व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन

गणित में, किसी फलन (गणित) F(s) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण खंड अनुसार निरंतर फलन और घातीय-प्रतिबंधित है वास्तविक संख्या फलन f(t) जिसका गुण है:

${\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),$

जहाँ ${\mathcal {L}}$ लाप्लास परिवर्तन को दर्शाता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि, यदि किसी फलन F(s) में व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफॉर्म f(t) है, तो f(t) विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है (उन कार्यों पर विचार करते हुए जो केवल बिंदु सेट पर दूसरे से भिन्न होते हैं, जिसमें लेबेस्ग का माप शून्य होता है) वही। यह परिणाम पहली बार 1903 में मैथियास लेर्च द्वारा सिद्ध किया गया था और इसे लेर्च के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार के लाप्लास परिवर्तन और व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन में साथ विभिन्न गुण होते हैं जो उन्हें रैखिक गतिशील प्रणालियों के विश्लेषण के लिए उपयोगी बनाते हैं।

मेलिन का व्युत्क्रम सूत्र

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन के लिए एक अभिन्न सूत्र, जिसे मेलिन का व्युत्क्रम सूत्र ब्रोमविच इंटीग्रल या जोसेफ फूरियर-मेलिन इंटीग्रल कहा जाता है, तथा लाइन इंटीग्रल द्वारा दिया जाता है:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds$

जहां एकीकरण सम्मिश्र तल में ऊर्ध्वाधर रेखा Re(s) = γ के साथ किया जाता है, जैसे कि γ F(s) की सभी गणितीय विलक्षणता के वास्तविक भाग से अधिक है और F(s) रेखा पर घिरा हुआ है, उदाहरण के लिए यदि समोच्च पथ अभिसरण के क्षेत्र में है। यदि सभी विलक्षणताएं बाएं आधे तल में हैं, या F(s) संपूर्ण फलन है, तब γ को शून्य पर सेट किया जा सकता है और उपरोक्त व्युत्क्रम अभिन्न सूत्र व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के समान हो जाता है।

व्यवहार में, कॉची अवशेष प्रमेय का उपयोग करके सम्मिश्र अभिन्न की गणना की जा सकती है।

पोस्ट का व्युत्क्रम सूत्र

लाप्लास रूपांतरण के लिए पोस्ट का व्युत्क्रम सूत्र, जिसका नाम एमिल लियोन पोस्ट के नाम पर रखा गया है, व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन के मूल्यांकन के लिए सरल दिखने वाला किन्तु सामान्यतः अव्यावहारिक सूत्र है।

सूत्र का कथन इस प्रकार है: मान लीजिए f(t) घातीय क्रम के अंतराल [0, ∞) पर सतत कार्य है, अर्थात।

$\sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty$

कुछ वास्तविक संख्या के लिए b. फिर सभी s > b के लिए, f(t) के लिए लाप्लास परिवर्तन उपस्थित है और s के संबंध में असीम रूप से भिन्न है। इसके अतिरिक्त, यदि F(s) f(t) का लाप्लास रूपांतरण है, तो F(s) का व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन इस प्रकार दिया जाता है

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)$

t > 0 के लिए, जहाँ F^(k), s के संबंध में F का k-वां व्युत्पन्न है।

जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, अनैतिक रूप से उच्च आदेशों के डेरिवेटिव का मूल्यांकन करने की आवश्यकता इस सूत्र को अधिकांश उद्देश्यों के लिए अव्यावहारिक बना देती है।

शक्तिशाली व्यक्तिगत कंप्यूटरों के आगमन के साथ, इस सूत्र का उपयोग करने का मुख्य प्रयास व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन के अनुमान या स्पर्शोन्मुख विश्लेषण से निपटने से आया है, जिसमें डेरिवेटिव का मूल्यांकन करने के लिए ग्रुनवल्ड-लेटनिकोव डिफ़रिन्टिग्रल का उपयोग किया गया है।

पोस्ट के व्युत्क्रम ने कम्प्यूटेशनल विज्ञान में सुधार और इस तथ्य के कारण रुचि आकर्षित की है कि यह जानना आवश्यक नहीं है कि F(s) का ध्रुव (सम्मिश्र विश्लेषण) कहां है, जो व्युत्क्रम का उपयोग करके बड़े X के लिए स्पर्शोन्मुख व्यवहार की गणना करना संभव बनाता है। रीमैन परिकल्पना से संबंधित अनेक अंकगणितीय कार्यों के लिए मेलिन रूपांतरित होता है।

सॉफ़्टवेयर उपकरण

• इनवर्सलाप्लेसट्रांसफॉर्म गणित में प्रतीकात्मक व्युत्क्रम परिवर्तन करता है
• सम्मिश्र डोमेन का उपयोग करके एकाधिक परिशुद्धता के साथ लाप्लास ट्रांसफॉर्म का संख्यात्मक परिवर्तन गणित में संख्यात्मक समाधान देता है
• इलाप्लेस मैटलैब में प्रतीकात्मक व्युत्क्रम परिवर्तन करता है
• मैटलैब में लैपलेस ट्रांसफॉर्म का संख्यात्मक परिवर्तन
• मैटलैब में संकेंद्रित मैट्रिक्स-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शंस के आधार पर लाप्लास ट्रांसफॉर्म का संख्यात्मक परिवर्तन

यह भी देखें

• व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण
• पॉइसन योग सूत्र

अग्रिम पठन

• Davies, B. J. (2002), Integral transforms and their applications (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95314-4
• Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D. (1998), Handbook of integral equations, London: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
• Boas, Mary (1983), Mathematical Methods in the physical sciences, John Wiley & Sons, p. 662, ISBN 0-471-04409-1 (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
• Widder, D. V. (1946), The Laplace Transform, Princeton University Press
• Elementary inversion of the Laplace transform. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

बाहरी संबंध

• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

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