वलय पर असतत फूरियर रूपांतरित: Difference between revisions

Latest revision as of 11:51, 30 August 2023

गणित में, एक वलय पर असतत फूरियर रूपांतरण एक फलन के असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) को सामान्यीकृत करता है, जिसके मान सामान्यतः एक इच्छानुसार वलय (गणित) पर सम्मिश्र संख्याएं होते हैं।

परिभाषा

होने देना $R$ कोई भी वलय हो (गणित), चलो $n\geq 1$ एक पूर्णांक हो, और चलो $\alpha \in R$ एकता का एक प्रमुख मूल बनें और एकता की मूल जड़ बनें, इसे निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:^[1]

{\begin{aligned}&\alpha ^{n}=1\\&\sum _{j=0}^{n-1}\alpha ^{jk}=0{\text{ for }}1\leq k<n\qquad (1)\end{aligned}}

असतत फूरियर R के तत्वों के n-टपल $(v_{0},\ldots ,v_{n-1})$ को दूसरे n-टपल $(f_{0},\ldots ,f_{n-1})$ में बदल देता है। R के तत्वों का निम्नलिखित सूत्र के अनुसार:

f_{k}=\sum _{j=0}^{n-1}v_{j}\alpha ^{jk}.\qquad (2)

परंपरा के अनुसार, टुपल $(v_{0},\ldots ,v_{n-1})$ को समय डोमेन में कहा जाता है और सूचकांक j को समय कहा जाता है। टपल $(f_{0},\ldots ,f_{n-1})$ को आवृत्ति डोमेन में कहा जाता है और सूचकांक $k$ को आवृत्ति कहा जाता है। टपल $(f_{0},\ldots ,f_{n-1})$ को $(v_{0},\ldots ,v_{n-1})$ का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है। यह शब्दावली सिग्नल प्रोसेसिंग में फूरियर रूपांतरण के अनुप्रयोगों से ली गई है।

यदि R एक अभिन्न डोमेन है (जिसमें क्षेत्र सम्मिलित हैं), तो $\alpha$ को एकता की आदिम nवीं जड़ के रूप में चुनना पर्याप्त है, जो नियम (1) को प्रतिस्थापित करता है:^[1]

\alpha ^{k}\neq 1

के लिए

1\leq k<n

प्रमाण: लो $\beta =\alpha ^{k}$ साथ $1\leq k<n$ . तब से $\alpha ^{n}=1$ , $\beta ^{n}=(\alpha ^{n})^{k}=1$ , देना:

\beta ^{n}-1=(\beta -1)\left(\sum _{j=0}^{n-1}\beta ^{j}\right)=0

जहां योग (1) से मेल खाता है। तब से $\alpha$ एकता की आदिम जड़ है, $\beta -1\neq 0$ . तब से $R$ एक अभिन्न डोमेन है, योग शून्य होना चाहिए। ∎

एक और सरल नियम उस स्थिति में प्रयुक्त होती है जहां n दो की घात है: (1) को $\alpha ^{n/2}=-1$ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।^[1]

उलटा

असतत फूरियर रूपांतरण का व्युत्क्रम इस प्रकार दिया गया है:

v_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f_{k}\alpha ^{-jk}.\qquad (3)

जहाँ $1/n$ , R में n का गुणात्मक व्युत्क्रम है (यदि यह व्युत्क्रम उपस्थित नहीं है, तो डीएफटी को विपरीत नहीं किया जा सकता है)।

प्रमाण: (3) के दाईं ओर (2) रखने पर, हमें प्राप्त होता है

{\begin{aligned}&{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f_{k}\alpha ^{-jk}\\={}&{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{j'=0}^{n-1}v_{j'}\alpha ^{j'k}\alpha ^{-jk}\\={}&{\frac {1}{n}}\sum _{j'=0}^{n-1}v_{j'}\sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}.\end{aligned}}

ये बिल्कुल समान है $v_{j}$ , क्योंकि

 $\sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}=0$  जब  $j'\neq j$  (द्वारा (1) के साथ  $k=j'-j$ ), और
 $\sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}=n$  जब  $j'=j$ . ∎

आव्यूह सूत्रीकरण

चूंकि असतत फूरियर रूपांतरण एक रैखिक ऑपरेटर है, इसलिए इसे आव्यूह गुणन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। आव्यूह नोटेशन में असतत फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:

{\begin{bmatrix}f_{0}\\f_{1}\\\vdots \\f_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha &\alpha ^{2}&\cdots &\alpha ^{n-1}\\1&\alpha ^{2}&\alpha ^{4}&\cdots &\alpha ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha ^{n-1}&\alpha ^{2(n-1)}&\cdots &\alpha ^{(n-1)(n-1)}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{bmatrix}}.

इस परिवर्तन के आव्यूह को डीएफटी आव्यूह कहा जाता है।

इसी प्रकार, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के लिए आव्यूह नोटेशन है

{\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{n}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha ^{-1}&\alpha ^{-2}&\cdots &\alpha ^{-(n-1)}\\1&\alpha ^{-2}&\alpha ^{-4}&\cdots &\alpha ^{-2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha ^{-(n-1)}&\alpha ^{-2(n-1)}&\cdots &\alpha ^{-(n-1)(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{0}\\f_{1}\\\vdots \\f_{n-1}\end{bmatrix}}.

बहुपद सूत्रीकरण

कभी-कभी औपचारिक बहुपद के साथ $n$ -ट्यूपल $(v_{0},\ldots ,v_{n-1})$ की पहचान करना सुविधाजनक होता है

p_{v}(x)=v_{0}+v_{1}x+v_{2}x^{2}+\cdots +v_{n-1}x^{n-1}.\,

असतत फूरियर रूपांतरण (2) की परिभाषा में सारांश लिखकर, हम प्राप्त करते हैं:

f_{k}=v_{0}+v_{1}\alpha ^{k}+v_{2}\alpha ^{2k}+\cdots +v_{n-1}\alpha ^{(n-1)k}.\,

इसका अर्थ यह है कि $f_{k}$ , $x=\alpha ^{k}$ के लिए बहुपद $p_{v}(x)$ का मान मात्र है।

f_{k}=p_{v}(\alpha ^{k}).\,

इसलिए फूरियर रूपांतरण को बहुपद के गुणांकों और मूल्यों से संबंधित देखा जा सकता है: गुणांक समय-क्षेत्र में हैं, और मान आवृत्ति डोमेन में हैं। यहां निश्चित रूप से, यह महत्वपूर्ण है कि बहुपद का मूल्यांकन एकता की $n$ वीं जड़ों पर किया जाता है, जो बिल्कुल $\alpha$ की शक्तियां हैं।

इसी प्रकार, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण (3) की परिभाषा लिखी जा सकती है:

v_{j}={\frac {1}{n}}(f_{0}+f_{1}\alpha ^{-j}+f_{2}\alpha ^{-2j}+\cdots +f_{n-1}\alpha ^{-(n-1)j}).\qquad (5)

साथ

p_{f}(x)=f_{0}+f_{1}x+f_{2}x^{2}+\cdots +f_{n-1}x^{n-1},

इस का अर्थ है कि

v_{j}={\frac {1}{n}}p_{f}(\alpha ^{-j}).

हम इसे इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं: यदि $p(x)$ का मान $q(x)$ का गुणांक है तो $q(x)$ का मान एक अदिश कारक और पुनर्क्रमण तक $p(x)$ का गुणांक है।^[2]

विशेष स्थिति

सम्मिश्र संख्याएँ

यदि $F={\mathbb {C} }$ सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र है, तो $n$ एकता की जड़ों को सम्मिश्र तल के इकाई वृत्त पर बिंदुओं के रूप में देखा जा सकता है। इस स्थिति में, सामान्यतः कोई लेता है

\alpha =e^{\frac {-2\pi i}{n}},

जो असतत फूरियर रूपांतरण के लिए सामान्य सूत्र उत्पन्न करता है:

f_{k}=\sum _{j=0}^{n-1}v_{j}e^{{\frac {-2\pi i}{n}}jk}.

सम्मिश्र संख्याओं पर अधिकांशतः डीएफटी के लिए सूत्र में 1 और व्युत्क्रम के लिए सूत्र में ${\frac {1}{n}}$ के अतिरिक्त दोनों सूत्रों में अदिश कारक ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$ का उपयोग करके डीएफटी और व्युत्क्रम डीएफटी के लिए सूत्रों को सामान्य करने की प्रथा है। डीएफटी. इस सामान्यीकरण के साथ, डीएफटी आव्यूह तब एकात्मक होता है। ध्यान दें कि किसी इच्छानुसार क्षेत्र में ${\sqrt {n}}$ का कोई अर्थ नहीं है।

परिमित क्षेत्र

यदि $F=GF(q)$ एक सीमित क्षेत्र है, जहां $q$ एक अभाज्य संख्या शक्ति है, तो एक आदिम का अस्तित्व $n$ मूल स्वतः ही इसका तात्पर्य करता है कि $n$ $q-1$ को विभाजित करता है, क्योंकि प्रत्येक तत्व के गुणक क्रम को गुणक समूह के आकार को विभाजित करना होगा $F$ , जो $q-1$ है यह विशेष रूप से यह सुनिश्चित करता है $n=\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n\ {\rm {times}}}$ विपरीत है, जिससे अंकन ${\frac {1}{n}}$ (3) में समझ में आता है।

$GF(q)$ पर असतत फूरियर रूपांतरण का एक अनुप्रयोग कोडिंग सिद्धांत में रीड-सोलोमन कोड को बीसीएच कोड में कम करना है। इस तरह के परिवर्तन को उचित तेज एल्गोरिदम के साथ कुशलतापूर्वक किया जा सकता है, उदाहरण के लिए साइक्लोटोमिक फास्ट फूरियर रूपांतरण होता है।

संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन

संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन (एनटीटी)^[3] असतत फूरियर रूपांतरण को $F={\mathbb {Z} }/p$ में विशेषज्ञता द्वारा प्राप्त किया जाता है, पूर्णांक मॉड्यूल एक अभाज्य $p$ यह एक परिमित क्षेत्र है, और जब भी $n$ , $p-1$ को विभाजित करता है तो एकता की आदिम $n$ वीं जड़ें उपस्थित होती हैं, इसलिए हमारे पास एक सकारात्मक पूर्णांक $ξ$ के लिए $p=\xi n+1$ है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि $\omega$ एकता का एक आदिम $(p-1)$ वाँ मूल है, तो एकता का nवाँ मूल $\alpha$ , $\alpha =\omega ^{\xi }$ मानकर पाया जा सकता है।

जैसे के लिए $p=5$ , $\alpha =2$ : ${\begin{aligned}2^{1}&=2{\pmod {5}}\\2^{2}&=4{\pmod {5}}\\2^{3}&=3{\pmod {5}}\\2^{4}&=1{\pmod {5}}\end{aligned}}$ जब $N=4$

{\begin{bmatrix}F(0)\\F(1)\\F(2)\\F(3)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&2&4&3\\1&4&1&4\\1&3&4&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0)\\f(1)\\f(2)\\f(3)\end{bmatrix}}

संख्या सैद्धांतिक परिवर्तन वलय $\mathbb {Z} /m$ में सार्थक हो सकता है, तब भी जब मापांक $m$ अभाज्य नहीं है, परन्तु क्रम n का एक प्रमुख मूल उपस्थित हो। संख्या सैद्धांतिक परिवर्तन के विशेष स्थिति जैसे कि फ़र्मेट नंबर रूपांतरण ( $m = 2 k +1$ ), जो शॉनहेज-स्ट्रैसेन एल्गोरिदम द्वारा उपयोग किया जाता है, या मेर्सन नंबर रूपांतरण ^[4] ( $m = 2 k - 1$ ) एक समग्र मापांक का उपयोग करते हैं।

असतत भारित परिवर्तन

असतत भारित परिवर्तन (डीडब्ल्यूटी) इच्छानुसार वलय पर असतत फूरियर रूपांतरण पर एक भिन्नता है जिसमें वजन सदिश द्वारा तत्ववार गुणा करके इसे बदलने से पहले इनपुट को वजन कार्य करना सम्मिलित है, फिर परिणाम को दूसरे सदिश द्वारा भारित करना।^[5] अपरिमेय आधार असतत भारित परिवर्तन इसका एक विशेष स्थिति है।

गुण

व्युत्क्रम परिवर्तन, कनवल्शन प्रमेय और सबसे तेज फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम सहित सम्मिश्र डीएफटी की अधिकांश महत्वपूर्ण विशेषताएं, केवल इस संपत्ति पर निर्भर करती हैं कि रूपांतरण का कर्नेल एकता की प्रमुख जड़ है। ये गुण, समान प्रमाणों के साथ, इच्छानुसार छल्लों पर भी लागू होते हैं। क्षेत्र के मामले में, इस सादृश्य को एक तत्व के साथ क्षेत्र द्वारा औपचारिक रूप दिया जा सकता है, विस्तार क्षेत्र $\mathbf {F} _{1^{n}}.$ पर बीजगणित के रूप में एकता की आदिम nवीं जड़ वाले किसी भी क्षेत्र पर विचार किया जा सकता है।

विशेष रूप से, एनटीटी की गणना करने के लिए $O(n\log n)$ फास्ट फूरियर रूपांतरण एल्गोरिदम की प्रयोज्यता, कनवल्शन प्रमेय के साथ मिलकर, इसका अर्थ है कि संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन पूर्णांक अनुक्रमों के स्पष्ट कनवल्शन की गणना करने का एक कुशल विधि देता है। जबकि सम्मिश्र डीएफटी समान कार्य कर सकता है, यह परिमित-परिशुद्धता फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित में राउंड-ऑफ त्रुटि के लिए अतिसंवेदनशील है; एनटीटी का कोई राउंड-ऑफ नहीं है क्योंकि यह पूरी तरह से निश्चित आकार के पूर्णांकों से संबंधित है जिन्हें स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।

तेज़ एल्गोरिदम

एक तेज एल्गोरिदम के कार्यान्वयन के लिए (फूरियर रूपांतरण कितनी तेजी से असतत फूरियर रूपांतरण की गणना करता है) यह अधिकांशतः वांछनीय होता है कि रूपांतरण लंबाई भी अत्यधिक समग्र हो, उदाहरण के लिए, दो की शक्ति। चूँकि परिमित क्षेत्रों के लिए विशेष तेज़ फूरियर रूपांतरण एल्गोरिदम हैं, जैसे वांग और झू का एल्गोरिदम,^[6] जो परिवर्तन लंबाई कारकों की परवाह किए बिना कुशल हैं।

यह भी देखें

असतत फूरियर रूपांतरण|असतत फूरियर रूपांतरण (सम्मिश्र)
परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण
गॉस राशि
संकल्प
न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
गुणा एल्गोरिथ्म

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Martin Fürer, "Faster Integer Multiplication", STOC 2007 Proceedings, pp. 57–66. Section 2: The Discrete Fourier Transform.
↑ R. Lidl and G. Pilz. Applied Abstract Algebra, 2nd edition. Wiley, 1999, pp. 217–219.
↑ Agarwal, R.; Burrus, C. (April 1974). "फ़र्मेट नंबर का उपयोग करके तेज़ कन्वोल्यूशन अनुप्रयोगों के साथ डिजिटल फ़िल्टरिंग में बदल जाता है". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing (in English). 22 (2): 87–97. doi:10.1109/TASSP.1974.1162555. ISSN 0096-3518.
↑ Rader, C.M. (December 1972). "मेर्सन ट्रांसफॉर्म्स के माध्यम से अलग-अलग संकल्प". IEEE Transactions on Computers. C-21 (12): 1269–1273. doi:10.1109/T-C.1972.223497. ISSN 0018-9340. S2CID 1939809.
↑ Crandall, Richard; Fagin, Barry (1994), "Discrete weighted transforms and large-integer arithmetic" (PDF), Mathematics of Computation, 62 (205): 305–324, doi:10.2307/2153411, JSTOR 2153411
↑ Yao Wang and Xuelong Zhu, "A fast algorithm for the Fourier transform over finite fields and its VLSI implementation", IEEE Journal on Selected Areas in Communications 6(3)572–577, 1988

बाहरी संबंध

http://www.apfloat.org/ntt.html

[furer-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Martin Fürer, "Faster Integer Multiplication", STOC 2007 Proceedings, pp. 57–66. Section 2: The Discrete Fourier Transform.

[2] R. Lidl and G. Pilz. Applied Abstract Algebra, 2nd edition. Wiley, 1999, pp. 217–219.

[3] Agarwal, R.; Burrus, C. (April 1974). "फ़र्मेट नंबर का उपयोग करके तेज़ कन्वोल्यूशन अनुप्रयोगों के साथ डिजिटल फ़िल्टरिंग में बदल जाता है". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing (in English). 22 (2): 87–97. doi:10.1109/TASSP.1974.1162555. ISSN 0096-3518.

[4] Rader, C.M. (December 1972). "मेर्सन ट्रांसफॉर्म्स के माध्यम से अलग-अलग संकल्प". IEEE Transactions on Computers. C-21 (12): 1269–1273. doi:10.1109/T-C.1972.223497. ISSN 0018-9340. S2CID 1939809.

[5] Crandall, Richard; Fagin, Barry (1994), "Discrete weighted transforms and large-integer arithmetic" (PDF), Mathematics of Computation, 62 (205): 305–324, doi:10.2307/2153411, JSTOR 2153411

[6] Yao Wang and Xuelong Zhu, "A fast algorithm for the Fourier transform over finite fields and its VLSI implementation", IEEE Journal on Selected Areas in Communications 6(3)572–577, 1988

[1]

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Fourier transforms}}
+गणित में, एक वलय पर [[असतत फूरियर रूपांतरण]] एक फलन के असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) को सामान्यीकृत करता है, जिसके मान सामान्यतः एक इच्छानुसार वलय (गणित) पर [[सम्मिश्र संख्या]]एं होते हैं।
-गणित में, एक रिंग के ऊपर [[असतत फूरियर रूपांतरण]] एक फ़ंक्शन के असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) को सामान्यीकृत करता है, जिसके मान आमतौर पर एक मनमानी रिंग (गणित) पर [[जटिल संख्या]]एं होते हैं।
 ==परिभाषा==
-होने देना <math>R</math> कोई भी अंगूठी हो (गणित), चलो <math>n\geq 1</math> एक पूर्णांक हो, और चलो <math>\alpha \in R</math> एकता का एक प्रमुख मूल बनें और एकता की मूल जड़ बनें, इसे निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:<ref name="furer">Martin Fürer, "[https://web.archive.org/web/20130425232048/http://www.cse.psu.edu/~furer/Papers/mult.pdf Faster Integer Multiplication]", STOC 2007 Proceedings, pp. 57&ndash;66. Section 2: The Discrete Fourier Transform.</ref>
+होने देना <math>R</math> कोई भी वलय हो (गणित), चलो <math>n\geq 1</math> एक पूर्णांक हो, और चलो <math>\alpha \in R</math> एकता का एक प्रमुख मूल बनें और एकता की मूल जड़ बनें, इसे निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:<ref name="furer">Martin Fürer, "[https://web.archive.org/web/20130425232048/http://www.cse.psu.edu/~furer/Papers/mult.pdf Faster Integer Multiplication]", STOC 2007 Proceedings, pp. 57&ndash;66. Section 2: The Discrete Fourier Transform.</ref>
 : <math>
 \begin{align}
@@ Line 11: / Line 8: @@
 \end{align}
 </math>
-असतत फूरियर मानचित्रों को n-tuple|n-tuple रूपांतरित करता है <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math> के तत्वों का <math>R</math> दूसरे एन-ट्यूपल के लिए <math>(f_0,\ldots,f_{n-1})</math> के तत्वों का <math>R</math> निम्नलिखित सूत्र के अनुसार:
+असतत फूरियर R के तत्वों के n-टपल <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math> को दूसरे n-टपल <math>(f_0,\ldots,f_{n-1})</math> में बदल देता है। R के तत्वों का निम्नलिखित सूत्र के अनुसार:
 :<math>f_k = \sum_{j=0}^{n-1} v_j\alpha^{jk}.\qquad (2)</math>
-परंपरा के अनुसार, टुपल <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math> समय डोमेन और सूचकांक में कहा जाता है <math>j</math> समय कहा जाता है. टुपल <math>(f_0,\ldots,f_{n-1})</math> आवृत्ति डोमेन और सूचकांक में कहा जाता है <math>k</math> आवृत्ति कहलाती है. टुपल <math>(f_0,\ldots,f_{n-1})</math> का [[आवृत्ति स्पेक्ट्रम]] भी कहा जाता है <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math>. यह शब्दावली [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में फूरियर ट्रांसफॉर्म के अनुप्रयोगों से ली गई है।
+परंपरा के अनुसार, टुपल <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math>को समय डोमेन में कहा जाता है और सूचकांक j को समय कहा जाता है। टपल<math>(f_0,\ldots,f_{n-1})</math> को आवृत्ति डोमेन में कहा जाता है और सूचकांक <math>k</math> को आवृत्ति कहा जाता है। टपल <math>(f_0,\ldots,f_{n-1})</math> को <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math> का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है। यह शब्दावली सिग्नल प्रोसेसिंग में फूरियर रूपांतरण के अनुप्रयोगों से ली गई है।
-अगर <math>R</math> एक [[अभिन्न डोमेन]] है (जिसमें [[फ़ील्ड (गणित)]] शामिल है), यह चुनने के लिए पर्याप्त है <math>\alpha</math> एकता की एक आदिम जड़ के रूप में, जो शर्त (1) को प्रतिस्थापित करती है:<ref name="furer"/>
+यदि R एक अभिन्न डोमेन है (जिसमें क्षेत्र सम्मिलित हैं), तो <math>\alpha</math> को एकता की आदिम nवीं जड़ के रूप में चुनना पर्याप्त है, जो नियम (1) को प्रतिस्थापित करता है:<ref name="furer" />
 :<math>\alpha^{k} \ne 1</math> के लिए <math>1 \leq k < n</math>
@@ Line 23: / Line 21: @@
 जहां योग (1) से मेल खाता है। तब से <math>\alpha</math> एकता की आदिम जड़ है, <math>\beta - 1 \ne 0</math>. तब से <math>R</math> एक अभिन्न डोमेन है, योग शून्य होना चाहिए। ∎
-एक और सरल शर्त उस मामले में लागू होती है जहां n दो की घात है: (1) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>\alpha^{n/2} = -1</math>.<ref name="furer"/>
+एक और सरल नियम उस स्थिति में प्रयुक्त होती है जहां n दो की घात है: (1) को <math>\alpha^{n/2} = -1</math> से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।<ref name="furer" />
@@ Line 31: / Line 30: @@
 :<math>v_j = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f_k\alpha^{-jk}.\qquad (3)</math>
-कहाँ <math>1/n</math> का गुणनात्मक व्युत्क्रम है <math>n</math> में <math>R</math> (यदि यह व्युत्क्रम मौजूद नहीं है, तो डीएफटी को उलटा नहीं किया जा सकता है)।
+जहाँ <math>1/n</math>, R में n का गुणात्मक व्युत्क्रम है (यदि यह व्युत्क्रम उपस्थित नहीं है, तो डीएफटी को विपरीत नहीं किया जा सकता है)।
 प्रमाण: (3) के दाईं ओर (2) रखने पर, हमें प्राप्त होता है
@@ Line 42: / Line 41: @@
 \end{align}
 </math>
-ये बिल्कुल बराबर है <math>v_j</math>, क्योंकि
+ये बिल्कुल समान है <math>v_j</math>, क्योंकि
-  <math>\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{(j'-j)k}=0</math> कब <math>j'\neq
+  <math>\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{(j'-j)k}=0</math> जब <math>j'\neq
-j</math> (द्वारा (1) के साथ <math>k=j'-j</math>), और
+ j</math> (द्वारा (1) के साथ <math>k=j'-j</math>), और
-  <math>\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{(j'-j)k}=n</math> कब <math>j'=j</math>. ∎
+  <math>\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{(j'-j)k}=n</math> जब <math>j'=j</math>. ∎
-==मैट्रिक्स सूत्रीकरण==
+==आव्यूह सूत्रीकरण==
-चूंकि असतत फूरियर रूपांतरण एक [[रैखिक ऑपरेटर]] है, इसलिए इसे [[मैट्रिक्स गुणन]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है। मैट्रिक्स नोटेशन में, असतत फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:
+चूंकि असतत फूरियर रूपांतरण एक [[रैखिक ऑपरेटर]] है, इसलिए इसे [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है। आव्यूह नोटेशन में असतत फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:
 :<math>
 \begin{bmatrix}f_0\\f_1\\\vdots\\f_{n-1}\end{bmatrix}
@@ Line 61: / Line 60: @@
 \begin{bmatrix}v_0\\v_1\\\vdots\\v_{n-1}\end{bmatrix}.
 </math>
-इस परिवर्तन के मैट्रिक्स को [[डीएफटी मैट्रिक्स]] कहा जाता है।
+इस परिवर्तन के आव्यूह को [[डीएफटी मैट्रिक्स|डीएफटी]] आव्यूह कहा जाता है।
-इसी प्रकार, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के लिए मैट्रिक्स नोटेशन है
+इसी प्रकार, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के लिए आव्यूह नोटेशन है
 :<math>
 \begin{bmatrix}v_0\\v_1\\\vdots\\v_{n-1}\end{bmatrix}
@@ Line 79: / Line 78: @@
 ==बहुपद सूत्रीकरण==
-कभी-कभी इसकी पहचान करना सुविधाजनक होता है <math>n</math>-टुपल <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math> एक औपचारिक बहुपद के साथ
+कभी-कभी औपचारिक बहुपद के साथ <math>n</math>-ट्यूपल <math>(v_0,\ldots,v_{n-1})</math>की पहचान करना सुविधाजनक होता है
 :<math>p_v(x) = v_0 + v_1x + v_2x^2 + \cdots + v_{n-1}x^{n-1}. \, </math>
@@ Line 85: / Line 84: @@
 :<math>f_k = v_0 + v_1\alpha^{k} + v_2\alpha^{2k}  + \cdots + v_{n-1}\alpha^{(n-1)k}. \, </math>
-इस का मतलब है कि <math>f_k</math> केवल बहुपद का मान है <math>p_v(x)</math> के लिए <math>x=\alpha^k</math>, अर्थात।,
+इसका अर्थ यह है कि<math>f_k</math> , <math>x=\alpha^k</math> के लिए बहुपद <math>p_v(x)</math> का मान मात्र है।
 :<math>f_k = p_v(\alpha^k).\,</math>
-इसलिए फूरियर रूपांतरण को बहुपद के गुणांकों और मूल्यों से संबंधित देखा जा सकता है: गुणांक समय-क्षेत्र में हैं, और मान आवृत्ति डोमेन में हैं। यहाँ, निःसंदेह, यह महत्वपूर्ण है कि बहुपद का मूल्यांकन किया जाए <math>n</math>एकता की जड़ें, जो वास्तव में शक्तियाँ हैं <math>\alpha</math>.
+इसलिए फूरियर रूपांतरण को बहुपद के गुणांकों और मूल्यों से संबंधित देखा जा सकता है: गुणांक समय-क्षेत्र में हैं, और मान आवृत्ति डोमेन में हैं। यहां निश्चित रूप से, यह महत्वपूर्ण है कि बहुपद का मूल्यांकन एकता की <math>n</math>वीं जड़ों पर किया जाता है, जो बिल्कुल <math>\alpha</math> की शक्तियां हैं।
 इसी प्रकार, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण (3) की परिभाषा लिखी जा सकती है:
@@ Line 96: / Line 95: @@
 :<math>p_f(x) = f_0 + f_1x + f_2x^2 + \cdots + f_{n-1}x^{n-1},</math>
-इस का मतलब है कि
+इस का अर्थ है कि
 :<math>v_j = \frac{1}{n}p_f(\alpha^{-j}).</math>
-हम इसे इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं: यदि के मान <math>p(x)</math> के गुणांक हैं <math>q(x)</math>, फिर के मान <math>q(x)</math> के गुणांक हैं <math>p(x)</math>, एक अदिश गुणनखंड और पुनर्क्रमण तक।<ref>R. Lidl and G. Pilz. Applied Abstract Algebra, 2nd edition. Wiley, 1999, pp. 217–219.</ref>
+हम इसे इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं: यदि <math>p(x)</math> का मान <math>q(x)</math> का गुणांक है तो <math>q(x)</math> का मान एक अदिश कारक और पुनर्क्रमण तक <math>p(x)</math> का गुणांक है।<ref>R. Lidl and G. Pilz. Applied Abstract Algebra, 2nd edition. Wiley, 1999, pp. 217–219.</ref>
-==विशेष मामले==
+==विशेष स्थिति ==
 ===सम्मिश्र संख्याएँ===
-अगर <math>F={\mathbb C}</math> सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र है, तो <math>n</math>एकता की जड़ों को जटिल तल के इकाई वृत्त पर बिंदुओं के रूप में देखा जा सकता है। इस मामले में, आमतौर पर कोई लेता है
+यदि <math>F={\mathbb C}</math> सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र है, तो <math>n</math>एकता की जड़ों को सम्मिश्र तल के इकाई वृत्त पर बिंदुओं के रूप में देखा जा सकता है। इस स्थिति में, सामान्यतः कोई लेता है
 :<math>\alpha=e^{\frac{-2\pi i}{n}},</math>
@@ Line 112: / Line 111: @@
 :<math>f_k = \sum_{j=0}^{n-1} v_j e^{\frac{-2\pi i}{n}jk}.</math>
-जटिल संख्याओं पर, स्केलर कारक का उपयोग करके डीएफटी और व्युत्क्रम डीएफटी के लिए सूत्रों को सामान्य करना अक्सर प्रथागत होता है <math>\frac{1}{\sqrt{n}}</math> दोनों सूत्रों में, बजाय <math>1</math> डीएफटी के सूत्र में और <math>\frac{1}{n}</math> व्युत्क्रम DFT के सूत्र में. इस सामान्यीकरण के साथ, डीएफटी मैट्रिक्स तब एकात्मक होता है।
+सम्मिश्र संख्याओं पर अधिकांशतः डीएफटी के लिए सूत्र में 1 और व्युत्क्रम के लिए सूत्र में <math>\frac{1}{n}</math> के अतिरिक्त दोनों सूत्रों में अदिश कारक <math>\frac{1}{\sqrt{n}}</math> का उपयोग करके डीएफटी और व्युत्क्रम डीएफटी के लिए सूत्रों को सामान्य करने की प्रथा है। डीएफटी. इस सामान्यीकरण के साथ, डीएफटी आव्यूह तब एकात्मक होता है। ध्यान दें कि किसी इच्छानुसार क्षेत्र में <math>\sqrt{n}</math> का कोई अर्थ नहीं है।
-ध्यान दें कि <math>\sqrt{n}</math> किसी मनमाने क्षेत्र में इसका कोई मतलब नहीं है।
-===परिमित फ़ील्ड===
+===परिमित क्षेत्र===
-अगर <math>F=GF(q)</math> एक सीमित क्षेत्र है, जहां <math>q</math> एक [[अभाज्य संख्या]] शक्ति है, तो एक आदिम का अस्तित्व <math>n</math>मूल स्वतः ही इसका तात्पर्य करता है <math>n</math> [[विभाजित]] <math>q-1</math>, क्योंकि प्रत्येक तत्व के गुणक क्रम को [[गुणक समूह]] के आकार को विभाजित करना होगा <math>F</math>, जो है <math>q-1</math>. यह विशेष रूप से यह सुनिश्चित करता है <math>n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\ \rm times}</math> उलटा है, ताकि अंकन <math>\frac{1}{n}</math> (3) में समझ में आता है।
+यदि <math>F=GF(q)</math> एक सीमित क्षेत्र है, जहां <math>q</math> एक [[अभाज्य संख्या]] शक्ति है, तो एक आदिम का अस्तित्व <math>n</math>मूल स्वतः ही इसका तात्पर्य करता है कि <math>n</math> <math>q-1</math> को विभाजित करता है, क्योंकि प्रत्येक तत्व के गुणक क्रम को [[गुणक समूह]] के आकार को विभाजित करना होगा <math>F</math>, जो <math>q-1</math> है यह विशेष रूप से यह सुनिश्चित करता है <math>n=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\ \rm times}</math> विपरीत है, जिससे अंकन <math>\frac{1}{n}</math> (3) में समझ में आता है।
-असतत फूरियर रूपांतरण का एक अनुप्रयोग <math>GF(q)</math> [[कोडिंग सिद्धांत]] में रीड-सोलोमन कोड को [[बीसीएच कोड]] में घटाना है। इस तरह के परिवर्तन को उचित तेज एल्गोरिदम के साथ कुशलतापूर्वक किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, [[साइक्लोटोमिक फास्ट फूरियर रूपांतरण]]
+<math>GF(q)</math> पर असतत फूरियर रूपांतरण का एक अनुप्रयोग कोडिंग सिद्धांत में रीड-सोलोमन कोड को बीसीएच कोड में कम करना है। इस तरह के परिवर्तन को उचित तेज एल्गोरिदम के साथ कुशलतापूर्वक किया जा सकता है, उदाहरण के लिए साइक्लोटोमिक फास्ट फूरियर रूपांतरण होता है।
 ===संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन===
-संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन (एनटीटी)<ref>{{Cite journal|last1=Agarwal|first1=R.|last2=Burrus|first2=C.|date=April 1974|title=फ़र्मेट नंबर का उपयोग करके तेज़ कन्वोल्यूशन अनुप्रयोगों के साथ डिजिटल फ़िल्टरिंग में बदल जाता है|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/1162555|journal=IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing|language=en|volume=22|issue=2|pages=87–97|doi=10.1109/TASSP.1974.1162555|issn=0096-3518}}</ref> असतत फूरियर रूपांतरण में विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त किया जाता है <math>F={\mathbb Z}/p</math>, मॉड्यूलर अंकगणित|पूर्णांक मॉड्यूल एक अभाज्य {{mvar|p}}. यह एक सीमित क्षेत्र है, और आदिम है {{mvar|n}}एकता की जड़ें जब भी मौजूद होती हैं {{mvar|n}} बांटता है <math>p-1</math>, तो हमारे पास <math>p=\xi n+1</math> एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|&xi;}}. विशेष रूप से, चलो <math>\omega</math> आदिम हो <math>(p-1)</math>एकता की वह जड़, फिर एक {{mvar|n}}एकता की जड़ <math>\alpha</math> देकर पाया जा सकता है <math>\alpha=\omega^{\xi}</math>.
+संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन (एनटीटी)<ref>{{Cite journal|last1=Agarwal|first1=R.|last2=Burrus|first2=C.|date=April 1974|title=फ़र्मेट नंबर का उपयोग करके तेज़ कन्वोल्यूशन अनुप्रयोगों के साथ डिजिटल फ़िल्टरिंग में बदल जाता है|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/1162555|journal=IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing|language=en|volume=22|issue=2|pages=87–97|doi=10.1109/TASSP.1974.1162555|issn=0096-3518}}</ref> असतत फूरियर रूपांतरण को <math>F={\mathbb Z}/p</math> में विशेषज्ञता द्वारा प्राप्त किया जाता है, पूर्णांक मॉड्यूल एक अभाज्य {{mvar|p}} यह एक परिमित क्षेत्र है, और जब भी {{mvar|n}}, <math>p-1</math> को विभाजित करता है तो एकता की आदिम {{mvar|n}}वीं जड़ें उपस्थित होती हैं, इसलिए हमारे पास एक सकारात्मक पूर्णांक {{mvar|&xi;}} के लिए <math>p=\xi n+1</math> है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि <math>\omega</math> एकता का एक आदिम <math>(p-1)</math>वाँ मूल है, तो एकता का nवाँ मूल <math>\alpha</math> ,<math>\alpha=\omega^{\xi}</math>मानकर पाया जा सकता है।
 जैसे के लिए <math>p=5</math>, <math>\alpha = 2</math> :<math>\begin{align}2^{1}&=2 \pmod 5\\2^{2}&=4 \pmod 5\\2^{3}&=3 \pmod 5\\2^{4}&=1 \pmod 5\end{align}</math>
-कब <math>N=4</math>
+जब <math>N=4</math>
 :<math>
 \begin{bmatrix}
@@ Line 143: / Line 141: @@
 f(3) \end{bmatrix}
 </math>
-संख्या सैद्धांतिक परिवर्तन रिंग में सार्थक हो सकता है (गणित) <math>\mathbb{Z}/m</math>, यहां तक कि जब मापांक {{mvar|m}} अभाज्य नहीं है, बशर्ते क्रम का प्रमुख मूल हो {{mvar|n}} मौजूद। संख्या सैद्धांतिक परिवर्तन के विशेष मामले जैसे कि फ़र्मेट नंबर ट्रांसफ़ॉर्म ({{math|1=''m'' = 2<sup>''k''</sup>+1}}), शॉनहेज-स्ट्रैसेन एल्गोरिदम, या मेर्सन नंबर ट्रांसफॉर्म द्वारा उपयोग किया जाता है<ref>{{Cite journal|last=Rader|first=C.M.|date=December 1972|title=मेर्सन ट्रांसफॉर्म्स के माध्यम से अलग-अलग संकल्प|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/1672090|journal=IEEE Transactions on Computers|volume=C-21|issue=12|pages=1269–1273|doi=10.1109/T-C.1972.223497|s2cid=1939809 |issn=0018-9340}}</ref> ({{math|1=''m'' = 2<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1}}) एक समग्र मापांक का उपयोग करें।
+संख्या सैद्धांतिक परिवर्तन वलय <math>\mathbb{Z}/m</math> में सार्थक हो सकता है, तब भी जब मापांक {{mvar|m}} अभाज्य नहीं है, परन्तु क्रम n का एक प्रमुख मूल उपस्थित हो। संख्या सैद्धांतिक परिवर्तन के विशेष स्थिति जैसे कि फ़र्मेट नंबर रूपांतरण ({{math|1=''m'' = 2<sup>''k''</sup>+1}}), जो शॉनहेज-स्ट्रैसेन एल्गोरिदम द्वारा उपयोग किया जाता है, या मेर्सन नंबर रूपांतरण <ref>{{Cite journal|last=Rader|first=C.M.|date=December 1972|title=मेर्सन ट्रांसफॉर्म्स के माध्यम से अलग-अलग संकल्प|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/1672090|journal=IEEE Transactions on Computers|volume=C-21|issue=12|pages=1269–1273|doi=10.1109/T-C.1972.223497|s2cid=1939809 |issn=0018-9340}}</ref> ({{math|1=''m'' = 2<sup>''k''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1}}) एक समग्र मापांक का उपयोग करते हैं।
 ===असतत भारित परिवर्तन===
-असतत भारित परिवर्तन (डीडब्ल्यूटी) मनमाना रिंगों पर असतत फूरियर रूपांतरण पर एक भिन्नता है जिसमें वजन वेक्टर द्वारा तत्ववार गुणा करके इसे बदलने से पहले इनपुट को वजन कार्य करना शामिल है, फिर परिणाम को दूसरे वेक्टर द्वारा भारित करना।<ref>{{Citation | last1 = Crandall | first1 = Richard | last2 = Fagin | first2 = Barry | title = Discrete weighted transforms and large-integer arithmetic | journal = Mathematics of Computation | volume = 62 | issue = 205 | year = 1994 | pages = 305&ndash;324 | url = http://www.faginfamily.net/barry/Papers/Discrete%20Weighted%20Transforms.pdf | doi=10.2307/2153411| jstor = 2153411 | doi-access = free }}</ref> अपरिमेय आधार असतत भारित परिवर्तन इसका एक विशेष मामला है।
+असतत भारित परिवर्तन (डीडब्ल्यूटी) इच्छानुसार वलय पर असतत फूरियर रूपांतरण पर एक भिन्नता है जिसमें वजन सदिश द्वारा तत्ववार गुणा करके इसे बदलने से पहले इनपुट को वजन कार्य करना सम्मिलित है, फिर परिणाम को दूसरे सदिश द्वारा भारित करना।<ref>{{Citation | last1 = Crandall | first1 = Richard | last2 = Fagin | first2 = Barry | title = Discrete weighted transforms and large-integer arithmetic | journal = Mathematics of Computation | volume = 62 | issue = 205 | year = 1994 | pages = 305&ndash;324 | url = http://www.faginfamily.net/barry/Papers/Discrete%20Weighted%20Transforms.pdf | doi=10.2307/2153411| jstor = 2153411 | doi-access = free }}</ref> अपरिमेय आधार असतत भारित परिवर्तन इसका एक विशेष स्थिति है।
 ==गुण==
-व्युत्क्रम परिवर्तन, [[कनवल्शन प्रमेय]] और सबसे तेज फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम सहित असतत फूरियर रूपांतरण के अधिकांश महत्वपूर्ण गुण, केवल इस संपत्ति पर निर्भर करते हैं कि परिवर्तन का कर्नेल एकता की प्रमुख जड़ है। ये गुण, समान प्रमाणों के साथ, मनमाने छल्लों पर भी लागू होते हैं। फ़ील्ड के मामले में, इस सादृश्य को एक तत्व वाले फ़ील्ड द्वारा औपचारिक रूप दिया जा सकता है, एकता के आदिम n वें मूल वाले किसी भी फ़ील्ड को विस्तार फ़ील्ड पर बीजगणित के रूप में माना जा सकता है <math>\mathbf{F}_{1^n}.</math>{{Clarify|reason=I don't understand|date=November 2018}}
+व्युत्क्रम परिवर्तन, कनवल्शन प्रमेय और सबसे तेज फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम सहित सम्मिश्र डीएफटी की अधिकांश महत्वपूर्ण विशेषताएं, केवल इस संपत्ति पर निर्भर करती हैं कि रूपांतरण का कर्नेल एकता की प्रमुख जड़ है। ये गुण, समान प्रमाणों के साथ, इच्छानुसार छल्लों पर भी लागू होते हैं। क्षेत्र के मामले में, इस सादृश्य को एक तत्व के साथ क्षेत्र द्वारा औपचारिक रूप दिया जा सकता है, विस्तार क्षेत्र <math>\mathbf{F}_{1^n}.</math> पर बीजगणित के रूप में एकता की आदिम nवीं जड़ वाले किसी भी क्षेत्र पर विचार किया जा सकता है।
-विशेष रूप से, की प्रयोज्यता <math>O(n \log n)</math> एनटीटी की गणना करने के लिए फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म एल्गोरिदम, [[कनवल्शन]] प्रमेय के साथ मिलकर, इसका मतलब है कि [[संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन]] पूर्णांक अनुक्रमों के सटीक कनवल्शन की गणना करने का एक कुशल तरीका देता है। जबकि जटिल डीएफटी समान कार्य कर सकता है, यह परिमित-परिशुद्धता [[तैरनेवाला स्थल]] अंकगणित में राउंड-ऑफ त्रुटि के लिए अतिसंवेदनशील है; एनटीटी का कोई राउंड-ऑफ नहीं है क्योंकि यह पूरी तरह से निश्चित आकार के पूर्णांकों से संबंधित है जिन्हें सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है।
+विशेष रूप से, एनटीटी की गणना करने के लिए <math>O(n \log n)</math> फास्ट फूरियर रूपांतरण एल्गोरिदम की प्रयोज्यता, कनवल्शन प्रमेय के साथ मिलकर, इसका अर्थ है कि संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन पूर्णांक अनुक्रमों के स्पष्ट कनवल्शन की गणना करने का एक कुशल विधि देता है। जबकि सम्मिश्र डीएफटी समान कार्य कर सकता है, यह परिमित-परिशुद्धता फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित में राउंड-ऑफ त्रुटि के लिए अतिसंवेदनशील है; एनटीटी का कोई राउंड-ऑफ नहीं है क्योंकि यह पूरी तरह से निश्चित आकार के पूर्णांकों से संबंधित है जिन्हें स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।
 ==तेज़ एल्गोरिदम==
-एक तेज एल्गोरिदम के कार्यान्वयन के लिए (फूरियर ट्रांसफॉर्म कितनी तेजी से असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म की गणना करता है), यह अक्सर वांछनीय होता है कि ट्रांसफॉर्म लंबाई भी अत्यधिक समग्र हो, उदाहरण के लिए, [[दो की शक्ति]]। हालाँकि, परिमित क्षेत्रों के लिए विशेष तेज़ फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म एल्गोरिदम हैं, जैसे वांग और झू का एल्गोरिदम,<ref>[[Yao Wang]] and Xuelong Zhu, "A fast algorithm for the Fourier transform over finite fields and its VLSI implementation", IEEE Journal on Selected Areas in Communications 6(3)572–577, 1988</ref> जो परिवर्तन लंबाई कारकों की परवाह किए बिना कुशल हैं।
+एक तेज एल्गोरिदम के कार्यान्वयन के लिए (फूरियर रूपांतरण कितनी तेजी से असतत फूरियर रूपांतरण की गणना करता है) यह अधिकांशतः वांछनीय होता है कि रूपांतरण लंबाई भी अत्यधिक समग्र हो, उदाहरण के लिए, [[दो की शक्ति]]। चूँकि परिमित क्षेत्रों के लिए विशेष तेज़ फूरियर रूपांतरण एल्गोरिदम हैं, जैसे वांग और झू का एल्गोरिदम,<ref>[[Yao Wang]] and Xuelong Zhu, "A fast algorithm for the Fourier transform over finite fields and its VLSI implementation", IEEE Journal on Selected Areas in Communications 6(3)572–577, 1988</ref> जो परिवर्तन लंबाई कारकों की परवाह किए बिना कुशल हैं।
 ==यह भी देखें==
-*असतत फूरियर रूपांतरण|असतत फूरियर रूपांतरण (जटिल)
+*असतत फूरियर रूपांतरण|असतत फूरियर रूपांतरण (सम्मिश्र)
 *परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण
 *[[गॉस राशि]]
@@ Line 174: / Line 172: @@
 * http://www.apfloat.org/ntt.html
-{{DEFAULTSORT:Discrete Fourier Transform (General)}}[[Category: फूरियर विश्लेषण]]
+{{DEFAULTSORT:Discrete Fourier Transform (General)}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)|Discrete Fourier Transform (General)]]
-[[Category:Created On 04/07/2023]]
+[[Category:Created On 04/07/2023|Discrete Fourier Transform (General)]]
+[[Category:Machine Translated Page|Discrete Fourier Transform (General)]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Discrete Fourier Transform (General)]]
+[[Category:फूरियर विश्लेषण|Discrete Fourier Transform (General)]]

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