अपेक्षाकृत संहत उपसमष्टि: Difference between revisions
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[[गणित]] में, एक '''अपेक्षाकृत संहत उपसमष्टि''' (कॉम्पैक्ट [[सबस्पेस टोपोलॉजी|सबस्पेस]]) (या अपेक्षाकृत संहत उपसमुच्चय, या पूर्वसंहत उपसमुच्चय) टोपोलॉजिकल समष्टि का Y, X एक उपसमुच्चय है जिसका समापन संहत है। | |||
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एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समष्टि का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है (क्योंकि एक कॉम्पैक्ट समष्टि का एक सवृत (क्लोज्ड) अर्धफलन कॉम्पैक्ट होता है)। और एक विवेकाधीन टोपोलॉजिकल समष्टि में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट फलन का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है।। | |||
हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष का प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है। गैर-हॉसडॉर्फ़ समष्टि में, जैसे अनंत फलन पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी, एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का सवृत होना आवश्यक रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है; अलग प्रकार से कहा गया है, गैर-हॉसडॉर्फ समष्टि का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय आवश्यक रूप से अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट नहीं है। | |||
(संभवतः गैर-हॉसडॉर्फ) [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि]] का प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पूर्ण और अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है। | |||
मीट्रिक टोपोलॉजी के मामले में, या अधिक सामान्यतः जब अनुक्रमों का उपयोग कॉम्पैक्टनेस के परीक्षण के लिए किया जा सकता है, तो सापेक्ष कॉम्पैक्टनेस के लिए मानदंड यह बन जाता है कि {{mvar|Y}} में किसी भी अनुक्रम का में {{mvar|X}} अनुवर्ती अभिसरण होता है। | |||
कुछ प्रमुख प्रमेय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की विशेषता बताते हैं, विशेष रूप से | कुछ प्रमुख प्रमेय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की विशेषता बताते हैं, विशेष रूप से फलन समष्टि में है। एक उदाहरण अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय है। ब्याज के अन्य मामले एकसमान अभिन्नता और जटिल विश्लेषण में एक सामान्य समूह की अवधारणा से संबंधित हैं। संख्याओं की ज्यामिति में महलर की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय कुछ गैर-कॉम्पैक्ट सजातीय समष्टि (विशेष रूप से जाली के समष्टि) में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की विशेषता बताती है। | ||
==प्रतिउदाहरण== | ==प्रतिउदाहरण== | ||
प्रति उदाहरण के रूप में एक अनंत विशेष बिंदु समष्टि के विशेष बिंदु के किसी भी निकटतम को लें। प्रतिवैस (नेबरहुड) स्वयं कॉम्पैक्ट हो सकता है लेकिन अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट नहीं है क्योंकि इसका समापन संपूर्ण गैर-कॉम्पैक्ट समष्टि है। | |||
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== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
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Revision as of 11:30, 13 July 2023
गणित में, एक अपेक्षाकृत संहत उपसमष्टि (कॉम्पैक्ट सबस्पेस) (या अपेक्षाकृत संहत उपसमुच्चय, या पूर्वसंहत उपसमुच्चय) टोपोलॉजिकल समष्टि का Y, X एक उपसमुच्चय है जिसका समापन संहत है।
गुण
एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समष्टि का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है (क्योंकि एक कॉम्पैक्ट समष्टि का एक सवृत (क्लोज्ड) अर्धफलन कॉम्पैक्ट होता है)। और एक विवेकाधीन टोपोलॉजिकल समष्टि में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट फलन का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है।।
हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष का प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है। गैर-हॉसडॉर्फ़ समष्टि में, जैसे अनंत फलन पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी, एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का सवृत होना आवश्यक रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है; अलग प्रकार से कहा गया है, गैर-हॉसडॉर्फ समष्टि का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय आवश्यक रूप से अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट नहीं है।
(संभवतः गैर-हॉसडॉर्फ) टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि का प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पूर्ण और अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है।
मीट्रिक टोपोलॉजी के मामले में, या अधिक सामान्यतः जब अनुक्रमों का उपयोग कॉम्पैक्टनेस के परीक्षण के लिए किया जा सकता है, तो सापेक्ष कॉम्पैक्टनेस के लिए मानदंड यह बन जाता है कि Y में किसी भी अनुक्रम का में X अनुवर्ती अभिसरण होता है।
कुछ प्रमुख प्रमेय अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की विशेषता बताते हैं, विशेष रूप से फलन समष्टि में है। एक उदाहरण अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय है। ब्याज के अन्य मामले एकसमान अभिन्नता और जटिल विश्लेषण में एक सामान्य समूह की अवधारणा से संबंधित हैं। संख्याओं की ज्यामिति में महलर की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय कुछ गैर-कॉम्पैक्ट सजातीय समष्टि (विशेष रूप से जाली के समष्टि) में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की विशेषता बताती है।
प्रतिउदाहरण
प्रति उदाहरण के रूप में एक अनंत विशेष बिंदु समष्टि के विशेष बिंदु के किसी भी निकटतम को लें। प्रतिवैस (नेबरहुड) स्वयं कॉम्पैक्ट हो सकता है लेकिन अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट नहीं है क्योंकि इसका समापन संपूर्ण गैर-कॉम्पैक्ट समष्टि है।
लगभग आवधिक कार्य
लगभग आवधिक फलन की परिभाषा F वैचारिक स्तर पर इसका अनुवाद के साथ संबंध है F अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट फलन होने के लिए है। इसे किसी विशेष सिद्धांत में प्रयुक्त टोपोलॉजी के संदर्भ में सटीक बनाने की आवश्यकता है।
यह भी देखें
- संक्षिप्त रूप से एम्बेडेड
- सम्पूर्ण परिबद्ध समष्टि
संदर्भ
- page 12 of V. Khatskevich, D.Shoikhet, Differentiable Operators and Nonlinear Equations, Birkhäuser Verlag AG, Basel, 1993, 270 pp. at google books
