चतुर्घाती फलन

घात 4 के एक बहुपद का ग्राफ, जिसमें 3 महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) और बहुपद के चार वास्तविक संख्या मूल (x अक्ष के क्रॉसिंग) (और इस प्रकार कोई जटिल संख्या मूल नहीं है)। यदि स्थानीय न्यूनतम में से एक या अन्य एक्स अक्ष के ऊपर थे, या यदि स्थानीय अधिकतम इसके नीचे थे, या यदि कोई स्थानीय अधिकतम नहीं था और एक्स अक्ष के नीचे एक न्यूनतम था, तो केवल दो वास्तविक मूल होंगी (और दो जटिल मूल)। यदि सभी तीन स्थानीय एक्स्ट्रेमा एक्स अक्ष के ऊपर थे, या यदि एक्स अक्ष के ऊपर कोई स्थानीय अधिकतम और एक न्यूनतम नहीं था, तो कोई वास्तविक मूल (और चार जटिल मूल ) नहीं होगी। नकारात्मक चतुर्घाती गुणांक वाले बहुपद के विपरीत यही तर्क लागू होता है।

बीजगणित में, एक चतुर्घाती फलन निम्नलिखित प्रकार का फलन होता है-

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,$

जहाँ a अशून्य है, जिसे चतुर्थ घात के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे चतुर्घाती बहुपद कहा जाता है।

एक चतुर्घाती समीकरण या चतुर्थ घात का समीकरण, एक समीकरण है जो इस रूप के चतुर्घाती बहुपद को शून्य के बराबर करता है-

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,$

जहाँ पर a ≠ 0

चतुर्घाती फलन का व्युत्पन्न एक घन फलन है।

कभी-कभी चतुर्घाती के बजाय द्विवर्गीय शब्द का उपयोग किया जाता है, लेकिन आमतौर पर द्विवर्गीय फ़लन एक वर्ग के द्विघात फ़लन को संदर्भित करता है (या समतुल्य, विषम घात की शर्तों के बिना चतुर्घाती बहुपद द्वारा परिभाषित फ़लन के लिए), निम्नलिखित रूप में -

$f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.$

चूँकि एक चतुर्घाती फलन को सम कोटि के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जब तर्क धनात्मक या ऋणात्मक अनन्तता में जाता है तो इसकी समान अनंत सीमा होती है। यदि a धनात्मक है, तो फलन दोनों सिरों पर धनात्मक अनंत तक बढ़ जाता है, और इस प्रकार फलन निम्निष्ट है। इसी तरह, यदि a ऋणात्मक है तो यह ऋणात्मक अनंत तक घटता है और अधिकतम होता है। दोनों ही मामलों में इसमें एक अधिकतम और दूसरा न्यूनतम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।

एबेल-रफ़िनी प्रमेय के अनुसार, चतुर्थ घात (चतुर्घाती स्थिति) उच्चतम घात है जैसे कि हर बहुपद समीकरण को रेडिकल (√ प्रतीक जिसका उपयोग वर्गमूल या n वें मूल को दर्शाने के लिए किया जाता है) द्वारा हल किया जा सकता है।

इतिहास

लोदोविको फेरारी को 1540 में चतुर्घात के हल की खोज का श्रेय दिया जाता है, लेकिन चूंकि इस चतुर्घात के सभी बीजगणितीय हल की तरह, एक घन समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है, इसे तुरंत प्रकाशित नहीं किया जा सका। चतुर्घात का हल फेरारी के सलाहकार जेरोम कार्डानो द्वारा अर्स मैग्ना (गेरोलमो कार्डानो) पुस्तक में घन के हल के साथ प्रकाशित किया गया था।

सोवियत इतिहासकार आई.वाई. डेपमैन ने दावा किया कि इससे पहले भी, 1486 में स्पेनिश गणितज्ञ वाल्म्स को चतुर्घाती समीकरण को हल करने का दावा करने के लिए सब दांव पर लगा दिया था। जांचकर्ता जनरल टॉमस डी टोरक्वेमाडा ने कथित तौर पर वाल्म्स को बताया कि यह ईश्वर की इच्छा थी कि ऐसा हल मानव समझ के लिए दुर्गम हो। हालाँकि, पश्चिम में डेपमैन की इस कहानी को लोकप्रिय बनाने वाले पेट्र बेकमैन ने कहा कि यह अविश्वसनीय था और संकेत दिया कि इसका आविष्कार सोवियत विरोधी धार्मिक प्रचार के रूप में किया गया हो सकता है। इस कहानी के बेकमैन के संस्करण को कई किताबों और इंटरनेट साइटों में व्यापक रूप से कॉपी किया गया है, आमतौर पर उनके आरक्षण के बिना और कभी-कभी काल्पनिक अलंकरणों के साथ। इस कहानी के लिए, या यहां तक ​​कि वाल्म्स के अस्तित्व के लिए पुष्टि करने वाले सबूत खोजने के कई प्रयास विफल रहे हैं।

चार एक सामान्य बहुपद की उच्चतम डिग्री है जिसके लिए इस तरह के हल खोजे जा सकते हैं, जिसका सबूत है कि पहली बार 1824 में एबेल-रफिनी प्रमेय में दिया गया था, यह साबित करते हुए कि उच्च क्रम बहुपदों को हल करने के सभी प्रयास व्यर्थ होंगे। 1832 में एक द्वंद्वयुद्ध में मरने से पहले एवरिस्ट गैलोइस द्वारा छोड़े गए लेखों ने बाद में बहुपदों के मूलो के एक पूर्ण सिद्धांत का नेतृत्व किया, जिसमें से यह प्रमेय एक परिणाम था।

अनुप्रयोग

दो शंकु वर्गों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का प्रत्येक निर्देशांक एक चतुर्घाती समीकरण का एक हल है। एक रेखा और एक टोरस्र्स के प्रतिच्छेदन के लिए भी यही सच है। यह इस प्रकार है कि चतुर्घात समीकरण अक्सर अभिकलनी ज्यामिति और अभिकलित्र आलेखिकी, कंप्यूटर एडेड डिजाइन(अभिकलित्र सहाय अभिकल्पना), कम्प्यूटर सहायित विनिर्माण और प्रकाशिकी जैसे सभी संबंधित क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं। यहां अन्य ज्यामितीय समस्याओं के उदाहरण दिए गए हैं जिनके समाधान में चतुर्घात समीकरण को हल करना शामिल है।

कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण में, टोरस एक ऐसा आकार है जो आमतौर पर एंडमिल कटर से जुड़ा होता है। त्रिकोणीय सतह के सापेक्ष इसके स्थान की गणना करने के लिए, z- अक्ष पर एक क्षैतिज टोरस की स्थिति का पता लगाया जाना चाहिए। जहां यह एक निश्चित रेखा पर स्पर्शरेखा है, और इसकी गणना करने के लिए एक सामान्य चतुर्घाती समीकरण के हल की आवश्यकता होती है।

क्रास्ड लैडर समस्या को हल करने की प्रक्रिया में एक चतुर्घाती समीकरण भी उत्पन्न होता है, जिसमें दो क्रास्ड लैडर की लंबाई, प्रत्येक एक दीवार के खिलाफ और दूसरी के खिलाफ झुकी हुई होती है, उस ऊंचाई के साथ दी जाती है जिस पर वे पार करते हैं, और दीवारों के बीच की दूरी पता लगानी हैं।

प्रकाशिकी में, अलहज़ेन की समस्या इस प्रकार है कि एक प्रकाश स्रोत और एक गोलाकार दर्पण को देखते हुए, दर्पण पर उस बिंदु का पता लगाएं जहां प्रकाश एक पर्यवेक्षक की आंख पर प्रतिबिंबित होगा। यह एक चतुर्थक समीकरण का नेतृत्व करता है।

दो दीर्घवृत्त के निकटतम उपगमन की दूरी का पता लगाने में एक चतुर्घात समीकरण को हल करना शामिल है।

एक 4×4 आव्यूह (गणित) के इगेन मान ​​एक चतुर्घाती बहुपद के मूल हैं जो आव्यूह के विशिष्ट बहुपद है।

चौथे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण या अवकल समीकरण का अभिलाक्षणिक समीकरण एक चतुर्घात समीकरण है। किरणपुंज वंकन के टिमोचेंको-रेले सिद्धांत में इसका एक उदाहरण सामने आता है।

चतुर्घाती समीकरणों का उपयोग करके गोलाकार, सिलेंडर या अन्य चतुष्कोणों के प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) प्राप्त किये जा सकते है।

नतिपरिवर्तन बिंदु और स्वर्ण अनुपात

यहां F तथा G को चतुर्घाती फलन के ग्राफ के अलग-अलग नतिपरिवर्तन बिंदु होने दें और H, विभक्ति छेदक रेखा FG और चतुर्घाती का प्रतिच्छेदन हो, जो G के करीब हो F कि तुलना में, फिर G FH को स्वर्ण अनुपात में विभाजित करता हैं :

${\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{स्वर्ण अनुपात}}).$

इसके अलावा छेदक रेखा और छेदक रेखा के नीचे चतुर्घाती के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल छेदक रेखा के ऊपर के क्षेत्र और छेदक रेखा के ऊपर चतुर्घाती के बीच के क्षेत्र के बराबर होता है। उन क्षेत्रों में से एक को समान क्षेत्र के उप-क्षेत्रों में विभाजित किया गया है।

हल

मूलो की प्रकृति

सामान्य चतुर्घाती समीकरण दिया गया है-

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

वास्तविक गुणांक और a ≠ 0 के साथ इसके मूलो की प्रकृति मुख्य रूप से इसके विवेचक के चिन्ह से निर्धारित होती है

${\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}$ इसे चार अन्य बहुपदों के चिह्नों पर विचार करके परिष्कृत किया जा सकता है:

$P=8ac-3b^{2}$

ऐसा है कि P/8a² संबंधित अवनत चतुर्थ घात का दूसरा कोटि का गुणांक है (नीचे देखें );

$R=b^{3}+8da^{2}-4abc,$

ऐसा है कि R/8a³ संबंधित अवनत चतुर्थ घात का पहला कोटि का गुणांक है;

$\Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,$

जो कि 0 है यदि चतुर्थ घात के तिहरे मूल है; तथा

$D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}$

जो कि 0 है यदि क्वार्टिक के दो दोहरे मूल हैं।

मूलो की प्रकृति के संभावित मामले इस प्रकार हैं:

• यदि ∆ < 0 तब समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी अवास्तविक मूल होते हैं।
• यदि ∆ > 0 तब या तो समीकरण के चारों मूल वास्तविक हैं या कोई भी मूल वास्तविक नहीं है।
  • यदि P < 0 और D < 0 तो चारों मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
  • यदि P > 0 या D > 0 तो गैर-वास्तविक सम्मिश्र संयुग्मी मूलो के दो जोड़े हैं।
• यदि ∆ = 0 तब (और केवल तभी) बहुपद के अनेक मूल (गणित) होते है। यहां विभिन्न मामले हैं जो हो सकते हैं:
  • यदि P < 0 और D < 0 और ∆₀ ≠ 0, एक वास्तविक दोहरे मूल और दो वास्तविक सरल मूल हैं।
  • यदि D > 0 या (P > 0 और (D ≠ 0 या R ≠ 0)), एक वास्तविक दोहरे मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल हैं।
  • यदि ∆₀ = 0 तथा D ≠ 0, एक तिहरे मूल और एक साधारण मूल हैं, सभी वास्तविक हैं।
  • यदि D = 0, तब:
    • यदि P <0, दो वास्तविक दोहरे मूल हैं।
    • यदि P > 0 और R = 0, दो सम्मिश्र संयुग्मी दोहरे मूल हैं।
    • यदि ∆₀ = 0, चारों मूल बराबर हैं −b/4a

कुछ मामले ऐसे होते हैं जो इस प्रकार नहीं होते हैं, और वास्तव में वे घटित नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ∆₀ > 0, P = 0 और D ≤ 0 मामलों में से एक नहीं है। वास्तव में, अगर ∆₀ > 0 तथा P = 0 तब D > 0, चूंकि $16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2};$ इसलिए यह संमिश्रण संभव नहीं है।

मूलो के लिए सामान्य सूत्र

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ का समाधान पूरा लिखा हुआ। यह सूत्र सामान्य उपयोग के लिए ठीक नहीं है; इसलिए अन्य विधियों, या विशेष मामलों के लिए सरल सूत्रों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

चार मूल x₁, x₂, x₃, तथा x₄ सामान्य चतुर्घाती समीकरण के लिए

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,$

a ≠ 0 के साथ निम्नलिखित सूत्र में दिए गए हैं, जो चरों को वापस बदलकर (देखें § अवनत चतुर्थ घात में बदलना) और द्विघात और घन समीकरणों के सूत्रों का उपयोग करके फेरारी की विधि पर अनुभाग में से एक से घटाया गया है।

${\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}$

जहाँ पर p तथा q एक अवनत चतुर्घात में क्रमशः पहली और दूसरी घात के गुणांक हैं-

${\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}$

और जहाँ

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}$

(यदि S = 0 या Q = 0, § सूत्र के विशेष मामले नीचे देखें)

साथ

${\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}$

तथा

$\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,$ जहाँ पर $\Delta$ पूर्वोक्त विवेचक है। Q के लिए घनमूल अभिव्यक्ति के लिए, सम्मिश्र समतल में तीन घनमूलों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है, हालांकि यदि उनमें से एक वास्तविक है तो यह चुनने के लिए प्राकृतिक और सरलतम है। इन अंतिम चार पदों के गणितीय व्यंजक उनके घन फलन बीजगणितीय हल के समान हैं।

सूत्र की विशेष स्थितियाँ

• यदि $\Delta >0,$ $Q$ एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है। इस स्थिति में या तो सभी मूल अवास्तविक हैं या वे सभी वास्तविक हैं। बाद के मामले में, $S$ का मान भी वास्तविक है, $Q$ के संदर्भ में व्यक्त किए जाने के बावजूद, यह चतुर्घात के वर्तमान संदर्भ में विस्तारित घन फलन का एक अपरिवर्तनीय मौका है। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके, इसे विशुद्ध रूप से वास्तविक तरीके से व्यक्त करना पसंद कर सकते हैं:

$S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}$

जहाँ पर

$\varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).$

• यदि $\Delta \neq 0$ तथा $\Delta _{0}=0,$ ${\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}$ होने के लिए $Q\neq 0$ चुना जाना है वह परिभाषित करना चाहिए ${\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}$ जैसा $\Delta _{1},$ $\Delta _{1}$ का चिह्न बनाए रखे।
• यदि $S=0,$ तो घन मूल की पसंद को बदलना होगा $Q$ होने के लिए $S\neq 0.$ यह हमेशा संभव है, सिवाय इसके कि अगर चतुर्घात को $\left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}$ में गुणनखंड किया जा सकता है परिणाम तब सही है, लेकिन भ्रामक है क्योंकि यह इस तथ्य को छुपाता है कि इस मामले में घनमूल की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में यह मामला तभी हो सकता है जब $q$ का अंश शून्य हो, जिस स्थिति में संबद्ध अवनत चतुर्घात द्विवर्गीय है, इस प्रकार इसे नीचे वर्णित विधि से हल किया जा सकता है।
• यदि $\Delta =0$ तथा $\Delta _{0}=0$ और इस प्रकार भी $\Delta _{1}=0,$ कम से कम तीन मूल एक दूसरे के बराबर हैं, और मूल गुणांक के तर्कसंगत कार्य हैं। त्रिगुण मूल $x_{0}$ चतुर्घात की एक सामान्य मूल और इसका दूसरा व्युत्पन्न है $2(6ax^{2}+3bx+c);$ इस प्रकार यह अपने दूसरे व्युत्पन्न द्वारा चतुर्घाती के यूक्लिडियन विभाजन के शेष के अनूठे मूल भी है, जो एक रैखिक बहुपद है। जिसे साधारण मूल $x_{1}$ से निकाला जा सकता है-$x_{1}+3x_{0}=-b/a.$
• यदि $\Delta =0$ तथा $\Delta _{0}\neq 0,$ मूलो के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति सही है लेकिन भ्रामक है, इस तथ्य को छिपाते हुए कि बहुपद अलघुकरणीय बहुपद है और मूलो का प्रतिनिधित्व करने के लिए किसी घनमूल की आवश्यकता नहीं है।

सरल मामले

कम करने योग्य चतुर्घात

सामान्य चतुर्घाती पर विचार करें-

$Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$

यह कम करने योग्य है यदि Q(x) = R(x)×S(x), जहाँ पर R(x) तथा S(x) तर्कसंगत संख्या गुणांक वाले गैर-निरंतर बहुपद हैं (या आमतौर पर एक ही क्षेत्र (गणित) में गुणांक के साथ गुणांक के रूप में) Q(x))। इस तरह का कारककरण दो रूपों में से एक होगा:

$Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})$

या

$Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).$

किसी भी मामले में, Q(x) के मूल गुणनखंडों के मूल हैं, जिनकी गणना किसी द्विघात फलन या घन फलन के मूलों के सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है।

इस तरह के गुणनखंडों के अस्तित्व का पता लगाने के लिए Q(x) के विलायक घनमूल का उपयोग किया जा सकता है। परिणाम यह निकला:

• अगर हम R पर काम कर रहे हैं (अर्थात, यदि गुणांक वास्तविक संख्या तक ही सीमित हैं) (या, अधिक सामान्यतः कुछ वास्तविक बंद क्षेत्र पर) तो हमेशा ऐसा गुणनखंड होता है;
• अगर हम Q पर काम कर रहे हैं (अर्थात, यदि गुणांक परिमेय संख्याओं तक ही सीमित हैं) तो यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिथम है या नहीं Q(x) कम करने योग्य है और, यदि है, तो इसे छोटी घात के बहुपदों के उत्पाद के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए।

वास्तव में, चतुर्घाती समीकरणों को हल करने के कई तरीके ( फेरारी की विधि, डेसकार्टेस की विधि और कुछ हद तक यूलर की विधि) ऐसे गुणनखंडों के हल प्राप्त करने पर आधारित हैं।

द्विवर्गीय समीकरण

यदि a₃ = a₁ = 0 तो चतुर्घात फलन

$Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}\,\!$

चतुर्घात समीकरण को परिभाषित करता है, जिसे हल करना आसान है।

माना सहायक चर z = x² ।

फिर Q(x) एक द्विघात फलन बन जाता है q में z: q(z) = a₄z² + a₂z + a₀। माना z₊ तथा z₋ q(z) के मूल हैं, तो हमारे चतुर्घात फलन Q(x) के मूल इस प्रकार हैं-

${\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}$

अर्द्ध मुरजबंध संबंधी समीकरण

बहुपद

$P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}$

के रूप में लगभग मुरजबंध संबंधी है P(mx) = x⁴/m²P(m/x) (यह मुरजबंध संबंधी है अगर m = 1) चरों में परिवर्तन z = x + m/x में P(x)/x² = 0 द्विघात समीकरण उत्पन्न करता है a₀z² + a₁z + a₂ − 2ma₀ = 0 तब x² − xz + m = 0, चतुर्थक समीकरण P(x) = 0 द्विघात सूत्र का दो बार प्रयोग करके हल किया जा सकता है।

समाधान के तरीके

एक अवनत चतुर्घात में परिवर्तित होना

समीकरणों को हल करने के लिए, चर में निम्नलिखित सरल परिवर्तन से आमतौर पर चतुर्घात को अवनत चतुर्घात में परिवर्तित करना बेहतर होता है। सभी सूत्र सरल हैं और कुछ विधियाँ केवल इस मामले में काम करती हैं। चर के विपरीत परिवर्तन द्वारा मूल चतुर्घात की मूलो को अवनत चतुर्घात से आसानी से पुनर्प्राप्त किया जाता है।

माना कि,

$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

सामान्य चतुर्घाती समीकरण बनें जिसे हम हल करना चाहते हैं।

a₄ द्वारा विभाजित करने पर, समतुल्य समीकरण प्रदान करता है x⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, साथ b = a₃/a₄, c = a₂/a₄, d = a₁/a₄, तथा e = a₀/a₄.

स्थानापन्न y − b/4 के लिये x शर्तों को फिर से समूहीकृत करने के बाद, समीकरण देता है y⁴ + py² + qy + r = 0,

जहाँ पर-

${\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}$

यदि y₀ इस अवनत चतुर्घात के मूल है, फिर y₀ − b/4 (वह है y₀ − a₃/4a₄) मूल चतुर्घात की मूल है और मूल चतुर्घात के सभी मूलो के परिणाम इस प्रक्रिया से प्राप्त किए जा सकते है।

फेरारी का समाधान

जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, हम अवनत चतुर्घात समीकरण से शुरू कर सकते हैं-

$y^{4}+py^{2}+qy+r=0.$

लोदोविको फेरारी द्वारा खोजी गई विधि के माध्यम से इस अवनत चतुर्घाती समीकरण को हल किया जा सकता है। अवनत समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है (यह आसानी से वर्ग का विस्तार करके और बाईं ओर सभी शब्दों को पुनर्समूहित करके सत्यापित किया जाता है)

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.$

फिर, हम दोनों पक्षों में 2y²m + pm + m² जोड़कर बाईं ओर के कारक में एक चर m का परिचय देते हैं। y की घात के गुणांकों को दाहिनी ओर पुनर्समूहित करने के बाद, यह समीकरण देता है-

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=2my^{2}-qy+m^{2}+mp+{\frac {p^{2}}{4}}-r,$

(1)

जो मूल समीकरण के समतुल्य है, जो भी मान m के लिए दिया गया हो।

चूँकि m का मान अनिश्चित ढंग से चुना जा सकता है, हम इसे दाहिनी ओर के वर्ग को पूरा करने के लिए चुनेंगे। इसका तात्पर्य है कि इस द्विघात समीकरण वाला y में विविक्तकर शून्य है, अर्थात m समीकरण का मूल है-

$(-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,$

जिसे इस प्रकार से भी लिखा जा सकता है-

$8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.$

(1a)

यह चतुर्घाती समीकरण का साधक त्रिघाती है। m का मान इस प्रकार कार्डानो के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। जब m इस समीकरण का मूल है, समीकरण (1) का दाहिना पक्ष वर्ग है-

$\left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.$

हालाँकि, यह यदि m = 0 होने पर शून्य से एक विभाजन को प्रेरित करता है। इसका तात्पर्य q = 0 हैं , और इस प्रकार अवनत समीकरण द्वि-द्विघात है, और इसे एक आसान विधि से हल किया जा सकता है (ऊपर देखें)। यह फेरारी के समय में कोई समस्या नहीं थी, जब केवल संख्यात्मक गुणांक वाले स्पष्ट रूप से दिए गए समीकरणों को हल किया जाता था। एक सामान्य सूत्र के लिए जो हमेशा सत्य होता है, इस प्रकार किसी को घन समीकरण के मूल चुनने की आवश्यकता होती है m ≠ 0। अवनत समीकरण y⁴ = 0 को छोड़कर यह हमेशा संभव है।

अब अगर m घन समीकरण का एक मूल है जैसे कि m ≠ 0, समीकरण (1) इस प्रकार बन जाता हैं -

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.$

यह समीकरण M² = N² के रूप का है, जिसे M² − N² = 0 या (M + N)(M − N) = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, समीकरण (1) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है-

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.$

द्विघात सूत्र को प्रत्येक कारक पर लागू करके इस समीकरण को आसानी से हल किया जाता है। इन्हें हल करते हुए हम चार मूलों को इस प्रकार लिख सकते हैं

$y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},$

जहाँ पर ±₁ तथा ±₂, + या − को निरूपित करें जैसा कि ±1 की दो घटनाओं को एक ही संकेत को निरूपित करना चाहिए, यह चार संभावनाएँ छोड़ता है, प्रत्येक मूल के लिए एक।

इसलिए, मूल चतुर्घाती समीकरण के समाधान हैं-

$x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}$

उपरोक्त सामान्य सूत्र के साथ तुलना से पता चलता है √2m = 2S।

डेसकार्टेस 'समाधान

डेसकार्टेस 1637 में एक चतुर्घाती बहुपद के मूलो को खोजने की विधि को दो द्विघात वाले में विभाजित करके पेश किया।

माना,

${\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}$

गुणांकों को समान करके, समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली में इसका परिणाम होता है:

$\left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.$

1. अवनत चतुर्घात y⁴ + py² + qy + r के साथ फिर से शुरू करके इसे सरल बनाया जा सकता है, जिसे y − b/4 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है x के लिए, y³ का गुणांक 0 हैं , हम पाते हैं s = −u, तथा:

$\left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.$

कोई निम्नलिखित कार्य करके t तथा v निम्नलिखित दोनों को समाप्त कर सकता हैं:

${\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}$

अगर हम सेट करते हैं U = u², तो इस समीकरण को हल करने से साधक त्रिघाती के मूल ज्ञात हो जाते हैं

$U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2},$

(2)

जो अन्यत्र किया जाता है। यह विलायक घनमूल ऊपर दिए गए साधक त्रिघाती (समीकरण (1a)) के बराबर है, जैसा कि U = 2m को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है।

यदि u इस विलायक के गैर-शून्य मूल का एक वर्गमूल है (ऐसा गैर-शून्य मूल चतुर्घात x⁴ को छोड़कर मौजूद है, जो तुच्छ रूप से कारक है),

$\left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.$

इस समाधान में समरूपता इस प्रकार है। त्रिघाती के तीन मूल हैं, तीन तरीकों से संबंधित है कि एक चतुर्घात को दो द्विघात में विभाजित किया जा सकता है और u के वर्गमूल के लिए U के धनात्मक या ऋणात्मक मानों को चुनना केवल एक दूसरे के साथ दो द्विघात का आदान-प्रदान करता है।

उपरोक्त समाधान से पता चलता है कि परिमेय गुणांक के साथ एक चतुर्घात बहुपद और त्रिघातीय शब्द पर शून्य गुणांक परिमेय गुणांक वाले द्विघात में कारक है यदि और केवल यदि या तो साधक त्रिघाती (2) का शून्येतर मूल है जो परिमेय का वर्ग है, या p² − 4r परिमेय का वर्ग है और q = 0; इसे परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करके आसानी से पता किया जा सकता है।

यूलर का समाधान

पिछली पद्धति का एक प्रकार लियोनहार्ड यूलर के कारण है। पिछले तरीकों के विपरीत, जिनमें से दोनों साधक त्रिघाती के कुछ मूलो का उपयोग करते हैं, यूलर की विधि उन सभी का उपयोग करती है। एक अवनत चतुर्घात पर विचार करें x⁴ + px² + qx + r । ध्यान दें कि, यदि

• x⁴ + px² + qx + r = (x² + sx + t)(x² − sx + v),
• r₁ तथा r₂, x² + sx + t के मूल हैं,
• r₃ तथा r₄, x² − sx + v के मूल हैं,

फिर

• x⁴ + px² + qx + r के मूल r₁, r₂, r₃, तथा r₄ हैं ,
• r₁ + r₂ = −s,
• r₃ + r₄ = s.

इसलिए, (r₁ + r₂)(r₃ + r₄) = −s²। दूसरे शब्दों में, −(r₁ + r₂)(r₃ + r₄) विलायक घनमूल के मूलो में से एक है (2) और इससे पता चलता है कि घन के मूल बराबर हैं −(r₁ + r₂)(r₃ + r₄), −(r₁ + r₃)(r₂ + r₄) तथा −(r₁ + r₄)(r₂ + r₃)। यह वास्तव में सच है और यह वीटा के सूत्रों का अनुसरण करता है। यह वीटा के सूत्र से भी निकलता है, इस तथ्य के साथ कि हम एक अवनत चतुर्घात के साथ काम कर रहे हैं, कि r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = 0। (बेशक, यह इस तथ्य से भी निकलता है कि r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = −s + s।) इसलिए, यदि α, β, तथा γ विलायक घनमूल के मूल हैं, फिर संख्याएं r₁, r₂, r₃, तथा r₄ ऐसे हैं-

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.$

यह पहले दो समीकरणों का परिणाम है r₁ + r₂ का वर्गमूल है α और कि r₃ + r₄ का अन्य वर्गमूल है α. एक ही कारण के लिए,

• r₁ + r₃ का वर्गमूल है β,
• r₂ + r₄ का अन्य वर्गमूल है β,
• r₁ + r₄ का वर्गमूल है γ,
• r₂ + r₃ का अन्य वर्गमूल है γ.

इसलिए, संख्याएँ r₁, r₂, r₃, तथा r₄ ऐसे हैं

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.$

वर्गमूल के चिह्न के बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। इस प्रणाली का एकमात्र समाधान है:

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.$

चूंकि, सामान्य तौर पर, प्रत्येक वर्गमूल के लिए दो विकल्प होते हैं, ऐसा लग सकता है कि यह प्रदान करता है कि सेट {r1, r2, r3, r4} के लिए 8 (= 2³) विकल्प प्रदान करता है, लेकिन वास्तव में, यह इससे अधिक प्रदान नहीं करता है 2 इस तरह के विकल्प, क्योंकि सममित एक द्वारा वर्गमूलों में से एक को बदलने का परिणाम यह है कि सेट {r₁, r₂, r₃, r₄} समुच्चय बन जाता है {−r₁, −r₂, −r₃, −r₄}.

वर्गमूल का सही चिह्न निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक संख्या α, β, तथा γ के लिए बस कुछ वर्गमूल चुनता है और पिछली समानता से संख्याओं की गणना करने के लिए r₁, r₂, r₃, तथा r₄ का उपयोग करता है। फिर, एक संख्या √α√β√γ की गणना करता है। चूंकि तब से α, β, तथा γ के मूल हैं (2), यह वीटा के सूत्रों का परिणाम है कि उनका उत्पाद q² के बराबर है और इसलिए वह √α√β√γ = ±q। लेकिन एक सीधी गणना से पता चलता है-

√α√β√γ = r₁r₂r₃ + r₁r₂r₄ + r₁r₃r₄ + r₂r₃r₄.

यदि यह संख्या है −q, तब वर्गमूल का चुनाव अच्छा था (फिर से, वीटा के सूत्रों द्वारा); अन्यथा, बहुपद के मूल होंगे −r₁, −r₂, −r₃, तथा −r₄, यदि वर्गमूलों में से किसी एक को सममित एक से बदल दिया जाए (या, क्या समान है, यदि तीन वर्गमूलों में से प्रत्येक को सममित एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है)।

यह तर्क वर्गमूल चुनने का एक और तरीका सुझाता है:

• α का कोई भी वर्गमूल √α और β का कोई भी वर्गमूल √β चुनें,
• परिभाषित करना √γ जैसा $-{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}$.

इसका कोई मतलब नहीं होगा अगर α या β 0 के बराबर है, लेकिन 0 केवल (2) का एक मूल है जब q = 0, केवल जब हम द्विवर्गीय समीकरण के साथ काम कर रहे हों, उस स्थिति में एक बहुत ही आसान तरीका।

लैग्रेंज रिसॉल्वेंट द्वारा समाधान

चार तत्वों पर सममित समूह S₄ सामान्य उपसमूह के रूप में क्लेन चार-समूह है। यह एक विलायक घनमूल का उपयोग करने का सुझाव देता है जिनके मूलो को असतत फूरियर रूपांतरण या मूलो के हैडमार्ड सारणी रूपांतरण के रूप में विभिन्न रूप से वर्णित किया जा सकता है; सामान्य विधि के लिए लग्रेंज रिसॉल्वेंट देखें। 0 से 3 तक, x⁴ + bx³ + cx² + dx + eे के चार मूलों को xi से निरूपित करें। अगर हम सेट करते हैं

${\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}$

तब चूंकि परिवर्तन एक अंतर्वलन (गणित) है, हम मूलो को चार s_i के संदर्भ में ठीक उसी तरह व्यक्त कर सकते हैं। चूंकि हम s₀ = −b/2 का मान जानते हैं, हमें केवल s₁, s₂ तथा s₃ इसके मानों की आवश्यकता है, ये बहुपद के मूल हैं-

$(s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).$

xi के पद में s_i को उनके मानों से प्रतिस्थापित करके, इस बहुपद s में एक बहुपद में विस्तारित किया जा सकता है जिसके गुणांक xi में सममित बहुपद हैं। सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय द्वारा, इन गुणांकों को मोनिक चतुर्घात के गुणांकों में बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अगर, सरलीकरण के लिए, हम मानते हैं कि अवनत चतुर्घात है, यानी b = 0, इसका परिणाम बहुपद में होता है-

$s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}$

(3)

यह बहुपद छह घात का है, लेकिन s² में केवल तीन घात का है, और इसलिए घन फलन के बारे में आलेख में वर्णित विधि द्वारा संबंधित समीकरण हल करने योग्य है। x_i के व्यंजक में मूलों को s_i, के पदों में रखने पर हमें मूलों का व्यंजक प्राप्त होता है। स्पष्ट रूप से, हमें कई व्यंजक प्राप्त होते हैं, जो घन बहुपद के मूलों की संख्या और उनके वर्गमूलों को दिए गए चिह्नों पर निर्भर करते हैं। इन सभी विभिन्न व्यंजकों को केवल x_i की संख्या बदलकर उनमें से किसी एक से निकाला जा सकता है।

ये भाव अनावश्यक रूप से जटिल हैं, जिनमें एकता के घन मूल शामिल है, जिसे निम्नानुसार टाला जा सकता है। यदि s का कोई अशून्य मूल है (3), और यदि हम सेट करते हैं-

${\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}$

फिर

$F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.$

इसलिए हम s को हल करके और फिर द्विघात सूत्र का उपयोग करके दो कारकों के मूलो को हल करके चतुर्घात को हल कर सकते हैं।

यह मूलो के लिए ठीक वही सूत्र देता है जो डेसकार्टेस विधि द्वारा प्रदान किया गया है।

बीजगणितीय ज्यामिति के साथ हल करना

बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग कर एक वैकल्पिक समाधान है संक्षेप में, कोई मूलो को दो द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन के रूप में व्याख्या करता है, फिर तीन कम करने योग्य द्विघात वक्रों (रेखाओं के जोड़े) का पता लगाता है जो इन बिंदुओं से होकर गुजरता है (यह विलायक घनमूल से मेल खाता है, रेखाओं के जोड़े लग्रेंज विलायक होते हैं), और फिर द्विघात को हल करने के लिए इन रैखिक समीकरणों का उपयोग करें।

अवनत चतुर्घात के चार मूल x⁴ + px² + qx + r = 0 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है x दो द्विघात समीकरणों के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक y² + py + qx + r = 0 तथा y − x² = 0 यानी, प्रतिस्थापन का उपयोग करना y = x² कि दो द्विघात चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, बेज़ाउट के प्रमेय का एक उदाहरण है। स्पष्ट रूप से, चार बिंदु हैं P_i ≔ (x_i, x_i²) चार मूलो के लिए x_i चतुर्घात का।

ये चार बिंदु संरेख नहीं हैं क्योंकि ये अलघुकरणीय द्विघात पर स्थित हैं y = x² और इस प्रकार इन बिंदुओं से गुजरने वाला द्विघात (वक्रों का एक पेंसिल) का 1-पैरामीटर परिवार है। तीन चरों में द्विघात रूपों के रूप में दो द्विघातों के प्रक्षेपण को लिखना:

${\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}$

प्रक्षेपी रेखा में किसी भी बिंदु λF₁ + μF₂ के लिए पेंसिल [λ, μ] रूपों द्वारा दिया जाता है - दूसरे शब्दों में, जहां λ तथा μ दोनों शून्य नहीं हैं, और एक द्विघात रूप को एक स्थिरांक से गुणा करने से इसका द्विघात वक्र नहीं बदलता है शून्य का।

इस पेंसिल में तीन कम करने योग्य द्विघात होते हैं, जिनमें से प्रत्येक रेखाओं की एक जोड़ी के अनुरूप होता है, प्रत्येक चार बिंदुओं में से दो से होकर गुजरता है, जिसे किया जा सकता है $\textstyle {\binom {4}{2}}$ = 6 विभिन्न तरीके। इन्हें निरूपित करें Q₁ = L₁₂ + L₃₄, Q₂ = L₁₃ + L₂₄, तथा Q₃ = L₁₄ + L₂₃. इनमें से किन्हीं दो को देखते हुए, उनके प्रतिच्छेदन के ठीक चार बिंदु हैं।

कम करने योग्य द्विघात, बदले में, द्विघात रूप λF₁ + μF₂ को 3×3 सारणी के रूप में व्यक्त करके निर्धारित किया जा सकता है। कम करने योग्य द्विघात इस सारणी के एकवचन होने के अनुरूप है, जो इसके निर्धारक के शून्य होने के बराबर है, और निर्धारक एक सजातीय घात तीन बहुपद है λ तथा μ और विलायक घनमूल के अनुरूप है।

यह भी देखें

• रेखीय फलन - रेखीय मानचित्र या घात एक का बहुपद फलन
• द्विघात फलन - घात दो का बहुपद फलन
• घन फलन - घात 3 का बहुपद फलन
• क्विंटिक फलन - घात 5 का बहुपद फलन

अग्रिम पठन

• Carpenter, W. (1966). "On the solution of the real quartic". Mathematics Magazine. 39 (1): 28–30. doi:10.2307/2688990. JSTOR 2688990.
• Yacoub,M.D.; Fraidenraich, G. (July 2012). "A solution to the quartic equation". Mathematical Gazette. 96: 271–275. doi:10.1017/s002555720000454x. S2CID 124512391.

बाहरी संबंध

• Quartic formula as four single equations at PlanetMath.
• Ferrari's achievement