अनुकरण करने के लिए 1972 में चार्ल्स एस. पेस्किन द्वारा विकसित एक दृष्टिकोण को संदर्भित करती है।[1] संरचना विकृतियों और द्रव प्रवाह के युग्मन का उपचार संख्यात्मक अनुकरण के लिए कई चुनौतीपूर्ण समस्याएं उत्पन्न करता है (इलास्टिक सीमा तरल पदार्थ के प्रवाह को परिवर्तित करती है और द्रव इलास्टिक सीमा को एक साथ स्थानांतरित करता है)। निमज्जित सीमा विधि में द्रव को यूलेरियन समन्वय प्रणाली में प्रदर्शित किया जाता है और संरचना को लैग्रैन्जियन निर्देशांक में प्रदर्शित किया जाता है। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों द्वारा गवर्न न्यूटोनियन द्रव के लिए, द्रव समीकरण निम्न प्रकार हैं

और यदि प्रवाह असम्पीडित होता है, तो हमारे पास आगे के नियम इस प्रकार है

निमज्जित संरचनाओं को सामान्यतः एक-आयामी फाइबर के संग्रह के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जिसे द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। प्रत्येक फाइबर को पैरामीट्रिक वक्र के रूप में देखा जा सकता है जहाँ फाइबर के साथ लैग्रेंजियन समन्वय होता है और समय होता है। फाइबर की भौतिकी को फाइबर बल वितरण फ़ंक्शन के माध्यम से प्रदर्शित किया जाता है। स्प्रिंग बल, बेन्डिंग प्रतिरोध या किसी अन्य प्रकार का व्यवहार इस शब्द में निर्मित किया जा सकता है। द्रव पर संरचना द्वारा लगाए गए बल को फिर संवेग समीकरण में स्रोत शब्द के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है

जहाँ डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है। इलास्टिक सतहों या त्रि-आयामी ठोस पदार्थों को प्रतिरूप करने के लिए बल को कई आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। एक द्रव्यमान रहित संरचना मानते हुए, इलास्टिक फाइबर स्थानीय द्रव वेग के साथ चलता है और डेल्टा फ़ंक्शन के माध्यम से प्रक्षेपित किया जा सकता है

जहाँ संपूर्ण द्रव कार्यक्षेत्र को प्रदर्शित करता है। इन समीकरणों का डिसक्रेटीजेशन द्रव पर एक यूलेरियन ग्रिड और फाइबर पर एक अलग लैग्रेंजियन ग्रिड मानकर किया जा सकता है। सुचारू कार्यों द्वारा डेल्टा वितरण का प्राक्कलन हमें दो ग्रिडों के मध्य अंतरण करने की अनुमति देता है। निमज्जित सीमा समीकरणों को हल करने के लिए किसी भी उपस्थित द्रव सॉल्वर को फाइबर समीकरणों के सॉल्वर के साथ जोड़ा जा सकता है। इस मूलभूत दृष्टिकोण के भिन्न रूप को इलास्टिक संरचनाओं से युक्त विभिन्न प्रकार की यांत्रिक प्रणालियों को अनुकरण करने के लिए प्रयुक्त किया जाता है जो द्रव प्रवाह के साथ अन्तःक्रिया करते हैं।

पेस्किन द्वारा इस विधि के मूल विकास के पश्चात् से, ग्रिड पर समष्टि निमज्जित निकायों पर प्रवाह अनुकरण करने के लिए कई प्रकार के दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं जो सरफेस बॉडी के अनुरूप नहीं होता हैं। इनमें निमज्जित इंटरफ़ेस विधि, कार्टेशियन ग्रिड विधि, घोस्ट द्रव विधि और कट-सेल विधि जैसी विधियाँ सम्मिलित होती हैं। मित्तल और इयाकारिनो[2] इन सभी (और अन्य संबंधित) विधियों को निमज्जित सीमा विधियों के रूप में संदर्भित करते है और इन विधियों के विभिन्न वर्गीकरण करते है। कार्यान्वयन के दृष्टिकोण से, वे निमज्जित सीमा विधियों को निरंतर बल और असतत बल विधियों में वर्गीकृत करते हैं। पूर्व में, डिस्क्रेटीजेशन से पहले निरंतर नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में एक बल शब्द जोड़ा जाता है, जबकि पश्चात् में, डिस्क्रेटीजेशन समीकरणों पर बल प्रयुक्त किया जाता है (स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से)। इस वर्गीकरण के तहत, पेस्किन की मूल विधि एक सतत बल मेथड है जबकि कार्टेशियन ग्रिड, कट-सेल और भूत-द्रव विधियाँ असतत बल विधियाँ होती हैं।

यह भी देखें

सॉफ्टवेयर: न्यूमेरिकल कोड

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Peskin, Charles S (1972-10-01). "Flow patterns around heart valves: A numerical method". Journal of Computational Physics. 10 (2): 252–271. Bibcode:1972JCoPh..10..252P. doi:10.1016/0021-9991(72)90065-4. ISSN 0021-9991.
  2. ↑ Mittal & Iaccarino 2005.

संदर्भ

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