अर्धउत्तल फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 17:23, 30 August 2023

एक अर्धउत्तल फलन जो उत्तल नहीं है

एक फलन जो अर्धउत्तल नहीं है: फलन के डोमेन में बिंदुओं का सेट जिसके लिए फलन मान धराशायी लाल रेखा के नीचे हैं, दो लाल अंतरालों का मिलन है, जो उत्तल सेट नहीं है।

सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व फलन क्वासिकोनकेव है लेकिन अवतल नहीं है।

द्विचर सामान्य संयुक्त संभाव्यता वितरण#घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन क्वासिकोनकेव है।

गणित में, एक अर्धउत्तल फलन एक वास्तविक सदिश स्थल के अंतराल (गणित) पर या उत्तल सेट पर परिभाषित एक वास्तविक संख्या-मूल्य ~~वाला~~ फलन (गणित) है जो के होता है, जैसे कि फॉर्म के किसी भी सेट की व्युत्क्रम छवि $(-\infty ,a)$ एक उत्तल समुच्चय है। एकल चर के एक फलन के लिए, वक्र के किसी भी विस्तार के साथ उच्चतम बिंदु समापन बिंदुओं में से एक है। अर्धउत्तल फलन के नकारात्मक को क्वासिकोनकेव कहा जाता है।

सभी उत्तल फलन भी अर्ध-उत्तल होते हैं, लेकिन सभी अर्ध-उत्तल फलन उत्तल नहीं होते हैं, इसलिए अर्ध-उत्तलता उत्तलता का एक सामान्यीकरण है। यूनिवेरेट यूनिमोडल फलन अर्धउत्तल या क्वासिकोनकेव हैं, हालांकि किसी फलन के एकाधिक तर्क वाले फलन के लिए यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी रोसेनब्रॉक फलन यूनिमॉडल है, लेकिन अर्धउत्तल नहीं है और स्टार-उत्तल उप-स्तर सेट सेट वाले फलन अर्धउत्तल के बिना यूनिमॉडल हो सकते हैं।

परिभाषा और गुण

एक समारोह $f:S\to \mathbb {R}$ उत्तल उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक सदिश समष्टि $S$ अर्धउत्तल है यदि सभी के लिए, $x,y\in S$ और $\lambda \in [0,1]$ अपने पास

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.

है।

शब्दों में, यदि $f$ ऐसा है जो यह हमेशा सत्य है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु अन्य दोनों बिंदुओं की तुलना में फलन का उच्च मूल्य नहीं देता है, तो $f$ अर्धउत्तल है। ध्यान दें कि बिंदु $x$ और $y$ , और उनके बीच का बिंदु, एक रेखा पर बिंदु हो सकता है या अधिक सामान्यतः एन-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु हो सकता है।

एक क्वासिलिनियर फलन अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है।

एक फलन का ग्राफ़ जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर अवतल और अर्ध-उत्तल दोनों है।

अर्ध-उत्तल फलन $f(x)$ को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका (परिचय देखें) यह आवश्यक है कि प्रत्येक उपस्तरीय सेट

$S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}$ एक उत्तल समुच्चय है।

यदि इसके अतिरिक्त

f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}

$x\neq y$ और $\lambda \in (0,1)$ सभी के लिए, तो $f$ पूरी तरह से अर्धउत्तल है। अर्थात्, सख्त क्वासिकोनवेक्सिटी के लिए आवश्यक है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु को अन्य बिंदुओं में से एक की तुलना में फलन का कम मूल्य देना चाहिए।

एक क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक अर्धउत्तल है, और एक सख्ती से क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक सख्ती से अर्धउत्तल है। समान रूप से एक $f$ क्वासिकोनकेव फलन है यदि

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.

और और पूर्णतया क्वासिकोनकेव यदि

f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}

ए (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल निचले समोच्च सेट होते हैं, जबकि (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल ऊपरी समोच्च सेट होते हैं।

एक फलन जो अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है, अर्धरेखीय है।

अर्ध-अवतलता का एक विशेष स्थिति, यदि $S\subset \mathbb {R}$ , यूनिमोडिटी फलन है, जिसमें स्थानीय रूप से अधिकतम मूल्य होता है।

अनुप्रयोग

अर्धउत्तल फ़ंक्शंस में गणितीय विश्लेषण में, गणितीय अनुकूलन और गेम सिद्धांत और अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग होता है।

गणितीय अनुकूलन

अरेखीय अनुकूलन में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग पुनरावृत्त विधियों का अध्ययन करती है जो अर्धउत्तल कार्यों के लिए न्यूनतम (यदि कोई उपस्थित है) में परिवर्तित होती है। अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग उत्तल प्रोग्रामिंग का एक सामान्यीकरण है।^[1] अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग का उपयोग सरोगेट दोहरी समस्याओं के समाधान में किया जाता है, जिनके बिडुअल प्रारंभिक समस्या के अर्धउत्तल समापन प्रदान करते हैं, जो इसलिए लैग्रेंजियन लैग्रेंज द्वैत द्वारा प्रदान किए गए उत्तल बंद की तुलना में सख्त सीमा प्रदान करते हैं।^[2] कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग और उत्तल प्रोग्रामिंग समस्याओं को उचित समय में हल किया जा सकता है, जहां समस्या के आयाम में बहुपद की तरह बढ़ती है (और सन्निकटन त्रुटि के पारस्परिक रूप से सहन की जाती है);^[3] हालाँकि, ऐसी सैद्धांतिक रूप से कुशल विधियाँ डायवर्जेंट-सीरीज़ ग्रेडिएंट नियमों का उपयोग करती हैं, जिन्हें पहली बार शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियों के लिए विकसित किया गया था। डाइवर्जेंट-सीरीज़ नियमों का उपयोग करने वाली शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियां उत्तल न्यूनतमकरण के आधुनिक तरीकों की तुलना में बहुत धीमी हैं, जैसे कि सबग्रेडिएंट प्रक्षेपण विधियां, वंश के बंडल तरीके, और नॉनस्मूथ फ़िल्टर विधियां।

अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय

सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, क्वासिकोनकेव उपयोगिता कार्यों का अर्थ है कि उपभोक्ताओं की उत्तल प्राथमिकताएँ हैं। क्वासिकोन्वेक्स फलन गेम थ्योरी, औद्योगिक संगठन और सामान्य संतुलन सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से सायन के मिनिमैक्स प्रमेय के अनुप्रयोगों के लिए। जॉन वॉन न्यूमैन के मिनिमैक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करते हुए, सायन के प्रमेय का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में भी किया जाता है।

क्वासिकोनवेक्सिटी का संरक्षण

क्वासिकोनवेक्सिटी को संरक्षित करने वाले ऑपरेशन

अर्धउत्तल फ़ंक्शंस की अधिकतम संख्या (अर्थात्) $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ ) अर्धउत्तल है। इसी प्रकार, सख्त अर्धउत्तल फलन अधिकतम सख्तक्वासिकोनवेक्स है।^[4] इसी तरह, क्वासिकोनकेव फलन का न्यूनतम क्वासिकोनकेव है, और सख्ती से क्वासिकोनकेव फलन का न्यूनतम सख्ती से क्वासिकोनकेव है।
एक गैर-घटते फलन के साथ ओमपोजिशन: $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ अर्धउत्तल, $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ गैर-घटता है, तो $f=h\circ g$ अर्धउत्तल है। इसी प्रकार, यदि $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ क्वासिकोनकेव, $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ गैर-घटता है, तो $f=h\circ g$ क्वासिकोनकेव है.
न्यूनीकरण (अर्थात्) $f(x,y)$ अर्धउत्तल, $C$ उत्तल सेट, फिर $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ अर्धउत्तल है)।

संचालन quasiconvexity को संरक्षित नहीं कर रहे

एक ही डोमेन पर परिभाषित अर्धउत्तल फ़ंक्शंस का योग अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है: दूसरे शब्दों में, यदि $f(x),g(x)$ अर्धउत्तल हैं, तो $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है।
विभिन्न डोमेन पर परिभाषित अर्धउत्तल फ़ंक्शंस का योग (अर्थात यदि $f(x),g(y)$ अर्धउत्तल हैं, $h(x,y)=f(x)+g(y)$ ) अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे कार्यों को अर्थशास्त्र में योगात्मक रूप से विघटित और गणितीय अनुकूलन में वियोज्य कहा जाता है।

उदाहरण

प्रत्येक उत्तल फलन अर्धउत्तल होता है।
एक अवतल फलन अर्धउत्तल हो सकता है। उदाहरण के लिए, $x\mapsto \log(x)$ अवतल और अर्धउत्तल दोनों है।
कोई भी मोनोटोनिक फलन अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है। अधिक आम तौर पर, एक फलन जो एक बिंदु तक घटता है और उस बिंदु से बढ़ता है वह अर्धउत्तल है (यूनिमोडिटी की तुलना करें)है।
$x\mapsto \lfloor x\rfloor$ फर्श समारोह एक अर्धउत्तल फलन का एक उदाहरण है जो न तो उत्तल है और न ही निरंतर है।

यह भी देखें

उत्तल कार्य
अवतल कार्य
लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य
कई जटिल चर के अर्थ में छद्म उत्तलता (सामान्यीकृत उत्तलता नहीं)
छद्मउत्तलता फलन
इनवेक्स फलन
अवतरण

संदर्भ

↑ Di Guglielmo (1977, pp. 287–288): Di Guglielmo, F. (1977). "Nonconvex duality in multiobjective optimization". Mathematics of Operations Research. 2 (3): 285–291. doi:10.1287/moor.2.3.285. JSTOR 3689518. MR 0484418.
↑ Di Guglielmo, F. (1981). "Estimates of the duality gap for discrete and quasiconvex optimization problems". In Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (eds.). Generalized concavity in optimization and economics: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held at the University of British Columbia, Vancouver, B.C., August 4–15, 1980. New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. 281–298. ISBN 0-12-621120-5. MR 0652702.
↑ Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "क्वासिकोनवेक्स न्यूनीकरण के लिए उपग्रेडिएंट विधियों का अभिसरण और दक्षता". Mathematical Programming, Series A. Berlin, Heidelberg: Springer. 90 (1): 1–25. doi:10.1007/PL00011414. ISSN 0025-5610. MR 1819784. S2CID 10043417. Kiwiel acknowledges that Yuri Nesterov first established that quasiconvex minimization problems can be solved efficiently.
↑ Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). "मास एक्शन सिस्टम के संतुलन समाधान के लिए पैरामीटर अनुकूलन": 13–14. Retrieved 26 October 2016. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity, Plenum Press, 1988.
Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
Singer, Ivan Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. xxii+491 pp. ISBN 0-471-16015-6

बाहरी संबंध

SION, M., "On general minimax theorems", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
Mathematical programming glossary
Concave and Quasi-Concave Functions - by Charles Wilson, NYU Department of Economics
Quasiconcavity and quasiconvexity - by Martin J. Osborne, University of Toronto Department of Economics

[1] Di Guglielmo (1977, pp. 287–288): Di Guglielmo, F. (1977). "Nonconvex duality in multiobjective optimization". Mathematics of Operations Research. 2 (3): 285–291. doi:10.1287/moor.2.3.285. JSTOR 3689518. MR 0484418.

[2] Di Guglielmo, F. (1981). "Estimates of the duality gap for discrete and quasiconvex optimization problems". In Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (eds.). Generalized concavity in optimization and economics: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held at the University of British Columbia, Vancouver, B.C., August 4–15, 1980. New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. 281–298. ISBN 0-12-621120-5. MR 0652702.

[3] Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "क्वासिकोनवेक्स न्यूनीकरण के लिए उपग्रेडिएंट विधियों का अभिसरण और दक्षता". Mathematical Programming, Series A. Berlin, Heidelberg: Springer. 90 (1): 1–25. doi:10.1007/PL00011414. ISSN 0025-5610. MR 1819784. S2CID 10043417. Kiwiel acknowledges that Yuri Nesterov first established that quasiconvex minimization problems can be solved efficiently.

[4] Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). "मास एक्शन सिस्टम के संतुलन समाधान के लिए पैरामीटर अनुकूलन": 13–14. Retrieved 26 October 2016. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

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-{{for|the unrelated generalization of convexity used in the calculus of variations|Quasiconvexity (calculus of variations)}}
+[[File:Quasiconvex function.png|right|thumb|एक अर्धउत्तल फलन जो उत्तल नहीं है]]
-[[File:Quasiconvex function.png|right|thumb|एक क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन जो उत्तल नहीं है]]
+  [[File:Nonquasiconvex function.png|right|thumb|एक फलन जो अर्धउत्तल नहीं है: फलन के डोमेन में बिंदुओं का सेट जिसके लिए फलन मान धराशायी लाल रेखा के नीचे हैं, दो लाल अंतरालों का मिलन है, जो उत्तल सेट नहीं है।]]
-  [[File:Nonquasiconvex function.png|right|thumb|एक फ़ंक्शन जो क्वासिकोनवेक्स नहीं है: फ़ंक्शन के डोमेन में बिंदुओं का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मान धराशायी लाल रेखा के नीचे हैं, दो लाल अंतरालों का मिलन है, जो उत्तल सेट नहीं है।]]
+[[File:standard deviation diagram.svg|325px|thumb|[[सामान्य वितरण]] की संभाव्यता घनत्व फलन क्वासिकोनकेव है लेकिन अवतल नहीं है।]]
-[[File:standard deviation diagram.svg|325px|thumb|[[सामान्य वितरण]] की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन क्वासिकोनकेव है लेकिन अवतल नहीं है।]]
+[[File:Multivariate Gaussian.png|thumb|right|300px|[[द्विचर सामान्य]] संयुक्त संभाव्यता वितरण#घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन क्वासिकोनकेव है।]]गणित में, एक अर्धउत्तल फलन एक [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] [[सदिश स्थल]] के [[अंतराल (गणित)]] पर या [[उत्तल सेट]] पर परिभाषित एक  वास्तविक [[वास्तविक संख्या|संख्या]]-मूल्य <s>वाला</s> [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है जो  के होता है, जैसे कि फॉर्म के किसी भी सेट की व्युत्क्रम छवि <math>(-\infty,a)</math> एक उत्तल समुच्चय है। एकल चर के एक फलन के लिए, वक्र के किसी भी विस्तार के साथ उच्चतम बिंदु समापन बिंदुओं में से एक है। अर्धउत्तल फलन के नकारात्मक को क्वासिकोनकेव कहा जाता है।
-[[File:Multivariate Gaussian.png|thumb|right|300px|[[द्विचर सामान्य]] संयुक्त संभाव्यता वितरण#घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन क्वासिकोनकेव है।]]गणित में, एक क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन एक [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला [[फ़ंक्शन (गणित)]] है जो एक [[अंतराल (गणित)]] पर या वास्तविक [[सदिश स्थल]] के [[उत्तल सेट]] पर परिभाषित होता है, जैसे कि फॉर्म के किसी भी सेट की व्युत्क्रम छवि <math>(-\infty,a)</math> एक उत्तल समुच्चय है. एकल चर के एक फ़ंक्शन के लिए, वक्र के किसी भी विस्तार के साथ उच्चतम बिंदु समापन बिंदुओं में से एक है। क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन के नकारात्मक को क्वासिकोनकेव कहा जाता है।
-सभी उत्तल फलन भी अर्ध-उत्तल होते हैं, लेकिन सभी अर्ध-उत्तल फलन उत्तल नहीं होते हैं, इसलिए अर्ध-उत्तलता उत्तलता का एक सामान्यीकरण है। ''[[ अविभाज्य ]]'' [[एकरूपता]] फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स या क्वासिकोनकेव हैं, हालांकि किसी फ़ंक्शन के एकाधिक तर्क वाले फ़ंक्शन के लिए यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी [[रोसेनब्रॉक फ़ंक्शन]] यूनिमॉडल है, लेकिन क्वासिकोनवेक्स नहीं है और स्टार_डोमेन | स्टार-उत्तल सबलेवल सेट के साथ फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स के बिना यूनिमॉडल हो सकते हैं।
+सभी उत्तल फलन भी अर्ध-उत्तल होते हैं, लेकिन सभी अर्ध-उत्तल फलन उत्तल नहीं होते हैं, इसलिए अर्ध-उत्तलता उत्तलता का एक सामान्यीकरण है। ''[[ अविभाज्य | यूनिवेरेट]]'' [[एकरूपता|यूनिमोडल]] फलन अर्धउत्तल या क्वासिकोनकेव हैं, हालांकि किसी फलन के एकाधिक तर्क वाले फलन के लिए यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी [[रोसेनब्रॉक फ़ंक्शन|रोसेनब्रॉक फलन]] यूनिमॉडल है, लेकिन अर्धउत्तल नहीं है और स्टार-उत्तल उप-स्तर सेट सेट वाले फलन अर्धउत्तल के बिना यूनिमॉडल हो सकते हैं।
 ==परिभाषा और गुण==
-एक समारोह <math>f:S \to \mathbb{R}</math> उत्तल उपसमुच्चय पर परिभाषित <math>S</math> यदि सभी के लिए एक वास्तविक सदिश समष्टि अर्धउत्तल है <math>x, y \in S</math> और <math>\lambda \in [0,1]</math> अपने पास
+एक समारोह <math>f:S \to \mathbb{R}</math> उत्तल उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक सदिश समष्टि <math>S</math> अर्धउत्तल है यदि सभी के लिए,  <math>x, y \in S</math> और <math>\lambda \in [0,1]</math> अपने पास
-: <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big\{f(x),f(y)\big\}.</math>
+: <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big\{f(x),f(y)\big\}.</math> है।
-शब्दों में, यदि <math>f</math> ऐसा है कि यह हमेशा सत्य है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु अन्य दोनों बिंदुओं की तुलना में फ़ंक्शन का उच्च मूल्य नहीं देता है, तो <math>f</math> क्वासिकोनवेक्स है। ध्यान दें कि बिंदु <math>x</math> और <math>y</math>, और सीधे उनके बीच का बिंदु, एक रेखा पर बिंदु हो सकता है या अधिक सामान्यतः एन-आयामी स्थान में बिंदु हो सकता है।
+शब्दों में, यदि <math>f</math> ऐसा है जो यह हमेशा सत्य है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु अन्य दोनों बिंदुओं की तुलना में फलन का उच्च मूल्य नहीं देता है, तो <math>f</math> अर्धउत्तल है। ध्यान दें कि बिंदु <math>x</math> और <math>y</math>, और उनके बीच का बिंदु, एक रेखा पर बिंदु हो सकता है या अधिक सामान्यतः एन-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु हो सकता है।
-[[File:Monotonicity example2.png|right|thumb|एक क्वासिलिनियर फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स और क्वासिकोनकेव दोनों है।]]
+[[File:Monotonicity example2.png|right|thumb|एक क्वासिलिनियर फलन अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है।]]
-[[File:Quasi-concave-function-graph.png|right|thumb|एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर अवतल और अर्ध-उत्तल दोनों है।]]अर्ध-उत्तल फ़ंक्शन को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका (परिचय देखें)। <math>f(x)</math> प्रत्येक उपस्तर सेट की आवश्यकता होती है
+[[File:Quasi-concave-function-graph.png|right|thumb|एक फलन का ग्राफ़ जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर अवतल और अर्ध-उत्तल दोनों है।]]अर्ध-उत्तल फलन<math>f(x)</math> को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका (परिचय देखें) यह आवश्यक है कि प्रत्येक उपस्तरीय सेट
-<math>S_\alpha(f) = \{x\mid f(x) \leq \alpha\}</math>
+<math>S_\alpha(f) = \{x\mid f(x) \leq \alpha\}</math> एक उत्तल समुच्चय है।
-एक उत्तल समुच्चय है.
-यदि इसके अलावा
+यदि इसके अतिरिक्त
 : <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\big\{f(x),f(y)\big\}</math>
-सभी के लिए <math>x \neq y</math> और <math>\lambda \in (0,1)</math>, तब <math>f</math> सख्ती से अर्धकोनवेक्स है। अर्थात्, सख्त क्वासिकोनवेक्सिटी के लिए आवश्यक है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु को अन्य बिंदुओं में से एक की तुलना में फ़ंक्शन का कम मूल्य देना चाहिए।
+<math>x \neq y</math> और <math>\lambda \in (0,1)</math> सभी के लिए, तो <math>f</math> पूरी तरह से अर्धउत्तल है। अर्थात्, सख्त क्वासिकोनवेक्सिटी के लिए आवश्यक है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु को अन्य बिंदुओं में से एक की तुलना में फलन का कम मूल्य देना चाहिए।
-एक क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका नकारात्मक क्वासिकोनवेक्स है, और एक सख्ती से क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका नकारात्मक सख्ती से क्वासिकोनवेक्स है। समान रूप से एक फ़ंक्शन <math>f</math> यदि क्वासिकोनकेव है
+एक क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक अर्धउत्तल है, और एक सख्ती से क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक सख्ती से अर्धउत्तल है। समान रूप से एक <math>f</math>  क्वासिकोनकेव फलन है यदि
 : <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big\{f(x),f(y)\big\}.</math>
-और सख्ती से quasiconcave यदि
+और और पूर्णतया क्वासिकोनकेव यदि
 : <math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\big\{f(x),f(y)\big\}</math>
-ए (सख्ती से) क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन में (सख्ती से) उत्तल निचले समोच्च सेट होते हैं, जबकि (सख्ती से) क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन में (सख्ती से) उत्तल [[ऊपरी समोच्च सेट]] होते हैं।
+ए (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल निचले समोच्च सेट होते हैं, जबकि (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल [[ऊपरी समोच्च सेट]] होते हैं।
-एक फ़ंक्शन जो क्वासिकोनवेक्स और क्वासिकोनकेव दोनों है, क्वासिलिनियर है।
+एक फलन जो अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है, अर्धरेखीय है।
-अर्ध-अवतलता का एक विशेष मामला, यदि <math>S \subset \mathbb{R}</math>, Unimodality#Unimodal फ़ंक्शन है, जिसमें स्थानीय रूप से अधिकतम मान होता है।
+अर्ध-अवतलता का एक विशेष स्थिति, यदि <math>S \subset \mathbb{R}</math>, यूनिमोडिटी फलन है, जिसमें स्थानीय रूप से अधिकतम मूल्य होता है।
 ==अनुप्रयोग==
-क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस का [[गणितीय विश्लेषण]], [[गणितीय अनुकूलन]] और गेम सिद्धांत और [[अर्थशास्त्र]] में अनुप्रयोग होता है।
+अर्धउत्तल फ़ंक्शंस में [[गणितीय विश्लेषण]] में, [[गणितीय अनुकूलन]] और गेम सिद्धांत और [[अर्थशास्त्र]] में अनुप्रयोग होता है।
 ===गणितीय अनुकूलन===
-[[ अरेखीय प्रोग्रामिंग ]] में, क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग पुनरावृत्त तरीकों का अध्ययन करती है जो क्वासिकोनवेक्स कार्यों के लिए न्यूनतम (यदि कोई मौजूद है) में परिवर्तित होती है। क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग [[उत्तल प्रोग्रामिंग]] का एक सामान्यीकरण है।<ref>{{harvtxt|Di&nbsp;Guglielmo|1977|pp=287–288}}: {{cite journal|last=Di&nbsp;Guglielmo|first=F.|title=Nonconvex duality in multiobjective optimization|doi=10.1287/moor.2.3.285|volume=2|year=1977|number=3|pages=285–291|journal=Mathematics of Operations Research|mr=484418|jstor=3689518}}</ref> क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग का उपयोग सरोगेट [[दोहरी समस्या]]ओं के समाधान में किया जाता है, जिनके बिडुअल प्रारंभिक समस्या के क्वासिकोनवेक्स क्लोजर प्रदान करते हैं, जो इसलिए लैग्रेंजियन [[लैग्रेंज द्वैत]] द्वारा प्रदान किए गए उत्तल क्लोजर की तुलना में सख्त सीमा प्रदान करते हैं।<ref>{{cite book|last=Di&nbsp;Guglielmo|first=F.|chapter=Estimates of the duality&nbsp;gap for discrete&nbsp;and&nbsp;quasiconvex optimization&nbsp;problems|title=Generalized concavity in optimization and economics: Proceedings of the NATO Advanced&nbsp;Study Institute held at the University of British&nbsp;Columbia, Vancouver,&nbsp;B.C., August&nbsp;4–15,&nbsp;1980
+[[ अरेखीय प्रोग्रामिंग | अरेखीय अनुकूलन]] में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग पुनरावृत्त विधियों का अध्ययन करती है जो अर्धउत्तल कार्यों के लिए न्यूनतम (यदि कोई उपस्थित है) में परिवर्तित होती है। अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग [[उत्तल प्रोग्रामिंग]] का एक सामान्यीकरण है।<ref>{{harvtxt|Di&nbsp;Guglielmo|1977|pp=287–288}}: {{cite journal|last=Di&nbsp;Guglielmo|first=F.|title=Nonconvex duality in multiobjective optimization|doi=10.1287/moor.2.3.285|volume=2|year=1977|number=3|pages=285–291|journal=Mathematics of Operations Research|mr=484418|jstor=3689518}}</ref> अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग का उपयोग सरोगेट [[दोहरी समस्या]]ओं के समाधान में किया जाता है, जिनके बिडुअल प्रारंभिक समस्या के अर्धउत्तल समापन प्रदान करते हैं, जो इसलिए लैग्रेंजियन [[लैग्रेंज द्वैत]] द्वारा प्रदान किए गए उत्तल  बंद की तुलना में सख्त सीमा प्रदान करते हैं।<ref>{{cite book|last=Di&nbsp;Guglielmo|first=F.|chapter=Estimates of the duality&nbsp;gap for discrete&nbsp;and&nbsp;quasiconvex optimization&nbsp;problems|title=Generalized concavity in optimization and economics: Proceedings of the NATO Advanced&nbsp;Study Institute held at the University of British&nbsp;Columbia, Vancouver,&nbsp;B.C., August&nbsp;4–15,&nbsp;1980
-|editor1-first=Siegfried|editor1-last=Schaible|editor2-first=William&nbsp;T.|editor2-last=Ziemba|publisher=Academic Press,&nbsp;Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]|location=New&nbsp;York|year=1981|pages=281–298|isbn=0-12-621120-5|mr=652702}}</ref> [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में, क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग और उत्तल प्रोग्रामिंग समस्याओं को उचित समय में हल किया जा सकता है, जहां समस्या के आयाम में पुनरावृत्तियों की संख्या बहुपद की तरह बढ़ती है (और सन्निकटन त्रुटि के पारस्परिक रूप से सहन की जाती है);<ref>{{cite journal|last=Kiwiel|first=Krzysztof C.|title=क्वासिकोनवेक्स न्यूनीकरण के लिए उपग्रेडिएंट विधियों का अभिसरण और दक्षता|journal=Mathematical Programming, Series A|publisher=Springer|location=Berlin, Heidelberg|issn=0025-5610|pages=1–25|volume=90|issue=1|doi=10.1007/PL00011414|year=2001|mr=1819784|s2cid=10043417 }} Kiwiel acknowledges that [[Yuri Nesterov (mathematician)|Yuri Nesterov]] first established that quasiconvex minimization problems can be solved efficiently.</ref> हालाँकि, ऐसी सैद्धांतिक रूप से कुशल विधियाँ डायवर्जेंट-सीरीज़ ग्रेडिएंट डीसेंट#स्टेप्साइज़ नियमों का उपयोग करती हैं, जिन्हें पहली बार शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियों के लिए विकसित किया गया था। अपसारी-श्रृंखला नियमों का उपयोग करने वाली शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियां उत्तल न्यूनतमकरण के आधुनिक तरीकों की तुलना में बहुत धीमी हैं, जैसे कि सबग्रेडिएंट प्रक्षेपण विधियां, वंश के बंडल तरीके, और नॉनस्मूथ [[फ़िल्टर विधि]]यां।
+|editor1-first=Siegfried|editor1-last=Schaible|editor2-first=William&nbsp;T.|editor2-last=Ziemba|publisher=Academic Press,&nbsp;Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]|location=New&nbsp;York|year=1981|pages=281–298|isbn=0-12-621120-5|mr=652702}}</ref> [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग और उत्तल प्रोग्रामिंग समस्याओं को उचित समय में हल किया जा सकता है, जहां समस्या के आयाम में बहुपद की तरह बढ़ती है (और सन्निकटन त्रुटि के पारस्परिक रूप से सहन की जाती है);<ref>{{cite journal|last=Kiwiel|first=Krzysztof C.|title=क्वासिकोनवेक्स न्यूनीकरण के लिए उपग्रेडिएंट विधियों का अभिसरण और दक्षता|journal=Mathematical Programming, Series A|publisher=Springer|location=Berlin, Heidelberg|issn=0025-5610|pages=1–25|volume=90|issue=1|doi=10.1007/PL00011414|year=2001|mr=1819784|s2cid=10043417 }} Kiwiel acknowledges that [[Yuri Nesterov (mathematician)|Yuri Nesterov]] first established that quasiconvex minimization problems can be solved efficiently.</ref> हालाँकि, ऐसी सैद्धांतिक रूप से कुशल विधियाँ डायवर्जेंट-सीरीज़ ग्रेडिएंट नियमों का उपयोग करती हैं, जिन्हें पहली बार शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियों के लिए विकसित किया गया था। डाइवर्जेंट-सीरीज़ नियमों का उपयोग करने वाली शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियां उत्तल न्यूनतमकरण के आधुनिक तरीकों की तुलना में बहुत धीमी हैं, जैसे कि सबग्रेडिएंट प्रक्षेपण विधियां, वंश के बंडल तरीके, और नॉनस्मूथ [[फ़िल्टर विधि]]यां।
-===अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स <!-- and fixed-point  -->प्रमेय===
+===अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय===
 <div id='अर्थशास्त्र'></div>
-सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, क्वासिकोनकेव उपयोगिता कार्यों का अर्थ है कि उपभोक्ताओं की [[उत्तल प्राथमिकताएँ]] हैं। क्वासिकोन्वेक्स फ़ंक्शन महत्वपूर्ण हैं
+सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, क्वासिकोनकेव उपयोगिता कार्यों का अर्थ है कि उपभोक्ताओं की [[उत्तल प्राथमिकताएँ]] हैं। क्वासिकोन्वेक्स फलन गेम थ्योरी, [[औद्योगिक संगठन]] और [[सामान्य संतुलन सिद्धांत]] में भी महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से सायन के [[मिनिमैक्स प्रमेय]] के अनुप्रयोगों के लिए। [[जॉन वॉन न्यूमैन]] के मिनिमैक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करते हुए, सायन के प्रमेय का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में भी किया जाता है।
-खेल सिद्धांत, [[औद्योगिक संगठन]] और [[सामान्य संतुलन सिद्धांत]] में भी, विशेष रूप से सायन के [[मिनिमैक्स प्रमेय]] के अनुप्रयोगों के लिए। [[जॉन वॉन न्यूमैन]] के मिनिमैक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करते हुए, सायन के प्रमेय का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में भी किया जाता है। <!-- CHECK! Quasiconvex functions are also used in many [[fixed-point theorem]]s, for example, theorems by [[Kakutani]] and [[Ky Fan]]. -->
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 ===क्वासिकोनवेक्सिटी को संरक्षित करने वाले ऑपरेशन ===
-* अधिकतम क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस (अर्थात्) <math>f = \max \left\lbrace f_1 , \ldots , f_n \right\rbrace</math> ) क्वासिकोनवेक्स है। इसी प्रकार, अधिकतम सख्त क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन सख्त क्वासिकोनवेक्स है।<ref>{{cite journal|last1=Johansson|first1=Edvard|last2=Petersson|first2=David|title=मास एक्शन सिस्टम के संतुलन समाधान के लिए पैरामीटर अनुकूलन|date=2016|pages=13–14|url=https://lup.lub.lu.se/student-papers/search/publication/8892543|access-date=26 October 2016}}</ref> इसी तरह, न्यूनतम क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन क्वासिकोनकेव है, और सख्ती से क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन का न्यूनतम सख्ती से क्वासिकोनकेव है।
+* अर्धउत्तल फ़ंक्शंस की अधिकतम संख्या (अर्थात्) <math>f = \max \left\lbrace f_1 , \ldots , f_n \right\rbrace</math> ) अर्धउत्तल है। इसी प्रकार, सख्त  अर्धउत्तल फलन अधिकतम सख्तक्वासिकोनवेक्स है।<ref>{{cite journal|last1=Johansson|first1=Edvard|last2=Petersson|first2=David|title=मास एक्शन सिस्टम के संतुलन समाधान के लिए पैरामीटर अनुकूलन|date=2016|pages=13–14|url=https://lup.lub.lu.se/student-papers/search/publication/8892543|access-date=26 October 2016}}</ref> इसी तरह, क्वासिकोनकेव फलन का न्यूनतम क्वासिकोनकेव है, और सख्ती से क्वासिकोनकेव फलन का न्यूनतम सख्ती से क्वासिकोनकेव है।
-* गैर-घटते कार्य के साथ रचना : <math>g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> क्वासिकोनवेक्स, <math>h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> फिर, घटता नहीं <math>f = h \circ g</math> क्वासिकोनवेक्स है। इसी प्रकार, यदि <math>g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> क्वासिकोनकेव, <math>h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> फिर, घटता नहीं <math>f = h \circ g</math> क्वासिकोनकेव है.
+* एक गैर-घटते फलन के साथ ओमपोजिशन: <math>g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> अर्धउत्तल, <math>h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> गैर-घटता है, तो  <math>f = h \circ g</math> अर्धउत्तल है। इसी प्रकार, यदि <math>g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> क्वासिकोनकेव, <math>h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> गैर-घटता है, तो <math>f = h \circ g</math> क्वासिकोनकेव है.
-* न्यूनीकरण (अर्थात्) <math>f(x,y)</math> क्वासिकोनवेक्स, <math>C</math> उत्तल सेट, फिर <math>h(x) = \inf_{y \in C} f(x,y)</math> क्वासिकोनवेक्स है)
+* न्यूनीकरण (अर्थात्) <math>f(x,y)</math> अर्धउत्तल, <math>C</math> उत्तल सेट, फिर <math>h(x) = \inf_{y \in C} f(x,y)</math> अर्धउत्तल है)।
 ===संचालन quasiconvexity को संरक्षित नहीं कर रहे===
-* एक ही डोमेन पर परिभाषित क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस का योग क्वासिकोनवेक्स होने की आवश्यकता नहीं है: दूसरे शब्दों में, यदि <math>f(x), g(x)</math> तो, क्वासिकोनवेक्स हैं <math>(f+g)(x) = f(x) + g(x)</math> quasiconvex होने की आवश्यकता नहीं है।
+* एक ही डोमेन पर परिभाषित अर्धउत्तल फ़ंक्शंस का योग अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है: दूसरे शब्दों में, यदि <math>f(x), g(x)</math> अर्धउत्तल हैं, तो <math>(f+g)(x) = f(x) + g(x)</math> अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है।
-* विभिन्न डोमेन पर परिभाषित क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस का योग (अर्थात यदि <math>f(x), g(y)</math> अर्ध-उत्तल हैं, <math>h(x,y) = f(x) + g(y)</math>) quasiconvex होने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे कार्यों को अर्थशास्त्र में योगात्मक रूप से विघटित और गणितीय अनुकूलन में वियोज्य कहा जाता है।
+* विभिन्न डोमेन पर परिभाषित अर्धउत्तल फ़ंक्शंस का योग (अर्थात यदि <math>f(x), g(y)</math> अर्धउत्तल हैं, <math>h(x,y) = f(x) + g(y)</math>) अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे कार्यों को अर्थशास्त्र में योगात्मक रूप से विघटित और गणितीय अनुकूलन में वियोज्य कहा जाता है।
 ==उदाहरण==
 * प्रत्येक उत्तल फलन अर्धउत्तल होता है।
 * एक अवतल फलन अर्धउत्तल हो सकता है। उदाहरण के लिए, <math>x \mapsto \log(x)</math> अवतल और अर्धउत्तल दोनों है।
-* कोई भी [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] क्वासिकोनवेक्स और क्वासिकोनकेव दोनों है। अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन जो एक बिंदु तक घटता है और उस बिंदु से बढ़ता है वह क्वासिकोनवेक्स है (एकरूपता की तुलना करें)।
+* कोई भी [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक फलन]] अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है। अधिक आम तौर पर, एक फलन जो एक बिंदु तक घटता है और उस बिंदु से बढ़ता है वह अर्धउत्तल है (यूनिमोडिटी की तुलना करें)है।
-*फर्श समारोह  <math>x\mapsto \lfloor x\rfloor</math> एक क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन का एक उदाहरण है जो न तो उत्तल है और न ही निरंतर है।
+*<math>x\mapsto \lfloor x\rfloor</math> फर्श समारोह एक अर्धउत्तल फलन का एक उदाहरण है जो न तो उत्तल है और न ही निरंतर है।
 ==यह भी देखें==
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 * [[लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य]]
 * कई जटिल चर के अर्थ में छद्म उत्तलता (सामान्यीकृत उत्तलता नहीं)
-* [[छद्मउत्तलता]] फ़ंक्शन
+* [[छद्मउत्तलता]] फलन
-* [[इनवेक्स फ़ंक्शन]]
+* [[इनवेक्स फ़ंक्शन|इनवेक्स फलन]]
 * अवतरण
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 * [http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/QCC.HTM Quasiconcavity and quasiconvexity] - by Martin J. Osborne, [[University of Toronto]] Department of Economics
-{{Convex analysis and variational analysis}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: उत्तल विश्लेषण]] [[Category: उत्तल अनुकूलन]] [[Category: सामान्यीकृत उत्तलता]] [[Category: वास्तविक विश्लेषण]] [[Category: कार्यों के प्रकार]]
+[[Category:CS1 errors]]
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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परिभाषा और गुण

अनुप्रयोग

गणितीय अनुकूलन

अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय

क्वासिकोनवेक्सिटी का संरक्षण

क्वासिकोनवेक्सिटी को संरक्षित करने वाले ऑपरेशन

संचालन quasiconvexity को संरक्षित नहीं कर रहे

उदाहरण

यह भी देखें

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परिभाषा और गुण

अनुप्रयोग

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अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय

क्वासिकोनवेक्सिटी का संरक्षण

क्वासिकोनवेक्सिटी को संरक्षित करने वाले ऑपरेशन

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