अस्तित्व प्रमेय: Difference between revisions

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[[File:Sqrt2 is irrational.svg|thumb|ज्यामितीय प्रमाण कि एक अपरिमेय संख्या सम्मिलित है: यदि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC की पूर्णांक भुजाएँ थीं, तो कड़ाई से छोटा त्रिभुज A'B'C था। इस रचना को दोहराने से पूर्णांक भुजाओं की लंबाई का असीम रूप से अवरोही क्रम प्राप्त होगा।]]गणित में, '''अस्तित्व [[प्रमेय]]''' एक प्रमेय है जो किसी निश्चित वस्तु के अस्तित्व पर जोर देता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.dictionary.com/browse/existence-theorem|title=Definition of existence theorem {{!}} Dictionary.com|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2019-11-29}}</ref> यह ऐसा कथन है जो "अस्तित्व होना" वाक्यांश से प्रारंभ होता है, या यह एक सार्वभौमिक कथन हो सकता है जिसका अंतिम क्वांटिफायर अस्तित्वगत है (उदाहरण के लिए, सभी के लिए {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, ...का अस्तित्व है...")। प्रतीकात्मक तर्क के औपचारिक शब्दों में, अस्तित्व प्रमेय में एक सामान्य प्रमेय [[अस्तित्वगत परिमाणक]] सम्मिलित होता है, भले ही व्यवहार में, ऐसे प्रमेयों को सामान्यतः मानक गणितीय भाषा में कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यह कथन कि [[ उन लोगों के |साइन]] फलन हर जगह [[निरंतर कार्य|सतत फलन]] है, या [[बिग ओ नोटेशन|बिग O नोटेशन]] में लिखे गए किसी भी प्रमेय को प्रमेय के रूप में माना जा सकता है, जो स्वभाव से अस्तित्व में हैं - क्योंकि मात्रा का उपयोग अवधारणाओं की परिभाषाओं में पाया जा सकता है।


एक विवाद जो बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में वापस चला जाता है, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व प्रमेयों के मुद्दे से संबंधित है, अर्थात, ऐसे प्रमेय जो गैर-रचनात्मक मूलभूत सामग्री पर निर्भर करते हैं जैसे कि [[अनंत का स्वयंसिद्ध]], [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] या बहिष्कृत मध्य का नियम। इस तरह के प्रमेय इस बात का कोई संकेत नहीं देते हैं कि जिस वस्तु के अस्तित्व का दावा किया जा रहा है, उसका निर्माण (या प्रदर्शन) कैसे किया जाए। रचनावाद (गणित) के दृष्टिकोण से, इस तरह के दृष्टिकोण व्यवहार्य नहीं हैं क्योंकि यह गणित को इसकी ठोस प्रयोज्यता खो देता है,<ref>See the section on [[Constructive proof#Non-constructive proofs|nonconstructive proofs]] of the entry "''[[Constructive proof]]''".</ref> जबकि विरोधी दृष्टिकोण यह है कि अमूर्त विधियाँ दूरगामी होती हैं,{{explain|date=March 2021}} जिस तरह से [[संख्यात्मक विश्लेषण]] नहीं हो सकता।
एक विवाद जो बीसवीं शताब्दी के प्रारंभ में वापस चला जाता है, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व प्रमेयों के मुद्दे से संबंधित है, अर्थात, ऐसे प्रमेय जो गैर-रचनात्मक मूलभूत सामग्री पर निर्भर करते हैं जैसे कि [[अनंत का स्वयंसिद्ध|अनंत का अभिगृहीत]], विकल्प [[पसंद का स्वयंसिद्ध|अभिगृहीत]] या बहिष्कृत मध्य का नियम हैं। इस तरह के प्रमेय इस बात का कोई संकेत नहीं देते हैं कि जिस वस्तु के अस्तित्व का दावा किया जा रहा है, उसका निर्माण (या प्रदर्शन) कैसे किया जाता है। रचनावाद (गणित) के दृष्टिकोण से, इस तरह के दृष्टिकोण व्यवहार्य नहीं हैं क्योंकि यह गणित को इसकी ठोस प्रयोज्यता खो देता है,<ref>See the section on [[Constructive proof#Non-constructive proofs|nonconstructive proofs]] of the entry "''[[Constructive proof]]''".</ref> जबकि विरोधी दृष्टिकोण यह है कि अमूर्त विधियाँ दूरगामी होती हैं, जिस तरह से [[संख्यात्मक विश्लेषण]] नहीं हो सकता हैं।


== 'शुद्ध' अस्तित्व परिणाम ==
== 'शुद्ध' अस्तित्व परिणाम ==
गणित में, एक अस्तित्व प्रमेय विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है यदि इसके लिए दिया गया प्रमाण उस वस्तु के निर्माण का संकेत नहीं देता है जिसके अस्तित्व का दावा किया गया है। ऐसा प्रमाण अरचनात्मक है,<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ExistenceTheorem.html|title=अस्तित्व प्रमेय|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-29}}</ref> चूंकि संपूर्ण दृष्टिकोण निर्माण के लिए उपयुक्त नहीं हो सकता है।<ref>{{cite book|author=Dennis E. Hesseling|title=Gnomes in the Fog: The Reception of Brouwer's Intuitionism in the 1920s|url=https://books.google.com/books?id=6CXyBwAAQBAJ&pg=PA376|date=6 December 2012|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-0348-7989-7|page=376}}</ref> [[कलन विधि]] के संदर्भ में, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व प्रमेय सभी एल्गोरिदम को बायपास करता है जो कि मौजूद होने का दावा करता है। ये तथाकथित रचनात्मक अस्तित्व प्रमेयों के विपरीत हैं,<ref name="RubinsteinRubinstein1998">{{cite book|author1=Isaak Rubinstein|author2=Lev Rubinstein|title=शास्त्रीय गणितीय भौतिकी में आंशिक विभेदक समीकरण|url=https://books.google.com/books?id=pLjLf0_yvqsC&pg=PA246|date=28 April 1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-55846-4|page=246}}</ref> जिसे कई रचनावादी गणितज्ञ विस्तारित लॉजिक्स में काम कर रहे हैं (जैसे कि [[ अंतर्ज्ञानवादी तर्क ]]) अपने गैर-रचनात्मक समकक्षों की तुलना में आंतरिक रूप से मजबूत मानते हैं।
गणित में, अस्तित्व प्रमेय विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है यदि इसके लिए दिया गया प्रमाण उस वस्तु के निर्माण का संकेत नहीं देता है जिसके अस्तित्व का दावा किया गया है। ऐसा प्रमाण अरचनात्मक है,<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ExistenceTheorem.html|title=अस्तित्व प्रमेय|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-29}}</ref> चूंकि संपूर्ण दृष्टिकोण निर्माण के लिए उपयुक्त नहीं हो सकता है।<ref>{{cite book|author=Dennis E. Hesseling|title=Gnomes in the Fog: The Reception of Brouwer's Intuitionism in the 1920s|url=https://books.google.com/books?id=6CXyBwAAQBAJ&pg=PA376|date=6 December 2012|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-0348-7989-7|page=376}}</ref> [[कलन विधि]] के संदर्भ में, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व प्रमेय सभी कलन विधि को अपमार्ग करता है जो कि सम्मिलित होने का दावा करता है। ये तथाकथित "रचनात्मक" अस्तित्व प्रमेयों के विपरीत हैं,<ref name="RubinsteinRubinstein1998">{{cite book|author1=Isaak Rubinstein|author2=Lev Rubinstein|title=शास्त्रीय गणितीय भौतिकी में आंशिक विभेदक समीकरण|url=https://books.google.com/books?id=pLjLf0_yvqsC&pg=PA246|date=28 April 1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-55846-4|page=246}}</ref> जिसे कई रचनावादी गणितज्ञ विस्तारित लॉजिक्स में काम कर रहे हैं (जैसे कि [[ अंतर्ज्ञानवादी तर्क | अंतर्ज्ञानवादी तर्क]]) अपने गैर-रचनात्मक समकक्षों की तुलना में आंतरिक रूप से मजबूत मानते हैं।
 
इसके बावजूद, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व के परिणाम अभी भी समकालीन गणित में सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, जॉन फोर्ब्स नैश, जूनियर का 1951 में [[नैश संतुलन]] के अस्तित्व का मूल प्रमाण ऐसा ही एक अस्तित्व प्रमेय था। एक दृष्टिकोण जो रचनात्मक है वह भी बाद में 1962 में पाया गया।<ref>{{cite book|author=Schaefer, Uwe|title=From Sperner's Lemma to Differential Equations in Banach Spaces : An Introduction to Fixed Point Theorems and their Applications|url=https://books.google.com/books?id=1B2yBQAAQBAJ&pg=PA31|date=3 December 2014|publisher=KIT Scientific Publishing|isbn=978-3-7315-0260-9|page=31}}</ref>
 


इसके बावजूद, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व के परिणाम अभी भी समकालीन गणित में सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, जॉन फोर्ब्स नैश, जूनियर का 1951 में [[नैश संतुलन]] के अस्तित्व का मूल प्रमाण ऐसा ही अस्तित्व प्रमेय था। एक दृष्टिकोण जो रचनात्मक है वह भी बाद में 1962 में पाया गया था।<ref>{{cite book|author=Schaefer, Uwe|title=From Sperner's Lemma to Differential Equations in Banach Spaces : An Introduction to Fixed Point Theorems and their Applications|url=https://books.google.com/books?id=1B2yBQAAQBAJ&pg=PA31|date=3 December 2014|publisher=KIT Scientific Publishing|isbn=978-3-7315-0260-9|page=31}}</ref>
== रचनावादी विचार ==
== रचनावादी विचार ==
दूसरी दिशा से, एक 'मास्टर सिद्धांत' के उद्भव के बिना - [[रचनात्मक गणित]] क्या है, इसका काफी स्पष्टीकरण किया गया है। उदाहरण के लिए, [[ बिशप बचाओ ]] की परिभाषाओं के अनुसार, एक समारोह की निरंतरता जैसे {{math|sin(''x'')}} को निरंतरता के मापांक पर एक रचनात्मक बंधन के रूप में सिद्ध किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि निरंतरता के दावे की अस्तित्वगत सामग्री एक वादा है जिसे हमेशा रखा जा सकता है। तदनुसार, बिशप बिंदुवार निरंतरता के मानक विचार को खारिज करते हैं, और प्रस्तावित करते हैं कि स्थानीय वर्दी निरंतरता के संदर्भ में निरंतरता को परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/Bishop's+constructive+mathematics|title=एनलैब में बिशप का रचनात्मक गणित|website=ncatlab.org|access-date=2019-11-29}}</ref> कोई अस्तित्व प्रमेय का एक और स्पष्टीकरण [[प्रकार सिद्धांत]] से प्राप्त कर सकता है, जिसमें एक अस्तित्वगत कथन का प्रमाण केवल एक शब्द से आ सकता है (जिसे कोई कम्प्यूटेशनल सामग्री के रूप में देख सकता है)।
दूसरी दिशा से, 'मास्टर सिद्धांत' के उद्भव के बिना - [[रचनात्मक गणित]] क्या है, इसका काफी स्पष्टीकरण किया गया है। उदाहरण के लिए, [[ बिशप बचाओ |एरेट बिशप]] की परिभाषाओं के अनुसार, {{math|sin(''x'')}} जैसे फलन की निरंतरता को निरंतरता के मापांक पर रचनात्मक बाध्यता के रूप में सिद्ध किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि निरंतरता के अभिकथन की अस्तित्वगत सामग्री एक वादा है जिसे हमेशा रखा जा सकता है। तदनुसार, बिशप बिंदुवार निरंतरता के मानक विचार को खारिज करते हैं, और प्रस्तावित करते हैं कि स्थानीय एकसमान निरंतरता के संदर्भ में निरंतरता को परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/Bishop's+constructive+mathematics|title=एनलैब में बिशप का रचनात्मक गणित|website=ncatlab.org|access-date=2019-11-29}}</ref> कोई अस्तित्व प्रमेय का एक और स्पष्टीकरण [[प्रकार सिद्धांत]] से प्राप्त कर सकता है, जिसमें अस्तित्वगत कथन का प्रमाण केवल एक शब्द से आ सकता है (जिसे कोई कम्प्यूटेशनल सामग्री के रूप में देख सकता है)।


== यह भी देखें ==
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Latest revision as of 14:54, 28 August 2023

ज्यामितीय प्रमाण कि एक अपरिमेय संख्या सम्मिलित है: यदि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC की पूर्णांक भुजाएँ थीं, तो कड़ाई से छोटा त्रिभुज A'B'C था। इस रचना को दोहराने से पूर्णांक भुजाओं की लंबाई का असीम रूप से अवरोही क्रम प्राप्त होगा।

गणित में, अस्तित्व प्रमेय एक प्रमेय है जो किसी निश्चित वस्तु के अस्तित्व पर जोर देता है।[1] यह ऐसा कथन है जो "अस्तित्व होना" वाक्यांश से प्रारंभ होता है, या यह एक सार्वभौमिक कथन हो सकता है जिसका अंतिम क्वांटिफायर अस्तित्वगत है (उदाहरण के लिए, सभी के लिए x, y, ...का अस्तित्व है...")। प्रतीकात्मक तर्क के औपचारिक शब्दों में, अस्तित्व प्रमेय में एक सामान्य प्रमेय अस्तित्वगत परिमाणक सम्मिलित होता है, भले ही व्यवहार में, ऐसे प्रमेयों को सामान्यतः मानक गणितीय भाषा में कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यह कथन कि साइन फलन हर जगह सतत फलन है, या बिग O नोटेशन में लिखे गए किसी भी प्रमेय को प्रमेय के रूप में माना जा सकता है, जो स्वभाव से अस्तित्व में हैं - क्योंकि मात्रा का उपयोग अवधारणाओं की परिभाषाओं में पाया जा सकता है।

एक विवाद जो बीसवीं शताब्दी के प्रारंभ में वापस चला जाता है, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व प्रमेयों के मुद्दे से संबंधित है, अर्थात, ऐसे प्रमेय जो गैर-रचनात्मक मूलभूत सामग्री पर निर्भर करते हैं जैसे कि अनंत का अभिगृहीत, विकल्प अभिगृहीत या बहिष्कृत मध्य का नियम हैं। इस तरह के प्रमेय इस बात का कोई संकेत नहीं देते हैं कि जिस वस्तु के अस्तित्व का दावा किया जा रहा है, उसका निर्माण (या प्रदर्शन) कैसे किया जाता है। रचनावाद (गणित) के दृष्टिकोण से, इस तरह के दृष्टिकोण व्यवहार्य नहीं हैं क्योंकि यह गणित को इसकी ठोस प्रयोज्यता खो देता है,[2] जबकि विरोधी दृष्टिकोण यह है कि अमूर्त विधियाँ दूरगामी होती हैं, जिस तरह से संख्यात्मक विश्लेषण नहीं हो सकता हैं।

'शुद्ध' अस्तित्व परिणाम

गणित में, अस्तित्व प्रमेय विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है यदि इसके लिए दिया गया प्रमाण उस वस्तु के निर्माण का संकेत नहीं देता है जिसके अस्तित्व का दावा किया गया है। ऐसा प्रमाण अरचनात्मक है,[3] चूंकि संपूर्ण दृष्टिकोण निर्माण के लिए उपयुक्त नहीं हो सकता है।[4] कलन विधि के संदर्भ में, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व प्रमेय सभी कलन विधि को अपमार्ग करता है जो कि सम्मिलित होने का दावा करता है। ये तथाकथित "रचनात्मक" अस्तित्व प्रमेयों के विपरीत हैं,[5] जिसे कई रचनावादी गणितज्ञ विस्तारित लॉजिक्स में काम कर रहे हैं (जैसे कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क) अपने गैर-रचनात्मक समकक्षों की तुलना में आंतरिक रूप से मजबूत मानते हैं।

इसके बावजूद, विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अस्तित्व के परिणाम अभी भी समकालीन गणित में सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, जॉन फोर्ब्स नैश, जूनियर का 1951 में नैश संतुलन के अस्तित्व का मूल प्रमाण ऐसा ही अस्तित्व प्रमेय था। एक दृष्टिकोण जो रचनात्मक है वह भी बाद में 1962 में पाया गया था।[6]

रचनावादी विचार

दूसरी दिशा से, 'मास्टर सिद्धांत' के उद्भव के बिना - रचनात्मक गणित क्या है, इसका काफी स्पष्टीकरण किया गया है। उदाहरण के लिए, एरेट बिशप की परिभाषाओं के अनुसार, sin(x) जैसे फलन की निरंतरता को निरंतरता के मापांक पर रचनात्मक बाध्यता के रूप में सिद्ध किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि निरंतरता के अभिकथन की अस्तित्वगत सामग्री एक वादा है जिसे हमेशा रखा जा सकता है। तदनुसार, बिशप बिंदुवार निरंतरता के मानक विचार को खारिज करते हैं, और प्रस्तावित करते हैं कि स्थानीय एकसमान निरंतरता के संदर्भ में निरंतरता को परिभाषित किया जाना चाहिए।[7] कोई अस्तित्व प्रमेय का एक और स्पष्टीकरण प्रकार सिद्धांत से प्राप्त कर सकता है, जिसमें अस्तित्वगत कथन का प्रमाण केवल एक शब्द से आ सकता है (जिसे कोई कम्प्यूटेशनल सामग्री के रूप में देख सकता है)।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ "Definition of existence theorem | Dictionary.com". www.dictionary.com (in English). Retrieved 2019-11-29.
  2. ↑ See the section on nonconstructive proofs of the entry "Constructive proof".
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "अस्तित्व प्रमेय". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-11-29.
  4. ↑ Dennis E. Hesseling (6 December 2012). Gnomes in the Fog: The Reception of Brouwer's Intuitionism in the 1920s. Birkhäuser. p. 376. ISBN 978-3-0348-7989-7.
  5. ↑ Isaak Rubinstein; Lev Rubinstein (28 April 1998). शास्त्रीय गणितीय भौतिकी में आंशिक विभेदक समीकरण. Cambridge University Press. p. 246. ISBN 978-0-521-55846-4.
  6. ↑ Schaefer, Uwe (3 December 2014). From Sperner's Lemma to Differential Equations in Banach Spaces : An Introduction to Fixed Point Theorems and their Applications. KIT Scientific Publishing. p. 31. ISBN 978-3-7315-0260-9.
  7. ↑ "एनलैब में बिशप का रचनात्मक गणित". ncatlab.org. Retrieved 2019-11-29. 
  [Category:Mathematical and quantitative methods (economic
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