जैक्सन इंटीग्रल: Difference between revisions

Latest revision as of 16:04, 30 August 2023

क्यू-एनालॉग सिद्धांत में, विशेष फलनों के सिद्धांत में जैक्सन इंटीग्रल श्रृंखला (गणित) जो क्यू-अवकल के विपरीत ऑपरेशन को व्यक्त करती है।

जैक्सन इंटीग्रल को फ्रैंक हिल्टन जैक्सन द्वारा प्रस्तुत किया गया था। संख्यात्मक मूल्यांकन के विधि के लिए,^[1] एक्सटन (1983) देखें।

परिभाषा

मान लीजिए f(x) एक वास्तविक चर x का एक फलन है। वास्तविक चर के लिए, f के जैक्सन इंटीग्रल को निम्नलिखित श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित किया गया है:

\int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}a).

इसके अनुरूप $a\to \infty$ इसकी परिभाषा है

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).$

अधिक सामान्यतः, यदि g(x) एक अन्य फलन है और D_qg इसके q-व्युत्पन्न को दर्शाता है, हम औपचारिक रूप से लिख सकते हैं

\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},

या

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),

रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल का एक क्यू-एनालॉग दे रहा है।

क्यू- प्रतिव्युत्पन्न के रूप में जैक्सन इंटीग्रल

जिस तरह एक निरंतर फलन के सामान्य एंटीडेरिवेटिव को उसके रीमैन अभिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है, यह दिखाना संभव है कि जैक्सन इंटीग्रल एक अद्वितीय क्यू-एंटीडेरिवेटिव देता है

फलनों के एक निश्चित वर्ग के अंदर (देखें ^[2]).

प्रमेय

मान लीजिए कि $0<q<1.$ यदि $|f(x)x^{\alpha }|$ कुछ $0\leq \alpha <1,$ के लिए अंतराल $[0,A)$ पर घिरा है, तो जैक्सन इंटीग्रल $[0,A)$ पर एक फलन $F(x)$ में परिवर्तित हो जाता है जो कि $f(x).$ का एक q-एंटीडेरिवेटिव है। इसके अतिरिक्त , $F(x)$ $F(0)=0$ के साथ $x=0$ पर निरंतर है और फलनों के इस वर्ग में $f(x)$ का एक अद्वितीय प्रतिअवकलन है।^[3]

↑ Exton, H (1979). "बेसिक फूरियर श्रृंखला". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 369 (1736): 115–136. doi:10.1098/rspa.1979.0155. S2CID 120587254.
↑ Kempf, A; Majid, Shahn (1994). "बीजगणितीय q-क्वांटम और ब्रेडेड स्पेस पर एकीकरण और फूरियर सिद्धांत". Journal of Mathematical Physics. 35 (12): 6802–6837. arXiv:hep-th/9402037. Bibcode:1994JMP....35.6802K. doi:10.1063/1.530644. S2CID 16930694.
↑ Kac-Cheung, Theorem 19.1.

संदर्भ

Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
Jackson F H (1904), "A generalization of the functions Γ(n) and x_n", Proc. R. Soc. 74 64–72.
Jackson F H (1910), "On q-definite integrals", Q. J. Pure Appl. Math. 41 193–203.
Exton, Harold (1983). Q-hypergeometric functions and applications. Chichester [West Sussex]: E. Horwood. ISBN 978-0470274538.

[1] Exton, H (1979). "बेसिक फूरियर श्रृंखला". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 369 (1736): 115–136. doi:10.1098/rspa.1979.0155. S2CID 120587254.

[2] Kempf, A; Majid, Shahn (1994). "बीजगणितीय q-क्वांटम और ब्रेडेड स्पेस पर एकीकरण और फूरियर सिद्धांत". Journal of Mathematical Physics. 35 (12): 6802–6837. arXiv:hep-th/9402037. Bibcode:1994JMP....35.6802K. doi:10.1063/1.530644. S2CID 16930694.

[3] Kac-Cheung, Theorem 19.1.

[1]

[2]

[3]

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-[[क्यू-एनालॉग]] सिद्धांत में, [[विशेष कार्य]]ों के सिद्धांत में जैक्सन इंटीग्रल [[श्रृंखला (गणित)]] जो क्यू-विभेदन के विपरीत ऑपरेशन को व्यक्त करती है।
+क्यू-एनालॉग सिद्धांत में, [[विशेष कार्य|विशेष फलनों]] के सिद्धांत में '''जैक्सन इंटीग्रल''' [[श्रृंखला (गणित)]] जो क्यू-अवकल के विपरीत ऑपरेशन को व्यक्त करती है।
-जैक्सन इंटीग्रल को [[फ्रैंक हिल्टन जैक्सन]] द्वारा पेश किया गया था। संख्यात्मक मूल्यांकन के तरीकों के लिए देखें <ref>{{Cite journal|last1=Exton|first1=H|title=बेसिक फूरियर श्रृंखला|journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=369|issue=1736|pages=115–136|year=1979|doi=10.1098/rspa.1979.0155|s2cid=120587254}}</ref> और {{harvtxt|Exton|1983}}.
+जैक्सन इंटीग्रल को फ्रैंक हिल्टन जैक्सन द्वारा प्रस्तुत किया गया था। संख्यात्मक मूल्यांकन के विधि के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Exton|first1=H|title=बेसिक फूरियर श्रृंखला|journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=369|issue=1736|pages=115–136|year=1979|doi=10.1098/rspa.1979.0155|s2cid=120587254}}</ref> {{harvtxt|एक्सटन|1983}} देखें।
-== परिभाषा ==
+== परिभाषा                                                                                            ==
 मान लीजिए f(x) एक वास्तविक चर x का एक फलन है। वास्तविक चर के लिए, f के जैक्सन इंटीग्रल को निम्नलिखित श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित किया गया है:
 : <math> \int_0^a f(x)\,{\rm d}_q x = (1-q)\,a\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k a). </math>
-इसके अनुरूप इसकी परिभाषा है <math> a \to \infty </math>
+इसके अनुरूप <math> a \to \infty </math> इसकी परिभाषा है
 <math> \int_0^\infty f(x)\,{\rm d}_q x = (1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(q^k ). </math>
 अधिक सामान्यतः, यदि g(x) एक अन्य फलन है और D<sub>''q''</sub>g इसके q-व्युत्पन्न को दर्शाता है, हम औपचारिक रूप से लिख सकते हैं
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 रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल का एक क्यू-एनालॉग दे रहा है।
-== क्यू-[[ antiderivative ]] के रूप में जैक्सन इंटीग्रल ==
+== क्यू- प्रतिव्युत्पन्न के रूप में जैक्सन इंटीग्रल ==
-जिस तरह एक निरंतर फ़ंक्शन के सामान्य एंटीडेरिवेटिव को उसके [[ रीमैन अभिन्न ]] द्वारा दर्शाया जा सकता है, यह दिखाना संभव है कि जैक्सन इंटीग्रल एक अद्वितीय क्यू-एंटीडेरिवेटिव देता है
+जिस तरह एक निरंतर फलन के सामान्य एंटीडेरिवेटिव को उसके रीमैन अभिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है, यह दिखाना संभव है कि जैक्सन इंटीग्रल एक अद्वितीय क्यू-एंटीडेरिवेटिव देता है
-कार्यों के एक निश्चित वर्ग के भीतर (देखें <ref>{{Cite journal|last1=Kempf|first1=A|title=बीजगणितीय ''q''-क्वांटम और ब्रेडेड स्पेस पर एकीकरण और फूरियर सिद्धांत|journal=[[Journal of Mathematical Physics]]|volume=35|issue=12|pages=6802–6837|last2=Majid|first2=Shahn|year=1994|arxiv=hep-th/9402037|bibcode=1994JMP....35.6802K|doi=10.1063/1.530644|s2cid=16930694}}</ref>).
+फलनों के एक निश्चित वर्ग के अंदर (देखें <ref>{{Cite journal|last1=Kempf|first1=A|title=बीजगणितीय ''q''-क्वांटम और ब्रेडेड स्पेस पर एकीकरण और फूरियर सिद्धांत|journal=[[Journal of Mathematical Physics]]|volume=35|issue=12|pages=6802–6837|last2=Majid|first2=Shahn|year=1994|arxiv=hep-th/9402037|bibcode=1994JMP....35.6802K|doi=10.1063/1.530644|s2cid=16930694}}</ref>).
 === प्रमेय ===
-लगता है कि <math>0<q<1.</math> अगर <math>|f(x)x^\alpha|</math> अंतराल पर बंधा हुआ है <math>[0,A)</math> कुछ के लिए <math>0\leq\alpha<1, </math> तब जैक्सन इंटीग्रल एक फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है <math>F(x)</math> पर <math>[0,A)</math> जो कि एक q-विरोधीअवकलन है <math>f(x).</math> इसके अतिरिक्त, <math>F(x)</math> पर निरंतर है <math>x=0</math> साथ <math>F(0)=0</math> और का एक अद्वितीय प्रतिव्युत्पन्न है <math>f(x)</math> कार्यों के इस वर्ग में.<ref>Kac-Cheung, Theorem 19.1.</ref>
-== टिप्पणियाँ ==
+मान लीजिए कि <math>0<q<1.</math> यदि <math>|f(x)x^\alpha|</math> कुछ <math>0\leq\alpha<1, </math> के लिए अंतराल <math>[0,A)</math> पर घिरा है, तो जैक्सन इंटीग्रल<math>[0,A)</math> पर एक फलन <math>F(x)</math>में परिवर्तित हो जाता है जो कि <math>f(x).</math> का एक q-एंटीडेरिवेटिव है। इसके अतिरिक्त , <math>F(x)</math> <math>F(0)=0</math> के साथ <math>x=0</math>पर निरंतर है और फलनों के इस वर्ग में <math>f(x)
+                                                                                 </math> का एक अद्वितीय प्रतिअवकलन है।<ref>Kac-Cheung, Theorem 19.1.</ref>
+== टिप्पणियाँ                                                              ==
 <references/>
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 *Jackson F H (1910), "On q-definite integrals", ''Q. J. Pure Appl. Math.'' '''41''' 193–203.
 *{{cite book |last1=Exton |first1=Harold |title=Q-hypergeometric functions and applications |date=1983 |publisher=E. Horwood |location=Chichester [West Sussex] |isbn=978-0470274538}}
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