अपेक्षाकृत संहत उपसमष्टि: Difference between revisions
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एक | एक संहत टोपोलॉजिकल समष्टि का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत संहत होता है (क्योंकि एक संहत समष्टि का एक सवृत (क्लोज्ड) अर्धफलन संहत होता है)। और एक विवेकाधीन टोपोलॉजिकल समष्टि में अपेक्षाकृत संहत फलन का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत संहत होता है।। | ||
हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष का प्रत्येक | हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष का प्रत्येक संहत उपसमुच्चय अपेक्षाकृत संहत है। गैर-हॉसडॉर्फ़ समष्टि में, जैसे अनंत फलन पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी, एक संहत उपसमुच्चय का सवृत होना आवश्यक रूप से संहत नहीं है; अलग प्रकार से कहा गया है, गैर-हॉसडॉर्फ समष्टि का एक संहत उपसमुच्चय आवश्यक रूप से अपेक्षाकृत संहत नहीं है। | ||
(संभवतः गैर-हॉसडॉर्फ) [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि]] का प्रत्येक | (संभवतः गैर-हॉसडॉर्फ) [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि]] का प्रत्येक संहत उपसमुच्चय पूर्ण और अपेक्षाकृत संहत है। | ||
मीट्रिक टोपोलॉजी के मामले में, या अधिक सामान्यतः जब अनुक्रमों का उपयोग | मीट्रिक टोपोलॉजी के मामले में, या अधिक सामान्यतः जब अनुक्रमों का उपयोग संहतनेस के परीक्षण के लिए किया जा सकता है, तो सापेक्ष संहतनेस के लिए मानदंड यह बन जाता है कि {{mvar|Y}} में किसी भी अनुक्रम का में {{mvar|X}} अनुवर्ती अभिसरण होता है। | ||
कुछ प्रमुख प्रमेय अपेक्षाकृत | कुछ प्रमुख प्रमेय अपेक्षाकृत संहत उपसमुच्चय की विशेषता बताते हैं, विशेष रूप से फलन समष्टि में है। एक उदाहरण अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय है। ब्याज के अन्य मामले एकसमान अभिन्नता और जटिल विश्लेषण में एक सामान्य समूह की अवधारणा से संबंधित हैं। संख्याओं की ज्यामिति में महलर की संहतनेस प्रमेय कुछ गैर-संहत सजातीय समष्टि (विशेष रूप से जाली के समष्टि) में अपेक्षाकृत संहत उपसमुच्चय की विशेषता बताती है। | ||
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प्रति उदाहरण के रूप में एक अनंत विशेष बिंदु समष्टि के विशेष बिंदु के किसी भी निकटतम को लें। प्रतिवैस (नेबरहुड) स्वयं | प्रति उदाहरण के रूप में एक अनंत विशेष बिंदु समष्टि के विशेष बिंदु के किसी भी निकटतम को लें। प्रतिवैस (नेबरहुड) स्वयं संहत हो सकता है लेकिन अपेक्षाकृत संहत नहीं है क्योंकि इसका समापन संपूर्ण गैर-संहत समष्टि है। | ||
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== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 11:31, 13 July 2023
गणित में, एक अपेक्षाकृत संहत उपसमष्टि (कॉम्पैक्ट सबस्पेस) (या अपेक्षाकृत संहत उपसमुच्चय, या पूर्वसंहत उपसमुच्चय) टोपोलॉजिकल समष्टि का Y, X एक उपसमुच्चय है जिसका समापन संहत है।
गुण
एक संहत टोपोलॉजिकल समष्टि का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत संहत होता है (क्योंकि एक संहत समष्टि का एक सवृत (क्लोज्ड) अर्धफलन संहत होता है)। और एक विवेकाधीन टोपोलॉजिकल समष्टि में अपेक्षाकृत संहत फलन का प्रत्येक उपसमुच्चय अपेक्षाकृत संहत होता है।।
हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष का प्रत्येक संहत उपसमुच्चय अपेक्षाकृत संहत है। गैर-हॉसडॉर्फ़ समष्टि में, जैसे अनंत फलन पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी, एक संहत उपसमुच्चय का सवृत होना आवश्यक रूप से संहत नहीं है; अलग प्रकार से कहा गया है, गैर-हॉसडॉर्फ समष्टि का एक संहत उपसमुच्चय आवश्यक रूप से अपेक्षाकृत संहत नहीं है।
(संभवतः गैर-हॉसडॉर्फ) टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि का प्रत्येक संहत उपसमुच्चय पूर्ण और अपेक्षाकृत संहत है।
मीट्रिक टोपोलॉजी के मामले में, या अधिक सामान्यतः जब अनुक्रमों का उपयोग संहतनेस के परीक्षण के लिए किया जा सकता है, तो सापेक्ष संहतनेस के लिए मानदंड यह बन जाता है कि Y में किसी भी अनुक्रम का में X अनुवर्ती अभिसरण होता है।
कुछ प्रमुख प्रमेय अपेक्षाकृत संहत उपसमुच्चय की विशेषता बताते हैं, विशेष रूप से फलन समष्टि में है। एक उदाहरण अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय है। ब्याज के अन्य मामले एकसमान अभिन्नता और जटिल विश्लेषण में एक सामान्य समूह की अवधारणा से संबंधित हैं। संख्याओं की ज्यामिति में महलर की संहतनेस प्रमेय कुछ गैर-संहत सजातीय समष्टि (विशेष रूप से जाली के समष्टि) में अपेक्षाकृत संहत उपसमुच्चय की विशेषता बताती है।
प्रतिउदाहरण
प्रति उदाहरण के रूप में एक अनंत विशेष बिंदु समष्टि के विशेष बिंदु के किसी भी निकटतम को लें। प्रतिवैस (नेबरहुड) स्वयं संहत हो सकता है लेकिन अपेक्षाकृत संहत नहीं है क्योंकि इसका समापन संपूर्ण गैर-संहत समष्टि है।
लगभग आवधिक कार्य
लगभग आवधिक फलन की परिभाषा F वैचारिक स्तर पर इसका अनुवाद के साथ संबंध है F अपेक्षाकृत संहत फलन होने के लिए है। इसे किसी विशेष सिद्धांत में प्रयुक्त टोपोलॉजी के संदर्भ में सटीक बनाने की आवश्यकता है।
यह भी देखें
- संक्षिप्त रूप से एम्बेडेड
- सम्पूर्ण परिबद्ध समष्टि
संदर्भ
- page 12 of V. Khatskevich, D.Shoikhet, Differentiable Operators and Nonlinear Equations, Birkhäuser Verlag AG, Basel, 1993, 270 pp. at google books
