मेरियोलॉजी: Difference between revisions

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{{Distinguish|मेरियोलॉजी}}'''[[गणितीय तर्क]], [[दर्शन]]''' और संबंधित क्षेत्रों में, '''मेरियोलॉजी''' ({{etymology|ग्रीक|μέρος|भाग}} (मूल: {{lang|grc|μερε-}}, मात्र-, 'भाग') और प्रत्यय-विज्ञान, 'अध्ययन, चर्चा, विज्ञान') भागों और उनसे बनने वाले संपूर्ण का अध्ययन है। जबकि समुच्चय सिद्धांत [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] और उसके [[तत्व (गणित)|अवयव (गणित)]] के बीच सदस्यता संबंध पर स्थापित किया गया है, '''मेरियोलॉजी''' इकाइयों के बीच [[मेरोनॉमी]] संबंध पर बल देती है, जो समुच्चय-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से- समुच्चय के बीच [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|समावेशन (समुच्चय सिद्धांत)]] की अवधारणा के निकट है।
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[[गणितीय तर्क]], [[दर्शन]] और संबंधित क्षेत्रों में, मात्रिकी ({{etymology|Greek|μέρος|part}} (जड़: {{lang|grc|μερε-}}, मात्र-, 'भाग') और प्रत्यय -विज्ञान, 'अध्ययन, चर्चा, विज्ञान') भागों और उनसे बनने वाले संपूर्ण का अध्ययन है। जबकि सेट सिद्धांत एक [[सेट (गणित)]] और उसके [[तत्व (गणित)]] के बीच सदस्यता संबंध पर स्थापित किया गया है, मेरियोलॉजी इकाइयों के बीच [[मेरोनॉमी]] संबंध पर जोर देती है, जो सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से- [[समावेशन (सेट सिद्धांत)]] की अवधारणा के करीब है। सेट के बीच.
[[औपचारिक ऑन्टोलॉजी|औपचारिक तात्विकी]] में [[विधेय तर्क]] के अनुप्रयोगों के रूप में मेरियोलॉजी की विभिन्न विधियों से खोज की गई है, जिनमें से प्रत्येक में मेरियोलॉजी महत्वपूर्ण भाग है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र '''मेरियोलॉजी''' की अपनी [[स्वयंसिद्ध परिभाषा]] प्रदान करती है। इस प्रकार से ऐसी स्वयंसिद्ध प्रणाली का सामान्य अवयव स्वयंसिद्धीकरण यह धारणा है, जिसे समावेशन के साथ साझा किया जाता है, कि आंशिक-संपूर्ण संबंध अपने ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करता है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ स्वयं का भाग है (प्रतिवर्ती संबंध), जो कि संपूर्ण के भाग का भाग है स्वयं उस संपूर्ण ([[सकर्मक संबंध]]) का भाग है, और दो अलग-अलग संस्थाएं एक-दूसरे ([[एंटीसिमेट्रिक संबंध|प्रतिसममिति संबंध]]) का भाग नहीं हो सकती हैं, इस प्रकार [[पोसेट|क्रमित समुच्चय]] बनता है। इस स्वयंसिद्धीकरण का प्रकार इस बात से मना करता है कि सकर्मकता को स्वीकार करते समय कोई भी वस्तु कभी भी स्वयं का भाग (अप्रतिक्रियाशीलता) होती है, जिससे प्रतिसममिति स्वचालित रूप से अनुसरण करती है।


[[औपचारिक ऑन्टोलॉजी]] में [[विधेय तर्क]] के अनुप्रयोगों के रूप में मेरियोलॉजी की विभिन्न तरीकों से खोज की गई है, जिनमें से प्रत्येक में मेरियोलॉजी एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र मेरियोलॉजी की अपनी [[स्वयंसिद्ध परिभाषा]] प्रदान करता है। ऐसी स्वयंसिद्ध प्रणाली का एक सामान्य तत्व # स्वयंसिद्धीकरण यह धारणा है, जिसे समावेशन के साथ साझा किया जाता है, कि आंशिक-संपूर्ण संबंध अपने ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करता है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ स्वयं का एक हिस्सा है (रिफ्लेक्सिव संबंध), जो कि संपूर्ण के एक भाग का एक हिस्सा है स्वयं उस संपूर्ण ([[सकर्मक संबंध]]) का एक हिस्सा है, और दो अलग-अलग संस्थाएं एक-दूसरे ([[एंटीसिमेट्रिक संबंध]]) का हिस्सा नहीं हो सकती हैं, इस प्रकार एक [[पोसेट]] बनता है। इस स्वयंसिद्धीकरण का एक प्रकार इस बात से इनकार करता है कि ट्रांज़िटिविटी को स्वीकार करते समय कोई भी चीज़ कभी भी स्वयं का हिस्सा (अप्रतिक्रियाशीलता) होती है, जिससे एंटीसिमेट्री स्वचालित रूप से अनुसरण करती है।
यद्यपि मेरियोलॉजी गणितीय तर्क का अनुप्रयोग है, जिसे प्रकार की आद्य-ज्यामिति माना जा सकता है, यह पूर्ण रूप से तर्कशास्त्रियों, [[ आंटलजी |तात्विकी]], भाषाविदों, इंजीनियरों और कंप्यूटर वैज्ञानिकों द्वारा विकसित किया गया है, विशेष रूप से कृत्रिम बुद्धिमत्ता में कार्य करने वालों द्वारा। विशेष रूप से, मेरियोलॉजी ज्यामिति की बिंदु-मुक्त नींव पर भी आधारित है (उदाहरण के लिए अल्फ्रेड टार्स्की का उद्धृत अग्रणी लेख और गेर्ला 1995 का समीक्षा लेख देखें)।


हालाँकि मेरियोलॉजी गणितीय तर्क का एक अनुप्रयोग है, जिसे एक प्रकार की प्रोटो-ज्यामिति माना जा सकता है, यह पूरी तरह से तर्कशास्त्रियों, [[ आंटलजी ]], भाषाविदों, इंजीनियरों और कंप्यूटर वैज्ञानिकों द्वारा विकसित किया गया है, विशेष रूप से कृत्रिम बुद्धिमत्ता में काम करने वालों द्वारा। विशेष रूप से, मेरियोलॉजी व्हाइटहेड के बिंदु-मुक्त ज्यामिति के आधार पर भी है|ज्यामिति की बिंदु-मुक्त नींव (उदाहरण के लिए अल्फ्रेड टार्स्की का उद्धृत अग्रणी पेपर और गेर्ला 1995 का समीक्षा पेपर देखें)।
इस प्रकार से [[सामान्य सिस्टम सिद्धांत|सामान्य पद्धति सिद्धांत]] में, 'मेरियोलॉजी' पद्धति के अपघटन और भागों, संपूर्णताओं और सीमाओं पर औपचारिक कार्य को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, मिहाजलो डी. मेसारोविक (1970), [[गेब्रियल क्रोन]] (1963), या मौरिस जेसल (बौडेन देखें (1989, 1998))) आदि। अतः गेब्रियल क्रोन के नेटवर्क टियरिंग का श्रेणीबद्ध संस्करण कीथ बोडेन (1991) द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो [[गंक (मेरियोलॉजी)]] पर डेविड लुईस के विचारों को दर्शाता है। ऐसे विचार सैद्धांतिक [[कंप्यूटर विज्ञान]] और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में दिखाई देते हैं, प्रायः शीफ सिद्धांत, [[टोपोस]] के संयोजन में, या [[श्रेणी सिद्धांत]] आदि। कंप्यूटर विज्ञान में विशिष्टताओं पर [[स्टीव विकर्स (कंप्यूटर वैज्ञानिक)]], भौतिक प्रणालियों पर [[जोसेफ गोगुएन]] और लिंक सिद्धांत और [[क्वांटम यांत्रिकी]] पर टॉम एटर (1996, 1998) का कार्य भी देखें।
 
[[सामान्य सिस्टम सिद्धांत]] में, 'मेरियोलॉजी' सिस्टम के अपघटन और भागों, संपूर्णताओं और सीमाओं पर औपचारिक कार्य को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, मिहाजलो डी. मेसारोविक (1970), [[गेब्रियल क्रोन]] (1963), या मौरिस जेसल (बौडेन देखें (1989, 1998) ))। गेब्रियल क्रोन के नेटवर्क टियरिंग का एक श्रेणीबद्ध संस्करण कीथ बोडेन (1991) द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो [[गंक (मेरियोलॉजी)]] पर डेविड लुईस के विचारों को दर्शाता है। ऐसे विचार सैद्धांतिक [[कंप्यूटर विज्ञान]] और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में दिखाई देते हैं, अक्सर शीफ सिद्धांत, [[टोपोस]] के संयोजन में, या [[श्रेणी सिद्धांत]]। कंप्यूटर विज्ञान में विशिष्टताओं पर [[स्टीव विकर्स (कंप्यूटर वैज्ञानिक)]], भौतिक प्रणालियों पर [[जोसेफ गोगुएन]] और लिंक सिद्धांत और [[क्वांटम यांत्रिकी]] पर टॉम एटर (1996, 1998) का काम भी देखें।


==इतिहास==
==इतिहास==
[[प्लेटो]] (विशेष रूप से, [[पारमेनाइड्स (संवाद)]]संवाद) के दूसरे भाग में) और [[अरस्तू]] के बाद से तत्वमीमांसा और ऑन्टोलॉजी में अनौपचारिक आंशिक-संपूर्ण तर्क को सचेत रूप से लागू किया गया था, और 19 वीं शताब्दी के गणित में कमोबेश अनजाने में सेट सिद्धांत की विजय तक 1910. इस युग के आध्यात्मिक विचार जो भागों और संपूर्ण की अवधारणाओं पर चर्चा करते हैं उनमें दिव्य सादगी और सौंदर्य#शास्त्रीय शामिल हैं।
इस प्रकार से [[प्लेटो]] (विशेष रूप से, [[पारमेनाइड्स (संवाद)|पारमेनाइड्स]] संवाद) के दूसरे भाग में) और [[अरस्तू]] के बाद से तत्वमीमान्सा और तात्विकी में अनौपचारिक आंशिक-संपूर्ण तर्क को सचेत रूप से लागू किया गया था, और 19 वीं शताब्दी के गणित में 1910 के निकट समुच्चय सिद्धांत की विजय तक कमोबेश अनजाने में था। इस युग के आध्यात्मिक विचार जो भागों और संपूर्ण की अवधारणाओं पर चर्चा करते हैं उनमें दिव्य सादगी और सौंदर्य शास्त्रीय सम्मिलित हैं।


[[आइवर ग्राटन-गिनीज]]़ (2001) 19वीं और 20वीं शताब्दी के दौरान आंशिक-संपूर्ण तर्क पर बहुत प्रकाश डालता है, और समीक्षा करता है कि [[जॉर्ज कैंटर]] और [[पीनो]] ने सेट सिद्धांत कैसे तैयार किया। ऐसा प्रतीत होता है कि वह भागों और पूर्ण के बारे में सचेत रूप से और विस्तार से तर्क करने वाले पहले व्यक्ति थे{{citation needed|date=July 2017}} 1901 में [[एडमंड हसरल]] ने [[तार्किक जांच (हसरल)]]हुसेरल) के दूसरे खंड में - थर्ड इन्वेस्टिगेशन: ऑन द थ्योरी ऑफ होल्स एंड पार्ट्स (हसेरल 1970 अंग्रेजी अनुवाद है) में काम किया था। हालाँकि, मेरियोलॉजी शब्द उनके लेखन से अनुपस्थित है, और उन्होंने गणित में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त करने के बावजूद कोई प्रतीकवाद का प्रयोग नहीं किया।
[[आइवर ग्राटन-गिनीज]] (2001) 19वीं और 20वीं शताब्दी के समय आंशिक-संपूर्ण तर्क पर बहुत प्रकाश डालता है, और समीक्षा करता है कि [[जॉर्ज कैंटर]] और [[पीनो]] ने समुच्चय सिद्धांत कैसे तैयार किया। ऐसा प्रतीत होता है कि वह भागों और पूर्ण के विषय में सचेत रूप से और विस्तार से तर्क करने वाले प्रथम व्यक्ति थे 1901 में [[एडमंड हसरल]] ने [[तार्किक जांच (हसरल)|तार्किक जांच]] हुसेरल) के दूसरे खंड में - तीसरी जांच: "ऑन द थ्योरी ऑफ होल्स एंड पार्ट्स" (हसेरल 1970 अंग्रेजी अनुवाद है) में कार्य किया था। यद्यपि, मेरियोलॉजी शब्द उनके लेखन से अनुपस्थित है, और उन्होंने गणित में डक्टर की उपाधि प्राप्त करने के अतिरिक्त कोई प्रतीकवाद का प्रयोग नहीं किया था।


स्टैनिस्लाव लेस्निविस्की ने 1927 में ग्रीक शब्द μέρος (मेरोस, भाग) से मेरियोलॉजी गढ़ी, जो कि आंशिक-संपूर्ण के एक औपचारिक सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे उन्होंने 1916 और 1931 के बीच प्रकाशित उच्च तकनीकी पत्रों की एक श्रृंखला में तैयार किया था, और लेस्निविस्की (1992) में अनुवादित किया गया था। . लेस्निविस्की के छात्र [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने वुडगर (1937) के अपने परिशिष्ट ई और टार्स्की (1984) के रूप में अनुवादित पेपर में लेस्निविस्की की औपचारिकता को बहुत सरल बना दिया। लेस्निविस्की के अन्य छात्रों (और छात्रों के छात्रों) ने 20वीं शताब्दी के दौरान इस पोलिश मेरियोलॉजी को विस्तृत किया। पोलिश मेरियोलॉजी पर साहित्य के अच्छे चयन के लिए, श्रीज़ेडनिकी और रिकी (1984) देखें। पोलिश मेरियोलॉजी के सर्वेक्षण के लिए, सिमंस (1987) देखें। हालाँकि, 1980 या उसके बाद से, पोलिश मेरियोलॉजी पर शोध लगभग पूरी तरह से ऐतिहासिक प्रकृति का रहा है।
अतः स्टैनिस्लाव लेस्निविस्की ने 1927 में ग्रीक शब्द μέρος (मेरोस, भाग) से मेरियोलॉजी गढ़ी, जो कि आंशिक-संपूर्ण के औपचारिक सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे उन्होंने 1916 और 1931 के बीच प्रकाशित उच्च तकनीकी लेखों की श्रृंखला में तैयार किया था, और लेस्निविस्की (1992) में अनुवादित किया गया था। इस प्रकार से लेस्निविस्की के छात्र [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने वुडगर (1937) के अपने परिशिष्ट ई और टार्स्की (1984) के रूप में अनुवादित लेख में लेस्निविस्की की औपचारिकता को बहुत सरल बना दिया था। अतः लेस्निविस्की के अन्य छात्रों (और छात्रों के छात्रों) ने 20वीं शताब्दी के समय इस पोलिश मेरियोलॉजी को विस्तृत किया। पोलिश मेरियोलॉजी पर साहित्य के ठीक चयन के लिए, श्रीज़ेडनिकी और रिकी (1984) देखें। पोलिश मेरियोलॉजी के सर्वेक्षण के लिए, सिमंस (1987) देखें। यद्यपि, 1980 या उसके बाद से, पोलिश मेरियोलॉजी पर शोध लगभग पूर्ण रूप से ऐतिहासिक प्रकृति का रहा है।


ए.एन. व्हाइटहेड ने [[ज्यामिति]] पर [[गणितीय सिद्धांत]] के चौथे खंड की योजना बनाई, लेकिन इसे कभी नहीं लिखा। [[बर्ट्रेंड रसेल]] के साथ उनके 1914 के पत्राचार से पता चलता है कि ज्यामिति के प्रति उनके इच्छित दृष्टिकोण को, दूरदर्शिता के लाभ के साथ, संक्षेप में मेरियोलॉजिकल के रूप में देखा जा सकता है। यह कार्य व्हाइटहेड (1916) और व्हाइटहेड के मेरियोलॉजिकल सिस्टम (1919, 1920) में समाप्त हुआ।
इस प्रकार से ए.एन. व्हाइटहेड ने [[ज्यामिति]] पर [[गणितीय सिद्धांत]] के चौथे खंड की योजना बनाई, परन्तु इसे कभी नहीं लिखा था। इस प्रकार से [[बर्ट्रेंड रसेल]] के साथ उनके 1914 के पत्राचार से ज्ञात होता है कि ज्यामिति के प्रति उनके इच्छित दृष्टिकोण को, दूरदर्शिता के लाभ के साथ, संक्षेप में मेरियोलॉजिकल के रूप में देखा जा सकता है। यह कार्य व्हाइटहेड (1916) और व्हाइटहेड के मेरियोलॉजिकल पद्धति (1919, 1920) में समाप्त हुआ था।


1930 में, हेनरी एस. लियोनार्ड ने हार्वर्ड पीएच.डी. पूरी की। दर्शनशास्त्र में शोध प्रबंध, भाग-संपूर्ण संबंध का एक औपचारिक सिद्धांत स्थापित करना। यह [[नेल्सन गुडमैन]] और लियोनार्ड (1940) के व्यक्तियों की गणना में विकसित हुआ। गुडमैन ने गुडमैन (1951) के तीन संस्करणों में इस कैलकुलस को संशोधित और विस्तृत किया। व्यक्तियों की गणना 1970 के बाद तर्कशास्त्रियों, ऑन्टोलॉजिस्ट और कंप्यूटर वैज्ञानिकों के बीच मेरियोलॉजी के पुनरुद्धार के लिए प्रारंभिक बिंदु है, एक पुनरुद्धार जिसका सिमंस (1987), कासाती और वर्ज़ी (1999), और कॉटनॉयर और वर्ज़ी (2021) में अच्छी तरह से सर्वेक्षण किया गया है। .
अतः 1930 में, हेनरी एस. लियोनार्ड ने हार्वर्ड पीएच.डी. पूर्ण की थी। इस प्रकार से दर्शनशास्त्र में शोध प्रबंध, भाग-संपूर्ण संबंध का औपचारिक सिद्धांत स्थापित करना। यह [[नेल्सन गुडमैन]] और लियोनार्ड (1940) के व्यक्तियों की गणना में विकसित हुआ। गुडमैन ने गुडमैन (1951) के तीन संस्करणों में इस गणना को संशोधित और विस्तृत किया। व्यक्तियों की गणना 1970 के पश्चात तर्कशास्त्रियों, तात्विकीविद् और कंप्यूटर वैज्ञानिकों के बीच मेरियोलॉजी के पुनरुद्धार के लिए प्रारंभिक बिंदु है, पुनरुद्धार जिसका सिमंस (1987), कासाती और वर्ज़ी (1999), और कॉटनॉयर और वर्ज़ी (2021) में ठीक रूप से सर्वेक्षण किया गया है।


==स्वसिद्धांत और आदिम धारणाएँ==
==स्वसिद्धांत और आदिम धारणाएँ==


रिफ्लेक्सिविटी: मेरियोलॉजिकल सिस्टम को परिभाषित करने में एक बुनियादी विकल्प यह है कि क्या चीजों को खुद का हिस्सा माना जाए। [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] में एक समान प्रश्न उठता है: क्या किसी समुच्चय को स्वयं का उपसमुच्चय माना जाना चाहिए। दोनों मामलों में, हाँ रसेल के विरोधाभास के अनुरूप विरोधाभासों को जन्म देता है: मान लीजिए कि एक वस्तु O है, जैसे कि प्रत्येक वस्तु जो स्वयं का एक उचित हिस्सा नहीं है, वह O का एक उचित हिस्सा है। क्या O स्वयं का एक उचित हिस्सा है? नहीं, क्योंकि कोई भी वस्तु स्वयं का उचित भाग नहीं है; और हाँ, क्योंकि यह O के उचित भाग के रूप में शामिल करने के लिए निर्दिष्ट आवश्यकता को पूरा करता है। सेट सिद्धांत में, एक सेट को अक्सर स्वयं का ''अनुचित'' उपसमुच्चय कहा जाता है। ऐसे विरोधाभासों को देखते हुए, मेरोलॉजी को स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण की आवश्यकता होती है।
इस प्रकार से प्रतिवर्ती: मेरियोलॉजिकल पद्धति को परिभाषित करने में मूलभूत विकल्प यह है कि क्या वस्तुओं को स्वयं का भाग माना जाए। [[अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत]] में समान प्रश्न उठता है: क्या किसी समुच्चय को स्वयं का उपसमुच्चय माना जाना चाहिए। अतः दोनों स्थितियों में, हाँ रसेल के विरोधाभास के अनुरूप विरोधाभासों को जन्म देता है: मान लीजिए कि वस्तु O है, जैसे कि प्रत्येक वस्तु जो स्वयं का उचित भाग नहीं है, वह O का उचित भाग है। क्या O स्वयं का उचित भाग है? नहीं, क्योंकि कोई भी वस्तु स्वयं का उचित भाग नहीं है; और हाँ, क्योंकि यह O के उचित भाग के रूप में सम्मिलित करने के लिए निर्दिष्ट आवश्यकता को पूर्ण करता है। समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय को प्रायः स्वयं का ''अनुचित'' उपसमुच्चय कहा जाता है। ऐसे विरोधाभासों को देखते हुए, मेरोलॉजी को स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण की आवश्यकता होती है।


मेरियोलॉजिकल प्रणाली एक [[प्रथम-क्रम तर्क]]|प्रथम-क्रम सिद्धांत ([[पहचान (दर्शन)]] के साथ) है, जिसके [[प्रवचन के ब्रह्मांड]] में संपूर्ण और उनके संबंधित भाग होते हैं, जिन्हें सामूहिक रूप से ''वस्तु'' कहा जाता है। मेरियोलॉजी नेस्टेड और नॉन-नेस्टेड स्वयंसिद्ध प्रणालियों का एक संग्रह है, जो [[मोडल तर्क]] के मामले से भिन्न नहीं है।
मेरियोलॉजिकल प्रणाली [[प्रथम-क्रम तर्क]] सिद्धांत ([[पहचान (दर्शन)]] के साथ) है, जिसके [[प्रवचन के ब्रह्मांड|ब्रह्मांड]] में संपूर्ण और उनके संबंधित भाग होते हैं, जिन्हें सामूहिक रूप से ''वस्तु'' कहा जाता है। मेरियोलॉजी नीडित और गैर-नीडित स्वयंसिद्ध प्रणालियों का संग्रह है, जो [[मोडल तर्क]] की स्थिति से भिन्न नहीं है।


नीचे दिया गया उपचार, शब्दावली और पदानुक्रमित संगठन कासाती और वर्ज़ी (1999: अध्याय 3) का बारीकी से अनुसरण करता है। कुछ ग़लतफ़हमियों को दूर करने वाले नवीनतम उपचार के लिए, होव्डा (2008) देखें। लोअर-केस अक्षर वस्तुओं पर चर को दर्शाते हैं। प्रत्येक प्रतीकात्मक स्वयंसिद्ध या परिभाषा के बाद कासाती और वर्ज़ी में संबंधित सूत्र की संख्या बोल्ड में लिखी गई है।
अतः निम्न दिया गया उपचार, शब्दावली और पदानुक्रमित संगठन कासाती और वर्ज़ी (1999: अध्याय 3) का स्पष्टता से अनुसरण करता है। इस प्रकार से कुछ मिथ्या धारणा को दूर करने वाले नवीनतम उपचार के लिए, होव्डा (2008) देखें। छोटे अक्षर वस्तुओं पर चर को दर्शाते हैं। प्रत्येक प्रतीकात्मक स्वयंसिद्ध या परिभाषा के पश्चात कासाती और वर्ज़ी में संबंधित सूत्र की संख्या बोल्ड में लिखी गई है।


एक मेरियोलॉजिकल प्रणाली के लिए कम से कम एक आदिम बाइनरी संबंध (एरिटी प्रेडिकेट (तर्क)) की आवश्यकता होती है। ऐसे संबंध के लिए सबसे पारंपरिक विकल्प पार्थहुड (जिसे समावेशन भी कहा जाता है) है, ''x'' ''y'' का ''हिस्सा'' है, जिसे ''Pxy'' लिखा जाता है। लगभग सभी प्रणालियों को ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। निम्नलिखित परिभाषित संबंध, नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों के लिए आवश्यक हैं, अकेले पार्टहुड से तुरंत अनुसरण करते हैं:
एक मेरियोलॉजिकल प्रणाली के लिए कम से कम आदिम बाइनरी संबंध (युग्मकीय विधेय (तर्क)) की आवश्यकता होती है। अतः ऐसे संबंध के लिए सबसे पारंपरिक विकल्प '''भाग हुड''' (जिसे समावेशन भी कहा जाता है) है, ''x'' ''y'' का ''भाग'' है, जिसे ''Pxy'' लिखा जाता है। लगभग सभी प्रणालियों को ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। निम्नलिखित परिभाषित संबंध, नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों के लिए आवश्यक हैं, अकेले भाग हुड से तुरंत अनुसरण करते हैं:
*एक तत्काल परिभाषित [[विधेय (तर्क)]] यह है कि x ''y'' का एक उचित भाग है, जिसे ''PPxy'' लिखा जाता है, जो धारण करता है (अर्थात, संतुष्ट होता है, सत्य निकलता है) यदि ''Pxy'' सत्य है और ' 'पाइक्स' ग़लत है. पार्टहुड (जो एक आंशिक ऑर्डर है) की तुलना में, प्रॉपरपार्ट एक सख्त आंशिक ऑर्डर है।
*एक तत्काल परिभाषित [[विधेय (तर्क)]] है x ''y'' का '''उचित भाग''' है, जिसे ''PPxy'' लिखा गया है, जो मानता है (अर्थात, संतुष्ट है, सत्य निकलता है) यदि ''Pxy'' सत्य है और ' '''Pyx''<nowiki/>' असत्य है। भाग हुड (जो आंशिक क्रम है) की तुलना में, उचित भाग निश्चित आंशिक क्रम है।
:<math>PPxy \leftrightarrow (Pxy \land  \lnot Pyx).</math> 3.3
:<math>PPxy \leftrightarrow (Pxy \land  \lnot Pyx).</math> 3.3
:जिस वस्तु में उचित भागों का अभाव हो वह ''परमाणु'' है। प्रवचन के मेरियोलॉजिकल ब्रह्मांड में वे सभी वस्तुएं शामिल हैं जिनके बारे में हम सोचना चाहते हैं, और उनके सभी उचित भाग:
:जिस वस्तु में उचित भागों का अभाव हो वह ''परमाणु'' है। मेरियोलॉजिकल ब्रह्मांड में वे सभी वस्तुएं सम्मिलित हैं जिनके विषय में हम सोचना चाहते हैं, और उनके सभी उचित भाग:
*ओवरलैप: ''x'' और ''y'' ओवरलैप, ''ऑक्सी'' लिखा जाता है, यदि कोई ऑब्जेक्ट ''z'' मौजूद है जैसे कि ''Pzx'' और ''Pzy'' दोनों होल्ड करते हैं।
*अतिव्यापत: ''x'' और ''y'' अतिव्यापत, ''Oxy'' लिखा जाता है, यदि कोई वास्तु ''z'' स्थित है जैसे कि ''Pzx'' और ''Pzy'' दोनों पकडे रखते हैं।
:<math>Oxy \leftrightarrow \exists z[Pzx \land Pzy ].</math> 3.1
:<math>Oxy \leftrightarrow \exists z[Pzx \land Pzy ].</math> 3.1
:''z'' के हिस्से, ''x'' और ''y'' का ओवरलैप या उत्पाद, वास्तव में वे वस्तुएं हैं जो ''x'' और ''y'' दोनों के हिस्से हैं।
:''z'' के भाग, ''x'' और ''y'' का अतिव्यापत या उत्पाद, वस्तुतः वे वस्तुएं हैं जो ''x'' और ''y'' दोनों के भाग हैं।
*अंडरलैप: ''x'' और ''y'' अंडरलैप, ''Uxy'' लिखा जाता है, यदि कोई वस्तु ''z'' मौजूद है जैसे कि ''x'' और ''y'' दोनों भाग हैं ''ज़''.
*निम्नव्यापत: ''x'' और ''y'' निम्नव्यापत, ''Uxy'' लिखा जाता है, यदि कोई वस्तु ''z'' स्थित है जैसे कि x और y दोनों z के भाग हैं।
:<math>Uxy \leftrightarrow \exists z[Pxz \land Pyz ].</math> 3.2
:<math>Uxy \leftrightarrow \exists z[Pxz \land Pyz ].</math> 3.2
ओवरलैप और अंडरलैप रिफ्लेक्सिव संबंध, [[सममित]] और ट्रांजिटिव संबंध हैं।
इस प्रकार से अतिव्यापत और निम्नव्यापत प्रतिवर्ती संबंध, [[सममित]] और असंक्रामी संबंध हैं।


प्रणालियाँ इस बात में भिन्न होती हैं कि वे किन संबंधों को आदिम और परिभाषित मानते हैं। उदाहरण के लिए, विस्तारित मेरियोलॉजीज़ (नीचे परिभाषित) में, ''पार्थहुड'' को ओवरलैप से निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:
अतः प्रणालियाँ इस बात में भिन्न होती हैं कि वे किन संबंधों को आदिम और परिभाषित मानते हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, विस्तारित मेरियोलॉजीज़ (नीचे परिभाषित) में, भाग हुड को अतिव्यापत से निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:
:<math>Pxy \leftrightarrow \forall z[Ozx \rightarrow Ozy].</math> 3.31
:<math>Pxy \leftrightarrow \forall z[Ozx \rightarrow Ozy].</math> 3.31


अभिगृहीत हैं:
अतः अभिगृहीत हैं:
*पार्थहुड [[ब्रह्मांड]] का आंशिक क्रम:
*भाग हुड [[ब्रह्मांड]] का आंशिक क्रम:
:M1, प्रतिवर्ती संबंध: एक वस्तु स्वयं का एक हिस्सा है।
:M1, प्रतिवर्ती संबंध: वस्तु स्वयं का भाग है।
:<math>\ Pxx.</math> पृ.1
:<math>\ Pxx.</math> P1
:M2, एंटीसिमेट्रिक संबंध: यदि ''Pxy'' और ''Pyx'' दोनों कायम हैं, तो ''x'' और ''y'' एक ही वस्तु हैं।
:M2, प्रतिसममिति संबंध: यदि ''Pxy'' और ''Pyx'' दोनों निर्धारित हैं, तो ''x'' और ''y'' ही वस्तु हैं।
:<math>(Pxy \land  Pyx) \rightarrow x = y.</math> पृष्ठ .2
:<math>(Pxy \land  Pyx) \rightarrow x = y.</math> '''P .2'''
:M3, सकर्मक संबंध: यदि ''Pxy'' और ''Pyz'', तो ''Pxz''।
:M3, सकर्मक संबंध: यदि ''Pxy'' और ''Pyz'', तो ''Pxz''।
:<math>(Pxy \land Pyz) \rightarrow Pxz.</math> पी .3
:<math>(Pxy \land Pyz) \rightarrow Pxz.</math> '''P 3'''
*एम4, कमजोर अनुपूरण: यदि ''पीपीएक्सवाई'' धारण करता है, तो एक ''जेड'' मौजूद होता है जैसे कि ''पीज़ी'' धारण करता है लेकिन ''ओज़एक्स'' नहीं करता है।
*M4, दुर्बल अनुपूरण: यदि ''PPxy'' धारण करता है, तो ''z'' स्थित होता है जैसे कि ''Pzy'' धारण करता है परन्तु ''Ozx'' नहीं करता है।
:<math>PPxy \rightarrow \exists z[Pzy \land \lnot Ozx].</math> पी .4
:<math>PPxy \rightarrow \exists z[Pzy \land \lnot Ozx].</math> '''P 4'''


*M5, सशक्त अनुपूरक: यदि ''Pyx'' धारण नहीं करता है, तो एक ''z'' मौजूद है जैसे कि ''Pzy'' धारण करता है लेकिन ''Ozx'' धारण नहीं करता है।
*M5, सशक्त अनुपूरक: यदि ''Pyx'' धारण नहीं करता है, तो ''z'' स्थित है जैसे कि ''Pzy'' धारण करता है परन्तु ''Ozx'' धारण नहीं करता है।
:<math>\lnot Pyx \rightarrow \exists z[Pzy \land \lnot Ozx].</math> पी .5
:<math>\lnot Pyx \rightarrow \exists z[Pzy \land \lnot Ozx].</math> '''P 5'''


*एम5', परमाणु अनुपूरक: यदि ''पीएक्सवाई'' धारण नहीं करता है, तो एक परमाणु ''जेड'' मौजूद है जैसे कि ''पीजेडएक्स'' धारण करता है लेकिन ''ओजी'' नहीं रखता है।
*M5', परमाणु अनुपूरक: यदि ''Pxy'' धारण नहीं करता है, तो परमाणु ''z'' स्थित है जैसे कि ''Pzx'' धारण करता है परन्तु ''Ozy'' नहीं रखता है।
:<math>\lnot Pxy \rightarrow \exists z[Pzx \land \lnot Ozy \land \lnot \exists v [PPvz]].</math> पी.5'
:<math>\lnot Pxy \rightarrow \exists z[Pzx \land \lnot Ozy \land \lnot \exists v [PPvz]].</math> '''P.5''''


*शीर्ष: एक सार्वभौमिक वस्तु मौजूद है, जिसे ''W'' नामित किया गया है, जैसे कि ''PxW'' किसी भी ''x'' के लिए धारण करता है।
*शीर्ष: सार्वभौमिक वस्तु स्थित है, जिसे ''W'' नामित किया गया है, जैसे कि ''PxW'' किसी भी ''x'' के लिए धारण करता है।
:<math>\exists W \forall x [PxW].</math> 3.20
:<math>\exists W \forall x [PxW].</math> 3.20
:यदि M8 मान्य है तो शीर्ष एक प्रमेय है।
:यदि M8 मान्य है तो शीर्ष प्रमेय है।


*नीचे: एक परमाणु शून्य वस्तु मौजूद है, जिसे ''एन'' नामित किया गया है, जैसे कि ''पीएनएक्स'' किसी भी ''एक्स'' के लिए धारण करता है।
*नीचे: परमाणु शून्य वस्तु स्थित है, जिसे ''N'' नामित किया गया है, जैसे कि ''PNx'' किसी भी ''x'' के लिए धारण करता है।
:<math>\exists N \forall x [PNx].</math> 3.22
:<math>\exists N \forall x [PNx].</math> 3.22


*M6, योग: यदि ''Uxy'' धारण करता है, तो एक ''z'' मौजूद होता है, जिसे ''x'' और ''y'' का योग या संलयन कहा जाता है, जैसे कि वस्तुएं ''z'' को ओवरलैप करती हैं ' केवल वे वस्तुएं हैं जो ''x'' या ''y'' को ओवरलैप करती हैं।
*M6, योग: यदि ''Uxy'' धारण करता है, तो ''z'' स्थित होता है, जिसे ''x'' और ''y'' का योग या संलयन कहा जाता है, जैसे कि वस्तुएं ''z'' को अतिव्यापत करती हैं ' मात्र वे वस्तुएं हैं जो ''x'' या ''y'' को अतिव्यापत करती हैं।
:<math>Uxy \rightarrow \exists z \forall v [Ovz \leftrightarrow (Ovx \lor Ovy)].</math> पृष्ठ 6
:<math>Uxy \rightarrow \exists z \forall v [Ovz \leftrightarrow (Ovx \lor Ovy)].</math> '''P 6'''
*एम7, उत्पाद: यदि ''ऑक्सी'' धारण करता है, तो एक ''जेड'' मौजूद होता है, जिसे ''एक्स'' और ''वाई'' का उत्पाद कहा जाता है, जैसे कि ''जेड'' के भाग बस होते हैं वे वस्तुएँ जो ''x'' और ''y'' दोनों के भाग हैं।
*M7, उत्पाद: यदि ''Oxy'' धारण करता है, तो ''z'' स्थित होता है, जिसे ''x'' और y का उत्पाद कहा जाता है, जैसे कि ''z'' के भाग मात्र होते हैं वे वस्तुएँ जो ''x'' और ''y'' दोनों के भाग हैं।
:<math>Oxy \rightarrow \exists z \forall v [Pvz \leftrightarrow (Pvx \land Pvy)].</math> पृष्ठ 7
:<math>Oxy \rightarrow \exists z \forall v [Pvz \leftrightarrow (Pvx \land Pvy)].</math> '''P 7'''
:यदि ''ऑक्सी'' कायम नहीं है, तो ''x'' और ''y'' में कोई समान भाग नहीं है, और ''x'' और ''y'' का गुणनफल अपरिभाषित है।
:यदि ''Oxy'' धारण नहीं करते है, तो ''x'' और ''y'' में कोई समान भाग नहीं है, और ''x'' और ''y'' का गुणनफल अपरिभाषित है।
*एम8, अप्रतिबंधित संलयन: मान लीजिए φ(''x'') एक प्रथम-क्रम तर्क है|प्रथम-क्रम सूत्र जिसमें ''x'' एक [[मुक्त चर]] है। तब φ को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुओं का संलयन मौजूद होता है।
*M8, अप्रतिबंधित संलयन: मान लीजिए φ(''x'') प्रथम-क्रम तर्क सूत्र है, जिसमें ''x'' [[मुक्त चर]] है। तब φ को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुओं का संलयन स्थित होता है।
:<math>\exists x [\phi(x)] \to \exists z \forall y [Oyz \leftrightarrow \exists x[\phi (x) \land Oyx]].</math> पृ.8
:<math>\exists x [\phi(x)] \to \exists z \forall y [Oyz \leftrightarrow \exists x[\phi (x) \land Oyx]].</math> '''P 8'''
:M8 को सामान्य योग सिद्धांत, अप्रतिबंधित मेरियोलॉजिकल संरचना, या सार्वभौमिकता भी कहा जाता है। M8 अनुभवहीन सेट सिद्धांत के [[ बिल्डर नोटेशन सेट करें ]] से मेल खाता है, जो रसेल के विरोधाभास को जन्म देता है। इस विरोधाभास का कोई मात्रिक प्रतिरूप नहीं है क्योंकि ''पार्थहुड'', सेट सदस्यता के विपरीत, प्रतिवर्ती संबंध है।
:M8 को सामान्य योग सिद्धांत, अप्रतिबंधित मेरियोलॉजिकल संरचना, या सार्वभौमिकता भी कहा जाता है। M8 अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत के [[ बिल्डर नोटेशन सेट करें |निर्माता अंकन समुच्चय]] से मेल खाता है, जो रसेल के विरोधाभास को जन्म देता है। इस विरोधाभास का कोई मात्रिक प्रतिरूप नहीं है क्योंकि ''भाग हुड'', समुच्चय सदस्यता के विपरीत, प्रतिवर्ती संबंध है।


*एम8', अद्वितीय संलयन: वे संलयन जिनके अस्तित्व पर एम8 दावा करता है, वे भी अद्वितीय हैं। पी.8'
*M8', अद्वितीय संलयन: वे संलयन जिनके अस्तित्व पर M8 अनुरोध करता है, वे भी अद्वितीय हैं। P.8'
*एम9, परमाणुता: सभी वस्तुएँ या तो परमाणु हैं या परमाणुओं का संलयन हैं।
*M9, परमाणुता: सभी वस्तुएँ या तो परमाणु हैं या परमाणुओं का संलयन हैं।
:<math> \exists y[Pyx \land \forall z[\lnot PPzy]].</math> पृ.10
:<math> \exists y[Pyx \land \forall z[\lnot PPzy]].</math> P10


==विभिन्न प्रणालियाँ==
==विभिन्न प्रणालियाँ==
सिमंस (1987), कैसाती और वर्ज़ी (1999) और होव्दा (2008) कई