अनुक्रम सिद्धांत(ऑर्डर थ्योरी): Difference between revisions

Latest revision as of 15:10, 25 August 2023

अनुक्रम सिद्धांत या क्रम सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो द्वयी सम्बन्ध का उपयोग करके अनुक्रम की सहज धारणा की जांच करता है। यह "यह उससे कम है" या "यह उससे पहले है" जैसे बयानों का वर्णन करने के लिए एक औपचारिक ढांचा प्रदान करता है। यह लेख क्षेत्र का परिचय देता है और बुनियादी परिभाषाएँ प्रदान करता है। अनुक्रम सिद्धांत शब्दावली में अनुक्रम-सैद्धांतिक शब्दों की एक सूची पाई जाती है।

पृष्ठभूमि और प्रेरणा

अनुक्रम गणित और संगणक विज्ञान जैसे संबंधित क्षेत्रों में हर जगह हैं। प्राथमिक विद्यालय में अक्सर चर्चा की जाने वाली पहली व्यवस्था प्राकृतिक संख्याओं पर मानक क्रम है उदाहरण "2 कम है 3 से", "10 बड़ा है 5 से", को संख्याओं के अन्य समुच्चय, जैसे कि पूर्णांक और वास्तविक पर अनुक्रम करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। किसी अन्य संख्या से अधिक या कम होने का विचार सामान्य रूप से संख्या प्रणालियों (अंक प्रणालियों के साथ तुलना) के मूल अंतर्ज्ञान में से एक है (हालांकि आमतौर पर दो संख्याओं के वास्तविक अंतर में भी रुचि होती है, जो अनुक्रम द्वारा नहीं दी जाती है ) अनुक्रम के अन्य परिचित उदाहरण एक शब्दकोश में शब्दों के वर्णानुक्रमिक क्रम और लोगों के समूह के भीतर वंश की वंशावली गुण हैं।

अनुक्रम की धारणा बहुत सामान्य है, जो उन संदर्भों से परे फैली हुई है जिनमें अनुक्रम या सापेक्ष मात्रा का तत्काल, सहज ज्ञान होता है। अन्य संदर्भों में अनुक्रम नियंत्रण या विशेषज्ञता की धारणाओं को पकड़ सकते हैं। संक्षेप में, इस प्रकार का अनुक्रम उपसमुच्चय संबंध के बराबर है, उदाहरण के लिए, "बाल रोग विशेषज्ञ चिकित्सक हैं," और "मंडलियां केवल विशेष-मामले वाले दीर्घवृत्त हैं।"

कुछ अनुक्रम, जैसे प्राकृतिक संख्याओं पर "से कम-से" और शब्दों पर वर्णानुक्रमिक क्रम में, एक विशेष गुण होता है: प्रत्येक तत्व की तुलना किसी अन्य तत्व से की जा सकती है, यानी यह उससे छोटा (पहले) है, उससे बड़ा (बाद में), या के समान है। हालांकि, कई अन्य अनुक्रम नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए समुच्चय के संग्रह पर उपसमुच्चय अनुक्रम पर विचार करें: हालांकि पक्षियों का समुच्चय और कुत्तों का समुच्चय दोनों जानवरों के समुच्चय के उपसमुच्चय हैं, न तो पक्षी और न ही कुत्ते दूसरे के उपसमुच्चय का गठन करते हैं। वे अनुक्रम जैसे "उपसमुच्चय पर" संबंध जिसके लिए अतुलनीय तत्व मौजूद हैं, आंशिक अनुक्रम कहलाते हैं, जिन अनुक्रमों के लिए तत्वों की प्रत्येक जोड़ी तुलनीय है, कुल अनुक्रम हैं।

अनुक्रम सिद्धांत एक सामान्य समायोजन में उदाहरणों से उत्पन्न होने वाले अनुक्रमों के अंतर्ज्ञान को पकड़ लेता है। यह गुणों को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है कि एक संबंध ≤ को गणितीय क्रम होना चाहिए। यह अधिक सारगर्भित दृष्टिकोण बहुत मायने रखता है, क्योंकि किसी विशेष क्रम के विवरण पर ध्यान केंद्रित किए बिना, सामान्य समायोजन में कई प्रमेय प्राप्त किए जा सकते हैं। इन अंतर्दृष्टि को तब आसानी से कई कम सार अनुप्रयोगों में स्थानांतरित किया जा सकता है।

अनुक्रमों के व्यापक व्यावहारिक उपयोग से प्रेरित, कई विशेष प्रकार के अनुक्रमित समुच्चय को परिभाषित किया गया है, जिनमें से कुछ अपने स्वयं के गणितीय क्षेत्रों में विकसित हो गए हैं। इसके अलावा, अनुक्रम सिद्धांत खुद को अनुक्रम देने वाले संबंधों के विभिन्न वर्गों तक सीमित नहीं रखता है, बल्कि उनके बीच उपयुक्त कार्यों पर भी विचार करता है। फलन के लिए अनुक्रम सैद्धांतिक गुण का एक सरल उदाहरण विश्लेषण से आता है जहां एकदिष्ट ( एकदिष्ट) फलन अक्सर पाए जाते हैं।

मूल परिभाषाएँ

यह खंड समुच्चय सिद्धांत, अंकगणित और द्वयी सम्बन्ध की अवधारणाओं पर निर्माण करके क्रमबद्ध समुच्चय का परिचय देता है।

आंशिक रूप से अनुक्रमित समुच्चय

अनुक्रम विशेष द्विआधारी संबंध हैं। मान लीजिए कि P एक समुच्चय है और ≤ P पर एक संबंध है ('समुच्चय पर संबंध' का अर्थ 'इसके निवासियों के बीच संबंध' से लिया जाता है)। तब ≤ एक आंशिक क्रम है यदि यह प्रतिवर्ती, प्रतिसममितीय और सकर्मक है, अर्थात, यदि P में सभी a, b और c के लिए, हमारे पास वह है:

a ≤ a (रेफ्लेक्सिविटी)

यदि a b और b ≤ a तो a = b (प्रतिसममिति)

यदि a ≤ b और b ≤ c तो a ≤ c (c (सकर्मक)।

आंशिक क्रम के साथ समुच्चय को आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया समुच्चय, आंशिकतः समुच्चय, या केवल अनुक्रम किया गया समुच्चय कहा जाता है यदि इच्छित अर्थ स्पष्ट है। इन गुणों की जाँच करके, कोई तुरंत देखता है कि प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक पर प्रसिद्ध अनुक्रम उपरोक्त अर्थों में सभी अनुक्रम हैं। हालाँकि, इन उदाहरणों में अतिरिक्त गुण हैं कि कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं, अर्थात, P में सभी a और b के लिए, हमारे पास वह है:

a ≤ b या b ≤ a

इस संपत्ति के साथ एक आंशिक अनुक्रम को कुल अनुक्रम कहा जाता है। इन अनुक्रमों को रैखिक अनुक्रम या श्रृंखला भी कहा जा सकता है। जबकि कई परिचित अनुक्रम रैखिक होते हैं, समुच्चय पर उपसमुच्चय अनुक्रम एक उदाहरण प्रदान करता है जहां यह मामला नहीं है। एक अन्य उदाहरण विभाज्यता (या "is-a-factor-of") संबंध द्वारा दिया गया है | दो प्राकृत संख्याओं n और m के लिए, हम n|m लिखते हैं यदि n शेषफल के बिना m को विभाजित करता है। कोई आसानी से देख सकता है कि इससे आंशिक अनुक्रम मिलता है। पहचान संबंध = किसी भी समुच्चय पर भी एक आंशिक क्रम है जिसमें प्रत्येक दो अलग-अलग तत्व अतुलनीय होते हैं। यह एकमात्र ऐसा संबंध भी है जो आंशिक क्रम और तुल्यता संबंध दोनों है। आंशिकतः समुच्चय के कई उन्नत गुण मुख्य रूप से गैर-रैखिक अनुक्रमों के लिए रुचिकर हैं।

स्थिति की कल्पना

60 के सभी विभाजकों के सेट का आंशिक आंशिक, आंशिक रूप से विभाजन द्वारा अनुक्रम दिया गया

हास आरेख आंशिक क्रम के तत्वों और संबंधों का नेत्रहीन प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। ये लेखाचित्र (ग्राफ़) आरेखण (ड्रॉइंग) हैं जहां शिखर आंशिकतः क्रमित समुच्चय के तत्व हैं और अनुक्रम संबंध दोनों किनारों और शिखर की सापेक्ष स्थिति द्वारा इंगित किया जाता है। अनुक्रम नीचे से ऊपर खींचे जाते हैं: यदि कोई तत्व x (पहले) y से छोटा है तो x से y तक एक पथ मौजूद है जो ऊपर की ओर निर्देशित है। तत्वों को जोड़ने वाले किनारों के लिए एक दूसरे को पार करना अक्सर आवश्यक होता है, लेकिन तत्वों को कभी भी किनारे के भीतर स्थित नहीं होना चाहिए। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए हैस आरेख बनाना एक शिक्षाप्रद अभ्यास है जो 13 से छोटा या उसके बराबर है, जिसके द्वारा अनुक्रम दिया गया है | (विभाजन संबंध)।

यहां तक कि कुछ अनंत समुच्चय को एक परिमित उप-क्रम पर एक दीर्घवृत्त (...) को अध्यारोपण करके आरेखित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन यह वास्तविक के लिए विफल रहता है, जहां 0 से ऊपर कोई तत्काल उत्तराधिकारी नहीं है, हालांकि, अक्सर एक समान प्रकार के आरेखों से संबंधित अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं^[vague]।

अनुक्रम के भीतर विशेष तत्व

आंशिक रूप से व्यवस्थित समुच्चय में कुछ तत्व हो सकते हैं जो एक विशेष भूमिका निभाते हैं। सबसे बुनियादी उदाहरण आंशिकतः समुच्चय के कम से कम तत्व द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, 1 धनात्मक पूर्णांकों का सबसे छोटा अवयव है और उपसमुच्चय क्रम के अंतर्गत रिक्त समुच्चय सबसे छोटा समुच्चय है। औपचारिक रूप से, तत्व m सबसे छोटा तत्व है यदि:

m ≤ a, क्रम के सभी तत्वों के लिए

अंकन 0 अक्सर कम से कम तत्व के लिए पाया जाता है, भले ही कोई संख्या संबंधित न हो। हालाँकि, संख्याओं के समुच्चय के क्रम में, यह संकेतन अनुपयुक्त या अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि संख्या 0 हमेशा कम से कम नहीं होती है। उपरोक्त विभाज्यता क्रम | द्वारा एक उदाहरण दिया गया है, जहाँ 1 सबसे छोटा तत्व है क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है। इसके विपरीत, 0 वह संख्या है जो अन्य सभी संख्याओं से विभाजित होती है। इसलिए यह अनुक्रम का सबसे बड़ा तत्व है। कम से कम और सबसे बड़े तत्वों के लिए अन्य लगातार शब्द नीचे और ऊपर या शून्य और इकाई हैं।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण से पता चलता है कि कम से कम और सबसे बड़े तत्व मौजूद नहीं हो सकते हैं। लेकिन अगर वे मौजूद हैं, तो वे हमेशा अद्वितीय होते हैं। इसके विपरीत, विभाज्यता संबंध पर विचार करें | समुच्चय पर {2,3,4,5,6}। हालांकि इस समुच्चय में न तो ऊपर है और न ही नीचे, तत्वों 2, 3, और 5 के नीचे कोई तत्व नहीं है, जबकि 4, 5 और 6 में कोई भी ऊपर नहीं है। ऐसे तत्वों को क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कहा जाता है। औपचारिक रूप से, एक तत्व m न्यूनतम होता है यदि:

a ≤ m का अर्थ है a = m, कोटि के सभी अवयव a के लिए।

≤ के साथ ≥ बदलने से अधिकतमता की परिभाषा मिलती है। जैसा कि उदाहरण से पता चलता है, कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं और कुछ तत्व अधिकतम और न्यूनतम दोनों हो सकते हैं (उदाहरण के लिए ऊपर 5)। हालांकि, अगर कम से कम तत्व है, तो यह अनुक्रम का एकमात्र न्यूनतम तत्व है। फिर से, अनंत आंशिकतः समुच्चय में अधिकतम तत्व हमेशा मौजूद नहीं होते हैं - किसी दिए गए अनंत समुच्चय के सभी परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय, उपसमुच्चय समावेश द्वारा अनुक्रमित, कई प्रतिरूपों में से एक प्रदान करता है। कुछ शर्तों के तहत अधिकतम तत्वों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण ज़ोर्न का लेम्मा है।

आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय के उपसमुच्चय अनुक्रम को वंशानुक्रम करते हैं। प्रेरित विभाज्यता क्रम के साथ प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय {2,3,4,5,6} पर विचार करके हमने इसे पहले ही लागू कर दिया है। अब आंशिकतः क्रमित समुच्चय के ऐसे तत्व भी हैं जो क्रम के कुछ उपसमुच्चय के संबंध में विशेष हैं। यह ऊपरी सीमा की परिभाषा की ओर जाता है। कुछ आंशिकतः समुच्चय P के उपसमुच्चय S को देखते हुए, S की ऊपरी सीमा P का एक तत्व b है जो S के सभी तत्वों से ऊपर है। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि

s ≤ b, S में सभी s के लिए।

निचली सीमाओं को फिर से क्रम को उलट कर परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, -5 पूर्णांकों के उपसमुच्चय के रूप में प्राकृत संख्याओं की निचली सीमा है। समुच्चय को देखते हुए, उपसमुच्चय अनुक्रम के तहत इन समुच्चय के लिए ऊपरी सीमा उनके संघ द्वारा दी जाती है। वास्तव में, यह ऊपरी सीमा काफी खास है: यह सबसे छोटा समुच्चय है जिसमें सभी समुच्चय होते हैं। इसलिए, हमें समुच्चयों के समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा मिली है। इस अवधारणा को सुप्रीमम या जॉइन भी कहा जाता है, और एक समुच्चय S के लिए एक sup(S) या $\bigvee S$ अपने कम से कम ऊपरी परिबंध के लिए लिखता है। इसके विपरीत, सबसे बड़ी निचली सीमा को इनफिमम या मीट और निरूपित inf(S) या $\bigwedge S$ के रूप में जाना जाता है। ये अवधारणाएं अनुक्रम थ्योरी के कई अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। दो तत्वों x और y के लिए, एक $x\vee y$ तथा $x\wedge y$ sup ({x, y}) और inf ({x, y}) के लिए क्रमशः है।

उदाहरण के लिए, 1 पूर्णांकों के उपसमुच्चय के रूप में धनात्मक पूर्णांकों का अधिकतम है

अन्य उदाहरण के लिए, फिर से संबंध पर विचार करें | प्राकृतिक संख्याओं पर। दो संख्याओं की सबसे छोटी ऊपरी सीमा वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो उन दोनों से विभाजित होती है, यानी संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य है। बदले में सबसे बड़ी निचली सीमाएं महत्तम समापवर्तक द्वारा दी जाती हैं।

द्वंद्व

पिछली परिभाषाओं में, हमने अक्सर ध्यान दिया कि एक अवधारणा को केवल पूर्व परिभाषा में क्रम को उलट कर परिभाषित किया जा सकता है। यह "न्यूनतम" और "महानतम" के लिए, "न्यूनतम" और "अधिकतम" के लिए, "ऊपरी परिबंध और "लोअर परिबंध" के लिए, और इसी तरह का मामला है। यह अनुक्रम सिद्धांत में एक सामान्य स्थिति है: किसी दिए गए अनुक्रम को केवल उसकी दिशा का आदान-प्रदान करके उलटा किया जा सकता है, चित्रमय रूप से हस्से आरेख को ऊपर-नीचे पलट जा सकता है। यह तथाकथित द्वैत, प्रतिलोम या विपरीत क्रम उत्पन्न करता है।

प्रत्येक अनुक्रम सैद्धांतिक परिभाषा की अपनी दोहरी होती है: यह वह धारणा है जिसे कोई व्युत्क्रम क्रम में परिभाषा को लागू करके प्राप्त करता है। चूंकि सभी अवधारणाएं सममित हैं, इसलिए यह संक्रिया आंशिक अनुक्रमों के प्रमेयों को बरकरार रखता है। किसी दिए गए गणितीय परिणाम के लिए, कोई केवल क्रम को उल्टा कर सकता है और सभी परिभाषाओं को उनके दोहरे से बदल सकता है और एक अन्य मान्य प्रमेय प्राप्त करता है। यह महत्वपूर्ण और उपयोगी है, क्योंकि एक की कीमत के लिए दो प्रमेय प्राप्त होते हैं। क्रम सिद्धांत में द्वैत पर लेख में कुछ और विवरण और उदाहरण पाए जा सकते हैं।

नए अनुक्रमों का निर्माण

दिए गए अनुक्रम से अनुक्रम बनाने के कई तरीके हैं। दोहरा क्रम एक उदाहरण है। एक अन्य महत्वपूर्ण निर्माण दो आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद है, जिसे तत्वों के जोड़े पर उत्पाद क्रम के साथ लिया जाता है। अनुक्रमिंग को (a, x) ≤ (b, y) द्वारा परिभाषित किया गया है यदि (और केवल अगर) a ≤ b तथा x ≤ y है। (ध्यान से ध्यान दें कि इस परिभाषा में संबंध प्रतीक के लिए तीन अलग-अलग अर्थ हैं।) दो आंशिकतः समुच्चय का असंबद्ध संघ अनुक्रम निर्माण का एक और विशिष्ट उदाहरण है, जहां अनुक्रम मूल अनुक्रमों का केवल (असंबद्ध) संघ है।

प्रत्येक आंशिक अनुक्रम ≤ एक तथाकथित सख्त अनुक्रम < को जन्म देता है, a < b को परिभाषित करके यदि a ≤ b और b ≤ a नहीं है। इस परिवर्तन को a ≤ b यदि a < b या a = b समुच्चय करके उलटा किया जा सकता है। दो अवधारणाएं समान हैं, हालांकि कुछ परिस्थितियों में एक के साथ काम करना दूसरे की तुलना में अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

अनुक्रमों के बीच कार्य

कुछ अतिरिक्त गुणों वाले आंशिक रूप से अनुक्रमित समुच्चय के बीच कार्यों पर विचार करना उचित है जो दो समुच्चय के क्रम संबंधों से संबंधित हैं। इस संदर्भ में होने वाली सबसे बुनियादी स्थिति एकरसता है। आंशिकतः समुच्चय P से आंशिकतः समुच्चय Q में फलन f एकदिष्ट, या अनुक्रम- संरक्षी है, यदि P में a ≤ b का तात्पर्य Q में f(a) ≤ f(b) (यह ध्यान में रखते हुए, सख्ती से, यहां दो संबंध अलग हैं क्योंकि वे विभिन्न समुच्चय पर लागू होते हैं।) इस निहितार्थ का संकेत उन कार्यों की ओर जाता है जो 'अनुक्रम-परावर्ती' होते हैं, अर्थात् फलन f के रूप में ऊपर के रूप में f (a) ≤ f (b) का अर्थ एक ≤ b का अर्थ है। दूसरी ओर, एक फलन भी 'अनुक्रम-रिवरिंग' या 'एंटीटोन' भी हो सकता है, यदि ≤ b का अर्थ f (a) (f (b) होता है।

अनुक्रम- अंतःस्थापन अनुक्रम-संरक्षण और अनुक्रम-प्रतिबिंब दोनों के बीच अनुक्रम के बीच एक फलन f है। इन परिभाषाओं के उदाहरण आसानी से मिल जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या को उसके उत्तराधिकारी के लिए मैप करने वाला फलन प्राकृतिक क्रम के संबंध में स्पष्ट रूप से एकरस है। असतत क्रम से कोई भी कार्य, अर्थात पहचान अनुक्रम "=" द्वारा अनुक्रमित समुच्चय से, भी एकदिष्ट है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को संबंधित वास्तविक संख्या में मैप करने से अनुक्रम अंतःस्थापन के लिए एक उदाहरण मिलता है। पावरसेट पर समुच्चय पूरक एक एंटीटोन फलन का एक उदाहरण है।

महत्वपूर्ण प्रश्न यह है कि जब दो अनुक्रम "अनिवार्य रूप से समान" होते हैं, अर्थात जब वे तत्वों के नाम बदलने तक समान होते हैं। अनुक्रम समरूपता ऐसे कार्य हैं जो इस तरह के नामकरण को परिभाषित करते हैं। अनुक्रम-समरूपता एकदिष्ट द्विअंतथक्षेपण फलन है जिसमें एक एकदिष्ट व्युत्क्रम होता है। यह एक विशेषण क्रम- अंतःस्थापन होने के बराबर है। इसलिए, एक अनुक्रम- अंतःस्थापन की छवि f(P) हमेशा P के लिए समरूपी होती है, जो " अंतःस्थापन" शब्द को सही ठहराती है।

तथाकथित गैलोइस संयोजन द्वारा अधिक विस्तृत प्रकार के कार्य दिए गए हैं। एकदिष्ट गैलोइस संयोजन को अनुक्रम-समरूपता के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में दो कार्यों की एक जोड़ी का गठन करते हैं, जो एक दूसरे के विपरीत "काफी नहीं" होते हैं।

आंशिकतः समुच्चय पर एक और विशेष प्रकार के स्व-मानचित्र संवरण-संकारकहैं, जो न केवल एकदिष्टिक हैं, बल्कि निर्बल, भी हैं, यानी f(x) = f(f(x)), और व्यापक (या मुद्रास्फीति), यानी x ≤ f (x)।गणित में दिखाई देने वाले सभी प्रकार के "संवरण" में इनके कई अनुप्रयोग हैं।

केवल अनुक्रम संबंधों के साथ संगत होने के अलावा, विशेष तत्वों और निर्माणों के संबंध में आंशिकतः समुच्चय के बीच कार्य भी अच्छा व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, कम से कम तत्व वाले आंशिकतः समुच्चय के बारे में बात करते समय, केवल एकदिष्टिक कार्यों पर विचार करना उचित प्रतीत हो सकता है जो इस तत्व को संरक्षित करते हैं, यानी जो कम से कम तत्वों को कम से कम तत्वों को मैप करते हैं। यदि युग्मक निम्नतम मौजूद है, तो एक उचित संपत्ति के लिए यह आवश्यक हो सकता है कि

f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y), सभी x और y के लिए। ये सभी गुण, और वास्तव में कई अन्य, सीमा-संरक्षण कार्यों के लेबल के तहत संकलित किए जा सकते हैं।

अंत में, कोई भी दृश्य को उल्टा कर सकता है, अनुक्रमों के कार्यों से कार्यों के अनुक्रमों पर स्विच कर सकता है। वस्तुत:, दो आंशिकतः समुच्चय्स पी और क्यू के बीच के कार्यों को बिंदुवार क्रम के माध्यम से अनुक्रम दिया जा सकता है। दो कार्यों f और g के लिए, हमारे पास f ≤ g है यदि f(x) ≤ g(x )के सभी तत्वों के लिए X के लिए f (g (x) है। यह उदाहरण के लिए डोमेन सिद्धांत में होता है, जहां फलन रिक्त स्थान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

विशेष प्रकार के अनुक्रम

अनुक्रम क्रम सिद्धांत में अध्ययन की जाने वाली कई संरचनाएं आगे के गुणों के साथ अनुक्रम संबंधों को नियोजित करती हैं। वास्तव में, यहां तक कि कुछ संबंध जो आंशिक अनुक्रम नहीं हैं, विशेष रुचि के हैं। मुख्य रूप से पूर्व अनुक्रम की अवधारणा का उल्लेख किया जाना है। एक पूर्व अनुक्रम एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त और सकर्मक है, लेकिन जरूरी नहीं कि प्रतिसममित हो। प्रत्येक पूर्व-अनुक्रम तत्वों के बीच एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है, जहां a, b के बराबर है, यदिa ≤ b और b ≤ a है। इस संबंध के संबंध में समतुल्य सभी तत्वों की पहचान करके पूर्व-अनुक्रमों को अनुक्रमों में बदला जा सकता है।

अनुक्रम की वस्तुओं पर संख्यात्मक आँकड़े से कई प्रकार के अनुक्रम परिभाषित किए जा सकते हैं: कुल अनुक्रम का परिणाम प्रत्येक विषय में अलग-अलग वास्तविक संख्याओं को जोड़ने और विषय को अनुक्रम करने के लिए संख्यात्मक तुलनाओं का उपयोग करने से होता है; इसके बजाय, यदि अलग-अलग मदों को समान संख्यात्मक अंकों की अनुमति दी जाती है, तो एक सख्त कमजोर क्रम प्राप्त करता है। तुलना करने से पहले दो अंकों को एक निश्चित प्रभावसीमा से अलग करने की आवश्यकता होती है, एक अर्ध-अनुक्रम की अवधारणा की ओर जाता है, जबकि प्रभावसीमा को प्रति- विषय के आधार पर भिन्न होने की अनुमति देने से एक अंतराल क्रम उत्पन्न होता है।

अतिरिक्त सरल लेकिन उपयोगी संपत्ति तथाकथित अच्छी तरह से स्थापित होती है, जिसके लिए सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है। रैखिक से आंशिक अनुक्रमों के लिए अच्छी तरह से अनुक्रमों को सामान्य करना, समुच्चय को आंशिक रूप से अनुक्रम दिया जाता है यदि इसके सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्वों की एक सीमित संख्या होती है।

कई अन्य प्रकार के अनुक्रम तब उत्पन्न होते हैं जब कुछ समुच्चय के निम्नतम और सुप्रीम के अस्तित्व की गारंटी होती है। इस पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हुए, जिसे आमतौर पर अनुक्रमों की पूर्णता के रूप में संदर्भित किया जाता है, कोई प्राप्त करता है:

परिबंधेड आंशिकतः क्रमित समुच्चय अर्थात् कम से कम और सबसे बड़े तत्व के साथ आंशिकतः क्रमित समुच्चय (जो कि खाली उपसमुच्चय के सर्वोच्च और अनंत हैं),
लैटिस, जिसमें प्रत्येक गैर-खाली परिमित समुच्चय में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है,
पूर्ण लैटिस, जहां हर समुच्चय में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है, और
निर्देशित पूर्ण आंशिक अनुक्रम (DCPOS), जो सभी निर्देशित उपसमुच्चय के सुप्रेमा के अस्तित्व की गारंटी देते हैं और जो डोमेन सिद्धांत में अध्ययन किए जाते हैं।
पूरक, या poc समुच्चय के साथ आंशिक अनुक्रम,^[1] एक अद्वितीय निचला तत्व 0 के साथ पोज़ेट हैं, साथ ही एक अनुक्रम-पुनर्मूल्यांकन प्रत्यावर्तन $*$ ऐसा है कि $a\leq a^{*}\implies a=0.$

हालांकि, कोई और भी आगे जा सकता है: यदि सभी परिमित गैर-रिक्त निम्नतम मौजूद हैं, तो को सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में कुल युग्मक संक्रिया के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, लैटिस में, दो संक्रिया ∧ और उपलब्ध हैं, और कोई भी पहचान देकर नए गुणों को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), सभी x, y, और z के लिए।

इस स्थिति को 'वितरण' कहा जाता है और वितरण को जन्म देता है। कुछ अन्य महत्वपूर्ण वितरण कानून हैं जिन पर अनुक्रम सिद्धांत में वितरण पर लेख में चर्चा की जाती है। कुछ अतिरिक्त अनुक्रम संरचनाएं जो अक्सर बीजगणितीय संचालन और परिभाषित पहचान के माध्यम से निर्दिष्ट की जाती हैं

हेयिंग बीजगणित और
बूलियन बीजगणित,

जो दोनों एक नया संक्रिया पेश करते हैं ~ जिसे नकारात्मक कहा जाता है। दोनों संरचनाएं गणितीय तर्क में एक भूमिका निभाती हैं और विशेष रूप से बूलियन बीजगणित के संगणक विज्ञान में प्रमुख अनुप्रयोग हैं। अंत में, गणित में विभिन्न संरचनाएं अनुक्रम को और भी अधिक बीजीय संक्रियाओं के साथ जोड़ती हैं, जैसा कि क्वांटल के मामले में होता है, जो एक अतिरिक्त संक्रिया की परिभाषा के लिए अनुमति देता है।

आंशिकतः समुच्चय के कई अन्य महत्वपूर्ण गुण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, एक आंशिकतः समुच्चय स्थानीय रूप से परिमित होता है यदि इसमें प्रत्येक बंद अंतराल [a, b] परिमित हो। स्थानीय रूप से परिमित आंशिकतः समुच्चय घटना बीजगणित को जन्म देते हैं जो बदले में परिमित बाध्य आंशिकतः समुच्चय्स की यूलर विशेषता को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

अनुक्रमित समुच्चय के उपसमुच्चय

अनुक्रमित सेट में, दिए गए क्रम के आधार पर कई प्रकार के विशेष उपसमुच्चय को परिभाषित किया जा सकता है। साधारण उदाहरण ऊपरी समुच्चय हैं, यानी समुच्चय जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो क्रम में उनके ऊपर होते हैं। औपचारिक रूप से, आंशिकतः समुच्चय P में समुच्चय S का ऊपरी बंद समुच्चय {x में P | द्वारा दिया जाता है S के साथ y ≤ x में कुछ y}है। वह समुच्चय जो उसके ऊपरी बंद के बराबर होता है, ऊपरी समुच्चय कहलाता है। निचले समुच्चय को दोहरी रूप से परिभाषित किया गया है।

अधिक जटिल निचले उपसमुच्चय आदर्श होते हैं, जिनकी अतिरिक्त संपत्ति होती है कि उनके प्रत्येक दो तत्वों में आदर्श के भीतर ऊपरी सीमा होती है। इनके ड्यूल निस्यंदक्स द्वारा दिए गए हैं। एक संबंधित अवधारणा एक निर्देशित उपसमुच्चय की है, जिसमें एक आदर्श की तरह परिमित उपसमुच्चय की ऊपरी सीमाएं होती हैं, लेकिन कम समुच्चय नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, इसे अक्सर पूर्व-अनुक्रमित समुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

एक उपसमुच्चय जो एक उप - आंशिकतः क्रमित समुच्चय के रूप में है - रैखिक रूप से अनुक्रम दिया गया है, को एक श्रृंखला कहा जाता है। विपरीत धारणा, एंटीचैन, एक उपसमुच्चय है जिसमें कोई दो तुलनीय तत्व नहीं हैं; यानी यह एक असतत अनुक्रम है।

इतिहास

जैसा कि पहले बताया गया है, गणित में अनुक्रम सर्वव्यापी हैं। हालांकि, आंशिक अनुक्रमों का जल्द से जल्द स्पष्ट उल्लेख 19वीं शताब्दी से पहले नहीं पाया जा सकता है। इस सन्दर्भ में जार्ज बूले की कृतियों का अत्यधिक महत्व है। इसके अलावा, चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स, रिचर्ड डेडेकिंड और अर्न्स्ट श्रोडर के काम भी अनुक्रम सिद्धांत की अवधारणाओं पर विचार करते हैं।

अनुक्रमित ज्यामिति के लिए योगदानकर्ताओं को 1961 की पाठ्यपुस्तक में सूचीबद्ध किया गया था:

यह 1882 में पास था, जिसने पहली बार बताया कि माप के संदर्भ के बिना क्रम की ज्यामिति विकसित की जा सकती है। पीनो (1889), हिल्बर्ट (1899), और वेब्लेन (1904) द्वारा उनकी स्वयंसिद्ध प्रणाली में धीरे-धीरे सुधार किया गया था।
— H. S. M. Coxeter, ज्यामिति का परिचय

1901 में बर्ट्रेंड रसेल ने "अनुक्रम की धारणा पर"^[2] श्रृंखला की पीढ़ी के माध्यम से विचार की नींव की खोज की। वह गणित के सिद्धांतों (1903) के भाग IV में विषय पर लौट आए। रसेल ने नोट किया कि द्विआधारी संबंध aRb में एक अर्थ है जो a से b तक जाता है, जिसमें विपरीत संबंध विपरीत अर्थ वाला होता है, और अर्थ "अनुक्रम और श्रृंखला का स्रोत है"। (p 95) वह स्वीकार करते हैं कि इम्मानुएल कांट^[3] "तार्किक विरोध और सकारात्मक और नकारात्मक के विरोध के बीच के अंतर से अवगत थे"। उन्होंने लिखा कि कांट श्रेय के पात्र हैं क्योंकि उन्होंने "पहले असममित संबंधों के तार्किक महत्व पर ध्यान दिया था।

आंशिकतः क्रमित समुच्चय शब्द को आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय के संक्षिप्त नाम के रूप में गैरेट बिरखोफ ने अपनी प्रभावशाली पुस्तक लैटिस थ्योरी के दूसरे संस्करण में गढ़ा था।^[4]^[5]

यह भी देखें

चक्रीय क्रम
पदानुक्रम
घटना बीजगणित
कारण समुच्चय करता है

↑ Roller, Martin A. (1998), Poc sets, median algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem (PDF), Southampton Preprint Archive, archived from the original (PDF) on 2016-03-04, retrieved 2015-01-18
↑ Bertrand Russell (1901) Mind 10(2)
↑ Immanuel Kant (1763) Versuch den Begriff der negativen Grosse in die Weltweisheit einzufuhren
↑ Birkhoff 1940, p. 1.
↑ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)". jeff560.tripod.com.

संदर्भ

Birkhoff, Garrett (1940). Lattice Theory. Vol. 25 (3rd Revised ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5.
Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-90578-5.
Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Mislove, M.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80338-0.

बाहरी संबंध

Orders at ProvenMath partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.
Nagel, Felix (2013). Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis

[1] Roller, Martin A. (1998), Poc sets, median algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem (PDF), Southampton Preprint Archive, archived from the original (PDF) on 2016-03-04, retrieved 2015-01-18

[2] Bertrand Russell (1901) Mind 10(2)

[3] Immanuel Kant (1763) Versuch den Begriff der negativen Grosse in die Weltweisheit einzufuhren

[FOOTNOTEBirkhoff19401-4] Birkhoff 1940, p. 1.

[5] "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)". jeff560.tripod.com.

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 {{Short description|Branch of mathematics}}
-{{Outline|Outline of order theory}}
+{{Outline|अनुक्रम सिद्धांत की रूपरेखा}}
-आदेश सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो द्विआधारी संबंधों का उपयोग करके आदेश की सहज धारणा की जांच करती है। यह "यह उससे कम है" या "यह उससे पहले है" जैसे बयानों का वर्णन करने के लिए एक औपचारिक ढांचा प्रदान करता है। यह लेख क्षेत्र का परिचय देता है और बुनियादी परिभाषाएँ प्रदान करता है। ऑर्डर थ्योरी शब्दावली में ऑर्डर-सैद्धांतिक शब्दों की एक सूची पाई जा सकती है।
+'''''अनुक्रम सिद्धांत या  क्रम सिद्धांत''''' गणित की एक शाखा है जो द्वयी सम्बन्ध का उपयोग करके अनुक्रम की सहज धारणा की जांच करता है। यह "यह उससे कम है" या "यह उससे पहले है" जैसे बयानों का वर्णन करने के लिए एक औपचारिक ढांचा प्रदान करता है। यह लेख क्षेत्र का परिचय देता है और बुनियादी परिभाषाएँ प्रदान करता है। अनुक्रम सिद्धांत शब्दावली में अनुक्रम-सैद्धांतिक शब्दों की एक सूची पाई जाती है।
 == पृष्ठभूमि और प्रेरणा ==
-आदेश गणित और कंप्यूटर विज्ञान जैसे संबंधित क्षेत्रों में हर जगह हैं। प्राथमिक विद्यालय में अक्सर चर्चा की जाने वाली पहली व्यवस्था प्राकृतिक संख्याओं पर मानक क्रम है उदा। "2, 3 से कम है", "10, 5 से बड़ा है", या "क्या टॉम के पास सैली से कम कुकीज हैं?"। इस सहज अवधारणा को संख्याओं के अन्य सेटों, जैसे कि पूर्णांक और वास्तविक पर ऑर्डर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। किसी अन्य संख्या से अधिक या कम होने का विचार सामान्य रूप से संख्या प्रणालियों (अंक प्रणालियों के साथ तुलना) के मूल अंतर्ज्ञान में से एक है (हालांकि आमतौर पर दो संख्याओं के वास्तविक अंतर में भी रुचि होती है, जो आदेश द्वारा नहीं दी जाती है ) आदेश के अन्य परिचित उदाहरण एक शब्दकोश में शब्दों के वर्णानुक्रमिक क्रम और लोगों के समूह के भीतर वंश वंश की वंशावली संपत्ति हैं।
+अनुक्रम गणित और संगणक विज्ञान जैसे संबंधित क्षेत्रों में हर जगह हैं। प्राथमिक विद्यालय में अक्सर चर्चा की जाने वाली पहली व्यवस्था प्राकृतिक संख्याओं पर मानक क्रम है उदाहरण "2 कम है 3 से", "10 बड़ा है 5 से", को संख्याओं के अन्य समुच्चय, जैसे कि पूर्णांक और वास्तविक पर अनुक्रम करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। किसी अन्य संख्या से अधिक या कम होने का विचार सामान्य रूप से संख्या प्रणालियों (अंक प्रणालियों के साथ तुलना) के मूल अंतर्ज्ञान में से एक है (हालांकि आमतौर पर दो संख्याओं के वास्तविक अंतर में भी रुचि होती है, जो अनुक्रम द्वारा नहीं दी जाती है ) अनुक्रम के अन्य परिचित उदाहरण एक शब्दकोश में शब्दों के वर्णानुक्रमिक क्रम और लोगों के समूह के भीतर वंश की वंशावली गुण हैं।
-आदेश की धारणा बहुत सामान्य है, जो उन संदर्भों से परे फैली हुई है जिनमें अनुक्रम या सापेक्ष मात्रा का तत्काल, सहज ज्ञान होता है। अन्य संदर्भों में आदेश नियंत्रण या विशेषज्ञता की धारणाओं को पकड़ सकते हैं। संक्षेप में, इस प्रकार का आदेश उपसमुच्चय संबंध के बराबर है, उदाहरण के लिए, "बाल रोग विशेषज्ञ चिकित्सक हैं," और "मंडलियां केवल विशेष-मामले वाले दीर्घवृत्त हैं।"
+अनुक्रम की धारणा बहुत सामान्य है, जो उन संदर्भों से परे फैली हुई है जिनमें अनुक्रम या सापेक्ष मात्रा का तत्काल, सहज ज्ञान होता है। अन्य संदर्भों में अनुक्रम नियंत्रण या विशेषज्ञता की धारणाओं को पकड़ सकते हैं। संक्षेप में, इस प्रकार का अनुक्रम उपसमुच्चय संबंध के बराबर है, उदाहरण के लिए, "बाल रोग विशेषज्ञ चिकित्सक हैं," और "मंडलियां केवल विशेष-मामले वाले दीर्घवृत्त हैं।"
-कुछ आदेश, जैसे प्राकृतिक संख्याओं पर "से कम-से" और शब्दों पर वर्णानुक्रमिक क्रम में, एक विशेष गुण होता है: प्रत्येक तत्व की तुलना किसी अन्य तत्व से की जा सकती है, यानी यह उससे छोटा (पहले) है, उससे बड़ा (बाद में), या के समान। हालांकि, कई अन्य आदेश नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए समुच्चय के संग्रह पर उपसमुच्चय ऑर्डर पर विचार करें: हालांकि पक्षियों का समुच्चय और कुत्तों का समुच्चय दोनों जानवरों के समुच्चय के उपसमुच्चय हैं, न तो पक्षी और न ही कुत्ते दूसरे के उपसमुच्चय का गठन करते हैं। वे आदेश जैसे "उपसमुच्चय-ऑफ" संबंध जिसके लिए अतुलनीय तत्व मौजूद हैं, आंशिक आदेश कहलाते हैं; जिन आदेशों के लिए तत्वों की प्रत्येक जोड़ी तुलनीय है, कुल आदेश हैं।
+कुछ अनुक्रम, जैसे प्राकृतिक संख्याओं पर "से कम-से" और शब्दों पर वर्णानुक्रमिक क्रम में, एक विशेष गुण होता है: प्रत्येक तत्व की तुलना किसी अन्य तत्व से की जा सकती है, यानी यह उससे छोटा (पहले) है, उससे बड़ा (बाद में), या के समान है। हालांकि, कई अन्य अनुक्रम नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए समुच्चय के संग्रह पर उपसमुच्चय अनुक्रम पर विचार करें: हालांकि पक्षियों का समुच्चय और कुत्तों का समुच्चय दोनों जानवरों के समुच्चय के उपसमुच्चय हैं, न तो पक्षी और न ही कुत्ते दूसरे के उपसमुच्चय का गठन करते हैं। वे अनुक्रम जैसे "उपसमुच्चय पर" संबंध जिसके लिए अतुलनीय तत्व मौजूद हैं, आंशिक अनुक्रम कहलाते हैं, जिन अनुक्रमों के लिए तत्वों की प्रत्येक जोड़ी तुलनीय है, कुल अनुक्रम हैं।
-आदेश सिद्धांत एक सामान्य सेटिंग में ऐसे उदाहरणों से उत्पन्न होने वाले आदेशों के अंतर्ज्ञान को पकड़ लेता है। यह गुणों को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है कि एक संबंध ≤ को गणितीय क्रम होना चाहिए। यह अधिक सारगर्भित दृष्टिकोण बहुत मायने रखता है, क्योंकि किसी विशेष क्रम के विवरण पर ध्यान केंद्रित किए बिना, सामान्य सेटिंग में कई प्रमेय प्राप्त किए जा सकते हैं। इन अंतर्दृष्टि को तब आसानी से कई कम सार अनुप्रयोगों में स्थानांतरित किया जा सकता है।
+अनुक्रम सिद्धांत एक सामान्य समायोजन में उदाहरणों से उत्पन्न होने वाले अनुक्रमों के अंतर्ज्ञान को पकड़ लेता है। यह गुणों को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है कि एक संबंध ≤ को गणितीय क्रम होना चाहिए। यह अधिक सारगर्भित दृष्टिकोण बहुत मायने रखता है, क्योंकि किसी विशेष क्रम के विवरण पर ध्यान केंद्रित किए बिना, सामान्य समायोजन में कई प्रमेय प्राप्त किए जा सकते हैं। इन अंतर्दृष्टि को तब आसानी से कई कम सार अनुप्रयोगों में स्थानांतरित किया जा सकता है।
-आदेशों के व्यापक व्यावहारिक उपयोग से प्रेरित, कई विशेष प्रकार के आदेशित समुच्चय को परिभाषित किया गया है, जिनमें से कुछ अपने स्वयं के गणितीय क्षेत्रों में विकसित हो गए हैं। इसके अलावा, आदेश सिद्धांत खुद को आदेश देने वाले संबंधों के विभिन्न वर्गों तक सीमित नहीं रखता है, बल्कि उनके बीच उपयुक्त कार्यों पर भी विचार करता है। फ़ंक्शंस के लिए ऑर्डर थ्योरेटिक प्रॉपर्टी का एक सरल उदाहरण विश्लेषण से आता है जहां मोनोटोन फ़ंक्शन अक्सर पाए जाते हैं।
+अनुक्रमों के व्यापक व्यावहारिक उपयोग से प्रेरित, कई विशेष प्रकार के अनुक्रमित समुच्चय को परिभाषित किया गया है, जिनमें से कुछ अपने स्वयं के गणितीय क्षेत्रों में विकसित हो गए हैं। इसके अलावा, अनुक्रम सिद्धांत खुद को अनुक्रम देने वाले संबंधों के विभिन्न वर्गों तक सीमित नहीं रखता है, बल्कि उनके बीच उपयुक्त कार्यों पर भी विचार करता है। फलन के लिए अनुक्रम सैद्धांतिक गुण का एक सरल उदाहरण विश्लेषण से आता है जहां एकदिष्ट ( एकदिष्ट) फलन अक्सर पाए जाते हैं।
 == मूल परिभाषाएँ ==
-यह खंड समुच्चय सिद्धांत, अंकगणित और द्विआधारी संबंधों की अवधारणाओं पर निर्माण करके क्रमबद्ध समुच्चय का परिचय देता है।
+यह खंड समुच्चय सिद्धांत, अंकगणित और द्वयी सम्बन्ध की अवधारणाओं पर निर्माण करके क्रमबद्ध समुच्चय का परिचय देता है।
-'''<big>आंशिक रूप से आदेशित सेट</big>'''
+'''<big>आंशिक रूप से अनुक्रमित समुच्चय</big>'''
-आदेश विशेष द्विआधारी संबंध हैं। मान लीजिए कि P एक समुच्चय है और ≤ P पर एक संबंध है ('समुच्चय पर संबंध' का अर्थ 'इसके निवासियों के बीच संबंध' से लिया जाता है)। तब ≤ एक आंशिक क्रम है यदि यह प्रतिवर्ती, प्रतिसममितीय और सकर्मक है, अर्थात, यदि P में सभी a, b और c के लिए, हमारे पास वह है:
+अनुक्रम विशेष द्विआधारी संबंध हैं। मान लीजिए कि P एक समुच्चय है और ≤ P पर एक संबंध है ('समुच्चय पर संबंध' का अर्थ 'इसके निवासियों के बीच संबंध' से लिया जाता है)। तब ≤ एक आंशिक क्रम है यदि यह प्रतिवर्ती, प्रतिसममितीय और सकर्मक है, अर्थात, यदि P में सभी a, b और c के लिए, हमारे पास वह है:
 : ''a'' ≤ ''a'' (रेफ्लेक्सिविटी)
-: यदि a b और b ≤ a तो a = b (एंटीसिमेट्री)
+: यदि a b और b ≤ a तो a = b (प्रतिसममिति)
 : यदि  ''a'' ≤ ''b'' और ''b'' ≤ ''c'' तो ''a'' ≤ ''c'' (c (सकर्मक)।
-आंशिक क्रम के साथ एक सेट को आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट, पॉसेट, या केवल ऑर्डर किया गया सेट कहा जाता है यदि इच्छित अर्थ स्पष्ट है। इन गुणों की जाँच करके, कोई तुरंत देखता है कि प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक पर प्रसिद्ध आदेश उपरोक्त अर्थों में सभी आदेश हैं। हालाँकि, इन उदाहरणों में अतिरिक्त गुण हैं कि कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं, अर्थात, P में सभी a और b के लिए, हमारे पास वह है:
+आंशिक क्रम के साथ समुच्चय को आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया समुच्चय, आंशिकतः समुच्चय, या केवल अनुक्रम किया गया समुच्चय कहा जाता है यदि इच्छित अर्थ स्पष्ट है। इन गुणों की जाँच करके, कोई तुरंत देखता है कि प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक पर प्रसिद्ध अनुक्रम उपरोक्त अर्थों में सभी अनुक्रम हैं। हालाँकि, इन उदाहरणों में अतिरिक्त गुण हैं कि कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं, अर्थात, P में सभी a और b के लिए, हमारे पास वह है:
 : a ≤ b या b ≤ a
-इस संपत्ति के साथ एक आंशिक आदेश को कुल आदेश कहा जाता है। इन आदेशों को रैखिक आदेश या श्रृंखला भी कहा जा सकता है। जबकि कई परिचित ऑर्डर रैखिक होते हैं, सेट पर उपसमुच्चय ऑर्डर एक उदाहरण प्रदान करता है जहां यह मामला नहीं है। एक अन्य उदाहरण विभाज्यता (या "is-a-factor-of") संबंध द्वारा दिया गया है | दो प्राकृत संख्याओं n और m के लिए, हम n|m लिखते हैं यदि n शेषफल के बिना m को विभाजित करता है। कोई आसानी से देख सकता है कि इससे आंशिक ऑर्डर मिलता है। पहचान संबंध = किसी भी सेट पर भी एक आंशिक क्रम है जिसमें प्रत्येक दो अलग-अलग तत्व अतुलनीय होते हैं। यह एकमात्र ऐसा संबंध भी है जो आंशिक क्रम और तुल्यता संबंध दोनों है। पॉसेट के कई उन्नत गुण मुख्य रूप से गैर-रैखिक आदेशों के लिए रुचिकर हैं।
+इस संपत्ति के साथ एक आंशिक अनुक्रम को कुल अनुक्रम कहा जाता है। इन अनुक्रमों को रैखिक अनुक्रम या श्रृंखला भी कहा जा सकता है। जबकि कई परिचित अनुक्रम रैखिक होते हैं, समुच्चय पर उपसमुच्चय अनुक्रम एक उदाहरण प्रदान करता है जहां यह मामला नहीं है। एक अन्य उदाहरण विभाज्यता (या "is-a-factor-of") संबंध द्वारा दिया गया है | दो प्राकृत संख्याओं n और m के लिए, हम n|m लिखते हैं यदि n शेषफल के बिना m को विभाजित करता है। कोई आसानी से देख सकता है कि इससे आंशिक अनुक्रम मिलता है। पहचान संबंध = किसी भी समुच्चय पर भी एक आंशिक क्रम है जिसमें प्रत्येक दो अलग-अलग तत्व अतुलनीय होते हैं। यह एकमात्र ऐसा संबंध भी है जो आंशिक क्रम और तुल्यता संबंध दोनों है। आंशिकतः समुच्चय के कई उन्नत गुण मुख्य रूप से गैर-रैखिक अनुक्रमों के लिए रुचिकर हैं।
 === स्थिति की कल्पना ===
-[[File:Lattice of the divisibility of 60.svg|thumb|right|250px|60 के सभी विभाजकों के सेट का आंशिक आंशिक, आंशिक रूप से विभाजन द्वारा आदेश दिया गया]]
+[[File:Lattice of the divisibility of 60.svg|thumb|right|250px|60 के सभी विभाजकों के सेट का आंशिक आंशिक, आंशिक रूप से विभाजन द्वारा अनुक्रम दिया गया]]
-हास आरेख आंशिक क्रम के तत्वों और संबंधों का नेत्रहीन प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। ये ग्राफ़ ड्रॉइंग हैं जहां शिखर पोसेट के तत्व हैं और ऑर्डरिंग संबंध दोनों किनारों और शिखर की सापेक्ष स्थिति द्वारा इंगित किया जाता है। आदेश नीचे से ऊपर खींचे जाते हैं: यदि कोई तत्व x (पहले) y से छोटा है तो x से y तक एक पथ मौजूद है जो ऊपर की ओर निर्देशित है। तत्वों को जोड़ने वाले किनारों के लिए एक दूसरे को पार करना अक्सर आवश्यक होता है, लेकिन तत्वों को कभी भी किनारे के भीतर स्थित नहीं होना चाहिए। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए हैस आरेख बनाना एक शिक्षाप्रद अभ्यास है जो 13 से छोटा या उसके बराबर है, जिसके द्वारा आदेश दिया गया है | (विभाजन संबंध)।
+हास आरेख आंशिक क्रम के तत्वों और संबंधों का नेत्रहीन प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। ये लेखाचित्र (ग्राफ़) आरेखण (ड्रॉइंग) हैं जहां शिखर आंशिकतः क्रमित समुच्चय के तत्व हैं और अनुक्रम संबंध दोनों किनारों और शिखर की सापेक्ष स्थिति द्वारा इंगित किया जाता है। अनुक्रम नीचे से ऊपर खींचे जाते हैं: यदि कोई तत्व x (पहले) y से छोटा है तो x से y तक एक पथ मौजूद है जो ऊपर की ओर निर्देशित है। तत्वों को जोड़ने वाले किनारों के लिए एक दूसरे को पार करना अक्सर आवश्यक होता है, लेकिन तत्वों को कभी भी किनारे के भीतर स्थित नहीं होना चाहिए। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए हैस आरेख बनाना एक शिक्षाप्रद अभ्यास है जो 13 से छोटा या उसके बराबर है, जिसके द्वारा अनुक्रम दिया गया है | (विभाजन संबंध)।
-यहां तक कि कुछ अनंत सेटों को एक परिमित उप-क्रम पर एक दीर्घवृत्त (...) को अध्यारोपण करके आरेखित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन यह वास्तविक के लिए विफल रहता है, जहां 0 से ऊपर कोई तत्काल उत्तराधिकारी नहीं है, हालांकि, अक्सर एक समान प्रकार के आरेखों से संबंधित अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं{{vague|date=January 2017}}।
+यहां तक कि कुछ अनंत समुच्चय को एक परिमित उप-क्रम पर एक दीर्घवृत्त (...) को अध्यारोपण करके आरेखित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन यह वास्तविक के लिए विफल रहता है, जहां 0 से ऊपर कोई तत्काल उत्तराधिकारी नहीं है, हालांकि, अक्सर एक समान प्रकार के आरेखों से संबंधित अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं{{vague|date=January 2017}}।
-=== आदेश के भीतर विशेष तत्व ===
+=== अनुक्रम के भीतर विशेष तत्व ===
-आंशिक रूप से व्यवस्थित सेट में कुछ तत्व हो सकते हैं जो एक विशेष भूमिका निभाते हैं। सबसे बुनियादी उदाहरण पॉसेट के कम से कम तत्व द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, 1 धनात्मक पूर्णांकों का सबसे छोटा अवयव है और उपसमुच्चय क्रम के अंतर्गत रिक्त समुच्चय सबसे छोटा समुच्चय है। औपचारिक रूप से, तत्व m सबसे छोटा तत्व है यदि:
+आंशिक रूप से व्यवस्थित समुच्चय में कुछ तत्व हो सकते हैं जो एक विशेष भूमिका निभाते हैं। सबसे बुनियादी उदाहरण  आंशिकतः समुच्चय के कम से कम तत्व द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, 1 धनात्मक पूर्णांकों का सबसे छोटा अवयव है और उपसमुच्चय क्रम के अंतर्गत रिक्त समुच्चय सबसे छोटा समुच्चय है। औपचारिक रूप से, तत्व m सबसे छोटा तत्व है यदि:
 : ''m'' ≤ ''a'', क्रम के सभी तत्वों के लिए
-अंकन 0 अक्सर कम से कम तत्व के लिए पाया जाता है, भले ही कोई संख्या संबंधित न हो। हालाँकि, संख्याओं के सेट के क्रम में, यह संकेतन अनुपयुक्त या अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि संख्या 0 हमेशा कम से कम नहीं होती है। उपरोक्त विभाज्यता क्रम | द्वारा एक उदाहरण दिया गया है, जहाँ 1 सबसे छोटा तत्व है क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है। इसके विपरीत, 0 वह संख्या है जो अन्य सभी संख्याओं से विभाजित होती है। इसलिए यह आदेश का सबसे बड़ा तत्व है। कम से कम और सबसे बड़े तत्वों के लिए अन्य लगातार शब्द नीचे और ऊपर या शून्य और इकाई हैं।
+अंकन 0 अक्सर कम से कम तत्व के लिए पाया जाता है, भले ही कोई संख्या संबंधित न हो। हालाँकि, संख्याओं के समुच्चय के क्रम में, यह संकेतन अनुपयुक्त या अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि संख्या 0 हमेशा कम से कम नहीं होती है। उपरोक्त विभाज्यता क्रम | द्वारा एक उदाहरण दिया गया है, जहाँ 1 सबसे छोटा तत्व है क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है। इसके विपरीत, 0 वह संख्या है जो अन्य सभी संख्याओं से विभाजित होती है। इसलिए यह अनुक्रम का सबसे बड़ा तत्व है। कम से कम और सबसे बड़े तत्वों के लिए अन्य लगातार शब्द नीचे और ऊपर या शून्य और इकाई हैं।
-वास्तविक संख्याओं के उदाहरण से पता चलता है कि कम से कम और सबसे बड़े तत्व मौजूद नहीं हो सकते हैं। लेकिन अगर वे मौजूद हैं, तो वे हमेशा अद्वितीय होते हैं। इसके विपरीत, विभाज्यता संबंध पर विचार करें | सेट पर {2,3,4,5,6}। हालांकि इस सेट में न तो ऊपर है और न ही नीचे, तत्वों 2, 3, और 5 के नीचे कोई तत्व नहीं है, जबकि 4, 5 और 6 में कोई भी ऊपर नहीं है। ऐसे तत्वों को क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कहा जाता है। औपचारिक रूप से, एक तत्व m न्यूनतम होता है यदि:
+वास्तविक संख्याओं के उदाहरण से पता चलता है कि कम से कम और सबसे बड़े तत्व मौजूद नहीं हो सकते हैं। लेकिन अगर वे मौजूद हैं, तो वे हमेशा अद्वितीय होते हैं। इसके विपरीत, विभाज्यता संबंध पर विचार करें | समुच्चय पर {2,3,4,5,6}। हालांकि इस समुच्चय में न तो ऊपर है और न ही नीचे, तत्वों 2, 3, और 5 के नीचे कोई तत्व नहीं है, जबकि 4, 5 और 6 में कोई भी ऊपर नहीं है। ऐसे तत्वों को क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कहा जाता है। औपचारिक रूप से, एक तत्व m न्यूनतम होता है यदि:
 a ≤ m का अर्थ है a = m, कोटि के सभी अवयव a के लिए।
-And का आदान -प्रदान and के साथ अधिकतमता की परिभाषा को पैदावार करता है। जैसा कि उदाहरण से पता चलता है, कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं और कुछ तत्व अधिकतम और न्यूनतम (जैसे 5 ऊपर) दोनों हो सकते हैं। हालांकि, यदि कोई कम से कम तत्व है, तो यह आदेश का एकमात्र न्यूनतम तत्व है। फिर से, अनंत पॉज़िट में अधिकतम तत्व हमेशा मौजूद नहीं होते हैं - किसी दिए गए अनंत सेट के सभी ''परिमित '' उपसमुच्चय का सेट, जो कि उपसमुच्चय समावेश द्वारा आदेश दिया गया है, कई काउंटरएक्सैम्पल्स में से एक प्रदान करता है। कुछ शर्तों के तहत अधिकतम तत्वों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण ज़ोर्न का लेम्मा है।
+≤ के साथ ≥ बदलने से अधिकतमता की परिभाषा मिलती है। जैसा कि उदाहरण से पता चलता है, कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं और कुछ तत्व अधिकतम और न्यूनतम दोनों हो सकते हैं (उदाहरण के लिए ऊपर 5)। हालांकि, अगर कम से कम तत्व है, तो यह अनुक्रम का एकमात्र न्यूनतम तत्व है। फिर से, अनंत आंशिकतः समुच्चय में अधिकतम तत्व हमेशा मौजूद नहीं होते हैं - किसी दिए गए अनंत समुच्चय के सभी परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय, उपसमुच्चय समावेश द्वारा अनुक्रमित, कई प्रतिरूपों में से एक प्रदान करता है। कुछ शर्तों के तहत अधिकतम तत्वों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण ज़ोर्न का लेम्मा है।
-आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के उपसमुच्चय ऑर्डर को विरासत में मिलते हैं। हमने पहले से ही प्रेरित विभाजन के आदेश के साथ प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय {2,3,4,5,6} पर विचार करके इसे लागू किया। अब एक पोज़िट के तत्व भी हैं जो आदेश के कुछ उपसमुच्चय के संबंध में विशेष हैं। यह ऊपरी सीमा की परिभाषा की ओर जाता है। कुछ पोज़ेट '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' b '' '। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि
+आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय के उपसमुच्चय अनुक्रम को वंशानुक्रम करते हैं। प्रेरित विभाज्यता क्रम के साथ प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय {2,3,4,5,6} पर विचार करके हमने इसे पहले ही लागू कर दिया है। अब आंशिकतः क्रमित समुच्चय के ऐसे तत्व भी हैं जो क्रम के कुछ उपसमुच्चय के संबंध में विशेष हैं। यह ऊपरी सीमा की परिभाषा की ओर जाता है। कुछ आंशिकतः समुच्चय P के उपसमुच्चय S को देखते हुए, S की ऊपरी सीमा P का एक तत्व b है जो S के सभी तत्वों से ऊपर है। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि
-: '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '।
+: s ≤ b, S में सभी s के लिए।
-कम सीमा को फिर से आदेश को inverting द्वारा परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, -5 पूर्णांक के उपसमुच्चय के रूप में प्राकृतिक संख्याओं की एक निचली सीमा है। सेट के एक सेट को देखते हुए, उपसमुच्चय ऑर्डरिंग के तहत इन सेटों के लिए एक ऊपरी सीमा उनके संघ द्वारा दी गई है। वास्तव में, यह ऊपरी बाउंड काफी विशेष है: यह सबसे छोटा सेट है जिसमें सभी सेट होते हैं। इसलिए, हमें सेट के एक सेट के सबसे कम ऊपरी बाउंड मिले हैं। इस अवधारणा को सुप्रीमम या जॉइन भी कहा जाता है, और एक सेट के लिए '' '' एक लिखता है। <math>\bigvee S</math> इसकी कम से कम ऊपरी बाउंड के लिए।इसके विपरीत, सबसे बड़ी निचली बाउंड को अनैतिक रूप से जाना जाता है या मीट और डोंटेड इन्फ ('' s '') या <math>\bigwedge S</math>।ये अवधारणाएं ऑर्डर थ्योरी के कई अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।दो तत्वों के लिए x और y, एक भी लिखता है <math>x\vee y</math> तथा <math>x\wedge y</math> sup ({x, y}) और inf ({x, y}) के लिए क्रमशः।
+निचली सीमाओं को फिर से क्रम को उलट कर परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, -5 पूर्णांकों के उपसमुच्चय के रूप में प्राकृत संख्याओं की निचली सीमा है। समुच्चय को देखते हुए, उपसमुच्चय अनुक्रम के तहत इन समुच्चय के लिए ऊपरी सीमा उनके संघ द्वारा दी जाती है। वास्तव में, यह ऊपरी सीमा काफी खास है: यह सबसे छोटा समुच्चय है जिसमें सभी समुच्चय होते हैं। इसलिए, हमें समुच्चयों के समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा मिली है। इस अवधारणा को सुप्रीमम या जॉइन भी कहा जाता है, और एक समुच्चय S के लिए एक sup(S) या <math>\bigvee S</math> अपने कम से कम ऊपरी परिबंध के लिए लिखता है। इसके विपरीत, सबसे बड़ी निचली सीमा को इनफिमम या मीट और निरूपित inf(S) या  <math>\bigwedge S</math> के रूप में जाना जाता है। ये अवधारणाएं अनुक्रम थ्योरी के कई अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। दो तत्वों x और y के लिए, एक <math>x\vee y</math> तथा <math>x\wedge y</math> sup ({x, y}) और inf ({x, y}) के लिए क्रमशः है।
-उदाहरण के लिए, 1 पूर्णांक के उपसमुच्चय के रूप में सकारात्मक पूर्णांक का अनंत है।
+उदाहरण के लिए, 1 पूर्णांकों के उपसमुच्चय के रूप में धनात्मक पूर्णांकों का अधिकतम है
-एक अन्य उदाहरण के लिए, फिर से संबंध पर विचार करें |प्राकृतिक संख्याओं पर।दो संख्याओं में से सबसे कम ऊपरी सीमा सबसे छोटी संख्या है जो उन दोनों द्वारा विभाजित है, अर्थात् संख्याओं में से सबसे कम सामान्य कई।बदले में सबसे बड़ी निचली सीमा सबसे बड़ी आम भाजक द्वारा दी गई है।
+अन्य उदाहरण के लिए, फिर से संबंध पर विचार करें | प्राकृतिक संख्याओं पर। दो संख्याओं की सबसे छोटी ऊपरी सीमा वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो उन दोनों से विभाजित होती है, यानी संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य है। बदले में सबसे बड़ी निचली सीमाएं महत्तम समापवर्तक द्वारा दी जाती हैं।
 === द्वंद्व ===
-पिछली परिभाषाओं में, हमने अक्सर नोट किया कि एक अवधारणा को केवल एक पूर्व परिभाषा में आदेश को इनवर्ट करके परिभाषित किया जा सकता है। यह कम से कम और सबसे महान के लिए मामला है, न्यूनतम और अधिकतम के लिए, ऊपरी सीमा और निचले बाउंड के लिए, और इसी तरह। यह सिद्धांत में एक सामान्य स्थिति है: एक दिए गए आदेश को केवल अपनी दिशा का आदान-प्रदान करके उल्टा किया जा सकता है, चित्रात्मक रूप से हस आरेख शीर्ष-डाउन को फ़्लिप किया जा सकता है। यह तथाकथित दोहरे, व्युत्क्रम या विपरीत क्रम को प्राप्त करता है।
+पिछली परिभाषाओं में, हमने अक्सर ध्यान दिया कि एक अवधारणा को केवल पूर्व परिभाषा में क्रम को उलट कर परिभाषित किया जा सकता है। यह "न्यूनतम" और "महानतम" के लिए, "न्यूनतम" और "अधिकतम" के लिए, "ऊपरी परिबंध और "लोअर  परिबंध" के लिए, और इसी तरह का मामला है। यह अनुक्रम सिद्धांत में एक सामान्य स्थिति है: किसी दिए गए अनुक्रम को केवल उसकी दिशा का आदान-प्रदान करके उलटा किया जा सकता है, चित्रमय रूप से हस्से आरेख को ऊपर-नीचे पलट जा सकता है। यह तथाकथित द्वैत, प्रतिलोम या विपरीत क्रम उत्पन्न करता है।
-प्रत्येक ऑर्डर थियोरेटिक परिभाषा में इसकी दोहरी है: यह धारणा है कि परिभाषा को उलटा क्रम में लागू करके प्राप्त होता है। चूंकि सभी अवधारणाएं सममित हैं, यह ऑपरेशन आंशिक आदेशों के प्रमेयों को संरक्षित करता है। किसी दिए गए गणितीय परिणाम के लिए, कोई केवल आदेश को उलट सकता है और सभी परिभाषाओं को उनके दोहरे द्वारा बदल सकता है और एक अन्य मान्य प्रमेय प्राप्त करता है। यह महत्वपूर्ण और उपयोगी है, क्योंकि एक की कीमत के लिए दो प्रमेय प्राप्त करते हैं। ऑर्डर थ्योरी में कुछ और विवरण और उदाहरण द्वंद्व पर लेख में पाए जा सकते हैं।
+प्रत्येक अनुक्रम सैद्धांतिक परिभाषा की अपनी दोहरी होती है: यह वह धारणा है जिसे कोई व्युत्क्रम क्रम में परिभाषा को लागू करके प्राप्त करता है। चूंकि सभी अवधारणाएं सममित हैं, इसलिए यह संक्रिया आंशिक अनुक्रमों के प्रमेयों को बरकरार रखता है। किसी दिए गए गणितीय परिणाम के लिए, कोई केवल क्रम को उल्टा कर सकता है और सभी परिभाषाओं को उनके दोहरे से बदल सकता है और एक अन्य मान्य प्रमेय प्राप्त करता है। यह महत्वपूर्ण और उपयोगी है, क्योंकि एक की कीमत के लिए दो प्रमेय प्राप्त होते हैं। क्रम सिद्धांत में द्वैत पर लेख में कुछ और विवरण और उदाहरण पाए जा सकते हैं।
-=== नए आदेशों का निर्माण ===
+=== नए अनुक्रमों का निर्माण ===
-दिए गए आदेशों से आदेशों का निर्माण करने के कई तरीके हैं।दोहरी आदेश एक उदाहरण है।एक अन्य महत्वपूर्ण निर्माण दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों का कार्टेशियन उत्पाद है, जो तत्वों के जोड़े पर उत्पाद आदेश के साथ लिया गया है।ऑर्डरिंग को (a, x) y (b, y) द्वारा परिभाषित किया गया है यदि (और केवल अगर) a ≤ b और x y y।(ध्यान से नोटिस करें कि इस परिभाषा में संबंध प्रतीक के लिए तीन अलग -अलग अर्थ हैं।) दो पोज़िट का असंतुष्ट संघ आदेश निर्माण का एक और विशिष्ट उदाहरण है, जहां आदेश मूल आदेशों का सिर्फ (असंतुष्ट) संघ है।
+दिए गए अनुक्रम से अनुक्रम बनाने के कई तरीके हैं। दोहरा क्रम एक उदाहरण है। एक अन्य महत्वपूर्ण निर्माण दो आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद है, जिसे तत्वों के जोड़े पर उत्पाद क्रम के साथ लिया जाता है। अनुक्रमिंग को  (a, x) ≤ (b, y) द्वारा परिभाषित किया गया है यदि (और केवल अगर) a ≤ b तथा x ≤ y है। (ध्यान से ध्यान दें कि इस परिभाषा में संबंध प्रतीक के लिए तीन अलग-अलग अर्थ हैं।) दो  आंशिकतः समुच्चय का असंबद्ध संघ अनुक्रम निर्माण का एक और विशिष्ट उदाहरण है, जहां अनुक्रम मूल अनुक्रमों का केवल (असंबद्ध) संघ है।
-प्रत्येक आंशिक आदेश are एक तथाकथित सख्त आदेश को जन्म देता है <, एक <b को परिभाषित करके यदि ≤ b और b ≤ a नहीं।इस परिवर्तन को at b या a = b यदि a सेट करके उल्टा किया जा सकता है।दो अवधारणाएं समतुल्य हैं, हालांकि कुछ परिस्थितियों में एक दूसरे की तुलना में काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक हो सकता है।
+प्रत्येक आंशिक अनुक्रम ≤ एक तथाकथित सख्त अनुक्रम < को जन्म देता है, a < b को परिभाषित करके यदि a ≤ b और b ≤ a नहीं है। इस परिवर्तन को a ≤ b यदि a < b या a = b समुच्चय करके उलटा किया जा सकता है। दो अवधारणाएं समान हैं, हालांकि कुछ परिस्थितियों में एक के साथ काम करना दूसरे की तुलना में अधिक सुविधाजनक हो सकता है।
-== आदेशों के बीच कार्य ==
+== अनुक्रमों के बीच कार्य ==
-आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच कार्यों पर विचार करना उचित है, जिसमें कुछ अतिरिक्त गुण हैं जो दो सेटों के ऑर्डरिंग संबंधों से संबंधित हैं। इस संदर्भ में होने वाली सबसे मौलिक स्थिति एकरसता है। एक POSET P से एक POSET Q तक एक फ़ंक्शन F 'मोनोटोन' है, या 'ऑर्डर-प्रेशरिंग' है, यदि P में ≤ B का अर्थ है Q में f (a) ≤ f (b) (यह देखते हुए कि, सख्ती से, दो संबंध, दो संबंध यहाँ अलग हैं क्योंकि वे अलग -अलग सेटों पर आवेदन करते हैं।)। इस निहितार्थ का संकेत उन कार्यों की ओर जाता है जो 'ऑर्डर-रिफ्लेक्टिंग' होते हैं, अर्थात् फ़ंक्शंस f के रूप में ऊपर के रूप में f (a) ≤ f (b) का अर्थ एक ≤ b का अर्थ है। दूसरी ओर, एक फ़ंक्शन भी 'ऑर्डर-रिवरिंग' या 'एंटीटोन' भी हो सकता है, यदि ≤ b का अर्थ f (a) (f (b) होता है।
+कुछ अतिरिक्त गुणों वाले आंशिक रूप से अनुक्रमित समुच्चय के बीच कार्यों पर विचार करना उचित है जो दो समुच्चय के क्रम संबंधों से संबंधित हैं। इस संदर्भ में होने वाली सबसे बुनियादी स्थिति एकरसता है। आंशिकतः समुच्चय P से  आंशिकतः समुच्चय Q में फलन f एकदिष्ट, या अनुक्रम- संरक्षी है, यदि P में a ≤ b का तात्पर्य Q में f(a) ≤ f(b) (यह ध्यान में रखते हुए, सख्ती से, यहां दो संबंध अलग हैं क्योंकि वे विभिन्न समुच्चय पर लागू होते हैं।) इस निहितार्थ का संकेत उन कार्यों की ओर जाता है जो 'अनुक्रम-परावर्ती' होते हैं, अर्थात् फलन f के रूप में ऊपर के रूप में f (a) ≤ f (b) का अर्थ एक ≤ b का अर्थ है। दूसरी ओर, एक फलन भी 'अनुक्रम-रिवरिंग' या 'एंटीटोन' भी हो सकता है, यदि ≤ b का अर्थ f (a) (f (b) होता है।
-एक 'ऑर्डर-एम्बेडिंग' आदेशों के बीच एक फ़ंक्शन f है जो ऑर्डर-प्रेशरिंग और ऑर्डर-रिफ्लेक्टिंग दोनों है। इन परिभाषाओं के लिए उदाहरण आसानी से पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, जो फ़ंक्शन अपने उत्तराधिकारी को एक प्राकृतिक संख्या को मैप करता है, वह प्राकृतिक क्रम के संबंध में स्पष्ट रूप से एकरस है। असतत आदेश से कोई भी कार्य, अर्थात् पहचान के आदेश = द्वारा आदेशित एक सेट से, मोनोटोन भी है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को संबंधित वास्तविक संख्या में मैप करना एक आदेश एम्बेडिंग के लिए एक उदाहरण देता है। एक पॉवरसेट पर सेट पूरक एक एंटीटोन फ़ंक्शन का एक उदाहरण है।
+अनुक्रम- अंतःस्थापन अनुक्रम-संरक्षण और अनुक्रम-प्रतिबिंब दोनों के बीच अनुक्रम के बीच एक फलन f है। इन परिभाषाओं के उदाहरण आसानी से मिल जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या को उसके उत्तराधिकारी के लिए मैप करने वाला फलन प्राकृतिक क्रम के संबंध में स्पष्ट रूप से एकरस है। असतत क्रम से कोई भी कार्य, अर्थात पहचान अनुक्रम "=" द्वारा अनुक्रमित समुच्चय से, भी एकदिष्ट है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को संबंधित वास्तविक संख्या में मैप करने से अनुक्रम  अंतःस्थापन के लिए एक उदाहरण मिलता है। पावरसेट पर समुच्चय पूरक एक एंटीटोन फलन का एक उदाहरण है।
-एक महत्वपूर्ण सवाल यह है कि जब दो आदेश अनिवार्य रूप से समान होते हैं, अर्थात जब वे तत्वों के नामकरण के समान होते हैं। 'ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म' ऐसे कार्य हैं जो इस तरह के नामकरण को परिभाषित करते हैं। एक आदेश-आइसोमोर्फिज्म एक मोनोटोन द्विध्ररा कार्य है जिसमें एक मोनोटोन उलटा होता है। यह एक सर्जिकल ऑर्डर-एम्बेडिंग होने के बराबर है। इसलिए, एक ऑर्डर-एम्बेडिंग की छवि एफ (पी) हमेशा पी के लिए आइसोमोर्फिक होती है, जो एम्बेडिंग शब्द को सही ठहराता है।
+महत्वपूर्ण प्रश्न यह है कि जब दो अनुक्रम "अनिवार्य रूप से समान" होते हैं, अर्थात जब वे तत्वों के नाम बदलने तक समान होते हैं। अनुक्रम समरूपता ऐसे कार्य हैं जो इस तरह के नामकरण को परिभाषित करते हैं। अनुक्रम-समरूपता  एकदिष्ट द्विअंतथक्षेपण  फलन है जिसमें एक एकदिष्ट व्युत्क्रम होता है। यह एक विशेषण क्रम- अंतःस्थापन होने के बराबर है। इसलिए, एक अनुक्रम- अंतःस्थापन की छवि f(P) हमेशा P के लिए समरूपी होती है, जो " अंतःस्थापन" शब्द को सही ठहराती है।
-तथाकथित 'गैलोइस कनेक्शन' द्वारा एक अधिक विस्तृत प्रकार के कार्य दिए गए हैं। मोनोटोन गैलोइस कनेक्शन को ऑर्डर-आइसोमोर्फिज्म के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि वे कॉनवर्स दिशाओं में दो कार्यों की एक जोड़ी का गठन करते हैं, जो एक दूसरे के लिए काफी उलटा नहीं हैं, लेकिन अभी भी करीबी रिश्ते हैं।
+तथाकथित गैलोइस संयोजन द्वारा अधिक विस्तृत प्रकार के कार्य दिए गए हैं। एकदिष्ट गैलोइस संयोजन को अनुक्रम-समरूपता के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में दो कार्यों की एक जोड़ी का गठन करते हैं, जो एक दूसरे के विपरीत "काफी नहीं" होते हैं।
-एक पोज़ेट पर एक अन्य विशेष प्रकार के स्व-मानचित्र 'क्लोजर ऑपरेटर' हैं, जो न केवल मोनोटोनिक हैं, बल्कि idempotent भी हैं, अर्थात् F (x) = f (X)), और 'व्यापक' (या मुद्रास्फीति), यानी, यानी। x ≤ f (x)। इनमें सभी प्रकार के क्लोजर में कई एप्लिकेशन हैं जो गणित में दिखाई देते हैं।
+आंशिकतः समुच्चय पर एक और विशेष प्रकार के स्व-मानचित्र संवरण-संकारकहैं, जो न केवल एकदिष्टिक हैं, बल्कि निर्बल, भी हैं, यानी f(x) = f(f(x)), और व्यापक (या मुद्रास्फीति), यानी x ≤ f (x)।गणित में दिखाई देने वाले सभी प्रकार के "संवरण" में इनके कई अनुप्रयोग हैं।
-मात्र आदेश संबंधों के साथ संगत होने के अलावा, POSET के बीच कार्य विशेष तत्वों और निर्माणों के संबंध में भी अच्छा व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब कम से कम तत्व के साथ पोज़िट के बारे में बात करते हैं, तो यह केवल मोनोटोनिक कार्यों पर विचार करना उचित लग सकता है जो इस तत्व को संरक्षित करते हैं, यानी जो कम से कम तत्वों को कम से कम तत्वों के लिए मानते हैं। यदि बाइनरी इन्फिमा ∧ मौजूद है, तो सभी x और y के लिए एक उचित संपत्ति की आवश्यकता हो सकती है कि f (x y y) = f (x) y f (y) की आवश्यकता होती है। ये सभी गुण, और वास्तव में कई और अधिक, सीमा-संरक्षण फ़ंक्शन (ऑर्डर थ्योरी) के लेबल के तहत संकलित किए जा सकते हैं। सीमा-संरक्षण कार्यों।
+केवल अनुक्रम संबंधों के साथ संगत होने के अलावा, विशेष तत्वों और निर्माणों के संबंध में आंशिकतः समुच्चय के बीच कार्य भी अच्छा व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, कम से कम तत्व वाले आंशिकतः समुच्चय के बारे में बात करते समय, केवल एकदिष्टिक कार्यों पर विचार करना उचित प्रतीत हो सकता है जो इस तत्व को संरक्षित करते हैं, यानी जो कम से कम तत्वों को कम से कम तत्वों को मैप करते हैं। यदि युग्मक निम्नतम मौजूद है, तो एक उचित संपत्ति के लिए यह आवश्यक हो सकता है कि
-अंत में, कोई दृश्य को उल्टा कर सकता है, आदेशों के कार्यों से कार्यों के आदेशों तक स्विच कर सकता है। दरअसल, दो पॉज़िट पी और क्यू के बीच के कार्यों को पॉइंटवाइज ऑर्डर के माध्यम से ऑर्डर किया जा सकता है। दो कार्यों के लिए f और g, हमारे पास f (g (X) if g (x) के सभी तत्वों के लिए X के लिए f (g (x) है। यह डोमेन सिद्धांत में उदाहरण के लिए होता है, जहां फ़ंक्शन स्पेस एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
+''f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y)'', सभी x और y के लिए। ये सभी गुण, और वास्तव में कई अन्य, सीमा-संरक्षण कार्यों के लेबल के तहत संकलित किए जा सकते हैं।
-== विशेष प्रकार के आदेश ==
+अंत में, कोई भी दृश्य को उल्टा कर सकता है, अनुक्रमों के कार्यों से कार्यों के अनुक्रमों पर स्विच कर सकता है। वस्तुत:, दो  आंशिकतः समुच्चय्स पी और क्यू के बीच के कार्यों को बिंदुवार क्रम के माध्यम से अनुक्रम दिया जा सकता है। दो कार्यों f और g के लिए, हमारे पास f ≤ g है यदि ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'' )के सभी तत्वों के लिए X के लिए f (g (x) है। यह उदाहरण के लिए डोमेन सिद्धांत में होता है, जहां फलन रिक्त स्थान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
-ऑर्डर थ्योरी में अध्ययन किए जाने वाले कई संरचनाएं आगे के गुणों के साथ आदेश संबंधों को नियुक्त करती हैं। वास्तव में, यहां तक कि कुछ संबंध जो आंशिक आदेश नहीं हैं, वे विशेष रुचि के हैं। मुख्य रूप से एक प्रीऑर्डर की अवधारणा का उल्लेख किया जाना है। एक प्रीऑर्डर एक ऐसा संबंध है जो रिफ्लेक्टिव और ट्रांजिटिव है, लेकिन जरूरी नहीं कि एंटीसिमेट्रिक हो। प्रत्येक प्रीऑर्डर तत्वों के बीच एक समतुल्य संबंध को प्रेरित करता है, जहां A B के बराबर है, यदि A ≤ B और B ≤ A। इस संबंध के संबंध में सभी तत्वों की पहचान करके पूर्ववर्ती को आदेशों में बदल दिया जा सकता है।
-ऑर्डर की वस्तुओं पर संख्यात्मक डेटा से कई प्रकार के आदेशों को परिभाषित किया जा सकता है: कुल आदेश प्रत्येक आइटम में अलग -अलग वास्तविक संख्याओं को संलग्न करने और आइटम ऑर्डर करने के लिए संख्यात्मक तुलना का उपयोग करने से होता है; इसके बजाय, यदि अलग -अलग वस्तुओं को समान संख्यात्मक स्कोर करने की अनुमति है, तो एक सख्त कमजोर आदेश प्राप्त करता है। एक निश्चित सीमा से अलग होने के लिए दो स्कोर की आवश्यकता होती है, इससे पहले कि वे एक सेमियरर की अवधारणा की तुलना कर सकें, जबकि थ्रेशोल्ड को प्रति-आइटम आधार पर अलग-अलग होने की अनुमति देता है, एक अंतराल आदेश का उत्पादन करता है।
+== विशेष प्रकार के अनुक्रम ==
+अनुक्रम क्रम सिद्धांत में अध्ययन की जाने वाली कई संरचनाएं आगे के गुणों के साथ अनुक्रम संबंधों को नियोजित करती हैं। वास्तव में, यहां तक कि कुछ संबंध जो आंशिक अनुक्रम नहीं हैं, विशेष रुचि के हैं। मुख्य रूप से पूर्व अनुक्रम की अवधारणा का उल्लेख किया जाना है। एक पूर्व अनुक्रम एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त और सकर्मक है, लेकिन जरूरी नहीं कि प्रतिसममित हो। प्रत्येक पूर्व-अनुक्रम तत्वों के बीच एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है, जहां a, b के बराबर है, यदि''a'' ≤ ''b'' और b ≤ a है। इस संबंध के संबंध में समतुल्य सभी तत्वों की पहचान करके पूर्व-अनुक्रमों को अनुक्रमों में बदला जा सकता है।
-एक अतिरिक्त सरल लेकिन उपयोगी संपत्ति तथाकथित 'अच्छी तरह से स्थापित संबंध | अच्छी तरह से स्थापित' की ओर ले जाती है, जिसके लिए सभी गैर-खाली उपसमुच्चय में एक न्यूनतम तत्व होता है। रैखिक से आंशिक आदेशों को अच्छी तरह से आदेशों को सामान्य करना, एक सेट 'अच्छी तरह से आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है' यदि इसके सभी गैर-खाली उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्वों की एक सीमित संख्या है।
+अनुक्रम की वस्तुओं पर संख्यात्मक आँकड़े से कई प्रकार के अनुक्रम परिभाषित किए जा सकते हैं: कुल अनुक्रम का परिणाम प्रत्येक विषय में अलग-अलग वास्तविक संख्याओं को जोड़ने और विषय को अनुक्रम करने के लिए संख्यात्मक तुलनाओं का उपयोग करने से होता है; इसके बजाय, यदि अलग-अलग मदों को समान संख्यात्मक अंकों की अनुमति दी जाती है, तो एक सख्त कमजोर क्रम प्राप्त करता है। तुलना करने से पहले दो अंकों को एक निश्चित प्रभावसीमा से अलग करने की आवश्यकता होती है, एक अर्ध-अनुक्रम की अवधारणा की ओर जाता है, जबकि प्रभावसीमा को प्रति- विषय के आधार पर भिन्न होने की अनुमति देने से एक अंतराल क्रम उत्पन्न होता है।
-कई अन्य प्रकार के आदेश तब उत्पन्न होते हैं जब कुछ सेटों के इन्फिमा और सुप्रेमा के अस्तित्व की गारंटी दी जाती है। इस पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हुए, आमतौर पर आदेशों की पूर्णता के रूप में संदर्भित किया जाता है, एक प्राप्त करता है:
+अतिरिक्त सरल लेकिन उपयोगी संपत्ति तथाकथित अच्छी तरह से स्थापित होती है, जिसके लिए सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है। रैखिक से आंशिक अनुक्रमों के लिए अच्छी तरह से अनुक्रमों को सामान्य करना, समुच्चय को आंशिक रूप से अनुक्रम दिया जाता है यदि इसके सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्वों की एक सीमित संख्या होती है।
-* बाउंडेड पॉज़ेट, अर्थात् कम से कम और सबसे बड़े तत्व के साथ पोज़िट (जो कि खाली उपसमुच्चय के सर्वोच्च और अनंत हैं),
+कई अन्य प्रकार के अनुक्रम तब उत्पन्न होते हैं जब कुछ समुच्चय के निम्नतम और सुप्रीम के अस्तित्व की गारंटी होती है। इस पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हुए, जिसे आमतौर पर अनुक्रमों की पूर्णता के रूप में संदर्भित किया जाता है, कोई प्राप्त करता है:
-* लैटिस, जिसमें प्रत्येक गैर-खाली परिमित सेट में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है,
-* पूर्ण जाली, जहां हर सेट में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है, और
-* निर्देशित पूर्ण आंशिक आदेश (DCPOS), जो सभी निर्देशित उपसमुच्चय के सुप्रेमा के अस्तित्व की गारंटी देते हैं और जो डोमेन सिद्धांत में अध्ययन किए जाते हैं।
-* पूरक, या पीओसी सेट के साथ आंशिक आदेश,<ref>{{citation |first=Martin A. |last=Roller |title=Poc sets, median algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem |date=1998 |publisher=Southampton Preprint Archive |url=http://www.personal.soton.ac.uk/gan/Roller.pdf |access-date=2015-01-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304051111/http://www.personal.soton.ac.uk/gan/Roller.pdf |archive-date=2016-03-04 |url-status=dead }}</ref> एक अद्वितीय निचला तत्व 0 के साथ पोज़ेट हैं, साथ ही एक आदेश-पुनर्मूल्यांकन इनवोल्यूशन <math>*</math> ऐसा है कि <math>a \leq a^{*} \implies a = 0.</math>
-हालांकि, कोई भी आगे भी जा सकता है: यदि सभी परिमित गैर-खाली इन्फिमा मौजूद हैं, तो ∧ को सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में कुल द्विआधारी संचालन के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, एक जाली में, दो ऑपरेशन ∧ और ∨ उपलब्ध हैं, और कोई भी पहचान देकर नई संपत्तियों को परिभाषित कर सकता है, जैसे
-: x & nbsp; ∧ & nbsp; ।
+* परिबंधेड आंशिकतः क्रमित समुच्चय अर्थात् कम से कम और सबसे बड़े तत्व के साथ आंशिकतः क्रमित समुच्चय (जो कि खाली उपसमुच्चय के सर्वोच्च और अनंत हैं),
+* लैटिस, जिसमें प्रत्येक गैर-खाली परिमित समुच्चय में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है,
+* पूर्ण  लैटिस, जहां हर समुच्चय में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है, और
+* निर्देशित पूर्ण आंशिक अनुक्रम (DCPOS), जो सभी निर्देशित उपसमुच्चय के सुप्रेमा के अस्तित्व की गारंटी देते हैं और जो डोमेन सिद्धांत में अध्ययन किए जाते हैं।
+* पूरक, या poc समुच्चय के साथ आंशिक अनुक्रम,<ref>{{citation |first=Martin A. |last=Roller |title=Poc sets, median algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem |date=1998 |publisher=Southampton Preprint Archive |url=http://www.personal.soton.ac.uk/gan/Roller.pdf |access-date=2015-01-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304051111/http://www.personal.soton.ac.uk/gan/Roller.pdf |archive-date=2016-03-04 |url-status=dead }}</ref> एक अद्वितीय निचला तत्व 0 के साथ पोज़ेट हैं, साथ ही एक अनुक्रम-पुनर्मूल्यांकन प्रत्यावर्तन <math>*</math> ऐसा है कि <math>a \leq a^{*} \implies a = 0.</math>
+हालांकि, कोई और भी आगे जा सकता है: यदि सभी परिमित गैर-रिक्त  निम्नतम मौजूद हैं, तो को सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में कुल युग्मक संक्रिया के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, लैटिस में, दो संक्रिया ∧ और उपलब्ध हैं, और कोई भी पहचान देकर नए गुणों को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि
-इस स्थिति को 'वितरण' कहा जाता है और वितरण को जन्म देता है। कुछ अन्य महत्वपूर्ण वितरण कानून हैं जिन पर आदेश सिद्धांत में वितरण पर लेख में चर्चा की जाती है। कुछ अतिरिक्त ऑर्डर संरचनाएं जो अक्सर बीजगणितीय संचालन और परिभाषित पहचान के माध्यम से निर्दिष्ट की जाती हैं
+: ''x'' ∧ (''y'' ∨ ''z'')  =  (''x'' ∧ ''y'') ∨ (''x'' ∧ ''z''), सभी x, y, और z के लिए।
-* हेयिंग अल्जेब्रा और
+इस स्थिति को 'वितरण' कहा जाता है और वितरण को जन्म देता है। कुछ अन्य महत्वपूर्ण वितरण कानून हैं जिन पर अनुक्रम सिद्धांत में वितरण पर लेख में चर्चा की जाती है। कुछ अतिरिक्त अनुक्रम संरचनाएं जो अक्सर बीजगणितीय संचालन और परिभाषित पहचान के माध्यम से निर्दिष्ट की जाती हैं
+* हेयिंग बीजगणित और
 * बूलियन बीजगणित,
-जो दोनों एक नया ऑपरेशन पेश करते हैं ~ जिसे 'नकारात्मक' कहा जाता है। दोनों संरचनाएं गणितीय तर्क में एक भूमिका निभाती हैं और विशेष रूप से बूलियन बीजगणितों में कंप्यूटर विज्ञान में प्रमुख अनुप्रयोग हैं।
+जो दोनों एक नया संक्रिया पेश करते हैं ~ जिसे नकारात्मक कहा जाता है। दोनों संरचनाएं गणितीय तर्क में एक भूमिका निभाती हैं और विशेष रूप से बूलियन बीजगणित के  संगणक विज्ञान में प्रमुख अनुप्रयोग हैं। अंत में, गणित में विभिन्न संरचनाएं अनुक्रम को और भी अधिक बीजीय संक्रियाओं के साथ जोड़ती हैं, जैसा कि क्वांटल के मामले में होता है, जो एक अतिरिक्त संक्रिया की परिभाषा के लिए अनुमति देता है।
-अंत में, गणित में विभिन्न संरचनाएं और भी अधिक बीजगणितीय संचालन के साथ आदेशों को जोड़ती हैं, जैसा कि क्वांटेल्स के मामले में, जो एक अतिरिक्त ऑपरेशन की परिभाषा के लिए अनुमति देता है।
-Posets के कई अन्य महत्वपूर्ण गुण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, एक पोज़ेट 'स्थानीय रूप से परिमित' है यदि प्रत्येक बंद अंतराल [ए, बी] इसमें परिमित है। स्थानीय रूप से परिमित पॉज़ेट घटना बीजगणितों को जन्म देते हैं, जिसका उपयोग बदले में परिमित बाउंडेड पॉज़िट की यूलर विशेषता को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।
+आंशिकतः समुच्चय के कई अन्य महत्वपूर्ण गुण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, एक आंशिकतः समुच्चय स्थानीय रूप से परिमित होता है यदि इसमें प्रत्येक बंद अंतराल [a, b] परिमित हो। स्थानीय रूप से परिमित  आंशिकतः समुच्चय घटना बीजगणित को जन्म देते हैं जो बदले में परिमित बाध्य  आंशिकतः समुच्चय्स की यूलर विशेषता को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
-== आदेशित सेटों के उपसमुच्चय ==
+== अनुक्रमित समुच्चय के उपसमुच्चय ==
-एक आदेशित सेट में, कोई दिए गए आदेश के आधार पर कई प्रकार के विशेष उपसमुच्चय को परिभाषित कर सकता है। एक साधारण उदाहरण ऊपरी सेट हैं; यानी सेट जिसमें उन सभी तत्व होते हैं जो क्रम में उनके ऊपर होते हैं। औपचारिक रूप से, एक सेट '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' को ऊपरी बंद कुछ '' y '' '' '' '' '' '' '' 'x' '' के साथ है। एक सेट जो इसके ऊपरी क्लोजर के बराबर है, उसे एक ऊपरी सेट कहा जाता है। निचले सेट को परिभाषित किया गया है।
+अनुक्रमित सेट में, दिए गए क्रम के आधार पर कई प्रकार के विशेष उपसमुच्चय को परिभाषित किया जा सकता है। साधारण उदाहरण ऊपरी समुच्चय हैं, यानी समुच्चय जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो क्रम में उनके ऊपर होते हैं। औपचारिक रूप से,  आंशिकतः समुच्चय P में समुच्चय S का ऊपरी बंद समुच्चय {x में P | द्वारा दिया जाता है S के साथ y ≤ x में कुछ y}है। वह समुच्चय जो उसके ऊपरी बंद के बराबर होता है, ऊपरी समुच्चय कहलाता है। निचले समुच्चय को दोहरी रूप से परिभाषित किया गया है।
-अधिक जटिल निचले उपसमुच्चय आदर्श हैं, जिनमें अतिरिक्त संपत्ति है कि उनके प्रत्येक तत्व में आदर्श के भीतर एक ऊपरी सीमा होती है। उनके दोहरे फिल्टर द्वारा दिए गए हैं। एक संबंधित अवधारणा एक निर्देशित उपसमुच्चय की है, जिसमें एक आदर्श की तरह परिमित उपसमुच्चय की ऊपरी सीमा होती है, लेकिन एक कम सेट नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, यह अक्सर पूर्व निर्धारित सेटों के लिए सामान्यीकृत होता है।
+अधिक जटिल निचले उपसमुच्चय आदर्श होते हैं, जिनकी अतिरिक्त संपत्ति होती है कि उनके प्रत्येक दो तत्वों में आदर्श के भीतर ऊपरी सीमा होती है। इनके ड्यूल  निस्यंदक्स द्वारा दिए गए हैं। एक संबंधित अवधारणा एक निर्देशित उपसमुच्चय की है, जिसमें एक आदर्श की तरह परिमित उपसमुच्चय की ऊपरी सीमाएं होती हैं, लेकिन कम समुच्चय नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, इसे अक्सर पूर्व-अनुक्रमित समुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।
-एक उपसमुच्चय जो एक उप -पोसेट के रूप में है - रैखिक रूप से आदेश दिया गया है, को एक श्रृंखला कहा जाता है। विपरीत धारणा, एंटीचैन, एक उपसमुच्चय है जिसमें कोई दो तुलनीय तत्व नहीं हैं; यानी यह एक असतत आदेश है।
+एक उपसमुच्चय जो एक उप - आंशिकतः क्रमित समुच्चय के रूप में है - रैखिक रूप से अनुक्रम दिया गया है, को एक श्रृंखला कहा जाता है। विपरीत धारणा, एंटीचैन, एक उपसमुच्चय है जिसमें कोई दो तुलनीय तत्व नहीं हैं; यानी यह एक असतत अनुक्रम है।
 == संबंधित गणितीय क्षेत्र ==
-हालाँकि अधिकांश गणितीय क्षेत्र किसी न किसी तरह से आदेशों का उपयोग करते हैं, लेकिन कुछ सिद्धांत ऐसे भी हैं जिनके संबंध केवल अनुप्रयोग से कहीं अधिक हैं। आदेश सिद्धांत के साथ उनके संपर्क के प्रमुख बिंदुओं के साथ, इनमें से कुछ को नीचे प्रस्तुत किया जाना है।
+हालाँकि अधिकांश गणितीय क्षेत्र किसी न किसी तरह से अनुक्रमों का उपयोग करते हैं, लेकिन कुछ सिद्धांत ऐसे भी हैं जिनके संबंध केवल अनुप्रयोग से कहीं अधिक हैं। अनुक्रम सिद्धांत के साथ उनके संपर्क के प्रमुख बिंदुओं के साथ, इनमें से कुछ को नीचे प्रस्तुत किया जाना है।
 === सार्वभौमिक बीजगणित ===
-जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सार्वभौमिक बीजगणित के तरीके और औपचारिकताएं कई आदेश सैद्धांतिक विचारों के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। बीजगणितीय संरचनाओं के संदर्भ में औपचारिक आदेश देने के अलावा, जो कुछ निश्चित पहचानों को पूरा करते हैं, कोई भी बीजगणित के साथ अन्य कनेक्शन भी स्थापित कर सकता है। एक उदाहरण बूलियन बीजगणित और बूलियन रिंगों के बीच पत्राचार द्वारा दिया गया है। अन्य मुद्दे मुक्त निर्माण के अस्तित्व से संबंधित हैं, जैसे कि जनरेटर के दिए गए सेट के आधार पर मुफ्त जाली। इसके अलावा, सार्वभौमिक बीजगणित के अध्ययन में क्लोजर ऑपरेटर महत्वपूर्ण हैं।
+जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सार्वभौमिक बीजगणित के तरीके और औपचारिकताएं कई अनुक्रम सैद्धांतिक विचारों के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। बीजगणितीय संरचनाओं के संदर्भ में औपचारिक अनुक्रम देने के अलावा, जो कुछ निश्चित पहचानों को पूरा करते हैं, कोई भी बीजगणित के साथ अन्य संयोजन भी स्थापित कर सकता है। एक उदाहरण बूलियन बीजगणित और बूलियन रिंगों के बीच पत्राचार द्वारा दिया गया है। अन्य मुद्दे मुक्त निर्माण के अस्तित्व से संबंधित हैं, जैसे कि जनित्र के दिए गए समुच्चय के आधार पर मुफ्त लैटिस। इसके अलावा, सार्वभौमिक बीजगणित के अध्ययन में संवरण-संकारक महत्वपूर्ण हैं।
-=== टोपोलॉजी ===
+=== सांस्थिति ===
-टोपोलॉजी में, ऑर्डर बहुत प्रमुख भूमिका निभाते हैं। वास्तव में, खुले सेटों का संग्रह पूर्ण जाली का एक शास्त्रीय उदाहरण प्रदान करता है, अधिक सटीक रूप से एक पूर्ण हेटिंग बीजगणित (या "फ्रेम" या "लोकेल")। फिल्टर और नेट, ऑर्डर थ्योरी से निकटता से संबंधित धारणाएं हैं और सेट के क्लोजर ऑपरेटर का उपयोग टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इन संबंधों से परे, टोपोलॉजी को केवल खुले सेट जाली के संदर्भ में देखा जा सकता है, जो व्यर्थ टोपोलॉजी के अध्ययन की ओर जाता है। इसके अलावा, एक टोपोलॉजी के अंतर्निहित सेट के तत्वों का एक प्राकृतिक प्रीऑर्डर तथाकथित विशेषज्ञता आदेश द्वारा दिया जाता है, जो वास्तव में एक आंशिक क्रम है यदि टोपोलॉजी T0 है।
+सांस्थिति में, अनुक्रम बहुत प्रमुख भूमिका निभाते हैं। वास्तव में, खुले समुच्चय का संग्रह पूर्ण  लैटिस का एक शास्त्रीय उदाहरण प्रदान करता है, अधिक सटीक रूप से एक पूर्ण हेटिंग बीजगणित (या "फ्रेम" या "लोकेल")। निस्यंदक और नेट, अनुक्रम सिद्धांत से निकटता से संबंधित धारणाएं हैं औरसमुच्चय के  संवरण-संकारकका उपयोग  सांस्थिति को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इन संबंधों से परे,  सांस्थिति को केवल खुले समुच्चय लैटिस के संदर्भ में देखा जा सकता है, जो व्यर्थ  सांस्थिति के अध्ययन की ओर जाता है। इसके अलावा, एक  सांस्थिति के अंतर्निहित समुच्चय के तत्वों का एक प्राकृतिक प्रीअनुक्रम तथाकथित विशेषज्ञता अनुक्रम द्वारा दिया जाता है, जो वास्तव में एक आंशिक क्रम है यदि  सांस्थिति T0 है।
-इसके विपरीत, क्रम सिद्धांत में, अक्सर टोपोलॉजिकल परिणामों का उपयोग किया जाता है। एक आदेश के उपसमुच्चय को परिभाषित करने के कई तरीके हैं जिन्हें एक टोपोलॉजी के खुले सेट के रूप में माना जा सकता है। पॉसेट (X,≤) पर टोपोलॉजी को ध्यान में रखते हुए, जो बदले में ≤ को उनके विशेषज्ञता क्रम के रूप में प्रेरित करता है, बेहतरीन ऐसी टोपोलॉजी अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी है, जो सभी ऊपरी सेटों को ओपन के रूप में लेती है।इसके विपरीत, सबसे मोटे टोपोलॉजी जो विशेषज्ञता क्रम को प्रेरित करती है, ऊपरी टोपोलॉजी है, जिसमें एक सबबेस के रूप में प्रमुख आदर्शों (यानी फॉर्म { X में y | y ≤ x} के लिए कुछ x) के पूरक होते हैं। इसके अतिरिक्त, विशेषज्ञता आदेश ≤ के साथ एक टोपोलॉजी क्रम संगत हो सकती है, जिसका अर्थ है कि उनके खुले सेट "निर्देशित सुप्रीम द्वारा पहुंच योग्य नहीं हैं" (≤ के संबंध में)। बेहतरीन क्रम संगत टोपोलॉजी स्कॉट टोपोलॉजी है, जो अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी की तुलना में मोटे है। इस भावना में तीसरा महत्वपूर्ण टोपोलॉजी लॉसन टोपोलॉजी है। इन टोपोलॉजी और ऑर्डर थ्योरी की अवधारणाओं के बीच घनिष्ठ संबंध हैं। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करता है यदि और केवल अगर यह स्कॉट टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर है (इस कारण से इस आदेश सैद्धांतिक संपत्ति को स्कॉट-निरंतरता भी कहा जाता है)।
+इसके विपरीत, क्रम सिद्धांत में, अक्सर सांस्थिति परिणामों का उपयोग किया जाता है। एक अनुक्रम के उपसमुच्चय को परिभाषित करने के कई तरीके हैं जिन्हें एक  सांस्थिति के खुले समुच्चय के रूप में माना जा सकता है।  आंशिकतः समुच्चय (X,≤) पर  सांस्थिति को ध्यान में रखते हुए, जो बदले में ≤ को उनके विशेषज्ञता क्रम के रूप में प्रेरित करता है, बेहतरीन ऐसी अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति है, जो सभी ऊपरी समुच्चय को ओपन के रूप में लेती है। इसके विपरीत, सबसे मोटे सांस्थिति जो विशेषज्ञता क्रम को प्रेरित करती है, ऊपरी सांस्थिति है, जिसमें एक सबबेस के रूप में प्रमुख आदर्शों (यानी फॉर्म { X में y | y ≤ x} के लिए कुछ x) के पूरक होते हैं। इसके अतिरिक्त, विशेषज्ञता अनुक्रम ≤ के साथ एक  सांस्थिति क्रम संगत हो सकती है, जिसका अर्थ है कि उनके खुले समुच्चय "निर्देशित सुप्रीम द्वारा पहुंच योग्य नहीं हैं" (≤ के संबंध में)। बेहतरीन क्रम संगत सांस्थिति स्कॉट सांस्थिति है, जो अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति की तुलना में मोटे है। इस भावना में तीसरा महत्वपूर्ण  सांस्थिति लॉसन  सांस्थिति है। इन  सांस्थिति और अनुक्रम सिद्धांत की अवधारणाओं के बीच घनिष्ठ संबंध हैं। उदाहरण के लिए, एक फलन निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करता है यदि और केवल अगर यह स्कॉट  सांस्थिति के संबंध में निरंतर है (इस कारण से इस अनुक्रम सैद्धांतिक संपत्ति को स्कॉट-निरंतरता भी कहा जाता है)।
 === श्रेणी सिद्धांत ===
-हस्से आरेखों के साथ आदेशों के विज़ुअलाइज़ेशन का एक सीधा सामान्यीकरण है: बड़े तत्वों के नीचे कम तत्वों को प्रदर्शित करने के बजाय, ग्राफ़ के किनारों को दिशा देकर आदेश की दिशा को भी चित्रित किया जा सकता है। इस तरह, प्रत्येक आदेश को एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ के बराबर देखा जाता है, जहां नोड्स पॉसेट के तत्व होते हैं और a से b तक एक निर्देशित पथ होता है और केवल अगर a ≤ b होता है। विश्वकोश होने की आवश्यकता को छोड़कर, कोई भी सभी पूर्व-आदेश प्राप्त कर सकता है।
+हस्से आरेखों के साथ अनुक्रमों के विज़ुअलाइज़ेशन का एक सीधा सामान्यीकरण है: बड़े तत्वों के नीचे कम तत्वों को प्रदर्शित करने के बजाय, लेखाचित्र (ग्राफ़) के किनारों को दिशा देकर अनुक्रम की दिशा को भी चित्रित किया जा सकता है। इस तरह, प्रत्येक अनुक्रम को एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ के बराबर देखा जाता है, जहां पर्णसंधि आंशिकतः समुच्चय के तत्व होते हैं और a से b तक एक निर्देशित पथ होता है और केवल अगर a ≤ b होता है। विश्वकोश होने की आवश्यकता को छोड़कर, कोई भी सभी पूर्व-अनुक्रम प्राप्त कर सकता है।
-जब सभी संक्रमणीय किनारों से सुसज्जित होते हैं, तो बदले में ये ग्राफ़ केवल विशेष श्रेणियां होते हैं, जहां तत्व वस्तुएं होती हैं और दो तत्वों के बीच आकारिता का प्रत्येक सेट अधिकतम सिंगलटन होता है। आदेशों के बीच कार्य श्रेणियों के बीच फ़ैक्टर बन जाते हैं। आदेश सिद्धांत के कई विचार छोटे में श्रेणी सिद्धांत की अवधारणाएं हैं। उदाहरण के लिए, एक न्यूनतम केवल एक श्रेणीबद्ध उत्पाद है। अधिक आम तौर पर, कोई व्यक्ति एक स्पष्ट सीमा (या क्रमशः कॉलिमिट) की अमूर्त धारणा के तहत इंफिमा और सुप्रीम को पकड़ सकता है। एक और जगह जहां स्पष्ट विचार होते हैं, एक (मोनोटोन) गैलोइस कनेक्शन की अवधारणा है, जो कि निकटवर्ती फ़ैक्टर की एक जोड़ी के समान है।
+जब सभी संक्रमणीय किनारों से सुसज्जित होते हैं, तो बदले में ये लेखाचित्र (ग्राफ़) केवल विशेष श्रेणियां होते हैं, जहां तत्व वस्तुएं होती हैं और दो तत्वों के बीच आकारिता का प्रत्येक समुच्चय अधिकतम एकल होता है। अनुक्रमों के बीच कार्य श्रेणियों के बीच प्रकार्यक बन जाते हैं। अनुक्रम सिद्धांत के कई विचार छोटे में श्रेणी सिद्धांत की अवधारणाएं हैं। उदाहरण के लिए, एक न्यूनतम केवल एक श्रेणीबद्ध उत्पाद है। अधिक आम तौर पर, कोई व्यक्ति एक स्पष्ट सीमा (या क्रमशः कॉलिमिट) की अमूर्त धारणा के तहत  निम्नतम और सुप्रीम को पकड़ सकता है। एक और जगह जहां स्पष्ट विचार होते हैं, एक (एकदिष्ट) गैलोइस संयोजन की अवधारणा है, जो कि निकटवर्ती प्रकार्यक की एक जोड़ी के समान है।
-लेकिन श्रेणी सिद्धांत का भी बड़े पैमाने पर आदेश सिद्धांत पर प्रभाव पड़ता है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, उपयुक्त कार्यों के साथ पॉसेट की कक्षाएं दिलचस्प श्रेणियां बनाती हैं। अक्सर कोई भी श्रेणियों के संदर्भ में, उत्पाद ऑर्डर की तरह, ऑर्डर के निर्माण को भी बता सकता है। आगे की अंतर्दृष्टि का परिणाम तब होता है जब ऑर्डर की श्रेणियां स्पष्ट रूप से अन्य श्रेणियों के बराबर पाई जाती हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस है। अनुसंधान की यह पंक्ति विभिन्न प्रतिनिधित्व प्रमेयों की ओर ले जाती है, जिन्हें अक्सर पाषाण द्वैत के लेबल के तहत एकत्र किया जाता है।
+लेकिन श्रेणी सिद्धांत का भी बड़े पैमाने पर अनुक्रम सिद्धांत पर प्रभाव पड़ता है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, उपयुक्त कार्यों के साथ आंशिकतः समुच्चय की कक्षाएं दिलचस्प श्रेणियां बनाती हैं। अक्सर कोई भी श्रेणियों के संदर्भ में, उत्पाद अनुक्रम की तरह, अनुक्रम के निर्माण को भी बता सकता है। आगे की अंतर्दृष्टि का परिणाम तब होता है जब अनुक्रम की श्रेणियां स्पष्ट रूप से अन्य श्रेणियों के बराबर पाई जाती हैं, उदाहरण के लिए  सांस्थितिक समष्टि है। अनुसंधान की यह पंक्ति विभिन्न प्रतिनिधित्व प्रमेयों की ओर ले जाती है, जिन्हें अक्सर पाषाण द्वैत के लेबल के तहत एकत्र किया जाता है।
 == इतिहास ==
-जैसा कि पहले बताया गया है, गणित में आदेश सर्वव्यापी हैं। हालांकि, आंशिक आदेशों का जल्द से जल्द स्पष्ट उल्लेख 19वीं शताब्दी से पहले नहीं पाया जा सकता है। इस सन्दर्भ में जार्ज बूले की कृतियों का अत्यधिक महत्व है। इसके अलावा, चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स, रिचर्ड डेडेकिंड और अर्न्स्ट श्रोडर के काम भी आदेश सिद्धांत की अवधारणाओं पर विचार करते हैं।
+जैसा कि पहले बताया गया है, गणित में अनुक्रम सर्वव्यापी हैं। हालांकि, आंशिक अनुक्रमों का जल्द से जल्द स्पष्ट उल्लेख 19वीं शताब्दी से पहले नहीं पाया जा सकता है। इस सन्दर्भ में जार्ज बूले की कृतियों का अत्यधिक महत्व है। इसके अलावा, चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स, रिचर्ड डेडेकिंड और अर्न्स्ट श्रोडर के काम भी अनुक्रम सिद्धांत की अवधारणाओं पर विचार करते हैं।
-आदेशित ज्यामिति के लिए योगदानकर्ताओं को 1961 की पाठ्यपुस्तक में सूचीबद्ध किया गया था:
+अनुक्रमित ज्यामिति के लिए योगदानकर्ताओं को 1961 की पाठ्यपुस्तक में सूचीबद्ध किया गया था:
 {{blockquote|text=यह 1882 में पास था, जिसने पहली बार बताया कि माप के संदर्भ के बिना क्रम की ज्यामिति विकसित की जा सकती है। पीनो (1889), हिल्बर्ट (1899), और वेब्लेन (1904) द्वारा उनकी स्वयंसिद्ध प्रणाली में धीरे-धीरे सुधार किया गया था।|author=[[H. S. M. Coxeter]]|title=ज्यामिति का परिचय}}
-में बर्ट्रेंड रसेल ने "आर्डर की धारणा पर"<ref>[[Bertrand Russell]] (1901) [[Mind (journal)|''Mind'']] 10(2)</ref> श्रृंखला की पीढ़ी के माध्यम से विचार की नींव की खोज की। वह गणित के सिद्धांतों (1903) के भाग IV में विषय पर लौट आए। रसेल ने नोट किया कि द्विआधारी संबंध aRb में एक अर्थ है जो a से b तक जाता है, जिसमें विपरीत संबंध विपरीत अर्थ वाला होता है, और अर्थ "आदेश और श्रृंखला का स्रोत है"। (p 95) वह स्वीकार करते हैं कि इम्मानुएल कांट<ref>[[Immanuel Kant]] (1763) ''Versuch den Begriff der negativen Grosse in die Weltweisheit einzufuhren''</ref> "तार्किक विरोध और सकारात्मक और नकारात्मक के विरोध के बीच के अंतर से अवगत थे"। उन्होंने लिखा कि कांट श्रेय के पात्र हैं क्योंकि उन्होंने "पहले असममित संबंधों के तार्किक महत्व पर ध्यान दिया था।
+में बर्ट्रेंड रसेल ने "अनुक्रम की धारणा पर"<ref>[[Bertrand Russell]] (1901) [[Mind (journal)|''Mind'']] 10(2)</ref> श्रृंखला की पीढ़ी के माध्यम से विचार की नींव की खोज की। वह गणित के सिद्धांतों (1903) के भाग IV में विषय पर लौट आए। रसेल ने नोट किया कि द्विआधारी संबंध aRb में एक अर्थ है जो a से b तक जाता है, जिसमें विपरीत संबंध विपरीत अर्थ वाला होता है, और अर्थ "अनुक्रम और श्रृंखला का स्रोत है"। (p 95) वह स्वीकार करते हैं कि इम्मानुएल कांट<ref>[[Immanuel Kant]] (1763) ''Versuch den Begriff der negativen Grosse in die Weltweisheit einzufuhren''</ref> "तार्किक विरोध और सकारात्मक और नकारात्मक के विरोध के बीच के अंतर से अवगत थे"। उन्होंने लिखा कि कांट श्रेय के पात्र हैं क्योंकि उन्होंने "पहले असममित संबंधों के तार्किक महत्व पर ध्यान दिया था।
-पोसेट शब्द को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के संक्षिप्त नाम के रूप में गैरेट बिरखोफ ने अपनी प्रभावशाली पुस्तक लैटिस थ्योरी के दूसरे संस्करण में गढ़ा था।{{sfn|Birkhoff|1940|p=1}}<ref>{{Cite web|url=http://jeff560.tripod.com/p.html|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)|website=jeff560.tripod.com}}</ref>
+आंशिकतः क्रमित समुच्चय शब्द को आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय के संक्षिप्त नाम के रूप में गैरेट बिरखोफ ने अपनी प्रभावशाली पुस्तक लैटिस थ्योरी के दूसरे संस्करण में गढ़ा था।{{sfn|Birkhoff|1940|p=1}}<ref>{{Cite web|url=http://jeff560.tripod.com/p.html|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)|website=jeff560.tripod.com}}</ref>
 == यह भी देखें ==
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 * पदानुक्रम
 * घटना बीजगणित
-* कारण सेट करता है
+* कारण समुच्चय करता है
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 163: / Line 165: @@
 == बाहरी संबंध ==
-{{Wiktionary|ordering}}
 * [http://www.apronus.com/provenmath/orders.htm Orders at ProvenMath] partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.
 * Nagel, Felix (2013). [http://www.felixnagel.org Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis]
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