संख्यात्मक विश्लेषण: Difference between revisions

Latest revision as of 10:32, 4 September 2023

बाबुलियन क्ले टैबलेट YBC 7289 (c। 1800–1600 ईसा पूर्व) एनोटेशन के साथ।2 के वर्गमूल का अनुमान चार सेक्सजैमिमल आंकड़े हैं, जो लगभग छह दशमलव आंकड़े हैं।1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³= 1.41421296 ...^[1]

संख्यात्मक विश्लेषण कलन विधि का अध्ययन है जो गणितीय विश्लेषण की समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक अनुमानों (प्रतीकात्मक जोड़तोड़ के विपरीत) का उपयोग करता है (असतत गणित से अलग)। यह संख्यात्मक तरीकों का अध्ययन है जो सटीक समाधान के बजाय समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने का प्रयास करता है। संख्यात्मक विश्लेषण अभियांत्रिकी और भौतिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में लागू होता है, और 21 वीं सदी में भी जीवन और सामाजिक विज्ञान, चिकित्सा, व्यवसाय और यहां तक कि कला भी। कंप्यूटिंग शक्ति में मौजूदा वृद्धि ने विस्तृत और यथार्थवादी गणितीय मॉडल प्रदान करते हुए विज्ञान और इंजीनियरिंग में अधिक जटिल संख्यात्मक विश्लेषण के उपयोग को सक्षम किया है। संख्यात्मक विश्लेषण के उदाहरणों में सामान्य अंतर समीकरण शामिल हैं जैसा कि खगोलीय यांत्रिकी (ग्रहों, सितारों और आकाशगंगाओं की गति की भविष्यवाणी), डेटा विश्लेषण में संख्यात्मक रैखिक बीजगणित,^[2]^[3]^[4] और दवा और जीव विज्ञान में जीवित कोशिकाओं के अनुकरण के लिए स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण और मार्कोव श्रृंखलाओं में पाया जाता है।

आधुनिक कंप्यूटरों से पहले, संख्यात्मक तरीके अक्सर बड़े मुद्रित तालिकाओं के डेटा का उपयोग करते हुए, हस्त प्रक्षेप सूत्रों पर निर्भर करते थे। 20वीं सदी के मध्य से, कंप्यूटर इसके बजाय आवश्यक कार्यों की गणना करते हैं, लेकिन सॉफ्टवेयर कलन विधि में एक ही तरह के कई सूत्रों का उपयोग जारी है।^[5]

संख्यात्मक दृष्टिकोण प्रारंभिक गणितीय लेखन पर वापस जाता है। येल बेबीलोनियाई संग्रह (वाईबीसी/YBC 7289) से एक टैबलेट 2 के वर्गमूल का साठवाँ (sexagesimal) अनुमानित देता है, जो एक इकाई वर्ग में एक विकर्ण की लंबाई है।

संख्यात्मक विश्लेषण इस परंपरा को जारी रखता है: अंकों में अनुवादित सटीक प्रतीकात्मक उत्तर देने और केवल वास्तविक दुनिया के माप के लिए लागू होने के बजाय, निर्दिष्ट त्रुटि श्रेणियों के भीतर अनुमानित समाधानों का उपयोग किया जाता है।

सामान्य परिचय

संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र का समग्र लक्ष्य कठिन समस्याओं के पूर्वानुमान योग्य लेकिन सटीक समाधान प्रदान करने के लिए तकनीकों का डिजाइन और विश्लेषण है, जिनमें से कई प्रकार निम्नलिखित हैं:

संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान को व्यवहार्य बनाने के लिए, उन्नत संख्यात्मक विधियों की आवश्यकता होती है।
एक अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपवक्र की गणना के लिए सरल अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के सटीक संख्यात्मक समाधान की आवश्यकता होती है।
कार कंपनियां कार दुर्घटनाओं के कंप्यूटर अनुकरण का उपयोग कर अपने वाहनों की दुर्घटना सुरक्षा में सुधार कर सकती हैं। इस तरह के अनुकरण में अनिवार्य रूप से संख्यात्मक रूप से आंशिक अंतर समीकरणों को हल करना शामिल है।
हेज फंड (निजी निवेश फंड) अन्य बाजार सहभागियों के सापेक्ष स्टॉक और डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण के सभी क्षेत्रों से उपकरणों का उपयोग करते हैं।
एयरलाइंस टिकट की कीमतों, हवाई जहाज और क्रू असाइनमेंट और ईंधन की जरूरतों को तय करने के लिए परिष्कृत अनुकूलन एल्गोरिदम का उपयोग करती हैं। ऐतिहासिक रूप से, ऐसे एल्गोरिदम संचालन अनुसंधान के अतिव्यापी क्षेत्र के भीतर विकसित किए गए हैं।
बीमा कंपनियां बीमांकिक विश्लेषण करने के लिए संख्यात्मक कार्यक्रमों का इस्तेमाल करती हैं।

इस खंड के शेष भाग में संख्यात्मक विश्लेषण के कई महत्वपूर्ण विषयों की रूपरेखा है।

इतिहास

संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र कई सहस्राब्दियों से आधुनिक कंप्यूटरों के आविष्कार की भविष्यवाणी करता है। रेखीय प्रक्षेपण 2000 वर्षों से अधिक समय से उपयोग में था। अतीत के कई महान गणितज्ञ संख्यात्मक विश्लेषण में लगे हुए थे,^[5] जैसा कि न्यूटन की विधि, लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद, गाऊसी उन्मूलन, या यूलर की विधि जैसे महत्वपूर्ण कलन विधि के नामों से प्रमाणित है।

हाथ से गणना की सुविधा के लिए, बड़ी पुस्तकों का निर्माण सूत्रों और डेटा की तालिकाओं जैसे कि प्रक्षेप बिंदुओं और फ़ंक्शन गुणांक के साथ किया गया था। इन तालिकाओं का उपयोग करते हुए, कुछ फ़ंक्शन के लिए अक्सर 16 दशमलव स्थानों या उससे अधिक की गणना की जाती है, कोई दिए गए फ़ार्मुलों में प्लग इन करने के लिए मानों को देख सकता है और कुछ फ़ंक्शन के बहुत अच्छे संख्यात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। क्षेत्र में विहित कार्य एनआईएसटी (NIST) प्रकाशन है, जिसे अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन द्वारा संपादित किया गया है, जो 1000 से अधिक पृष्ठ की पुस्तक है जिसमें बड़ी संख्या में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सूत्र और कार्य और कई बिंदुओं पर उनके मूल्य शामिल हैं। कंप्यूटर के उपलब्ध होने पर समीकरण मान अब बहुत उपयोगी नहीं होते हैं, लेकिन समीकरणों की बड़ी सूचियाँ अभी भी बहुत उपयोगी हो सकती हैं।

हाथ की गणना के लिए एक उपकरण के रूप में यांत्रिक कैलकुलेटर भी विकसित किए गए थे। 1940 के दशक में ये कैलकुलेटर इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर में विकसित हुए और तब यह पाया गया कि ये कंप्यूटर प्रशासनिक उद्देश्यों के लिए भी उपयोगी थे। लेकिन कंप्यूटर के आविष्कार ने संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र को भी प्रभावित किया,^[5] क्योंकि अब अधिक जटिल गणनाएं की जा सकती थीं।

प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त विधियाँ

समस्या समाधान के बारे में सोचें

3x³ + 4 = 28

अज्ञात मात्रा के लिए x

प्रत्यक्ष विधि
	3x³ + 4 = 28.
व्यवकलन 4	3x³ = 24.
3 द्वारा विभाजित	x³ = 8.
घनमूल लें	x = 2.

पुनरावृत्त विधि के लिए, द्विभाजन विधि को f(x) = 3x³- 24 में लागू करें। प्रारंभिक मान हैं a = 0, b = 3, f(a) = -24, f(b) = 57

पुनरावृति विधि
a	b	mid	f(mid)
0	3	1.5	−13.875
1.5	3	2.25	10.17...
1.5	2.25	1.875	−4.22...
1.875	2.25	2.0625	2.32...

इस तालिका से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समाधान 1.875 और 2.0625 के बीच है। कलन विधि 0.2 से कम की त्रुटि के साथ उस सीमा में किसी भी संख्या को वापस कर सकता है।

युक्तिकरण और संख्यात्मक एकीकरण

ईमानदार = 0.6

दो घंटे की दौड़ में कार की गति को तीन समय के क्षण में मापा जाता है और इसे निम्न तालिका में दर्ज किया जाता है।

Time	0:20	1:00	1:40
km/h	140	150	180

युक्तिकरण का कहना होगा कि कार की गति 0:00 से 0:40 तक, फिर 0:40 से 1:20 तक और अंत में 1:20 से 2:00 तक स्थिर रही। उदाहरण के लिए, पहले 40 मिनट में तय की गई कुल दूरी लगभग (2/3 घंटे × 140 किमी / घंटा) = 93.3 किमी है। यह हमें 93.3 किमी + 100 किमी + 120 किमी = 313.3 किमी के रूप में यात्रा की गई कुल दूरी का अनुमान लगाने की अनुमति देगा, जो विस्थापन वेग के रूप में रीमैन योग का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण (नीचे देखें) का एक उदाहरण है क्योंकि विस्थापन वेग एक अभिन्न अंग है।

कुप्रतिबंधित समीकरण: फलन लें f(x) = 1/(x - 1)। ध्यान दें कि f(1.1) = 10 और f(1.001) = 1000: x में 0.1 से कम का परिवर्तन लगभग 1000 के f(x) में परिवर्तन में तब्दील हो जाता है। x = 1 के पास f(x) का मूल्यांकन एक मिथ्या स्थिति वाली समस्या है ।

सुपरिभाषित समीकरण: इसके विपरीत, निकट-समरूप फलन f(x) = 1/(x - 1) से x = 10 का मूल्यांकन करना एक समस्या है। उदाहरण के लिए, f(10) = 1/9 0.111 और f(11) = 0.1: x में थोड़ा सा परिवर्तन f(x) में मामूली परिवर्तन का कारण बनता है।

प्रत्यक्ष विधियाँ किसी समस्या के समाधान की गणना सीमित चरणों में करती हैं। यदि इन विधियों को अनंत परिशुद्धता अंकगणित में किया जाता है तो वे सटीक उत्तर देंगे। उदाहरणों में गाऊसी उन्मूलन, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्यूआर कारककरण (QR factorization) विधि और रैखिक प्रोग्रामिंग की सरल विधि शामिल हैं। व्यवहार में, परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है और परिणाम वास्तविक समाधान का एक सन्निकटन होता है (स्थिर मानकर)।

प्रत्यक्ष विधियों के विपरीत, पुनरावृत्त विधियों से चरणों की एक सीमित संख्या में समाप्त होने की उम्मीद नहीं की जाती है। प्रारंभिक अनुमान से शुरू होकर, पुनरावृत्त विधियाँ क्रमिक अनुमान बनाती हैं जो केवल सीमा में ही सटीक समाधान में परिवर्तित होती हैं। एक अभिसरण परीक्षण, जिसमें अक्सर अवशिष्ट शामिल होते हैं, यह निर्धारित करने के लिए निर्दिष्ट किया जाता है कि कब (उम्मीद है) एक पर्याप्त सटीक समाधान मिल गया है। यहां तक कि अनंत सटीक अंकगणित का उपयोग करके भी ये विधियां सीमित संख्या में चरणों (सामान्य रूप से) के भीतर समाधान तक नहीं पहुंचेंगी। उदाहरणों में शामिल हैं न्यूटन की विधि, द्विभाजन विधि और जैकोबी पुनरावृत्ति। कम्प्यूटेशनल मैट्रिक्स बीजगणित में, बड़ी समस्याओं के लिए आम तौर पर पुनरावृत्ति विधियों की आवश्यकता होती है।^[6]^[7]^[8]^[9] संख्यात्मक विश्लेषण में प्रत्यक्ष विधियों की तुलना में पुनरावृत्त विधियां अधिक सामान्य हैं।

कुछ विधियां सैद्धांतिक रूप से प्रत्यक्ष होती हैं लेकिन आमतौर पर उनका उपयोग ऐसे किया जाता है जैसे वे नहीं थे, उदाहरण, जीएमआरईएस (GMRES) और संयुग्म अनुपात विधि। इन विधियों के लिए, सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए आवश्यक चरणों की संख्या इतनी बड़ी है कि एक सन्निकटन को उसी तरह स्वीकार किया जाता है जैसे कि एक पुनरावृत्त विधि के लिए।

असंततकरण

इसके अलावा, निरंतर समस्याओं को कभी-कभी एक असतत समस्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसका समाधान निरंतर समस्या के समाधान के अनुमान के लिए जाना जाता है, यह प्रक्रिया 'विघटन' कहलाती है। उदाहरण के लिए, एक अंतर समीकरण का समाधान एक समीकरण है। इस समीकरण को डेटा की एक सीमित मात्रा द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, इसके डोमेन पर इसके मूल्यों की एक सीमित संख्या द्वारा, भले ही यह डोमेन एक निरंतरता है।

त्रुटियों की उत्पत्ति और प्रसार

त्रुटियों का अध्ययन संख्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण अंग है। किसी समस्या को हल करने के लिए त्रुटि को पेश करने के कई तरीके हैं।

निकटन-त्रुटि (Round-off)

निकटन-त्रुटियां उत्पन्न होती हैं क्योंकि परिमित स्मृति (अर्थात सभी व्यावहारिक डिजिटल कंप्यूटर) वाली मशीन पर सभी वास्तविक संख्याओं का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करना असंभव है।

छिन्नकरण और असंततकरण त्रुटि

छिन्नकरण त्रुटियाँ तब होती हैं जब एक पुनरावृत्त विधि को समाप्त कर दिया जाता है या एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है और अनुमानित समाधान सटीक समाधान से भिन्न होता है। इसी तरह, असंततकरण एक असंततकरण त्रुटि पैदा करता है क्योंकि असतत समस्या का समाधान निरंतर समस्या के समाधान से मेल नहीं खाता है। ऊपर दिए गए उदाहरण में $3x^{3}+4=28$ के समाधान की गणना करने के लिए, दस पुनरावृत्तियों के बाद, परिकलित मूल लगभग 1.99 है। इसलिए, छिन्नकरण त्रुटि 0.01 है।

एक बार त्रुटि होने पर, इसे गणना के माध्यम से फैलाया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी कंप्यूटर पर ऑपरेशन + सही नहीं है। $a+b+c+d+e$ प्रकार की गणना और भी सटीक नहीं है।

जब एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है तो एक छिन्नन त्रुटि होती है। किसी समीकरण को सटीक रूप से एकीकृत करने के लिए, क्षेत्रों की एक अनंत राशि मिलनी चाहिए, लेकिन संख्यात्मक रूप से केवल क्षेत्रों का एक सीमित योग ही पाया जा सकता है, और इसलिए सटीक समाधान का अनुमान लगाया जा सकता है। इसी तरह, किसी समीकरण में अंतर करने के लिए, अंतर तत्व शून्य के करीब पहुंचता है, लेकिन संख्यात्मक रूप से अंतर तत्व का केवल एक गैर-शून्य मान चुना जा सकता है।

संख्यात्मक स्थिरता और सुविचारित समस्याएं

संख्यात्मक विश्लेषण में संख्यात्मक स्थिरता एक मान्यता है। एक कलन विधि को 'संख्यात्मक रूप से स्थिर' कहा जाता है यदि कोई त्रुटि, किसी भी कारण से, गणना के दौरान बहुत बड़ी नहीं होती है।^[10] यह तब होता है जब समस्या 'अच्छी तरह से सशर्त ' होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान केवल थोड़ी मात्रा में बदलता है यदि समस्या डेटा को थोड़ी मात्रा में बदल दिया जाता है।^[10] इसके विपरीत यदि कोई समस्या 'असभ्य' है, तो डेटा में कोई भी छोटी त्रुटि एक बड़ी त्रुटि बन जाएगी।^[10] मूल समस्या और उस समस्या को हल करने के लिए प्रयुक्त कलन विधि दोनों 'अच्छी तरह से सशर्त या 'कुप्रतिबंधित' हो सकते हैं, और कोई भी संयोजन संभव है।

तो कलन विधि जो एक सशर्त समीकरण को हल करता है, वह संख्यात्मक रूप से स्थिर या संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो सकता है। संख्यात्मक विश्लेषण की एक कला एक अच्छी तरह से प्रस्तुत गणितीय समस्या को हल करने के लिए एक स्थिर कलन विधि ढूंढना है। उदाहरण के लिए, 2 (जो लगभग 1.41421 है) के वर्गमूल की गणना करना एक अच्छी तरह से सामने आई समस्या है। कई एल्गोरिदम इस समस्या को प्रारंभिक सन्निकटन x₀ ${\sqrt {2}}$ से शुरू करके हल करते हैं, उदाहरण के लिए, x₀ = 1.4, और फिर बेहतर सन्निकटन x₁, x₂,, आदि की गणना करते हैं। ऐसी ही एक विधि प्रसिद्ध बेबीलोनियाई विधि है, जिसे x_k+1 = x_k/2 + 1/x_k. द्वारा दिया गया है। एक और विधि, जिसे 'method X' कहा जाता है। x_k+1 = (x_k² − 2)² + x_k द्वारा दिया गया है। प्रत्येक योजना के कुछ पुनरावृत्तियों की गणना नीचे दी गई तालिका में की जाती है, प्रारंभिक अनुमानों के साथ x₀ = 1.4 और x₀ = 1.42।

बेबीलोनियन	बेबीलोनियन	विधि X	विधि X
x₀ = 1.4	x₀ = 1.42	x₀ = 1.4	x₀ = 1.42
x₁ = 1.4142857...	x₁ = 1.41422535...	x₁ = 1.4016	x₁ = 1.42026896
x₂ = 1.414213564...	x₂ = 1.41421356242...	x₂ = 1.4028614...	x₂ = 1.42056...
		...	...
		x_1000000 = 1.41421...	x₂₇ = 7280.2284...

ध्यान दें कि बेबीलोन की विधि प्रारंभिक अनुमान की परवाह किए बिना जल्दी से परिवर्तित हो जाती है, जबकि विधि X प्रारंभिक अनुमान x₀ = 1.4 के साथ बहुत धीमी गति से परिवर्तित होती है और प्रारंभिक अनुमान x₀ = 1.42 के लिए अलग हो जाती है। इसलिए, बेबीलोनियन पद्धति संख्यात्मक रूप से स्थिर है, जबकि विधि X संख्यात्मक रूप से अस्थिर है।

संख्यात्मक स्थिरता मशीन के महत्वपूर्ण अंकों की संख्या से प्रभावित होती है। यदि एक मशीन का उपयोग किया जाता है जिसमें केवल चार सबसे महत्वपूर्ण दशमलव अंक होते हैं, तो महत्व के नुकसान का एक अच्छा उदाहरण दो समकक्ष कार्यों द्वारा दिया जा सकता है।

f(x)=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)

तथा

g(x)={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}.

के परिणामों की तुलना

f(500)=500\left({\sqrt {501}}-{\sqrt {500}}\right)=500\left(22.38-22.36\right)=500(0.02)=10

तथा

{\begin{alignedat}{3}g(500)&={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}\\&={\frac {500}{22.38+22.36}}\\&={\frac {500}{44.74}}=11.17\end{alignedat}}

उपरोक्त दो परिणामों की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि महत्व का नुकसान (घटाव एक सटीक गणना होने के बावजूद, आसन्न संख्या

{\sqrt {501}}

और ${\sqrt {500}}$ के सन्निकटन को कम करके विपत्तिपूर्ण निरस्तीकरण के कारण) परिणामों पर एक बड़ा प्रभाव डालता है, भले ही दोनों कार्य समकक्ष हैं जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

{\begin{alignedat}{4}f(x)&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)\\&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right){\frac {{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {x+1-x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {1}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=g(x)\end{alignedat}}

वांछित मान 11.174755 है, जिसकी गणना अनंत परिशुद्धता का उपयोग करके की जाती है...

उदाहरण मैथ्यू न्यूमेरिकल मेथड्स यूजिंग मैटलैब (MATLAB), थर्ड एडिशन में से एक का संशोधन है।

अध्ययन के क्षेत्र

संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में कई उप-विषय होते हैं। इनमें से कुछ प्रमुख निम्नलिखित हैं:

समीकरणों का संगणन मान

प्रक्षेप: यह देखते हुए कि तापमान 20 डिग्री सेल्सियस से 1:00 से 14 डिग्री पर 3:00 में बदलता रहता है, इस डेटा का एक रैखिक प्रक्षेप यह निष्कर्ष निकालेगा कि यह 2:00 पर 17 डिग्री और 1:30 बजे 18.5 डिग्री था। बहिर्वेशन: यदि किसी देश की जीडीपी औसतन 5% प्रति वर्ष की दर से बढ़ रही है और पिछले वर्ष 100 बिलियन थी, तो अनुमान लगाया जा सकता है कि यह इस वर्ष 105 बिलियन होगी। प्रतिगमन: रैखिक प्रतिगमन में, n अंक दिए गए, एक रेखा की गणना की जाती है जो यथासंभव उन n बिंदुओं के करीब से गुजरती है। अनुकूलन: मान लें कि नींबू पानी एक नींबू पानी स्टैंड पर $1.00 प्रति गिलास पर बेचा जाता है, कि 197 गिलास नींबू पानी प्रति दिन बेचा जा सकता है, और यह कि $0.01 की प्रत्येक वृद्धि के लिए, प्रति दिन नींबू पानी का एक कम गिलास बेचा जाएगा। यदि $1.485 का शुल्क लगाया जा सकता है, तो लाभ को अधिकतम किया जाएगा, लेकिन एक पूर्ण-प्रतिशत राशि चार्ज करने की बाध्यता के कारण, $1.48 या $1.49 प्रति गिलास चार्ज करने से दोनों को प्रतिदिन $220.52 की अधिकतम आय प्राप्त होगी। अंतर समीकरण: यदि कमरे के एक छोर से दूसरे छोर तक हवा उड़ाने के लिए 100 पंखे लगाए जाएं और फिर एक पंखा हवा में गिराया जाए, तो क्या होता है? विंग हवा की धाराओं का पालन करेगा, जो बहुत जटिल हो सकता है। एक सन्निकटन उस गति को मापने के लिए है जिस पर हवा हर सेकंड विंग के पास बह रही है, और नकली विंग को स्थानांतरित करें जैसे कि यह एक ही गति से एक सीधी रेखा में एक सेकंड के लिए फिर से हवा के साथ घूम रहा हो। गति मापने से पहले। इसे सरल अवकल समीकरणों को हल करने की यूलर विधि कहते हैं।

किसी दिए गए बिंदु पर समीकरण का मूल्यांकन करना सबसे सरल समस्याओं में से एक है। किसी सूत्र में किसी संख्या को सरलता से जोड़ने का सबसे सीधा तरीका कभी-कभी बहुत कारगर नहीं होता है। बहुपदों के लिए, हॉर्नर योजना का उपयोग करना एक बेहतर तरीका है, क्योंकि यह आवश्यक संख्या में गुणा और परिवर्धन को कम करता है। सामान्य तौर पर, फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के उपयोग से उत्पन्न होने वाली पूर्णांक त्रुटियों के लिए अनुमान लगाना और नियंत्रित करना महत्वपूर्ण है।

अंतर्वेशन, बहिर्वेशन, और प्रतिगमन

बहिर्वेशन, अंतर्वेशन के समान है, सिवाय इसके कि अब अज्ञात समीकरण का मान उस बिंदु पर है जो दिए गए बिंदुओं से बाहर है।

बहिर्वेशन, अंतर्वेशन के समान है, सिवाय इसके कि अब अज्ञात समीकरण का मान उस बिंदु पर है जो दिए गए बिंदुओं से बाहर है।^[11]

प्रतिगमन भी समान है लेकिन यह ध्यान में रखता है कि डेटा सटीक नहीं है। इन बिंदुओं पर (एक त्रुटि के साथ) कई बिंदुओं और कुछ समीकरण के मान के माप को देखते हुए, अज्ञात समीकरण पाया जा सकता है। कम से कम वर्ग विधि इसे प्राप्त करने का एक तरीका है।

समीकरणों और समीकरण प्रणालियों को हल करना

एक अन्य मूलभूत समस्या किसी दिए गए समीकरण के हल की गणना करना है। समीकरण रैखिक है या नहीं, इस पर निर्भर करते हुए, दो मामलों को आमतौर पर प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $2x+5=3$ रैखिक है जबकि $2x^{2}+5=3$ नहीं है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों के विकास में काफी प्रयास किए गए हैं। मानक प्रत्यक्ष विधियाँ, अर्थात, कुछ मैट्रिक्स अपघटन का उपयोग करने वाली विधियाँ हैं गाऊसी उन्मूलन, LU अपघटन, सममित (या हर्मिटियन) के लिए चोल्स्की अपघटन और सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स और गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए QR अपघटन। जैकोबी विधि, गॉस-सीडेल विधि, क्रमिक अति-विश्राम, और संयुग्म ढाल विधि^[12] जैसी पुनरावृत्त विधियों को आम तौर पर बड़ी प्रणालियों के लिए प्राथमिकता दी जाती है। मैट्रिक्स विभाजन का उपयोग करके सामान्य पुनरावृत्त विधियाँ विकसित की जा सकती हैं।

मूलनिर्धारण कलन विधि का उपयोग गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है (उन्हें इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि समीकरण का मूल एक तर्क है जिसके लिए समीकरण शून्य उत्पन्न करता है)। यदि फलन अवकलनीय है और अवकलज ज्ञात है तो न्यूटन की विधि एक लोकप्रिय विकल्प है।^[13]^[14] रेखीयकरण गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एक और तकनीक है।

आइगेन मूल्य (eigenvalue) या एकवचन मूल्य समीकरण

कई महत्वपूर्ण समस्याओं को आइगेन मूल्य अपघटन या विलक्षण मान अपघटन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय छवि संपीड़न कलन विधि^[15] एकवचन मूल्य अपघटन पर आधारित है। सांख्यिकी में संबंधित उपकरण को प्रमुख घटक विश्लेषण कहा जाता है।

अनुकूलन

अनुकूलन समस्याएं उस बिंदु के लिए पूछती हैं जिस पर किसी दिए गए समीकरण को अधिकतम (या न्यूनतम) किया जाता है। अक्सर, बिंदु को कुछ बाधाओं को भी पूरा करना पड़ता है।

अनुकूलन के क्षेत्र को उद्देश्य समीकरण के रूप और बाधा के आधार पर कई उपक्षेत्रों में विभाजित किया गया है। उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग इस मामले से संबंधित है कि उद्देश्य कार्य और बाधा दोनों रैखिक हैं। रेखीय प्रोग्रामिंग में एक प्रसिद्ध विधि सरल विधि है।

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों (Lagrange multipliers ) की विधि का उपयोग अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्याओं के लिए बाधाओं के साथ अनुकूलन समस्याओं को कम करने के लिए किया जा सकता है।

अभिन्न का मूल्यांकन

संख्यात्मक एकीकरण, कुछ उदाहरणों में जिसे संख्यात्मक चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है, एक निश्चित अभिन्न के मूल्य की मांग करता है।^[16] लोकप्रिय विधियाँ न्यूटन-कोट्स फ़ार्मुलों में से किसी एक का उपयोग करती हैं (जैसे कि मध्यबिंदु नियम या सिम्पसन का नियम) या गाऊसी द्विघात।^[17] ये विधियां "विभाजन और जीत" रणनीति पर निर्भर करती हैं, जिससे अपेक्षाकृत बड़े सेट पर एक अभिन्न छोटे समुच्चय पर अभिन्न में टूट जाता है। उच्च आयामों में, जहां संगणकीय प्रयास के मामले में ये विधियां निषेधात्मक रूप से महंगी हो जाती हैं, कोई मोंटे कार्लो या अर्ध-मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग कर सकता है (मोंटे कार्लो एकीकरण देखें^[18]), या विरल ग्रिड का माध्यम बड़े आयाम विधि में।

अंतर समीकरण

संख्यात्मक विश्लेषण का संबंध सामान्य अवकल समीकरणों और आंशिक अंतर समीकरणों, दोनों के अंतर समीकरणों के समाधान की गणना (अनुमानित तरीके से) से भी है।^[19]आंशिक अवकल समीकरणों को पहले समीकरण में परिवर्तन करके हल किया जाता है, इसे एक परिमित-आयामी उप-स्थान में लाया जाता है।^[20] यह एक परिमित तत्व विधि द्वारा किया जा सकता है,^[21]^[22]^[23] एक परिमित अंतर विधि,^[24] या (विशेष रूप से अभियांत्रिकी में) एक परिमित मात्रा विधि।इन विधियों के सैद्धांतिक औचित्य में अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण से प्रमेय शामिल होते हैं। यह समस्या को एक बीजीय समीकरण के समाधान के लिए कम कर देता है।

सॉफ्टवेयर

बीसवीं सदी के उत्तरार्ध से, अधिकांश एल्गोरिदम को विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू किया गया है। नेटलिब (Netlib) रिपॉजिटरी में संख्यात्मक समस्याओं के लिए सॉफ्टवेयर रूटीन के विभिन्न संग्रह हैं, ज्यादातर फोरट्रान (Fortan) और सी (C) में। कई अलग-अलग संख्यात्मक एल्गोरिदम को लागू करने वाले वाणिज्यिक उत्पादों में IMSL और NAG लाइब्रेरी शामिल हैं। जीएनयू (JNU) साइंटिफिक लाइब्रेरी एक फ्री सॉफ्टवेयर विकल्प है।

वर्षों से रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी ने अपने एप्लाइड स्टैटिस्टिक्स में कई एल्गोरिदम प्रकाशित किए (इन "एएस" कार्यों के लिए कोड यहां है); एसीएम इसी तरह, गणितीय सॉफ्टवेयर पर अपने लेनदेन में ("TOMS" कोड यहां है)। नेवल सरफेस वारफेयर सेंटर ( Naval Surface Warfare Center) ने अपनी लाइब्रेरी ऑफ मैथमेटिक्स सबरूटीन्स (कोड यहाँ) को कई बार प्रकाशित किया।[1]

मैटलैब (MATLAB) ^[25]^[26]^[27] टी.के. सॉल्वर, एस-प्लस,आईडीएल (TK Solver, S-PLUS, IDL)^[28] जैसे कई लोकप्रिय संख्यात्मक कंप्यूटिंग अनुप्रयोग हैं, साथ ही फ्रीमैट, साइलैब, ( FreeMat, Scilab)^[29]^[30] जैसे मुक्त और मुक्त स्रोत विकल्प भी हैं। जीएनयू ऑक्टेव (मैटलैब के समान), और IT++ (C++ लाइब्रेरी)। R (S-PLUS के समान), जूलिया, आर जैसी प्रोग्रामिंग भाषाएं भी हैं^[31] (S-PLUS के समान), जूलिया (Julia),^[32] और पायथन (Python) लाइब्रेरी जैसे कि NumPy, SciPy के साथ^[33]^[34]^[35] और SymPy जैसे पुस्तकालय हैं। प्रदर्शन व्यापक रूप से भिन्न होता है: जबकि वेक्टर और मैट्रिक्स संचालन आम तौर पर तेज़ होते हैं, स्केलर लूप परिमाण के क्रम से अधिक गति से भिन्न हो सकते हैं।^[36]^[37]

कई कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ जैसे कि गणितज्ञ भी मनमाने-सटीक अंकगणित की उपलब्धता से लाभान्वित होते हैं जो अधिक सटीक परिणाम प्रदान कर सकते हैं।^[38]^[39]^[40]^[41]साथ ही, किसी भी स्प्रैडशीट सॉफ़्टवेयर का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण से संबंधित सरल समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक्सेल में मैट्रिसेस सहित सैकड़ों उपलब्ध फ़ंक्शन हैं, जिनका उपयोग इसके अंतर्निहित "सॉल्वर" के संयोजन में किया जा सकता है।

यह भी देखें

एल्गोरिदम का विश्लेषण
कम्प्यूटेशनल विज्ञान
कम्प्यूटेशनल भौतिकी
अंतराल अंकगणित
संख्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची
स्थानीय रैखिककरण विधि
संख्यात्मक भेदभाव
संख्यात्मक व्यंजनों
संभाव्य संख्या विज्ञान
प्रतीकात्मक-प्रतिष्ठित गणना
मान्य संख्या विज्ञान

संदर्भ

उद्धरण

↑ "Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection". Archived from the original on 13 August 2012. Retrieved 2 October 2006.
↑ Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. SIAM.
↑ Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.
↑ Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: SIAM.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. Elsevier.
↑ Saad, Y. (2003). Iterative methods for sparse linear systems. SIAM.
↑ Hageman, L. A., & Young, D. M. (2012). Applied iterative methods. Courier Corporation.
↑ Traub, J. F. (1982). Iterative methods for the solution of equations. American Mathematical Society.
↑ Greenbaum, A. (1997). Iterative methods for solving linear systems. SIAM.
↑ ^10.0 ^10.1 ^10.2 Higham, N. J. (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms (Vol. 80). SIAM.
↑ Brezinski, C., & Zaglia, M. R. (2013). Extrapolation methods: theory and practice. Elsevier.
↑ Hestenes, Magnus R.; Stiefel, Eduard (December 1952). "Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems". Journal of Research of the National Bureau of Standards. 49 (6): 409.
↑ Ezquerro Fernández, J. A., & Hernández Verón, M. Á. (2017). Newton’s method: An updated approach of Kantorovich’s theory. Birkhäuser.
↑ Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Second printed edition. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)
↑ The Singular Value Decomposition and Its Applications in Image Compression Archived 4 October 2006 at the Wayback Machine
↑ Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). Methods of numerical integration. Courier Corporation.
↑ Weisstein, Eric W. "Gaussian Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html
↑ Geweke, J. (1995). Monte Carlo simulation and numerical integration. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department.
↑ Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge University Press.
↑ Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.
↑ Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.
↑ Brenner, S., & Scott, R. (2007). The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media.
↑ Strang, G., & Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.
↑ Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.
↑ Quarteroni, A., Saleri, F., & Gervasio, P. (2006). Scientific computing with MATLAB and Octave. Berlin: Springer.
↑ Gander, W., & Hrebicek, J. (Eds.). (2011). Solving problems in scientific computing using Maple and Matlab®. Springer Science & Business Media.
↑ Barnes, B., & Fulford, G. R. (2011). Mathematical modelling with case studies: a differential equations approach using Maple and MATLAB. Chapman and Hall/CRC.
↑ Gumley, L. E. (2001). Practical IDL programming. Elsevier.
↑ Bunks, C., Chancelier, J. P., Delebecque, F., Goursat, M., Nikoukhah, R., & Steer, S. (2012). Engineering and scientific computing with Scilab. Springer Science & Business Media.
↑ Thanki, R. M., & Kothari, A. M. (2019). Digital image processing using SCILAB. Springer International Publishing.
↑ Ihaka, R., & Gentleman, R. (1996). R: a language for data analysis and graphics. Journal of computational and graphical statistics, 5(3), 299-314.
↑ Bezanson, Jeff; Edelman, Alan; Karpinski, Stefan; Shah, Viral B. (1 January 2017). "Julia: A Fresh Approach to Numerical Computing". SIAM Review. 59 (1): 65–98. doi:10.1137/141000671. hdl:1721.1/110125. ISSN 0036-1445.
↑ Jones, E., Oliphant, T., & Peterson, P. (2001). SciPy: Open source scientific tools for Python.
↑ Bressert, E. (2012). SciPy and NumPy: an overview for developers. " O'Reilly Media, Inc.".
↑ Blanco-Silva, F. J. (2013). Learning SciPy for numerical and scientific computing. Packt Publishing Ltd.
↑ Speed comparison of various number crunching packages Archived 5 October 2006 at the Wayback Machine
↑ Comparison of mathematical programs for data analysis Archived 18 May 2016 at the Portuguese Web Archive Stefan Steinhaus, ScientificWeb.com
↑ Maeder, R. E. (1991). Programming in mathematica. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc.
↑ Stephen Wolfram. (1999). The MATHEMATICA® book, version 4. Cambridge University Press.
↑ Shaw, W. T., & Tigg, J. (1993). Applied Mathematica: getting started, getting it done. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc..
↑ Marasco, A., & Romano, A. (2001). Scientific Computing with Mathematica: Mathematical Problems for Ordinary Differential Equations; with a CD-ROM. Springer Science & Business Media.

सूत्रों का कहना है

Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan (1986). Matrix Computations (3rd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X.
Higham, Nicholas J. (1996). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-355-2.
Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-028761-9.
Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley. ISBN 0-201-73499-0.
Wilkinson, J.H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem. Clarendon Press.
Kahan, W. (1972). A survey of error-analysis. Proc. IFIP Congress 71 in Ljubljana. Info. Processing 71. Vol. 2. Amsterdam: North-Holland Publishing. pp. 1214–39. (examples of the importance of accurate arithmetic).
Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.

बाहरी संबंध

पत्रिकाओं

gdz.sub.uni-goettingen, Numerische Mathematik, volumes 1-66, Springer, 1959-1994 (searchable; pages are images). (in English and German)
Numerische Mathematik, volumes 1–112, Springer, 1959–2009
Journal on Numerical Analysis, volumes 1-47, SIAM, 1964–2009

ऑनलाइन ग्रंथ

"Numerical analysis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Numerical Recipes, William H. Press (free, downloadable previous editions)
First Steps in Numerical Analysis (archived), R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
CSEP (Computational Science Education Project), U.S. Department of Energy (archived 2017-08-01)
Numerical Methods, ch 3. in the Digital Library of Mathematical Functions
Numerical Interpolation, Differentiation and Integration, ch 25. in the Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz and Stegun)

ऑनलाइन पाठ्यक्रम सामग्री

Numerical Methods (Archived 28 July 2009 at the Wayback Machine), Stuart Dalziel University of Cambridge
Lectures on Numerical Analysis, Dennis Deturck and Herbert S. Wilf University of Pennsylvania
Numerical methods, John D. Fenton University of Karlsruhe
Numerical Methods for Physicists, Anthony O’Hare Oxford University
Lectures in Numerical Analysis (archived), R. Radok Mahidol University
Introduction to Numerical Analysis for Engineering, Henrik Schmidt Massachusetts Institute of Technology
Numerical Analysis for Engineering, D. W. Harder University of Waterloo
Introduction to Numerical Analysis, Doron Levy University of Maryland
Numerical Analysis - Numerical Methods (archived), John H. Mathews California State University Fullerton

[1] "Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection". Archived from the original on 13 August 2012. Retrieved 2 October 2006.

[2] Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. SIAM.

[3] Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.

[4] Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: SIAM.

[20c-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. Elsevier.

[6] Saad, Y. (2003). Iterative methods for sparse linear systems. SIAM.

[7] Hageman, L. A., & Young, D. M. (2012). Applied iterative methods. Courier Corporation.

[8] Traub, J. F. (1982). Iterative methods for the solution of equations. American Mathematical Society.

[9] Greenbaum, A. (1997). Iterative methods for solving linear systems. SIAM.

[stab-10] 10.0 ^10.1 ^10.2 Higham, N. J. (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms (Vol. 80). SIAM.

[11] Brezinski, C., & Zaglia, M. R. (2013). Extrapolation methods: theory and practice. Elsevier.

[12] Hestenes, Magnus R.; Stiefel, Eduard (December 1952). "Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems". Journal of Research of the National Bureau of Standards. 49 (6): 409.

[13] Ezquerro Fernández, J. A., & Hernández Verón, M. Á. (2017). Newton’s method: An updated approach of Kantorovich’s theory. Birkhäuser.

[14] Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Second printed edition. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)

[15] The Singular Value Decomposition and Its Applications in Image Compression Archived 4 October 2006 at the Wayback Machine

[16] Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). Methods of numerical integration. Courier Corporation.

[17] Weisstein, Eric W. "Gaussian Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html

[18] Geweke, J. (1995). Monte Carlo simulation and numerical integration. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department.

[19] Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge University Press.

[20] Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.

[21] Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.

[22] Brenner, S., & Scott, R. (2007). The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media.

[23] Strang, G., & Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.

[24] Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.

[25] Quarteroni, A., Saleri, F., & Gervasio, P. (2006). Scientific computing with MATLAB and Octave. Berlin: Springer.

[gh-26] Gander, W., & Hrebicek, J. (Eds.). (2011). Solving problems in scientific computing using Maple and Matlab®. Springer Science & Business Media.

[bf-27] Barnes, B., & Fulford, G. R. (2011). Mathematical modelling with case studies: a differential equations approach using Maple and MATLAB. Chapman and Hall/CRC.

[28] Gumley, L. E. (2001). Practical IDL programming. Elsevier.

[29] Bunks, C., Chancelier, J. P., Delebecque, F., Goursat, M., Nikoukhah, R., & Steer, S. (2012). Engineering and scientific computing with Scilab. Springer Science & Business Media.

[30] Thanki, R. M., & Kothari, A. M. (2019). Digital image processing using SCILAB. Springer International Publishing.

[31] Ihaka, R., & Gentleman, R. (1996). R: a language for data analysis and graphics. Journal of computational and graphical statistics, 5(3), 299-314.

[32] Bezanson, Jeff; Edelman, Alan; Karpinski, Stefan; Shah, Viral B. (1 January 2017). "Julia: A Fresh Approach to Numerical Computing". SIAM Review. 59 (1): 65–98. doi:10.1137/141000671. hdl:1721.1/110125. ISSN 0036-1445.

[33] Jones, E., Oliphant, T., & Peterson, P. (2001). SciPy: Open source scientific tools for Python.

[34] Bressert, E. (2012). SciPy and NumPy: an overview for developers. " O'Reilly Media, Inc.".

[35] Blanco-Silva, F. J. (2013). Learning SciPy for numerical and scientific computing. Packt Publishing Ltd.

[36] Speed comparison of various number crunching packages Archived 5 October 2006 at the Wayback Machine

[37] Comparison of mathematical programs for data analysis Archived 18 May 2016 at the Portuguese Web Archive Stefan Steinhaus, ScientificWeb.com

[38] Maeder, R. E. (1991). Programming in mathematica. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc.

[39] Stephen Wolfram. (1999). The MATHEMATICA® book, version 4. Cambridge University Press.

[40] Shaw, W. T., & Tigg, J. (1993). Applied Mathematica: getting started, getting it done. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc..

[41] Marasco, A., & Romano, A. (2001). Scientific Computing with Mathematica: Mathematical Problems for Ordinary Differential Equations; with a CD-ROM. Springer Science & Business Media.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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[8]

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v t e भौतिकी की शाखाएँ
प्रभागों	शुद्ध लागू इंजीनियरिंग
दृष्टिकोण	प्रायोगिक सैद्धांतिक कम्प्यूटेशनल
शास्त्रीय	शास्त्रीय यांत्रिकी न्यूटोनियन विश्लेषणात्मक खगोलीय कॉन्टिनम ध्वनिकी शास्त्रीय इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म शास्त्रीय प्रकाशिकी रे लहर थर्मोडायनामिक्स सांख्यिकीय गैर-संतुलन
आधुनिक	सापेक्ष यांत्रिकी विशेष सामान्य परमाणु भौतिकी क्वांटम यांत्रिकी कण भौतिकी परमाणु, आणविक, और ऑप्टिकल भौतिकी परमाणु आणविक आधुनिक ऑप्टिक्स संघनित पदार्थ भौतिकी
अंतःविषय	खगोल भौतिकी वायुमंडलीय भौतिकी बायोफिज़िक्स रासायनिक भौतिकी भूभौतिकी पदार्थ विज्ञान गणितीय भौतिकी चिकित्सा भौतिकी महासागर भौतिकी क्वांटम सूचना विज्ञान
संबंधित	भौतिकी का इतिहास भौतिकी में नोबेल पुरस्कार भौतिकी शिक्षा भौतिकी खोजों की समयरेखा

v t e कंप्यूटर विज्ञान
Note: This template roughly follows the 2012 ACM Computing Classification System.
हार्डवेयर	मुद्रित सर्किट बोर्ड परिधीय एकीकृत परिपथ बड़े पैमाने पर एकीकरण चिप पर सिस्टम (एसओसी) ऊर्जा की खपत (ग्रीन कंप्यूटिंग) इलेक्ट्रॉनिक डिजाइन स्वचालन हार्डवेयर एक्सिलरेशन
कंप्यूटर सिस्टम संगठन	कंप्यूटर आर्किटेक्चर अंतः स्थापित प्रणाली रीयल-टाइम कंप्यूटिंग निर्भरता
नेटवर्क	नेटवर्क आर्किटेक्चर नेटवर्क प्रोटोकॉल नेटवर्क घटक नेटवर्क अनुसूचक नेटवर्क प्रदर्शन मूल्यांकन नेटवर्क सेवा
सॉफ्टवेयर संगठन	दुभाषिया मध्यस्थ आभासी मशीन ऑपरेटिंग सिस्टम सॉफ्टवेयर गुणवत्ता
सॉफ्टवेयर नोटेशन और टूल्स	प्रोग्रामिंग प्रतिमान प्रोग्रामिंग भाषा संकलक डोमेन-विशिष्ट भाषा मॉडलिंग भाषा सॉफ्टवेयर फ्रेमवर्क समन्वित विकास पर्यावरण सॉफ्टवेयर विन्यास प्रबंधन सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी सॉफ्टवेयर रिपोजिटरी
सॉफ्टवेयर डेवलपमेंट	नियंत्रण चर सॉफ्टवेयर विकास प्रक्रिया आवश्यकताओं के विश्लेषण सॉफ्टवेर डिज़ाइन सॉफ्टवेयर निर्माण सॉफ्टवेयर परिनियोजन सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग सॉफ्टवेयर की रखरखाव प्रोग्रामिंग टीम ओपन-सोर्स मॉडल
गणना का सिद्धांत	गणना का मॉडल औपचारिक भाषा ऑटोमेटा सिद्धांत कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत तर्क शब्दार्थ
कलन विधि	एल्गोरिदम डिजाइन एल्गोरिदम का विश्लेषण एल्गोरिदमिक दक्षता यादृच्छिक एल्गोरिदम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति
कंप्यूटिंग का गणित	गणित पृथक करें संभावना सांख्यिकी गणितीय सॉफ्टवेयर सूचना सिद्धांत गणितीय विश्लेषण संख्यात्मक विश्लेषण सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान
सूचना प्रणाली	डेटाबेस प्रबंधन प्रणाली सूचना भंडारण प्रणाली उद्यम सूचना प्रणाली सामाजिक सूचना प्रणाली भौगोलिक सूचना प्रणाली निर्णय समर्थन प्रणाली प्रक्रिया नियंत्रण प्रणाली मल्टीमीडिया सूचना प्रणाली डेटा माइनिंग डिजिटल लाइब्रेरी कंप्यूटिंग प्लेटफॉर्म डिजिटल विपणन वर्ल्ड वाइड वेब सूचना की पुनर्प्राप्ति
सुरक्षा	क्रिप्टोग्राफी औपचारिक तरीके सुरक्षा सेवाएं अतिक्रमण संसूचन प्रणाली हार्डवेयर सुरक्षा नेटवर्क सुरक्षा सूचना सुरक्षा आवेदन सुरक्षा
मानव-कंप्यूटर संपर्क	पारस्परिक प्रभाव वाली डिज़ाइन सामाजिक कंप्यूटिंग सर्वव्यापक कंप्यूटिंग विज़ुअलाइज़ेशन एक्सेसिबिलिटी
Concurrency	समवर्ती कंप्यूटिंग समानांतर कंप्यूटिंग वितरित अभिकलन मल्टीथ्रेडिंग मल्टीप्रोसेसिंग
कृत्रिम बुद्धि	प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण ज्ञान प्रतिनिधित्व और तर्क कंप्यूटर दृष्टी स्वचालित योजना और समय-निर्धारण खोज पद्धति नियंत्रण विधि कृत्रिम बुद्धि का दर्शन डिस्ट्रिब्यूटेड आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस
मशीन लर्निंग	पर्यवेक्षित अध्ययन अनपर्यवेक्षित लर्निंग सुदृढीकरण सीखना बहु-कार्य सीखने क्रॉस-सत्यापन
ग्राफिक्स	एनिमेशन रेंडरिंग छवि हेरफेर ग्राफ़िक्स प्रोसेसिंग युनिट मिश्रित वास्तविकता आभासी वास्तविकता छवि संपीड़न सॉलिड मॉडलिंग
एप्लाइड कंप्यूटिंग	ई-कॉमर्स उपक्रम सॉफ्टवेयर कम्प्यूटेशनल गणित कम्प्यूटेशनल भौतिकी कम्प्यूटेशनल केमिस्ट्री कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी कम्प्यूटेशनल सामाजिक विज्ञान कम्प्यूटेशनल इंजीनियरिंग कम्प्यूटेशनल हेल्थकेयर डिजिटल कला इलेक्ट्रॉनिक प्रकाशन सायबर युद्ध इलेक्ट्रॉनिक वोटिंग वीडियो गेम वर्ड प्रोसेसिंग संचालन अनुसंधान शैक्षिक प्रौद्योगिकी दस्तावेज़ प्रबंधन
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Contents

सामान्य परिचय

इतिहास

प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त विधियाँ

युक्तिकरण और संख्यात्मक एकीकरण

असंततकरण

त्रुटियों की उत्पत्ति और प्रसार

निकटन-त्रुटि (Round-off)

छिन्नकरण और असंततकरण त्रुटि

संख्यात्मक स्थिरता और सुविचारित समस्याएं

अध्ययन के क्षेत्र

समीकरणों का संगणन मान

अंतर्वेशन, बहिर्वेशन, और प्रतिगमन

समीकरणों और समीकरण प्रणालियों को हल करना

आइगेन मूल्य (eigenvalue) या एकवचन मूल्य समीकरण

अनुकूलन

अभिन्न का मूल्यांकन

अंतर समीकरण

सॉफ्टवेयर

यह भी देखें

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संदर्भ

उद्धरण

सूत्रों का कहना है

बाहरी संबंध

पत्रिकाओं

ऑनलाइन ग्रंथ

ऑनलाइन पाठ्यक्रम सामग्री

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 {{Use dmy dates|date=October 2020}}
 [[Image:Ybc7289-bw.jpg|thumb|250px|right|बाबुलियन क्ले टैबलेट YBC 7289 (c। 1800–1600 ईसा पूर्व) एनोटेशन के साथ।2 के वर्गमूल का अनुमान चार सेक्सजैमिमल आंकड़े हैं, जो लगभग छह दशमलव आंकड़े हैं।1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup>= 1.41421296 ...<ref>{{Cite web |url=http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |title=Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection |access-date=2 October 2006 |archive-date=13 August 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |url-status=dead }}</ref>]]
-संख्यात्मक विश्लेषण एल्गोरिदम का अध्ययन है जो गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के लिए संख्यात्मक सन्निकटन (प्रतीकात्मक जोड़तोड़ के विपरीत) का उपयोग करता है (जैसा कि असतत गणित से अलग है)।संख्यात्मक विश्लेषण इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में आवेदन पाता है, और 21 वीं सदी में जीवन और सामाजिक विज्ञान, चिकित्सा, व्यवसाय और यहां तक कि कला भी।कंप्यूटिंग शक्ति में वर्तमान वृद्धि ने विज्ञान और इंजीनियरिंग में विस्तृत और यथार्थवादी गणितीय मॉडल प्रदान करते हुए, अधिक जटिल संख्यात्मक विश्लेषण के उपयोग को सक्षम किया है।संख्यात्मक विश्लेषण के उदाहरणों में शामिल हैं: आकाशीय यांत्रिकी में पाए जाने वाले साधारण अंतर समीकरण (ग्रहों, सितारों और आकाशगंगाओं की गतियों की भविष्यवाणी करते हुए), डेटा विश्लेषण में संख्यात्मक रैखिक बीजगणित,<ref>Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. [[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]].</ref><ref>Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.</ref><ref>Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: [[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]].</ref>और स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन और मार्कोव चेन्स इन मेडिसिन और बायोलॉजी में लिविंग सेल का अनुकरण।
+'''संख्यात्मक विश्लेषण''' कलन विधि का अध्ययन है जो गणितीय विश्लेषण की समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक अनुमानों (प्रतीकात्मक जोड़तोड़ के विपरीत) का उपयोग करता है (असतत गणित से अलग)। यह संख्यात्मक तरीकों का अध्ययन है जो सटीक समाधान के बजाय समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने का प्रयास करता है। संख्यात्मक विश्लेषण अभियांत्रिकी और भौतिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में लागू होता है, और 21 वीं सदी में भी जीवन और सामाजिक विज्ञान, चिकित्सा, व्यवसाय और यहां तक कि कला भी। कंप्यूटिंग शक्ति में मौजूदा वृद्धि ने विस्तृत और यथार्थवादी गणितीय मॉडल प्रदान करते हुए विज्ञान और इंजीनियरिंग में अधिक जटिल संख्यात्मक विश्लेषण के उपयोग को सक्षम किया है। संख्यात्मक विश्लेषण के उदाहरणों में सामान्य अंतर समीकरण शामिल हैं जैसा कि खगोलीय यांत्रिकी (ग्रहों, सितारों और आकाशगंगाओं की गति की भविष्यवाणी), डेटा विश्लेषण में संख्यात्मक रैखिक बीजगणित,<ref>Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. [[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]].</ref><ref>Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.</ref><ref>Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: [[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]].</ref> और दवा और जीव विज्ञान में जीवित कोशिकाओं के अनुकरण के लिए स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण और मार्कोव श्रृंखलाओं में पाया जाता है।
-आधुनिक कंप्यूटरों से पहले, संख्यात्मक तरीके अक्सर बड़े मुद्रित तालिकाओं से डेटा का उपयोग करते हुए, हाथ प्रक्षेप सूत्रों पर भरोसा करते थे।20 वीं शताब्दी के मध्य के बाद से, कंप्यूटर इसके बजाय आवश्यक कार्यों की गणना करते हैं, लेकिन सॉफ्टवेयर एल्गोरिदम में कई समान सूत्रों का उपयोग जारी है।<ref name="20c">Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. Elsevier.</ref>
+आधुनिक कंप्यूटरों से पहले, संख्यात्मक तरीके अक्सर बड़े मुद्रित तालिकाओं के डेटा का उपयोग करते हुए, हस्त प्रक्षेप सूत्रों पर निर्भर करते थे। 20वीं सदी के मध्य से, कंप्यूटर इसके बजाय आवश्यक कार्यों की गणना करते हैं, लेकिन सॉफ्टवेयर कलन विधि में एक ही तरह के कई सूत्रों का उपयोग जारी है।<ref name="20c">Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Numerical analysis: Historical developments in the 20th century. Elsevier.</ref>
-संख्यात्मक बिंदु का दृष्टिकोण जल्द से जल्द गणितीय लेखन में वापस चला जाता है।येल बेबीलोनियन कलेक्शन (YBC 7289) से एक टैबलेट, 2 के वर्गमूल के एक सेक्सेजिमल न्यूमेरिकल सन्निकटन देता है, जो एक यूनिट वर्ग में विकर्ण की लंबाई है।
+संख्यात्मक दृष्टिकोण प्रारंभिक गणितीय लेखन पर वापस जाता है। येल बेबीलोनियाई संग्रह (वाईबीसी/YBC 7289) से एक टैबलेट 2 के वर्गमूल का साठवाँ (sexagesimal) अनुमानित देता है, जो एक इकाई वर्ग में एक विकर्ण की लंबाई है।
-संख्यात्मक विश्लेषण इस लंबी परंपरा को जारी रखता है: सटीक प्रतीकात्मक उत्तर देने के बजाय अंकों में अनुवादित और केवल वास्तविक दुनिया के मापों पर लागू होता है, निर्दिष्ट त्रुटि सीमा के भीतर अनुमानित समाधान का उपयोग किया जाता है।
+संख्यात्मक विश्लेषण इस परंपरा को जारी रखता है: अंकों में अनुवादित सटीक प्रतीकात्मक उत्तर देने और केवल वास्तविक दुनिया के माप के लिए लागू होने के बजाय, निर्दिष्ट त्रुटि श्रेणियों के भीतर अनुमानित समाधानों का उपयोग किया जाता है।
 == सामान्य परिचय ==
-संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र का समग्र लक्ष्य कठिन समस्याओं के अनुमानित लेकिन सटीक समाधान देने के लिए तकनीकों का डिजाइन और विश्लेषण है, जिसकी विविधता निम्नलिखित द्वारा सुझाई गई है:
+संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र का समग्र लक्ष्य कठिन समस्याओं के पूर्वानुमान योग्य लेकिन सटीक समाधान प्रदान करने के लिए तकनीकों का डिजाइन और विश्लेषण है, जिनमें से कई प्रकार निम्नलिखित हैं:
-* संख्यात्मक मौसम की भविष्यवाणी को संभव बनाने में उन्नत संख्यात्मक तरीके आवश्यक हैं।
+* संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान को व्यवहार्य बनाने के लिए, उन्नत संख्यात्मक विधियों की आवश्यकता होती है।
-* एक अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपवक्र की गणना करने के लिए साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के सटीक संख्यात्मक समाधान की आवश्यकता होती है।
+* एक अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपवक्र की गणना के लिए सरल अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के सटीक संख्यात्मक समाधान की आवश्यकता होती है।
-* कार कंपनियां कार क्रैश के कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग करके अपने वाहनों की क्रैश सुरक्षा में सुधार कर सकती हैं। इस तरह के सिमुलेशन में अनिवार्य रूप से आंशिक अंतर समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करना शामिल है।
+* कार कंपनियां कार दुर्घटनाओं के कंप्यूटर अनुकरण का उपयोग कर अपने वाहनों की दुर्घटना सुरक्षा में सुधार कर सकती हैं। इस तरह के अनुकरण में अनिवार्य रूप से संख्यात्मक रूप से आंशिक अंतर समीकरणों को हल करना शामिल है।
-* हेज फंड (निजी निवेश फंड) अन्य बाजार प्रतिभागियों की तुलना में स्टॉक और डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करने के प्रयास के लिए संख्यात्मक विश्लेषण के सभी क्षेत्रों से उपकरण का उपयोग करते हैं।
+* हेज फंड (निजी निवेश फंड) अन्य बाजार सहभागियों के सापेक्ष स्टॉक और डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण के सभी क्षेत्रों से उपकरणों का उपयोग करते हैं।
-* एयरलाइंस टिकट की कीमतों, हवाई जहाज और चालक दल के असाइनमेंट और ईंधन की जरूरतों को तय करने के लिए परिष्कृत अनुकूलन एल्गोरिदम का उपयोग करती है। ऐतिहासिक रूप से, ऐसे एल्गोरिदम को संचालन अनुसंधान के अतिव्यापी क्षेत्र के भीतर विकसित किया गया था।
+* एयरलाइंस टिकट की कीमतों, हवाई जहाज और क्रू असाइनमेंट और ईंधन की जरूरतों को तय करने के लिए परिष्कृत अनुकूलन एल्गोरिदम का उपयोग करती हैं। ऐतिहासिक रूप से, ऐसे एल्गोरिदम संचालन अनुसंधान के अतिव्यापी क्षेत्र के भीतर विकसित किए गए हैं।
-* बीमा कंपनियां एक्चुएरियल विश्लेषण के लिए संख्यात्मक कार्यक्रमों का उपयोग करती हैं।
+* बीमा कंपनियां बीमांकिक विश्लेषण करने के लिए संख्यात्मक कार्यक्रमों का इस्तेमाल करती हैं।
-इस खंड के बाकी हिस्सों में संख्यात्मक विश्लेषण के कई महत्वपूर्ण विषयों को रेखांकित किया गया है।
+इस खंड के शेष भाग में संख्यात्मक विश्लेषण के कई महत्वपूर्ण विषयों की रूपरेखा है।
 === इतिहास ===
-संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र कई शताब्दियों तक आधुनिक कंप्यूटरों के आविष्कार से पहले होता है।रैखिक प्रक्षेप पहले से ही 2000 से अधिक साल पहले उपयोग में था।अतीत के कई महान गणितज्ञ संख्यात्मक विश्लेषण से प्रभावित थे,<ref NAME = 20C /> जैसा कि न्यूटन की विधि, Lagrange Interpolation Polynomial, Gaussian Elimination, या Euler की विधि जैसे महत्वपूर्ण एल्गोरिदम के नाम से स्पष्ट है।
+संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र कई सहस्राब्दियों से आधुनिक कंप्यूटरों के आविष्कार की भविष्यवाणी करता है। रेखीय प्रक्षेपण 2000 वर्षों से अधिक समय से उपयोग में था। अतीत के कई महान गणितज्ञ संख्यात्मक विश्लेषण में लगे हुए थे,<ref name="20c"/>  जैसा कि न्यूटन की विधि, लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद, गाऊसी उन्मूलन, या यूलर की विधि जैसे महत्वपूर्ण कलन विधि के नामों से प्रमाणित है।
-हाथ से संगणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए, बड़ी पुस्तकों का उत्पादन फॉर्मूले और डेटा के टेबल जैसे प्रक्षेप बिंदु और फ़ंक्शन गुणांक के साथ किया गया था। इन तालिकाओं का उपयोग करते हुए, अक्सर कुछ कार्यों के लिए 16 दशमलव स्थानों या उससे अधिक की गणना की जाती है, कोई भी दिए गए सूत्रों में प्लग करने के लिए मान देख सकता है और कुछ कार्यों के बहुत अच्छे संख्यात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। क्षेत्र में कैनोनिकल वर्क अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन द्वारा संपादित एनआईएसटी प्रकाशन है, जो आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सूत्रों और कार्यों और कई बिंदुओं पर उनके मूल्यों की एक बहुत बड़ी संख्या में 1000-प्लस पेज बुक है। कंप्यूटर उपलब्ध होने पर फ़ंक्शन मान अब बहुत उपयोगी नहीं हैं, लेकिन सूत्रों की बड़ी सूची अभी भी बहुत आसान हो सकती है।
+हाथ से गणना की सुविधा के लिए, बड़ी पुस्तकों का निर्माण सूत्रों और डेटा की तालिकाओं जैसे कि प्रक्षेप बिंदुओं और फ़ंक्शन गुणांक के साथ किया गया था। इन तालिकाओं का उपयोग करते हुए, कुछ फ़ंक्शन के लिए अक्सर 16 दशमलव स्थानों या उससे अधिक की गणना की जाती है, कोई दिए गए फ़ार्मुलों में प्लग इन करने के लिए मानों को देख सकता है और कुछ फ़ंक्शन के बहुत अच्छे संख्यात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। क्षेत्र में विहित कार्य एनआईएसटी (NIST) प्रकाशन है, जिसे अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन द्वारा संपादित किया गया है, जो 1000 से अधिक पृष्ठ की पुस्तक है जिसमें बड़ी संख्या में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सूत्र और कार्य और कई बिंदुओं पर उनके मूल्य शामिल हैं। कंप्यूटर के उपलब्ध होने पर समीकरण मान अब बहुत उपयोगी नहीं होते हैं, लेकिन समीकरणों की बड़ी सूचियाँ अभी भी बहुत उपयोगी हो सकती हैं।
-मैकेनिकल कैलकुलेटर को हाथ की गणना के लिए एक उपकरण के रूप में भी विकसित किया गया था। ये कैलकुलेटर 1940 के दशक में इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों में विकसित हुए, और तब यह पाया गया कि ये कंप्यूटर प्रशासनिक उद्देश्यों के लिए भी उपयोगी थे। लेकिन कंप्यूटर के आविष्कार ने संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र को भी प्रभावित किया,<ref नाम = 20C /> अब से अधिक और अधिक जटिल गणना की जा सकती है।
+हाथ की गणना के लिए एक उपकरण के रूप में यांत्रिक कैलकुलेटर भी विकसित किए गए थे। 1940 के दशक में ये कैलकुलेटर इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर में विकसित हुए और तब यह पाया गया कि ये कंप्यूटर प्रशासनिक उद्देश्यों के लिए भी उपयोगी थे। लेकिन कंप्यूटर के आविष्कार ने संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र को भी प्रभावित किया,<ref name="20c"/> क्योंकि अब अधिक जटिल गणनाएं की जा सकती थीं।
-=== प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त तरीके ===
+=== प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त विधियाँ ===
-हल करने की समस्या पर विचार करें
+समस्या समाधान के बारे में सोचें
-: 3x<sup>3</sup>+ 4 = 28
+: 3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28
-अज्ञात मात्रा के लिए x।
+अज्ञात मात्रा के लिए x
 {| style="margin:auto; text-align:right"
-  |+ Direct method
+  |+ प्रत्यक्ष विधि
   |-
   | || 3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28.
   |-
-  | ''Subtract 4'' || 3''x''<sup>3</sup> = 24.
+  | ''व्यवकलन 4'' || 3''x''<sup>3</sup> = 24.
   |-
-  | ''Divide by 3'' || ''x''<sup>3</sup> = &nbsp;8.
+  | ''3 द्वारा विभाजित'' || ''x''<sup>3</sup> = &nbsp;8.
   |-
-  | ''Take cube roots'' || ''x'' = &nbsp;2.
+  | ''घनमूल लें'' || ''x'' = &nbsp;2.
   |}
-पुनरावृत्त विधि के लिए, bisection विधि को f (x) = 3x पर लागू करें<sup>3</sup>& माइनस;24. प्रारंभिक मान A = 0, b = 3, f (a) = & minus; 24, f (b) = 57 हैं।
+पुनरावृत्त विधि के लिए, द्विभाजन विधि को f(x) = 3''x''<sup>3</sup>- 24 में लागू करें। प्रारंभिक मान हैं a = 0, b = 3, f(a) = -24, f(b) = 57
 {| style="margin:auto;" class="wikitable"
-  |+ Iterative method
+  |+ पुनरावृति विधि
   |-
   ! ''a'' !! ''b'' !! mid !! ''f''(mid)
@@ Line 62: / Line 62: @@
   | 1.875 || 2.25 || 2.0625 || 2.32...
   |}
-इस तालिका से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समाधान 1.875 और 2.0625 के बीच है।एल्गोरिथ्म 0.2 से कम त्रुटि के साथ उस सीमा में किसी भी संख्या को वापस कर सकता है।
+इस तालिका से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समाधान 1.875 और 2.0625 के बीच है। कलन विधि 0.2 से कम की त्रुटि के साथ उस सीमा में किसी भी संख्या को वापस कर सकता है।
-==== विवेकाधीन और संख्यात्मक एकीकरण ====
+==== युक्तिकरण और संख्यात्मक एकीकरण ====
 [[Image:Schumacher (Ferrari) in practice at USGP 2005.jpg||thumb|right|ईमानदार = 0.6]]
-दो घंटे की दौड़ में, कार की गति को तीन इंस्टेंट पर मापा जाता है और निम्नलिखित तालिका में दर्ज किया जाता है।
+दो घंटे की दौड़ में कार की गति को तीन समय के क्षण में मापा जाता है और इसे निम्न तालिका में दर्ज किया जाता है।
 {| style="margin:auto;" class="wikitable"
@@ Line 75: / Line 75: @@
 | 140 || 150 || 180
 |}
-एक विवेकाधीन यह कहना होगा कि कार की गति 0:00 से 0:40 तक निरंतर थी, फिर 0:40 से 1:20 तक और अंत में 1:20 से 2:00 तक।उदाहरण के लिए, पहले 40 मिनट में यात्रा की गई कुल दूरी लगभग है {{math|size=100%|1=({{val|2|/|3|u=h}}& nbsp; & times; & nbsp;{{val|140|u=km/h}}) & nbsp; = & nbsp;{{val|93.3|u=km}}}}।यह हमें यात्रा की गई कुल दूरी का अनुमान लगाने की अनुमति देगा {{val|93.3|u=km}} + {{val|100|u=km}} + {{val|120|u=km}} = {{val|313.3|u=km}}, जो एक रीमैन योग का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण (नीचे देखें) का एक उदाहरण है, क्योंकि विस्थापन वेग का अभिन्न अंग है।
+युक्तिकरण का कहना होगा कि कार की गति 0:00 से 0:40 तक, फिर 0:40 से 1:20 तक और अंत में 1:20 से 2:00 तक स्थिर रही। उदाहरण के लिए, पहले 40 मिनट में तय की गई कुल दूरी लगभग (2/3 घंटे × 140 किमी / घंटा) = 93.3 किमी है। यह हमें 93.3 किमी + 100 किमी + 120 किमी = 313.3 किमी के रूप में यात्रा की गई कुल दूरी का अनुमान लगाने की अनुमति देगा, जो विस्थापन वेग के रूप में रीमैन योग का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण (नीचे देखें) का एक उदाहरण है क्योंकि विस्थापन वेग एक अभिन्न अंग है।
-बीमार-वातानुकूलित समस्या: फ़ंक्शन लें {{math|size=100%|1=''f''(''x'') = 1/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1)}}।ध्यान दें कि f (1.1) = 10 और f (1.001) = 1000: 0.1 से कम के x में परिवर्तन लगभग 1000 के f (x) में परिवर्तन में बदल जाता है। x = 1 के पास f (x) का मूल्यांकन एक बीमार है-वातानुकूलित समस्या।
+'''कुप्रतिबंधित समीकरण:''' फलन लें ''f(x)'' = 1/(x - 1)। ध्यान दें कि f(1.1) = 10 और f(1.001) = 1000: x में 0.1 से कम का परिवर्तन लगभग 1000 के f(x) में परिवर्तन में तब्दील हो जाता है। x = 1 के पास f(x) का मूल्यांकन एक मिथ्या स्थिति वाली समस्या है ।
-अच्छी तरह से वातानुकूलित समस्या: इसके विपरीत, एक ही फ़ंक्शन का मूल्यांकन {{math|size=100%|1=''f''(''x'') = 1/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1)}} X = 10 के पास एक अच्छी तरह से वातानुकूलित समस्या है। उदाहरण के लिए, f (10) = 1/9 and 0.111 और f (11) = 0.1: X में एक मामूली परिवर्तन f (x) में एक मामूली परिवर्तन की ओर जाता है।
+'''सुपरिभाषित समीकरण:''' इसके विपरीत, निकट-समरूप फलन f(x) = 1/(x - 1) से x = 10 का मूल्यांकन करना एक समस्या है। उदाहरण के लिए, f(10) = 1/9 0.111 और f(11) = 0.1: x में थोड़ा सा परिवर्तन f(x) में मामूली परिवर्तन का कारण बनता है।
-प्रत्यक्ष तरीके चरणों की एक परिमित संख्या में किसी समस्या के समाधान की गणना करते हैं। यदि वे मनमाना-सटीक अंकगणित में किए गए थे, तो इन विधियों को सटीक उत्तर दिया जाएगा। अनंत सटीक अंकगणित। उदाहरणों में गॉसियन उन्मूलन, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्यूआर कारककरण विधि और रैखिक प्रोग्रामिंग की सिंप्लेक्स विधि शामिल हैं। व्यवहार में, परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है और परिणाम सही समाधान (स्थिरता मानते हुए) का एक अनुमान है।
+प्रत्यक्ष विधियाँ किसी समस्या के समाधान की गणना सीमित चरणों में करती हैं। यदि इन विधियों को अनंत परिशुद्धता अंकगणित में किया जाता है तो वे सटीक उत्तर देंगे। उदाहरणों में गाऊसी उन्मूलन, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्यूआर कारककरण (QR factorization) विधि और रैखिक प्रोग्रामिंग की सरल विधि शामिल हैं। व्यवहार में, परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है और परिणाम वास्तविक समाधान का एक सन्निकटन होता है (स्थिर मानकर)।
-प्रत्यक्ष तरीकों के विपरीत, पुनरावृत्त तरीकों से एक परिमित संख्या में चरणों की समाप्ति होने की उम्मीद नहीं है। एक प्रारंभिक अनुमान से शुरू करते हुए, पुनरावृत्त तरीके क्रमिक सन्निकटन बनाते हैं जो केवल सीमा में सटीक समाधान में परिवर्तित होते हैं। एक अभिसरण परीक्षण, जिसे अक्सर अवशिष्ट शामिल किया जाता है, यह तय करने के लिए निर्दिष्ट किया जाता है कि एक पर्याप्त सटीक समाधान कब (उम्मीद है) पाया गया है। यहां तक कि अनंत सटीक अंकगणित का उपयोग करते हुए ये विधियाँ चरणों की एक सीमित संख्या (सामान्य रूप से) के भीतर समाधान तक नहीं पहुंचेंगी। उदाहरणों में न्यूटन की विधि, द्विभाजित विधि और जैकोबी पुनरावृत्ति शामिल हैं। कम्प्यूटेशनल मैट्रिक्स बीजगणित में, आम तौर पर बड़ी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त तरीकों की आवश्यकता होती है।<ref>Saad, Y. (2003). Iterative methods for sparse linear systems. SIAM.</ref><ref>Hageman, L. A., & Young, D. M. (2012). Applied iterative methods. Courier Corporation.</ref><ref>Traub, J. F. (1982). Iterative methods for the solution of equations. American Mathematical Society.</ref><ref>Greenbaum, A. (1997). Iterative methods for solving linear systems. SIAM.</ref>
+प्रत्यक्ष विधियों के विपरीत, पुनरावृत्त विधियों से चरणों की एक सीमित संख्या में समाप्त होने की उम्मीद नहीं की जाती है। प्रारंभिक अनुमान से शुरू होकर, पुनरावृत्त विधियाँ क्रमिक अनुमान बनाती हैं जो केवल सीमा में ही सटीक समाधान में परिवर्तित होती हैं। एक अभिसरण परीक्षण, जिसमें अक्सर अवशिष्ट शामिल होते हैं, यह निर्धारित करने के लिए निर्दिष्ट किया जाता है कि कब (उम्मीद है) एक पर्याप्त सटीक समाधान मिल गया है। यहां तक कि अनंत सटीक अंकगणित का उपयोग करके भी ये विधियां सीमित संख्या में चरणों (सामान्य रूप से) के भीतर समाधान तक नहीं पहुंचेंगी। उदाहरणों में शामिल हैं न्यूटन की विधि, द्विभाजन विधि और जैकोबी पुनरावृत्ति। कम्प्यूटेशनल मैट्रिक्स बीजगणित में, बड़ी समस्याओं के लिए आम तौर पर पुनरावृत्ति विधियों की आवश्यकता होती है।<ref>Saad, Y. (2003). Iterative methods for sparse linear systems. SIAM.</ref><ref>Hageman, L. A., & Young, D. M. (2012). Applied iterative methods. Courier Corporation.</ref><ref>Traub, J. F. (1982). Iterative methods for the solution of equations. American Mathematical Society.</ref><ref>Greenbaum, A. (1997). Iterative methods for solving linear systems. SIAM.</ref> संख्यात्मक विश्लेषण में प्रत्यक्ष विधियों की तुलना में पुनरावृत्त विधियां अधिक सामान्य हैं।
-संख्यात्मक विश्लेषण में प्रत्यक्ष तरीकों की तुलना में पुनरावृत्त तरीके अधिक सामान्य हैं।कुछ तरीके सिद्धांत रूप में प्रत्यक्ष हैं, लेकिन आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं जैसे कि वे नहीं थे, उदा।Gmres और संयुग्म ग्रेडिएंट विधि।इन तरीकों के लिए सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए आवश्यक चरणों की संख्या इतनी बड़ी है कि एक सन्निकटन को उसी तरह से स्वीकार किया जाता है जैसे कि एक पुनरावृत्त विधि के लिए।
+कुछ विधियां सैद्धांतिक रूप से प्रत्यक्ष होती हैं लेकिन आमतौर पर उनका उपयोग ऐसे किया जाता है जैसे वे नहीं थे, उदाहरण, जीएमआरईएस (GMRES) और संयुग्म अनुपात विधि। इन विधियों के लिए, सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए आवश्यक चरणों की संख्या इतनी बड़ी है कि एक सन्निकटन को उसी तरह स्वीकार किया जाता है जैसे कि एक पुनरावृत्त विधि के लिए।
-=== विवेकाधिकार ===
+=== असंततकरण ===
-इसके अलावा, निरंतर समस्याओं को कभी -कभी एक असतत समस्या से बदल दिया जाना चाहिए, जिसका समाधान निरंतर समस्या के अनुमानित होने के लिए जाना जाता है;इस प्रक्रिया को 'विवेकाधीन' कहा जाता है।उदाहरण के लिए, एक अंतर समीकरण का समाधान एक फ़ंक्शन है।इस फ़ंक्शन को डेटा की एक परिमित राशि द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, इसके डोमेन में बिंदुओं की एक परिमित संख्या में इसके मूल्य से, भले ही यह डोमेन एक निरंतरता है।
+इसके अलावा, निरंतर समस्याओं को कभी-कभी एक असतत समस्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसका समाधान निरंतर समस्या के समाधान के अनुमान के लिए जाना जाता है, यह प्रक्रिया 'विघटन' कहलाती है। उदाहरण के लिए, एक अंतर समीकरण का समाधान एक समीकरण है। इस समीकरण को डेटा की एक सीमित मात्रा द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, इसके डोमेन पर इसके मूल्यों की एक सीमित संख्या द्वारा, भले ही यह डोमेन एक निरंतरता है।
-== पीढ़ी और त्रुटियों का प्रसार ==
+== त्रुटियों की उत्पत्ति और प्रसार ==
-त्रुटियों का अध्ययन संख्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।कई तरीके हैं जिनमें समस्या के समाधान में त्रुटि पेश की जा सकती है।
+त्रुटियों का अध्ययन संख्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण अंग है। किसी समस्या को हल करने के लिए त्रुटि को पेश करने के कई तरीके हैं।
-=== राउंड-ऑफ ===
+=== निकटन-त्रुटि (Round-off) ===
-राउंड-ऑफ त्रुटियां उत्पन्न होती हैं क्योंकि परिमित मेमोरी के साथ एक मशीन पर सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना असंभव है (जो कि सभी व्यावहारिक डिजिटल कंप्यूटर हैं)।
+निकटन-त्रुटियां उत्पन्न होती हैं क्योंकि परिमित स्मृति (अर्थात सभी व्यावहारिक डिजिटल कंप्यूटर) वाली मशीन पर सभी वास्तविक संख्याओं का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करना असंभव है।
-=== ट्रंकेशन और विवेकाधीन त्रुटि ===
+=== छिन्नकरण और असंततकरण त्रुटि ===
-जब एक पुनरावृत्ति विधि समाप्त हो जाती है या गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है और अनुमानित समाधान सटीक समाधान से भिन्न होता है, तो ट्रंकेशन त्रुटियां होती हैं।इसी तरह, विवेकाधीन एक विवेकाधीन त्रुटि को प्रेरित करता है क्योंकि असतत समस्या का समाधान निरंतर समस्या के समाधान के साथ मेल नहीं खाता है।ऊपर दिए गए उदाहरण में समाधान की गणना करने के लिए <math>3x^3+4=28</math>, दस पुनरावृत्तियों के बाद, गणना की गई जड़ लगभग 1.99 है।इसलिए, ट्रंकेशन त्रुटि लगभग 0.01 है।
+छिन्नकरण त्रुटियाँ तब होती हैं जब एक पुनरावृत्त विधि को समाप्त कर दिया जाता है या एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है और अनुमानित समाधान सटीक समाधान से भिन्न होता है। इसी तरह, असंततकरण एक असंततकरण त्रुटि पैदा करता है क्योंकि असतत समस्या का समाधान निरंतर समस्या के समाधान से मेल नहीं खाता है। ऊपर दिए गए उदाहरण में <math>3x^3+4=28</math> के समाधान की गणना करने के लिए, दस पुनरावृत्तियों के बाद, परिकलित मूल लगभग 1.99 है। इसलिए, छिन्नकरण त्रुटि 0.01 है।
-एक बार एक त्रुटि उत्पन्न हो जाने के बाद, यह गणना के माध्यम से फैलता है।उदाहरण के लिए, कंप्यूटर पर ऑपरेशन + अक्षम है।प्रकार की गणना {{tmath|a+b+c+d+e}} और भी अधिक अक्षम है।
+एक बार त्रुटि होने पर, इसे गणना के माध्यम से फैलाया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी कंप्यूटर पर ऑपरेशन + सही नहीं है। {{tmath|a+b+c+d+e}} प्रकार की गणना और भी सटीक नहीं है।
-गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाने पर एक ट्रंकेशन त्रुटि बनाई जाती है।एक फ़ंक्शन को वास्तव में एकीकृत करने के लिए, क्षेत्रों का एक अनंत योग पाया जाना चाहिए, लेकिन संख्यात्मक रूप से केवल एक परिमित क्षेत्रों को पाया जा सकता है, और इसलिए सटीक समाधान का अनुमान।इसी तरह, एक फ़ंक्शन को अलग करने के लिए, अंतर तत्व शून्य तक पहुंचता है, लेकिन संख्यात्मक रूप से केवल अंतर तत्व का एक गैर -मान मान चुना जा सकता है।
+जब एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है तो एक छिन्नन त्रुटि होती है। किसी समीकरण को सटीक रूप से एकीकृत करने के लिए, क्षेत्रों की एक अनंत राशि मिलनी चाहिए, लेकिन संख्यात्मक रूप से केवल क्षेत्रों का एक सीमित योग ही पाया जा सकता है, और इसलिए सटीक समाधान का अनुमान लगाया जा सकता है। इसी तरह, किसी समीकरण में अंतर करने के लिए, अंतर तत्व शून्य के करीब पहुंचता है, लेकिन संख्यात्मक रूप से अंतर तत्व का केवल एक गैर-शून्य मान चुना जा सकता है।
-=== संख्यात्मक स्थिरता और अच्छी तरह से पोज वाली समस्याएं ===
+=== संख्यात्मक स्थिरता और सुविचारित समस्याएं ===
-संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक विश्लेषण में एक धारणा है।एक एल्गोरिथ्म को 'संख्यात्मक रूप से स्थिर' कहा जाता है यदि कोई त्रुटि, जो भी इसका कारण है, गणना के दौरान बहुत बड़ा नहीं होता है।<ref name="stab">Higham, N. J. (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms (Vol. 80). SIAM.</ref>यह तब होता है जब समस्या 'अच्छी तरह से वातानुकूलित' हो, जिसका अर्थ है कि समाधान केवल एक छोटी राशि से बदल जाता है यदि समस्या डेटा को कम राशि से बदल दिया जाता है।<ref नाम = stab /> इसके विपरीत, यदि कोई समस्या 'बीमार-वातानुकूलित' है, तो डेटा में कोई भी छोटी त्रुटि एक बड़ी त्रुटि होगी।<ref नाम = stab />
+संख्यात्मक विश्लेषण में संख्यात्मक स्थिरता एक मान्यता है। एक कलन विधि को 'संख्यात्मक रूप से स्थिर' कहा जाता है यदि कोई त्रुटि, किसी भी कारण से, गणना के दौरान बहुत बड़ी नहीं होती है।<ref name="stab">Higham, N. J. (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms (Vol. 80). SIAM.</ref> यह तब होता है जब समस्या 'अच्छी तरह से  सशर्त ' होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान केवल थोड़ी मात्रा में बदलता है यदि समस्या डेटा को थोड़ी मात्रा में बदल दिया जाता है।<ref name="stab"/> इसके विपरीत यदि कोई समस्या 'असभ्य' है, तो डेटा में कोई भी छोटी त्रुटि एक बड़ी त्रुटि बन जाएगी।<ref name="stab"/> मूल समस्या और उस समस्या को हल करने के लिए प्रयुक्त कलन विधि दोनों 'अच्छी तरह से सशर्त  या 'कुप्रतिबंधित' हो सकते हैं, और कोई भी संयोजन संभव है।
-मूल समस्या और एल्गोरिथ्म दोनों का उपयोग उस समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है, 'अच्छी तरह से वातानुकूलित' या 'बीमार-वातानुकूलित' हो सकता है, और कोई भी संयोजन संभव है।
+तो कलन विधि जो एक सशर्त समीकरण को हल करता है, वह संख्यात्मक रूप से स्थिर या संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो सकता है। '''संख्यात्मक विश्लेषण की एक कला एक अच्छी तरह से प्रस्तुत गणितीय समस्या को हल करने के लिए एक स्थिर कलन विधि ढूंढना है।''' उदाहरण के लिए, 2 (जो लगभग 1.41421 है) के वर्गमूल की गणना करना एक अच्छी तरह से सामने आई समस्या है। कई एल्गोरिदम इस समस्या को प्रारंभिक सन्निकटन ''x''<sub>0</sub> <math>\sqrt{2}</math> से शुरू करके हल करते हैं, उदाहरण के लिए, x<sub>0</sub> = 1.4, और फिर बेहतर सन्निकटन ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>,, आदि की गणना करते हैं। ऐसी ही एक विधि प्रसिद्ध बेबीलोनियाई विधि है, जिसे ''x''<sub>''k''+1</sub> = ''x<sub>k</sub>''/2 + 1/''x<sub>k</sub>''. द्वारा दिया गया है। एक और विधि, जिसे 'method X' कहा जाता है। ''x''<sub>''k''+1</sub> = (''x''<sub>''k''</sub><sup>2</sup> − 2)<sup>2</sup> + ''x''<sub>''k''</sub> द्वारा दिया गया है। प्रत्येक योजना के कुछ पुनरावृत्तियों की गणना नीचे दी गई तालिका में की जाती है, प्रारंभिक अनुमानों के साथ ''x''<sub>0</sub> = 1.4 और ''x''<sub>0</sub> = 1.42।
-तो एक एल्गोरिथ्म जो एक अच्छी तरह से वातानुकूलित समस्या को हल करता है, या तो संख्यात्मक रूप से स्थिर या संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो सकता है।संख्यात्मक विश्लेषण की एक कला एक अच्छी तरह से पनी हुई गणितीय समस्या को हल करने के लिए एक स्थिर एल्गोरिथ्म खोजने के लिए है।उदाहरण के लिए, 2 के वर्गमूल की गणना करना (जो लगभग 1.41421 है) एक अच्छी तरह से पनी समस्या है।कई एल्गोरिदम एक प्रारंभिक सन्निकटन एक्स के साथ शुरू करके इस समस्या को हल करते हैं<sub>0</sub> to <math>\sqrt{2}</math>उदाहरण के लिए x<sub>0</sub> = 1.4, and then computing improved guesses ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, etc. One such method is the famous [[Babylonian method]], which is given by ''x''<sub>''k''+1</sub> = ''x<sub>k</sub>''/2 + 1/''x<sub>k</sub>''. Another method, called 'method X', is given by ''x''<sub>''k''+1</sub> = (''x''<sub>''k''</sub><sup>2</sup> − 2)<sup>2</sup> + ''x''<sub>''k''</sub>.{{NoteTag|This is a [[fixed point iteration]] for the equation <math>x=(x^2-2)^2+x=f(x)</math>, जिनके समाधान में शामिल हैं <math>\sqrt{2}</math>।Iterates हमेशा तब से दाईं ओर जाते हैं <math>f(x)\geq x</math>।अत <math>x_1=1.4<\sqrt{2}</math> अभिसरण और <math>x_1=1.42>\sqrt{2}</math> diverges।}} प्रत्येक योजना के कुछ पुनरावृत्तियों की गणना नीचे तालिका रूप में की जाती है, प्रारंभिक अनुमान x के साथ<sub>0</sub> = 1.4 and ''x''<sub>0</sub>= 1.42।
 {| class="wikitable"
 |-
-! Babylonian
+!बेबीलोनियन
-! Babylonian
+|'''बेबीलोनियन'''
-! Method X
+|'''विधि X'''
-! Method X
+|'''विधि X'''
   |-
   | ''x''<sub>0</sub> = 1.4
@@ Line 142: / Line 140: @@
   | ''x''<sub>27</sub> = 7280.2284...
   |}
-निरीक्षण करें कि बेबीलोन की विधि प्रारंभिक अनुमान की परवाह किए बिना जल्दी से परिवर्तित हो जाती है, जबकि विधि एक्स प्रारंभिक अनुमान एक्स के साथ बेहद धीरे -धीरे परिवर्तित होती है<sub>0</sub> = 1.4 and diverges for initial guess ''x''<sub>0</sub>= 1.42।इसलिए, बेबीलोन की विधि संख्यात्मक रूप से स्थिर है, जबकि विधि एक्स संख्यात्मक रूप से अस्थिर है।
+ध्यान दें कि बेबीलोन की विधि प्रारंभिक अनुमान की परवाह किए बिना जल्दी से परिवर्तित हो जाती है, जबकि विधि X प्रारंभिक अनुमान x<sub>0</sub> = 1.4 के साथ बहुत धीमी गति से परिवर्तित होती है और प्रारंभिक अनुमान ''x''<sub>0</sub>  = 1.42 के लिए अलग हो जाती है। इसलिए, बेबीलोनियन पद्धति संख्यात्मक रूप से स्थिर है, जबकि विधि X संख्यात्मक रूप से अस्थिर है।
-: संख्यात्मक स्थिरता मशीन के महत्वपूर्ण अंकों की संख्या से प्रभावित होती है।यदि एक मशीन का उपयोग किया जाता है जो केवल चार सबसे महत्वपूर्ण दशमलव अंक रखता है, तो महत्व के नुकसान पर एक अच्छा उदाहरण दो समकक्ष कार्यों द्वारा दिया जा सकता है
+: '''संख्यात्मक स्थिरता''' मशीन के महत्वपूर्ण अंकों की संख्या से प्रभावित होती है। यदि एक मशीन का उपयोग किया जाता है जिसमें केवल चार सबसे महत्वपूर्ण दशमलव अंक होते हैं, तो महत्व के नुकसान का एक अच्छा उदाहरण दो समकक्ष कार्यों द्वारा दिया जा सकता है।
 :<math>
 f(x)=x\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)
@@ Line 149: / Line 147: @@
 g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}.
 </math>
-के परिणामों की तुलना करना
+के परिणामों की तुलना
 :: <math> f(500)=500 \left(\sqrt{501}-\sqrt{500} \right)=500 \left(22.38-22.36 \right)=500(0.02)=10</math>
 :तथा
@@ Line 158: / Line 156: @@
 \end{alignat}
 </math>
-: उपरोक्त दो परिणामों की तुलना करके, यह स्पष्ट है कि महत्व का नुकसान (यहां के कारण, सन्निकटन को पास के नंबरों को घटाने से भयावह रद्द होने के कारण <math>\sqrt{501}</math> तथा <math>\sqrt{500}</math>, घटाव की गणना के बावजूद) परिणामों पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ता है, भले ही दोनों कार्य समतुल्य हों, जैसा कि नीचे दिखाया गया है
+:
+:उपरोक्त दो परिणामों की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि महत्व का नुकसान (घटाव एक सटीक गणना होने के बावजूद, आसन्न संख्या <math>\sqrt{501}</math> और '''<math>\sqrt{500}</math>''' के सन्निकटन को कम करके विपत्तिपूर्ण निरस्तीकरण के कारण) परिणामों पर एक बड़ा प्रभाव डालता है, भले ही दोनों कार्य समकक्ष हैं जैसा कि नीचे दिखाया गया है।
 :: <math> \begin{alignat}{4}
 f(x)&=x \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\\
@@ Line 168: / Line 167: @@
      &=g(x)
 \end{alignat}</math>
-: वांछित मूल्य, अनंत परिशुद्धता का उपयोग करके गणना की गई, 11.174755 है ...
+: वांछित मान 11.174755 है, जिसकी गणना अनंत परिशुद्धता का उपयोग करके की जाती है...
-* उदाहरण मैथ्यू से लिया गया एक संशोधन है;MATLAB, 3rd ed का उपयोग करके संख्यात्मक तरीके।
+* उदाहरण मैथ्यू न्यूमेरिकल मेथड्स यूजिंग मैटलैब (MATLAB), थर्ड एडिशन में से एक का संशोधन है।
 == अध्ययन के क्षेत्र ==
-संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में कई उप-अनुशासन शामिल हैं।कुछ प्रमुख हैं:
+संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में कई उप-विषय होते हैं। इनमें से कुछ प्रमुख निम्नलिखित हैं:
-=== कार्यों का कंप्यूटिंग मान ===
+=== समीकरणों का संगणन मान ===
 {| class="wikitable" style="float: right; width: 250px; clear: right; margin-left: 1em;"
   |
-Interpolation: Observing that the temperature varies from 20 degrees Celsius at 1:00 to 14 degrees at 3:00, a linear interpolation of this data would conclude that it was 17 degrees at 2:00 and 18.5 degrees at 1:30pm.
+'''प्रक्षेप:''' यह देखते हुए कि तापमान 20 डिग्री सेल्सियस से 1:00 से 14 डिग्री पर 3:00 में बदलता रहता है, इस डेटा का एक रैखिक प्रक्षेप यह निष्कर्ष निकालेगा कि यह 2:00 पर 17 डिग्री और 1:30 बजे 18.5 डिग्री था।
-Extrapolation: If the [[gross domestic product]] of a country has been growing an average of 5% per year and was 100 billion last year, it might extrapolated that it will be 105 billion this year.
+'''बहिर्वेशन:''' यदि किसी देश की जीडीपी औसतन 5% प्रति वर्ष की दर से बढ़ रही है और पिछले वर्ष 100 बिलियन थी, तो अनुमान लगाया जा सकता है कि यह इस वर्ष 105 बिलियन होगी।
 [[Image:Linear-regression.svg|right|100px|A line through 20 points]]
-Regression: In linear regression, given ''n'' points, a line is computed that passes as close as possible to those ''n'' points.
+प्रतिगमन: रैखिक प्रतिगमन में, n अंक दिए गए, एक रेखा की गणना की जाती है जो यथासंभव उन n बिंदुओं के करीब से गुजरती है।[[Image:LemonadeJuly2006.JPG|right|100px|How much for a glass of lemonade?]]
-[[Image:LemonadeJuly2006.JPG|right|100px|How much for a glass of lemonade?]]
+'''अनुकूलन:''' मान लें कि नींबू पानी एक नींबू पानी स्टैंड पर $1.00 प्रति गिलास पर बेचा जाता है, कि 197 गिलास नींबू पानी प्रति दिन बेचा जा सकता है, और यह कि $0.01 की प्रत्येक वृद्धि के लिए, प्रति दिन नींबू पानी का एक कम गिलास बेचा जाएगा। यदि $1.485 का शुल्क लगाया जा सकता है, तो लाभ को अधिकतम किया जाएगा, लेकिन एक पूर्ण-प्रतिशत राशि चार्ज करने की बाध्यता के कारण, $1.48 या $1.49 प्रति गिलास चार्ज करने से दोनों को प्रतिदिन $220.52 की अधिकतम आय प्राप्त होगी।
-Optimization: Suppose lemonade is sold at a [[lemonade stand]], at $1.00 per glass, that 197 glasses of lemonade can be sold per day, and that for each increase of $0.01, one less glass of lemonade will be sold per day. If $1.485 could be charged, profit would be maximized, but due to the constraint of having to charge a whole-cent amount, charging $1.48 or $1.49 per glass will both yield the maximum income of $220.52 per day.
 [[Image:Wind-particle.png|right|Wind direction in blue, true trajectory in black, Euler method in red]]
-Differential equation: If 100 fans are set up to blow air from one end of the room to the other and then a feather is dropped into the wind, what happens? The feather will follow the air currents, which may be very complex. One approximation is to measure the speed at which the air is blowing near the feather every second, and advance the simulated feather as if it were moving in a straight line at that same speed for one second, before measuring the wind speed again. This is called the [[Euler method]] for solving an ordinary differential equation.
+'''अंतर समीकरण:''' यदि कमरे के एक छोर से दूसरे छोर तक हवा उड़ाने के लिए 100 पंखे लगाए जाएं और फिर एक पंखा हवा में गिराया जाए, तो क्या होता है? विंग हवा की धाराओं का पालन करेगा, जो बहुत जटिल हो सकता है। एक सन्निकटन उस गति को मापने के लिए है जिस पर हवा हर सेकंड विंग के पास बह रही है, और नकली विंग को स्थानांतरित करें जैसे कि यह एक ही गति से एक सीधी रेखा में एक सेकंड के लिए फिर से हवा के साथ घूम रहा हो। गति मापने से पहले। इसे सरल अवकल समीकरणों को हल करने की यूलर विधि कहते हैं।
 |}
-सबसे सरल समस्याओं में से एक किसी दिए गए बिंदु पर एक फ़ंक्शन का मूल्यांकन है।सूत्र में संख्या में सिर्फ प्लगिंग का सबसे सीधा दृष्टिकोण, कभी -कभी बहुत कुशल नहीं होता है।बहुपद के लिए, एक बेहतर दृष्टिकोण हॉर्नर योजना का उपयोग कर रहा है, क्योंकि यह आवश्यक संख्या में गुणा और परिवर्धन को कम करता है।आम तौर पर, फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित के उपयोग से उत्पन्न होने वाली राउंड-ऑफ त्रुटियों का अनुमान लगाना और नियंत्रित करना महत्वपूर्ण है।
+किसी दिए गए बिंदु पर समीकरण का मूल्यांकन करना सबसे सरल समस्याओं में से एक है। किसी सूत्र में किसी संख्या को सरलता से जोड़ने का सबसे सीधा तरीका कभी-कभी बहुत कारगर नहीं होता है। बहुपदों के लिए, हॉर्नर योजना का उपयोग करना एक बेहतर तरीका है, क्योंकि यह आवश्यक संख्या में गुणा और परिवर्धन को कम करता है। सामान्य तौर पर, फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के उपयोग से उत्पन्न होने वाली पूर्णांक त्रुटियों के लिए अनुमान लगाना और नियंत्रित करना महत्वपूर्ण है।
-=== प्रक्षेप, एक्सट्रपलेशन, और प्रतिगमन ===
-प्रक्षेप निम्नलिखित समस्या को हल करता है: कई बिंदुओं पर कुछ अज्ञात फ़ंक्शन के मान को देखते हुए, दिए गए बिंदुओं के बीच किसी अन्य बिंदु पर उस फ़ंक्शन का क्या मूल्य है?
-एक्सट्रपलेशन प्रक्षेप के समान है, सिवाय इसके कि अब एक बिंदु पर अज्ञात फ़ंक्शन का मूल्य जो दिए गए बिंदुओं के बाहर है, को पाया जाना चाहिए।<ref>Brezinski, C., & Zaglia, M. R. (2013). Extrapolation methods: theory and practice. Elsevier.</ref>
-प्रतिगमन भी समान है, लेकिन यह ध्यान में रखता है कि डेटा अभेद्य है।कुछ बिंदुओं को देखते हुए, और इन बिंदुओं पर कुछ फ़ंक्शन के मूल्य का माप (एक त्रुटि के साथ), अज्ञात फ़ंक्शन पाया जा सकता है।कम से कम वर्ग-मेथोड इसे प्राप्त करने का एक तरीका है।
-=== समीकरणों और समीकरणों के सिस्टम को हल करना ===
-एक और मौलिक समस्या कुछ दिए गए समीकरण के समाधान की गणना कर रही है।दो मामलों को आमतौर पर प्रतिष्ठित किया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि समीकरण रैखिक है या नहीं।उदाहरण के लिए, समीकरण <math>2x+5=3</math> जबकि रैखिक है <math>2x^2+5=3</math> नहीं है।
-रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों के विकास में बहुत प्रयास किए गए हैं।मानक प्रत्यक्ष तरीके, यानी, कुछ मैट्रिक्स अपघटन का उपयोग करने वाले तरीके गॉसियन एलिमिनेशन, लू अपघटन, सममित (या हर्मिटियन) के लिए चोल्स्की अपघटन और सकारात्मक-कमी मैट्रिक्स, और गैर-वर्ग मैट्रिस के लिए क्यूआर अपघटन हैं।Jacobi विधि, Gauss-Seidel Method, क्रमिक ओवर-रिलैक्सेशन और कंजुगेट ग्रेडिएंट विधि जैसे पुनरावृत्त तरीके<ref>Hestenes, Magnus R.; Stiefel, Eduard (December 1952). "Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems". Journal of Research of the National Bureau of Standards. 49 (6): 409.</ref>आमतौर पर बड़ी प्रणालियों के लिए पसंद किया जाता है।मैट्रिक्स विभाजन का उपयोग करके सामान्य पुनरावृत्त तरीकों को विकसित किया जा सकता है।
-रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग nonlinear समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है (उन्हें इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि एक फ़ंक्शन की एक जड़ एक तर्क है जिसके लिए फ़ंक्शन शून्य पैदा करता है)।यदि फ़ंक्शन अलग -अलग है और व्युत्पन्न ज्ञात है, तो न्यूटन की विधि एक लोकप्रिय विकल्प है।<ref>Ezquerro Fernández, J. A., & Hernández Verón, M. Á. (2017). Newton’s method: An updated approach of Kantorovich’s theory. Birkhäuser.</ref><ref>Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Second printed edition. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)</ref>नॉनलाइनियर समीकरणों को हल करने के लिए रैखिककरण एक और तकनीक है।
-=== eigenvalue या एकवचन मूल्य समस्याओं को हल करना ===
-कई महत्वपूर्ण समस्याओं को eigenvalue decompositions या एकवचन मूल्य विघटन के संदर्भ में प्रस्तुत किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय छवि संपीड़न एल्गोरिथ्म<ref>[http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm The Singular Value Decomposition and Its Applications in Image Compression] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20061004041704/http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm |date=4 October 2006 }}</ref>एकवचन मूल्य विघटन पर आधारित है।आंकड़ों में संबंधित उपकरण को प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस कहा जाता है।
+=== अंतर्वेशन, बहिर्वेशन, और प्रतिगमन ===
+बहिर्वेशन, अंतर्वेशन के समान है, सिवाय इसके कि अब अज्ञात समीकरण का मान उस बिंदु पर है जो दिए गए बिंदुओं से बाहर है।
+बहिर्वेशन, अंतर्वेशन के समान है, सिवाय इसके कि अब अज्ञात समीकरण का मान उस बिंदु पर है जो दिए गए बिंदुओं से बाहर है।<ref>Brezinski, C., & Zaglia, M. R. (2013). Extrapolation methods: theory and practice. Elsevier.</ref>
+प्रतिगमन भी समान है लेकिन यह ध्यान में रखता है कि डेटा सटीक नहीं है। इन बिंदुओं पर (एक त्रुटि के साथ) कई बिंदुओं और कुछ समीकरण के मान के माप को देखते हुए, अज्ञात समीकरण पाया जा सकता है। कम से कम वर्ग विधि इसे प्राप्त करने का एक तरीका है।
+=== समीकरणों और समीकरण प्रणालियों को हल करना ===
+एक अन्य मूलभूत समस्या किसी दिए गए समीकरण के हल की गणना करना है। समीकरण रैखिक है या नहीं, इस पर निर्भर करते हुए, दो मामलों को आमतौर पर प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण <math>2x+5=3</math> रैखिक है जबकि <math>2x^2+5=3</math> नहीं है।
+रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों के विकास में काफी प्रयास किए गए हैं। मानक प्रत्यक्ष विधियाँ, अर्थात, कुछ मैट्रिक्स अपघटन का उपयोग करने वाली विधियाँ हैं गाऊसी उन्मूलन, LU अपघटन, सममित (या हर्मिटियन) के लिए चोल्स्की अपघटन और सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स और गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए QR अपघटन। जैकोबी विधि, गॉस-सीडेल विधि, क्रमिक अति-विश्राम, और संयुग्म ढाल विधि<ref>Hestenes, Magnus R.; Stiefel, Eduard (December 1952). "Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems". Journal of Research of the National Bureau of Standards. 49 (6): 409.</ref> जैसी पुनरावृत्त विधियों को आम तौर पर बड़ी प्रणालियों के लिए प्राथमिकता दी जाती है। मैट्रिक्स विभाजन का उपयोग करके सामान्य पुनरावृत्त विधियाँ विकसित की जा सकती हैं।
+मूलनिर्धारण कलन विधि का उपयोग गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है (उन्हें इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि समीकरण का मूल एक तर्क है जिसके लिए समीकरण शून्य उत्पन्न करता है)। यदि फलन अवकलनीय है और अवकलज ज्ञात है तो न्यूटन की विधि एक लोकप्रिय विकल्प है।<ref>Ezquerro Fernández, J. A., & Hernández Verón, M. Á. (2017). Newton’s method: An updated approach of Kantorovich’s theory. Birkhäuser.</ref><ref>Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Second printed edition. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)</ref> रेखीयकरण गैर-रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एक और तकनीक है।
+=== आइगेन मूल्य (eigenvalue) या एकवचन मूल्य समीकरण ===
+कई महत्वपूर्ण समस्याओं को आइगेन मूल्य अपघटन या विलक्षण मान अपघटन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय छवि संपीड़न कलन विधि<ref>[http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm The Singular Value Decomposition and Its Applications in Image Compression] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20061004041704/http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm |date=4 October 2006 }}</ref> एकवचन मूल्य अपघटन पर आधारित है। सांख्यिकी में संबंधित उपकरण को प्रमुख घटक विश्लेषण कहा जाता है।
 === अनुकूलन ===
 {{Main|Mathematical optimization}}
-अनुकूलन समस्याएं उस बिंदु के लिए पूछती हैं जिस पर किसी दिए गए फ़ंक्शन को अधिकतम (या कम से कम) किया जाता है।अक्सर, बिंदु को कुछ बाधाओं को भी संतुष्ट करना पड़ता है।
+अनुकूलन समस्याएं उस बिंदु के लिए पूछती हैं जिस पर किसी दिए गए समीकरण को अधिकतम (या न्यूनतम) किया जाता है। अक्सर, बिंदु को कुछ बाधाओं को भी पूरा करना पड़ता है।
-ऑप्टिमाइज़ेशन के क्षेत्र को कई उप -क्षेत्रों में और विभाजित किया जाता है, जो उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधा के रूप में निर्भर करता है।उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग मामले से संबंधित है कि उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाएं दोनों रैखिक हैं।रैखिक प्रोग्रामिंग में एक प्रसिद्ध विधि सिंप्लेक्स विधि है।
+अनुकूलन के क्षेत्र को उद्देश्य समीकरण के रूप और बाधा के आधार पर कई उपक्षेत्रों में विभाजित किया गया है। उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग इस मामले से संबंधित है कि उद्देश्य कार्य और बाधा दोनों रैखिक हैं। रेखीय प्रोग्रामिंग में एक प्रसिद्ध विधि सरल विधि है।
-Lagrange मल्टीप्लायरों की विधि का उपयोग अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्याओं के लिए बाधाओं के साथ अनुकूलन समस्याओं को कम करने के लिए किया जा सकता है।
+लैग्रेंज मल्टीप्लायरों (Lagrange multipliers ) की विधि का उपयोग अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्याओं के लिए बाधाओं के साथ अनुकूलन समस्याओं को कम करने के लिए किया जा सकता है।
-=== इंटीग्रल्स का मूल्यांकन ===
+=== अभिन्न का मूल्यांकन ===
 {{Main|Numerical integration}}
-संख्यात्मक एकीकरण, कुछ उदाहरणों में संख्यात्मक चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है, एक निश्चित अभिन्न के मूल्य के लिए पूछता है।<ref>Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). Methods of numerical integration. Courier Corporation.</ref>लोकप्रिय तरीके न्यूटन -कॉट्स फॉर्मूले (जैसे मिडपॉइंट नियम या सिम्पसन के नियम) या गौसियन चतुष्कोण का उपयोग करते हैं।<ref>Weisstein, Eric W. "Gaussian Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. {{URL|https://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html}}</ref>ये विधियाँ एक विभाजन और विजय रणनीति पर निर्भर करती हैं, जिससे अपेक्षाकृत बड़े सेट पर एक अभिन्न अंग छोटे सेटों पर इंटीग्रल में टूट जाते हैं।उच्च आयामों में, जहां ये विधियां कम्प्यूटेशनल प्रयास के संदर्भ में निषेधात्मक रूप से महंगी हो जाती हैं, कोई मोंटे कार्लो या क्वासी-मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग कर सकता है (मोंटे कार्लो एकीकरण देखें<ref>Geweke, J. (1995). Monte Carlo simulation and numerical integration. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department.</ref>), या, मामूली बड़े आयामों में, विरल ग्रिड की विधि।
+संख्यात्मक एकीकरण, कुछ उदाहरणों में जिसे संख्यात्मक चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है, एक निश्चित अभिन्न के मूल्य की मांग करता है।<ref>Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). Methods of numerical integration. Courier Corporation.</ref> लोकप्रिय विधियाँ न्यूटन-कोट्स फ़ार्मुलों में से किसी एक का उपयोग करती हैं (जैसे कि मध्यबिंदु नियम या सिम्पसन का नियम) या गाऊसी द्विघात।<ref>Weisstein, Eric W. "Gaussian Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. {{URL|https://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html}}</ref> ये विधियां "विभाजन और जीत" रणनीति पर निर्भर करती हैं, जिससे अपेक्षाकृत बड़े सेट पर एक अभिन्न छोटे समुच्चय पर अभिन्न में टूट जाता है। उच्च आयामों में, जहां संगणकीय प्रयास के मामले में ये विधियां निषेधात्मक रूप से महंगी हो जाती हैं, कोई मोंटे कार्लो या अर्ध-मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग कर सकता है (मोंटे कार्लो एकीकरण देखें<ref>Geweke, J. (1995). Monte Carlo simulation and numerical integration. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department.</ref>), या विरल ग्रिड का माध्यम बड़े आयाम विधि में।
 === अंतर समीकरण ===
 {{Main|Numerical ordinary differential equations|Numerical partial differential equations}}
-संख्यात्मक विश्लेषण भी कंप्यूटिंग (एक अनुमानित तरीके से) विभेदक समीकरणों के समाधान, दोनों साधारण अंतर समीकरणों और आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान से भी संबंधित है।<ref>Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge University Press.</ref>
+संख्यात्मक विश्लेषण का संबंध सामान्य अवकल समीकरणों और आंशिक अंतर समीकरणों, दोनों के अंतर समीकरणों के समाधान की गणना (अनुमानित तरीके से) से भी है।<ref>Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge University Press.</ref>आंशिक अवकल समीकरणों को पहले समीकरण में परिवर्तन करके हल किया जाता है, इसे एक परिमित-आयामी उप-स्थान में लाया जाता है।<ref>Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.</ref> यह एक परिमित तत्व विधि द्वारा किया जा सकता है,<ref>Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.</ref><ref>Brenner, S., & Scott, R. (2007). The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media.</ref><ref>Strang, G., & Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.</ref> एक परिमित अंतर विधि,<ref>Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.</ref> या (विशेष रूप से अभियांत्रिकी में) एक परिमित मात्रा विधि।इन विधियों के सैद्धांतिक औचित्य में अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण से प्रमेय शामिल होते हैं। यह समस्या को एक बीजीय समीकरण के समाधान के लिए कम कर देता है।
-आंशिक अंतर समीकरणों को पहले समीकरण को विवेकाधीन करके हल किया जाता है, इसे एक परिमित-आयामी उप-समूह में लाया जाता है।<ref>Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.</ref>यह एक परिमित तत्व विधि द्वारा किया जा सकता है,<ref>Johnson, C. (2012). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.</ref><ref>Brenner, S., & Scott, R. (2007). The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media.</ref><ref>Strang, G., & Fix, G. J. (1973). An analysis of the finite element method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.</ref>एक परिमित अंतर विधि,<ref>Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.</ref>या (विशेष रूप से इंजीनियरिंग में) एक परिमित मात्रा विधि।<ref>LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.</ref>इन विधियों के सैद्धांतिक औचित्य में अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण से प्रमेय शामिल होते हैं।यह एक बीजीय समीकरण के समाधान के लिए समस्या को कम करता है।
 == सॉफ्टवेयर ==
 {{Main|List of numerical-analysis software|Comparison of numerical-analysis software}}
-बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, अधिकांश एल्गोरिदम विभिन्न प्रकार की प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू किए जाते हैं। नेटलिब रिपॉजिटरी में संख्यात्मक समस्याओं के लिए सॉफ्टवेयर रूटीन के विभिन्न संग्रह शामिल हैं, ज्यादातर फोरट्रान और सी। में कई अलग -अलग संख्यात्मक एल्गोरिदम को लागू करने वाले वाणिज्यिक उत्पादों में आईएमएसएल और एनएजी पुस्तकालय शामिल हैं; एक फ्री-सॉफ्टवेयर विकल्प जीएनयू साइंटिफिक लाइब्रेरी है।
+बीसवीं सदी के उत्तरार्ध से, अधिकांश एल्गोरिदम को विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू किया गया है। नेटलिब (Netlib) रिपॉजिटरी में संख्यात्मक समस्याओं के लिए सॉफ्टवेयर रूटीन के विभिन्न संग्रह हैं, ज्यादातर फोरट्रान (Fortan) और सी (C) में। कई अलग-अलग संख्यात्मक एल्गोरिदम को लागू करने वाले वाणिज्यिक उत्पादों में IMSL और NAG लाइब्रेरी शामिल हैं। जीएनयू (JNU) साइंटिफिक लाइब्रेरी एक फ्री सॉफ्टवेयर विकल्प है।
-पिछले कुछ वर्षों में रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी ने रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी, सीरीज़ सी (एप्लाइड स्टैटिस्टिक्स) के जर्नल में कई एल्गोरिदम प्रकाशित किए। एप्लाइड स्टैटिस्टिक्स (इन के लिए कोड फ़ंक्शंस के रूप में कोड [https://jblevins.org/mirror/amiller/#apstat यहां]);
-एसीएम इसी तरह, गणितीय सॉफ्टवेयर पर इसके लेनदेन में (TOMS कोड [https://jblevins.org/mirror/amiller/#toms यहाँ] है)।
-नेवल सरफेस वारफेयर सेंटर ने कई बार अपने [https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/pdfs/ada476840.pdf लाइब्रेरी ऑफ़ मैथमेटिक्स सबरूटीन्स] प्रकाशित किया (कोड [https://jblevins.org/mirror/amiller/#nswc ])।
-कई लोकप्रिय संख्यात्मक कंप्यूटिंग अनुप्रयोग जैसे कि MATLAB, हैं,<ref>Quarteroni, A., Saleri, F., & Gervasio, P. (2006). Scientific computing with MATLAB and Octave. Berlin: Springer.</ref><ref name="gh">Gander, W., & Hrebicek, J. (Eds.). (2011). Solving problems in scientific computing using Maple and Matlab®. [[Springer Science & Business Media]].</ref><ref name="bf">Barnes, B., & Fulford, G. R. (2011). Mathematical modelling with case studies: a differential equations approach using Maple and MATLAB. Chapman and Hall/CRC.</ref>Tk सॉल्वर, एस-प्लस और आईडीएल<ref>Gumley, L. E. (2001). Practical IDL programming. Elsevier.</ref>साथ ही स्वतंत्र और खुले स्रोत विकल्प जैसे कि फ्रीमाट, स्किलैब,<ref>Bunks, C., Chancelier, J. P., Delebecque, F., Goursat, M., Nikoukhah, R., & Steer, S. (2012). Engineering and scientific computing with Scilab. [[Springer Science & Business Media]].</ref><ref>Thanki, R. M., & Kothari, A. M. (2019). Digital image processing using SCILAB. Springer International Publishing.</ref>GNU ऑक्टेव (MATLAB के समान), और यह ++ (C ++ लाइब्रेरी)।आर जैसी प्रोग्रामिंग भाषाएं भी हैं<ref>Ihaka, R., & Gentleman, R. (1996). R: a language for data analysis and graphics. Journal of computational and graphical statistics, 5(3), 299-314.</ref>(एस-प्लस के समान), जूलिया,<ref>{{Cite journal|last=Bezanson|first=Jeff|last2=Edelman|first2=Alan|last3=Karpinski|first3=Stefan|last4=Shah|first4=Viral B.|date=2017-01-01|title=Julia: A Fresh Approach to Numerical Computing|url=https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/141000671|journal=SIAM Review|volume=59|issue=1|pages=65–98|doi=10.1137/141000671|issn=0036-1445|hdl=1721.1/110125|hdl-access=free}}</ref>और पायथन लाइब्रेरी जैसे कि न्यूमपी, स्किपी के साथ<ref>Jones, E., Oliphant, T., & Peterson, P. (2001). SciPy: Open source scientific tools for Python.</ref><ref>Bressert, E. (2012). SciPy and NumPy: an overview for developers. " O'Reilly Media, Inc.".</ref><ref>Blanco-Silva, F. J. (2013). Learning SciPy for numerical and scientific computing. Packt Publishing Ltd.</ref>और सिम्पी।प्रदर्शन व्यापक रूप से भिन्न होता है: जबकि वेक्टर और मैट्रिक्स संचालन आमतौर पर तेज होते हैं, स्केलर लूप्स परिमाण के एक क्रम से अधिक गति में भिन्न हो सकते हैं।<ref>[http://www.sciviews.org/benchmark/ Speed comparison of various number crunching packages] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20061005024002/http://www.sciviews.org/benchmark/ |date=5 October 2006 }}</ref><ref>[http://www.scientificweb.com/ncrunch/ncrunch5.pdf Comparison of mathematical programs for data analysis] {{Webarchive|url=http://arquivo.pt/wayback/20160518062220/http://www.scientificweb.com/ncrunch/ncrunch5.pdf |date=18 May 2016 }} Stefan Steinhaus, ScientificWeb.com</ref>
+वर्षों से रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी ने अपने एप्लाइड स्टैटिस्टिक्स में कई एल्गोरिदम प्रकाशित किए (इन "एएस" कार्यों के लिए कोड यहां है); एसीएम इसी तरह, गणितीय सॉफ्टवेयर पर अपने लेनदेन में ("TOMS" कोड यहां है)। नेवल सरफेस वारफेयर सेंटर ( Naval Surface Warfare Center) ने अपनी लाइब्रेरी ऑफ मैथमेटिक्स सबरूटीन्स (कोड यहाँ) को कई बार प्रकाशित किया।[https://jblevins.org/mirror/amiller/#nswc ]
-कई कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली जैसे कि मैथेमेटिका भी मनमानी-सटीक अंकगणित की उपलब्धता से लाभान्वित होती है जो अधिक सटीक परिणाम प्रदान कर सकती है।<ref>Maeder, R. E. (1991). Programming in mathematica. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc.</ref><ref>Stephen Wolfram. (1999). The MATHEMATICA® book, version 4. [[Cambridge University Press]].</ref><ref>Shaw, W. T., & Tigg, J. (1993). Applied Mathematica: getting started, getting it done. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc..</ref><ref>Marasco, A., & Romano, A. (2001). Scientific Computing with Mathematica: Mathematical Problems for Ordinary Differential Equations; with a CD-ROM. [[Springer Science & Business Media]].</ref>
+मैटलैब (MATLAB) <ref>Quarteroni, A., Saleri, F., & Gervasio, P. (2006). Scientific computing with MATLAB and Octave. Berlin: Springer.</ref><ref name="gh">Gander, W., & Hrebicek, J. (Eds.). (2011). Solving problems in scientific computing using Maple and Matlab®. [[Springer Science & Business Media]].</ref><ref name="bf">Barnes, B., & Fulford, G. R. (2011). Mathematical modelling with case studies: a differential equations approach using Maple and MATLAB. Chapman and Hall/CRC.</ref> टी.के. सॉल्वर, एस-प्लस,आईडीएल (TK Solver, S-PLUS, IDL)<ref>Gumley, L. E. (2001). Practical IDL programming. Elsevier.</ref> जैसे कई लोकप्रिय संख्यात्मक कंप्यूटिंग अनुप्रयोग हैं, साथ ही फ्रीमैट, साइलैब, ( FreeMat, Scilab)<ref>Bunks, C., Chancelier, J. P., Delebecque, F., Goursat, M., Nikoukhah, R., & Steer, S. (2012). Engineering and scientific computing with Scilab. [[Springer Science & Business Media]].</ref><ref>Thanki, R. M., & Kothari, A. M. (2019). Digital image processing using SCILAB. Springer International Publishing.</ref> जैसे मुक्त और मुक्त स्रोत विकल्प भी हैं। जीएनयू ऑक्टेव (मैटलैब के समान), और IT++ (C++ लाइब्रेरी)। R (S-PLUS के समान), जूलिया, आर जैसी प्रोग्रामिंग भाषाएं भी हैं<ref>Ihaka, R., & Gentleman, R. (1996). R: a language for data analysis and graphics. Journal of computational and graphical statistics, 5(3), 299-314.</ref> (S-PLUS के समान), जूलिया (Julia),<ref>{{Cite journal|last=Bezanson|first=Jeff|last2=Edelman|first2=Alan|last3=Karpinski|first3=Stefan|last4=Shah|first4=Viral B.|date=2017-01-01|title=Julia: A Fresh Approach to Numerical Computing|url=https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/141000671|journal=SIAM Review|volume=59|issue=1|pages=65–98|doi=10.1137/141000671|issn=0036-1445|hdl=1721.1/110125|hdl-access=free}}</ref> और पायथन (Python) लाइब्रेरी जैसे कि NumPy, SciPy के साथ<ref>Jones, E., Oliphant, T., & Peterson, P. (2001). SciPy: Open source scientific tools for Python.</ref><ref>Bressert, E. (2012). SciPy and NumPy: an overview for developers. " O'Reilly Media, Inc.".</ref><ref>Blanco-Silva, F. J. (2013). Learning SciPy for numerical and scientific computing. Packt Publishing Ltd.</ref> और SymPy जैसे पुस्तकालय हैं। प्रदर्शन व्यापक रूप से भिन्न होता है: जबकि वेक्टर और मैट्रिक्स संचालन आम तौर पर तेज़ होते हैं, स्केलर लूप परिमाण के क्रम से अधिक गति से भिन्न हो सकते हैं।<ref>[http://www.sciviews.org/benchmark/ Speed comparison of various number crunching packages] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20061005024002/http://www.sciviews.org/benchmark/ |date=5 October 2006 }}</ref><ref>[http://www.scientificweb.com/ncrunch/ncrunch5.pdf Comparison of mathematical programs for data analysis] {{Webarchive|url=http://arquivo.pt/wayback/20160518062220/http://www.scientificweb.com/ncrunch/ncrunch5.pdf |date=18 May 2016 }} Stefan Steinhaus, ScientificWeb.com</ref>
-इसके अलावा, किसी भी स्प्रेडशीट सॉफ़्टवेयर का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण से संबंधित सरल समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।
+कई कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ जैसे कि गणितज्ञ भी मनमाने-सटीक अंकगणित की उपलब्धता से लाभान्वित होते हैं जो अधिक सटीक परिणाम प्रदान कर सकते हैं।<ref>Maeder, R. E. (1991). Programming in mathematica. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc.</ref><ref>Stephen Wolfram. (1999). The MATHEMATICA® book, version 4. [[Cambridge University Press]].</ref><ref>Shaw, W. T., & Tigg, J. (1993). Applied Mathematica: getting started, getting it done. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc..</ref><ref>Marasco, A., & Romano, A. (2001). Scientific Computing with Mathematica: Mathematical Problems for Ordinary Differential Equations; with a CD-ROM. [[Springer Science & Business Media]].</ref>साथ ही, किसी भी स्प्रैडशीट सॉफ़्टवेयर का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण से संबंधित सरल समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक्सेल में मैट्रिसेस सहित सैकड़ों उपलब्ध फ़ंक्शन हैं, जिनका उपयोग इसके अंतर्निहित "सॉल्वर" के संयोजन में किया जा सकता है।
-Microsoft_excel#| Excel, उदाहरण के लिए, मैट्रिस के लिए सैकड़ों उपलब्ध फ़ंक्शन हैं, जिनमें Matrices के लिए उपयोग किया जा सकता है, जिसका उपयोग इसके Microsoft Excel#Add-Ins के साथ संयोजन में किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
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-=== उद्धरण ===
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-<!--इस टेम्पलेट का उपयोग अतिरिक्त संदर्भों के लिए किया जा सकता है।
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 * {{cite book |last= |first= |author-link= |title= |year= |publisher= |location= |id= }}
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 * {{cite book |last=Leader |first=Jeffery J. |author-link=Jeffery J. Leader |title=Numerical Analysis and Scientific Computation |year=2004 |publisher=Addison Wesley |isbn= 0-201-73499-0 }}
 * {{cite book|last= Wilkinson |first =J.H. |author-link=James H. Wilkinson |title=The Algebraic Eigenvalue Problem |url= https://archive.org/details/algebraiceigenva0000wilk |url-access= registration |publisher = Clarendon Press |year=1965 }}
-* {{cite conference |last = Kahan |first = W. |author-link= William Kahan |title = A survey of error-analysis  |journal = Info. Processing 71 |conference = Proc. IFIP Congress 71 in Ljubljana |volume = 2 |pages = 1214–39 |publisher = North-Holland Publishing |location = Amsterdam |year = 1972 }} (सटीक अंकगणित के महत्व के उदाहरण)।
+* {{cite conference |last = Kahan |first = W. |author-link= William Kahan |title = A survey of error-analysis  |journal = Info. Processing 71 |conference = Proc. IFIP Congress 71 in Ljubljana |volume = 2 |pages = 1214–39 |publisher = North-Holland Publishing |location = Amsterdam |year = 1972 }} (examples of the importance of accurate arithmetic).
-* लॉयड एन। ट्रेफेथेन | ट्रेफेथेन, लॉयड एन। (2006)।]में: टिमोथी गॉवर्स और जून बैरो-ग्रीन (संपादक), प्रिंसटन साथी गणित, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस।
+* [[Lloyd N. Trefethen|Trefethen, Lloyd N.]] (2006). [http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf "Numerical analysis"], 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), ''Princeton Companion of Mathematics'', Princeton University Press.
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-=== पत्रिकाएं =====
+===पत्रिकाओं===
-*[http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bi/digbib.cgi? पृष्ठ चित्र हैं)। {{in lang|en|de}}
+*[http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN362160546 gdz.sub.uni-goettingen], ''Numerische Mathematik'', volumes 1-66, Springer, 1959-1994 (searchable; pages are images). {{in lang|en|de}}
-*न्यूमेरिक मैथमेटिक्स, वॉल्यूम 1-112, स्प्रिंगर, 1959-2009
+*''[[Numerische Mathematik]]'', volumes 1–112, Springer, 1959–2009
-*संख्यात्मक विश्लेषण पर जर्नल, वॉल्यूम 1-47, सियाम, 1964-2009
+*''[[Journal on Numerical Analysis]]'', volumes 1-47, SIAM, 1964–2009
-=== ऑनलाइन ग्रंथ ===
+===ऑनलाइन ग्रंथ===
 *{{springer|title=Numerical analysis|id=p/n120130}}
-*[https://web.archive.org/web/20150905141405/http://www.nr.com/oldverswitcher.html संख्यात्मक व्यंजनों], विलियम एच।
+*[https://web.archive.org/web/20150905141405/http://www.nr.com/oldverswitcher.html ''Numerical Recipes''], William H. Press (free, downloadable previous editions)
-*[https://web.archive.org/web/20120225082123/http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat7/stepsa.htm संख्यात्मक विश्लेषण में पहले कदम] (संग्रहीत), (संग्रहीत),R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, और J.C.Turner
+*[https://web.archive.org/web/20120225082123/http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat7/stepsa.htm ''First Steps in Numerical Analysis''] ([[Internet Archive|archived]]), R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
-*[https://web.archive.org/web/201708012133333/http://www.phy.ornl.gov/csep/csep/textoc.html CSEP (कम्प्यूटेशनल साइंस एजुकेशन प्रोजेक्ट)], यू.एस.2017-08-01)
+*[https://web.archive.org/web/20170801213333/http://www.phy.ornl.gov/csep/CSEP/TEXTOC.html ''CSEP'' (Computational Science Education Project)], [[U.S. Department of Energy]] ([[Internet Archive|archived 2017-08-01]])
-*[https://dlmf.nist.gov/3 संख्यात्मक तरीके], CH 3. गणितीय कार्यों के डिजिटल लाइब्रेरी में
+*[https://dlmf.nist.gov/3 Numerical Methods], ch 3. in the ''[[Digital Library of Mathematical Functions]]''
-*[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_875.htm न्यूमेरिकल इंटरपोलेशन, भेदभाव और एकीकरण], Ch 25. गणितीय कार्यों की हैंडबुक में (Abramowitz और Stegun)
+*[https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_875.htm Numerical Interpolation, Differentiation and Integration], ch 25. in the ''Handbook of Mathematical Functions'' ([[Abramowitz and Stegun]])
-=== ऑनलाइन पाठ्यक्रम सामग्री ===
-*[http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd103/lectures/nummeth98/index.htm#l_1_title_page संख्यात्मक तरीके] ({{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090728181209/http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd103/lectures/nummeth98/index.htm#L_1_Title_Page |date=28 July 2009 }}), स्टुअर्ट डेलज़िल यूनिवर्सिटी ऑफ कैम्ब्रिज
-*[http://www.math.upenn.edu/~wilf/deturckwilf.pdf संख्यात्मक विश्लेषण पर व्याख्यान], डेनिस डिटर्क और हर्बर्ट एस। विल्फ यूनिवर्सिटी ऑफ पेंसिल्वेनिया
-*[http://johndfenton.com/lectures/numerical-methods/numerical-methods.pdf संख्यात्मक तरीके], जॉन डी। फेंटन विश्वविद्यालय कार्लसुहे
-*[http://www-teaching.physics.ox.ac.uk/computing/numericalmethods/nmfp.pdf भौतिकविदों के लिए संख्यात्मक तरीके], एंथनी ओ'हारे ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय
-*[https://web.archive.org/web/20120225082123/http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat7/stepsa.htm संख्यात्मक विश्लेषण में व्याख्यान] (संग्रहीत), r । रेडोक महिदोल विश्वविद्यालय
-*[http://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-993j-ttroduction-to-numerical-analysis-enalysis-engineering-13-002j-spring-2005/ इंजीनियरिंग के लिए संख्यात्मक विश्लेषण का परिचय], हेनरिक श्मिट मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी
-*[http://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/numericalanalysis/ इंजीनियरिंग के लिए संख्यात्मक विश्लेषण], डी। डब्ल्यू। हार्डर यूनिवर्सिटी ऑफ वाटरलू
-*[https://www.math.umd.edu/~diom/courses/amsc466/levy-notes.pdf संख्यात्मक विश्लेषण के लिए परिचय], मैरीलैंड के डोरन लेवी विश्वविद्यालय
-*[https://web.archive.org/web/20070310212643/http://math.fulerton.edu/mathews/n2003/n2003/numericalundergradmod.html संख्यात्मक विश्लेषण - न्यूमेरिकल तरीके] (संग्रहीत), जॉन एच। Fullerton
-{{Areas of mathematics}}
+===ऑनलाइन पाठ्यक्रम सामग्री===
+*[http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd103/lectures/nummeth98/index.htm#L_1_Title_Page Numerical Methods] ({{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090728181209/http://www.damtp.cam.ac.uk/user/fdl/people/sd103/lectures/nummeth98/index.htm#L_1_Title_Page |date=28 July 2009 }}), Stuart Dalziel [[University of Cambridge]]
+*[http://www.math.upenn.edu/~wilf/DeturckWilf.pdf Lectures on Numerical Analysis], Dennis Deturck and Herbert S. Wilf [[University of Pennsylvania]]
+*[http://johndfenton.com/Lectures/Numerical-Methods/Numerical-Methods.pdf Numerical methods], John D. Fenton [[University of Karlsruhe]]
+*[http://www-teaching.physics.ox.ac.uk/computing/NumericalMethods/NMfP.pdf Numerical Methods for Physicists], Anthony O’Hare [[Oxford University]]
+*[https://web.archive.org/web/20120225082123/http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat7/stepsa.htm Lectures in Numerical Analysis] ([[Internet Archive|archived]]), R. Radok [[Mahidol University]]
+*[http://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-993j-introduction-to-numerical-analysis-for-engineering-13-002j-spring-2005/ Introduction to Numerical Analysis for Engineering], Henrik Schmidt [[Massachusetts Institute of Technology]]
+*[http://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/ ''Numerical Analysis for Engineering''], D. W. Harder [[University of Waterloo]]
+*[https://www.math.umd.edu/~diom/courses/AMSC466/Levy-notes.pdf Introduction to Numerical Analysis], Doron Levy [[University of Maryland]]
+*[https://web.archive.org/web/20070310212643/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalUndergradMod.html Numerical Analysis - Numerical Methods] (archived), John H. Mathews [[California State University Fullerton]]
 {{Branches of physics}}
 {{Computer science}}
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सामान्य परिचय

इतिहास

प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त विधियाँ

युक्तिकरण और संख्यात्मक एकीकरण

असंततकरण

त्रुटियों की उत्पत्ति और प्रसार

निकटन-त्रुटि (Round-off)

छिन्नकरण और असंततकरण त्रुटि

संख्यात्मक स्थिरता और सुविचारित समस्याएं

अध्ययन के क्षेत्र

समीकरणों का संगणन मान

अंतर्वेशन, बहिर्वेशन, और प्रतिगमन

समीकरणों और समीकरण प्रणालियों को हल करना

आइगेन मूल्य (eigenvalue) या एकवचन मूल्य समीकरण

अनुकूलन

अभिन्न का मूल्यांकन

अंतर समीकरण

सॉफ्टवेयर

यह भी देखें

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संदर्भ

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