असतत समय और निरंतर समय

गणितीय गतिकी में, असतत समय और निरंतर समय दो वैकल्पिक रूपरेखाएँ हैं जिनके भीतर समय के साथ विकसित होने वाले चरों को प्रतिरूपित किया जाता है।

असतत समय

असतत नमूना संकेत

असतत समय चर के मानो को अलग, अलग "समय में बिंदुओं" के रूप में देखता है, या समकक्ष रूप से समय के प्रत्येक गैर-शून्य क्षेत्र ("समय अवधि") में अपरिवर्तित होने के रूप में देखता है - अर्थात, समय को असतत चर के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार एक गैर-समय चर एक मान से दूसरे मान पर कूदता है क्योंकि समय एक समय अवधि से दूसरी अवधि तक चलता है। समय का यह दृश्य एक डिजिटल घड़ी से मेल खाता है जो कुछ समय के लिए 10:37 की एक निश्चित रीडिंग देता है, और फिर 10:38 के एक नए निश्चित रीडिंग पर कूद जाता है, आदि। इस ढांचे में, ब्याज के प्रत्येक चर को प्रत्येक समय सीमा पर एक बार मापा जाता है। किन्हीं दो समयावधियों के बीच मापों की संख्या परिमित होती है। मापन विशिष्ट रूप से चर "समय" के अनुक्रमिक पूर्णांक मानों पर किया जाता है।

एक असतत संकेत या असतत-समय संकेत एक समय श्रृंखला है जिसमें मात्राओं का अनुक्रम होता है।

एक सतत-समय संकेत के विपरीत, एक असतत-समय संकेत एक सतत तर्क का कार्य नहीं है हालांकि, यह एक सतत-समय संकेत से नमूना करके प्राप्त किया जा सकता है। जब एक असतत-समय संकेत एक समान अंतराल वाले समय पर अनुक्रम का नमूना करके प्राप्त किया जाता है, तो इसकी एक संबद्ध नमूना दर होती है।

असतत-समय संकेतों के कई मूल हो सकते हैं, लेकिन विशिष्ट रूप से इन्हें दो समूहों में से एक में वर्गीकृत किया जा सकता है।

• स्थिर या परिवर्तनशील दर पर सादृश्य संकेत के मान प्राप्त करके। इस प्रक्रिया को नमूनाकरण कहा जाता है।
• स्वाभाविक रूप से असतत-समय की प्रक्रिया का अवलोकन करके, जैसे कि किसी विशेष आर्थिक संकेतक का साप्ताहिक शिखर मान।

निरंतर समय

इसके विपरीत, निरंतर समय चर को संभावित रूप से केवल एक बहुत ही कम समय के लिए एक विशेष मान के रूप में देखता है। समय में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच समय में अनंत संख्या में अन्य बिंदु होते हैं। चर "समय" संपूर्ण वास्तविक संख्या रेखा पर, या संदर्भ के आधार पर, इसके कुछ उपसमुच्चय जैसे कि गैर-ऋणात्मक वास्तविक पर होता है। इस प्रकार समय को एक निरंतर चर के रूप में देखा जाता है।

एक निरंतर संकेत या एक निरंतर-समय संकेत एक भिन्न मात्रा (एक संकेत) है जिसका क्षेत्र, जो सामान्यतः समय होता है, एक सातत्य होता है (उदाहरण के लिए, वास्तविक का एक जुड़ा अंतराल)। अर्थात्, फलन का क्षेत्र एक बेशुमार समुच्चय है। फलन को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। इसके विपरीत, एक असतत-समय संकेत में प्राकृतिक संख्याओं की तरह एक गणनीय क्षेत्र होता है।

निरंतर आयाम और समय के संकेत को निरंतर-समय संकेत या अनुरूप संकेत के रूप में जाना जाता है। यह (एक संकेत) समय के हर पल में कुछ मान होगा। भौतिक मात्राओं जैसे तापमान, दबाव, ध्वनि आदि के अनुपात में व्युत्पन्न विद्युत संकेत सामान्यतः निरंतर संकेत होते हैं। निरंतर संकेतों के अन्य उदाहरण साइन तरंग, कोसाइन तरंग, त्रिकोणीय तरंग आदि हैं।

संकेत को एक क्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है, जो परिमित हो भी सकता है और नहीं भी, और क्षेत्र से संकेत के मान तक एक कार्यात्मक मानचित्रण होता है। वास्तविक संख्याओं के घनत्व के नियम के संबंध में समय चर की निरंतरता का अर्थ है कि संकेत मान किसी भी समय में मनमाना बिंदु पर पाया जा सकता है।

अनंत अवधि संकेत का एक विशिष्ट उदाहरण है।

$f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R}$

उपरोक्त संकेत का एक परिमित अवधि प्रतिपक्ष हो सकता है।

$f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]$ तथा $f(t)=0$ अन्यथा।

एक परिमित (या अनंत) अवधि संकेत का मान परिमित हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए,

$f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]$ तथा $f(t)=0$ अन्यथा,

एक सीमित अवधि का संकेत है लेकिन यह $t=0\,$के लिए अनंत मान लेता है।

कई विषयों में, सम्मेलन यह है कि एक निरंतर संकेत का हमेशा एक सीमित मान होना चाहिए, जो भौतिक संकेतों के मामले में अधिक समझ में आता है।

कुछ उद्देश्यों के लिए, अनंत विलक्षणताएं तब तक स्वीकार्य हैं जब तक संकेत किसी भी परिमित अंतराल पर एकीकृत होता है (उदाहरण के लिए, $t^{-1}$ संकेत अनंत पर एकीकृत नहीं होता है, लेकिन $t^{-2}$ है)।

कोई भी सादृश्य संकेत स्वभाव से निरंतर होता है। डिजिटल संकेत प्रक्रमण में उपयोग किए जाने वाले असतत-समय के संकेतों को निरंतर संकेतों के नमूने और परिमाणीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

निरंतर संकेत को समय के अलावा एक स्वतंत्र चर पर भी परिभाषित किया जा सकता है। एक और बहुत ही सामान्य स्वतंत्र चर स्थान है और छवि प्रसंस्करण में विशेष रूप से उपयोगी है, जहां दो स्थान आयामों का उपयोग किया जाता है।

प्रासंगिक संदर्भ

अनुभवजन्य माप सम्मिलित होने पर असतत समय सामान्यतः नियोजित होता है, क्योंकि सामान्य रूप से केवल क्रमिक रूप से चर को मापना संभव है। उदाहरण के लिए, जबकि आर्थिक गतिविधि वास्तव में लगातार होती रहती है, ऐसा कोई क्षण नहीं है जब अर्थव्यवस्था पूरी तरह से विराम में हो, केवल आर्थिक गतिविधि को विवेकपूर्वक मापना संभव है। इस कारण से, प्रकाशित आंकड़े, उदाहरण के लिए, सकल घरेलू उत्पाद, तिमाही मानो का एक क्रम दिखाएगा।

जब कोई अन्य चर और/या अपने स्वयं के पूर्व मानो के संदर्भ में ऐसे चरों को आनुभविक रूप से समझाने का प्रयास करता है, तो वह समय श्रृंखला या प्रतिगमन विधियों का उपयोग करता है जिसमें चर को एक अधोलेख के साथ अनुक्रमित किया जाता है जो उस समय अवधि को दर्शाता है जिसमें अवलोकन हुआ था। उदाहरण के लिए, y_t अनिर्दिष्ट समय अवधि t, y₃ में देखी गई आय के मान को तीसरी समय अवधि में देखी गई आय के मान आदि से संदर्भित कर सकता है।

इसके अलावा, जब कोई शोधकर्ता असतत समय में क्या देखा जाता है, यह समझाने के लिए एक सिद्धांत विकसित करने का प्रयास करता है, तो सामान्यतः समय श्रृंखला या प्रतिगमन मॉडल के विकास को सुविधाजनक बनाने के लिए सिद्धांत स्वयं असतत समय में व्यक्त किया जाता है।

दूसरी ओर, निरंतर समय में सैद्धांतिक मॉडल का निर्माण करने के लिए सामान्यतः गणितीय रूप से अधिक सुविधाजनक होता है, और सामान्यतः भौतिकी जैसे क्षेत्रों में सटीक विवरण के लिए निरंतर समय के उपयोग की आवश्यकता होती है। निरंतर समय के संदर्भ में, एक अनिर्दिष्ट समय बिंदु पर एक चर y का मान y(t) या, जब अर्थ स्पष्ट होता है, बस y के रूप में दर्शाया जाता है।

समीकरणों के प्रकार

असतत समय

असतत समय अंतर समीकरणों का उपयोग करता है, जिसे पुनरावृत्ति संबंध भी कहा जाता है। एक उदाहरण, जिसे लॉजिस्टिक मैप या लॉजिस्टिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, वह है-

$x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),$

जिसमें r 2 से 4 तक की श्रेणी में एक पैरामीटर है,और x 0 से 1 की सीमा में एक चर है, जिसका अवधि t में मान अरैखिक रूप से अगली अवधि, t+1 में इसके मान को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, यदि $r=4$ तथा $x_{1}=1/3$, तो t=1 के लिए हमारे पास $x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9$, और t=2 के लिए हमारे पास $x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81$ है।

एक अन्य उदाहरण उत्पाद के लिए गैर-शून्य अतिरिक्त मांग के प्रतिक्रिया में मान P के समायोजन को दर्शाता है।

$P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)$

जहाँ $\delta$ समायोजन की सकारात्मक गति पैरामीटर है जो 1 से कम या उसके बराबर है और जहां $f$ अतिरिक्त मांग फलन है।

निरंतर समय

निरंतर समय अवकल समीकरणों का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के लिए गैर-शून्य अतिरिक्त मांग के प्रतिक्रिया में मान P का समायोजन निरंतर समय में किया जा सकता है।

${\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)$

जहां बाईं ओर समय के संबंध में मूल्य का पहला व्युत्पन्न है (अर्थात, मूल्य के परिवर्तन की दर), $\lambda$ समायोजन की गति पैरामीटर है जो कोई भी सकारात्मक परिमित संख्या हो सकती है, और $f$ फिर से अतिरिक्त मांग फलन है।

ग्राफिकल चित्रण

असतत समय में मापा गया एक चर को एक चरण फलन के रूप में आलेखित किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक समय अवधि को हर दूसरी समय अवधि के समान लंबाई के क्षैतिज अक्ष पर एक क्षेत्र दिया जाता है, और मापा चर को एक ऊंचाई के रूप में आलेखित किया जाता है जो पूरे समय अवधि का क्षेत्र स्थिर रहता है। इस आलेखीय तकनीक में, आलेख क्षैतिज चरणों के अनुक्रम के रूप में प्रकट होता है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक समय अवधि को समय में एक अलग बिंदु के रूप में देखा जा सकता है, सामान्यतः क्षैतिज अक्ष पर एक पूर्णांक मान पर, और मापा चर को उस समय-अक्ष बिंदु से ऊपर की ऊंचाई के रूप में सामान्यतः किया जाता है। इस तकनीक में, ग्राफ बिन्दुओं के एक समुच्चय के रूप में दिखाई देता है।

निरंतर समय में मापे गए एक चर के मानो को एक निरंतर कार्य के रूप में आलेखित किया जाता है, क्योंकि समय के क्षेत्र को संपूर्ण वास्तविक अक्ष या कम से कम इसके कुछ जुड़े हिस्से के रूप में माना जाता है।

यह भी देखें

• उपघटन
• बरनौली प्रक्रिया
• डिजिटल डाटा
• असतत गणना
• असतत प्रणाली
• असंततकरण
• सामान्यीकृत आवृत्ति
• निक्विस्ट–शैनन नमूना प्रमेय
• समय-पैमाने की गणना

संदर्भ

• Gershenfeld, Neil A. (1999). The Nature of mathematical Modeling. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Analytical transients. Wiley.

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