मेरियोलॉजी

Not to be confused with मेरियोलॉजी.

गणितीय तर्क, दर्शन और संबंधित क्षेत्रों में, मेरियोलॉजी (from ग्रीक μέρος 'भाग' (मूल: μερε-, मात्र-, 'भाग') और प्रत्यय-विज्ञान, 'अध्ययन, चर्चा, विज्ञान') भागों और उनसे बनने वाले संपूर्ण का अध्ययन है। जबकि समुच्चय सिद्धांत समुच्चय (गणित) और उसके अवयव (गणित) के बीच सदस्यता संबंध पर स्थापित किया गया है, मेरियोलॉजी इकाइयों के बीच मेरोनॉमी संबंध पर बल देती है, जो समुच्चय-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से- समुच्चय के बीच समावेशन (समुच्चय सिद्धांत) की अवधारणा के निकट है।

औपचारिक तात्विकी में विधेय तर्क के अनुप्रयोगों के रूप में मेरियोलॉजी की विभिन्न विधियों से खोज की गई है, जिनमें से प्रत्येक में मेरियोलॉजी महत्वपूर्ण भाग है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र मेरियोलॉजी की अपनी स्वयंसिद्ध परिभाषा प्रदान करती है। इस प्रकार से ऐसी स्वयंसिद्ध प्रणाली का सामान्य अवयव स्वयंसिद्धीकरण यह धारणा है, जिसे समावेशन के साथ साझा किया जाता है, कि आंशिक-संपूर्ण संबंध अपने ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करता है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ स्वयं का भाग है (प्रतिवर्ती संबंध), जो कि संपूर्ण के भाग का भाग है स्वयं उस संपूर्ण (सकर्मक संबंध) का भाग है, और दो अलग-अलग संस्थाएं एक-दूसरे (प्रतिसममिति संबंध) का भाग नहीं हो सकती हैं, इस प्रकार क्रमित समुच्चय बनता है। इस स्वयंसिद्धीकरण का प्रकार इस बात से मना करता है कि सकर्मकता को स्वीकार करते समय कोई भी वस्तु कभी भी स्वयं का भाग (अप्रतिक्रियाशीलता) होती है, जिससे प्रतिसममिति स्वचालित रूप से अनुसरण करती है।

यद्यपि मेरियोलॉजी गणितीय तर्क का अनुप्रयोग है, जिसे प्रकार की आद्य-ज्यामिति माना जा सकता है, यह पूर्ण रूप से तर्कशास्त्रियों, तात्विकी, भाषाविदों, इंजीनियरों और कंप्यूटर वैज्ञानिकों द्वारा विकसित किया गया है, विशेष रूप से कृत्रिम बुद्धिमत्ता में कार्य करने वालों द्वारा। विशेष रूप से, मेरियोलॉजी ज्यामिति की बिंदु-मुक्त नींव पर भी आधारित है (उदाहरण के लिए अल्फ्रेड टार्स्की का उद्धृत अग्रणी लेख और गेर्ला 1995 का समीक्षा लेख देखें)।

इस प्रकार से सामान्य पद्धति सिद्धांत में, 'मेरियोलॉजी' पद्धति के अपघटन और भागों, संपूर्णताओं और सीमाओं पर औपचारिक कार्य को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, मिहाजलो डी. मेसारोविक (1970), गेब्रियल क्रोन (1963), या मौरिस जेसल (बौडेन देखें (1989, 1998))) आदि। अतः गेब्रियल क्रोन के नेटवर्क टियरिंग का श्रेणीबद्ध संस्करण कीथ बोडेन (1991) द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो गंक (मेरियोलॉजी) पर डेविड लुईस के विचारों को दर्शाता है। ऐसे विचार सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान और सैद्धांतिक भौतिकी में दिखाई देते हैं, प्रायः शीफ सिद्धांत, टोपोस के संयोजन में, या श्रेणी सिद्धांत आदि। कंप्यूटर विज्ञान में विशिष्टताओं पर स्टीव विकर्स (कंप्यूटर वैज्ञानिक), भौतिक प्रणालियों पर जोसेफ गोगुएन और लिंक सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी पर टॉम एटर (1996, 1998) का कार्य भी देखें।

इतिहास

इस प्रकार से प्लेटो (विशेष रूप से, पारमेनाइड्स संवाद) के दूसरे भाग में) और अरस्तू के बाद से तत्वमीमान्सा और तात्विकी में अनौपचारिक आंशिक-संपूर्ण तर्क को सचेत रूप से लागू किया गया था, और 19 वीं शताब्दी के गणित में 1910 के निकट समुच्चय सिद्धांत की विजय तक कमोबेश अनजाने में था। इस युग के आध्यात्मिक विचार जो भागों और संपूर्ण की अवधारणाओं पर चर्चा करते हैं उनमें दिव्य सादगी और सौंदर्य शास्त्रीय सम्मिलित हैं।

आइवर ग्राटन-गिनीज (2001) 19वीं और 20वीं शताब्दी के समय आंशिक-संपूर्ण तर्क पर बहुत प्रकाश डालता है, और समीक्षा करता है कि जॉर्ज कैंटर और पीनो ने समुच्चय सिद्धांत कैसे तैयार किया। ऐसा प्रतीत होता है कि वह भागों और पूर्ण के विषय में सचेत रूप से और विस्तार से तर्क करने वाले प्रथम व्यक्ति थे 1901 में एडमंड हसरल ने तार्किक जांच हुसेरल) के दूसरे खंड में - तीसरी जांच: "ऑन द थ्योरी ऑफ होल्स एंड पार्ट्स" (हसेरल 1970 अंग्रेजी अनुवाद है) में कार्य किया था। यद्यपि, मेरियोलॉजी शब्द उनके लेखन से अनुपस्थित है, और उन्होंने गणित में डक्टर की उपाधि प्राप्त करने के अतिरिक्त कोई प्रतीकवाद का प्रयोग नहीं किया था।

अतः स्टैनिस्लाव लेस्निविस्की ने 1927 में ग्रीक शब्द μέρος (मेरोस, भाग) से मेरियोलॉजी गढ़ी, जो कि आंशिक-संपूर्ण के औपचारिक सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे उन्होंने 1916 और 1931 के बीच प्रकाशित उच्च तकनीकी लेखों की श्रृंखला में तैयार किया था, और लेस्निविस्की (1992) में अनुवादित किया गया था। इस प्रकार से लेस्निविस्की के छात्र अल्फ्रेड टार्स्की ने वुडगर (1937) के अपने परिशिष्ट ई और टार्स्की (1984) के रूप में अनुवादित लेख में लेस्निविस्की की औपचारिकता को बहुत सरल बना दिया था। अतः लेस्निविस्की के अन्य छात्रों (और छात्रों के छात्रों) ने 20वीं शताब्दी के समय इस पोलिश मेरियोलॉजी को विस्तृत किया। पोलिश मेरियोलॉजी पर साहित्य के ठीक चयन के लिए, श्रीज़ेडनिकी और रिकी (1984) देखें। पोलिश मेरियोलॉजी के सर्वेक्षण के लिए, सिमंस (1987) देखें। यद्यपि, 1980 या उसके बाद से, पोलिश मेरियोलॉजी पर शोध लगभग पूर्ण रूप से ऐतिहासिक प्रकृति का रहा है।

इस प्रकार से ए.एन. व्हाइटहेड ने ज्यामिति पर गणितीय सिद्धांत के चौथे खंड की योजना बनाई, परन्तु इसे कभी नहीं लिखा था। इस प्रकार से बर्ट्रेंड रसेल के साथ उनके 1914 के पत्राचार से ज्ञात होता है कि ज्यामिति के प्रति उनके इच्छित दृष्टिकोण को, दूरदर्शिता के लाभ के साथ, संक्षेप में मेरियोलॉजिकल के रूप में देखा जा सकता है। यह कार्य व्हाइटहेड (1916) और व्हाइटहेड के मेरियोलॉजिकल पद्धति (1919, 1920) में समाप्त हुआ था।

अतः 1930 में, हेनरी एस. लियोनार्ड ने हार्वर्ड पीएच.डी. पूर्ण की थी। इस प्रकार से दर्शनशास्त्र में शोध प्रबंध, भाग-संपूर्ण संबंध का औपचारिक सिद्धांत स्थापित करना। यह नेल्सन गुडमैन और लियोनार्ड (1940) के व्यक्तियों की गणना में विकसित हुआ। गुडमैन ने गुडमैन (1951) के तीन संस्करणों में इस गणना को संशोधित और विस्तृत किया। व्यक्तियों की गणना 1970 के पश्चात तर्कशास्त्रियों, तात्विकीविद् और कंप्यूटर वैज्ञानिकों के बीच मेरियोलॉजी के पुनरुद्धार के लिए प्रारंभिक बिंदु है, पुनरुद्धार जिसका सिमंस (1987), कासाती और वर्ज़ी (1999), और कॉटनॉयर और वर्ज़ी (2021) में ठीक रूप से सर्वेक्षण किया गया है।

स्वसिद्धांत और आदिम धारणाएँ

इस प्रकार से प्रतिवर्ती: मेरियोलॉजिकल पद्धति को परिभाषित करने में मूलभूत विकल्प यह है कि क्या वस्तुओं को स्वयं का भाग माना जाए। अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत में समान प्रश्न उठता है: क्या किसी समुच्चय को स्वयं का उपसमुच्चय माना जाना चाहिए। अतः दोनों स्थितियों में, हाँ रसेल के विरोधाभास के अनुरूप विरोधाभासों को जन्म देता है: मान लीजिए कि वस्तु O है, जैसे कि प्रत्येक वस्तु जो स्वयं का उचित भाग नहीं है, वह O का उचित भाग है। क्या O स्वयं का उचित भाग है? नहीं, क्योंकि कोई भी वस्तु स्वयं का उचित भाग नहीं है; और हाँ, क्योंकि यह O के उचित भाग के रूप में सम्मिलित करने के लिए निर्दिष्ट आवश्यकता को पूर्ण करता है। समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय को प्रायः स्वयं का अनुचित उपसमुच्चय कहा जाता है। ऐसे विरोधाभासों को देखते हुए, मेरोलॉजी को स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण की आवश्यकता होती है।

मेरियोलॉजिकल प्रणाली प्रथम-क्रम तर्क सिद्धांत (पहचान (दर्शन) के साथ) है, जिसके ब्रह्मांड में संपूर्ण और उनके संबंधित भाग होते हैं, जिन्हें सामूहिक रूप से वस्तु कहा जाता है। मेरियोलॉजी नीडित और गैर-नीडित स्वयंसिद्ध प्रणालियों का संग्रह है, जो मोडल तर्क की स्थिति से भिन्न नहीं है।

अतः निम्न दिया गया उपचार, शब्दावली और पदानुक्रमित संगठन कासाती और वर्ज़ी (1999: अध्याय 3) का स्पष्टता से अनुसरण करता है। इस प्रकार से कुछ मिथ्या धारणा को दूर करने वाले नवीनतम उपचार के लिए, होव्डा (2008) देखें। छोटे अक्षर वस्तुओं पर चर को दर्शाते हैं। प्रत्येक प्रतीकात्मक स्वयंसिद्ध या परिभाषा के पश्चात कासाती और वर्ज़ी में संबंधित सूत्र की संख्या बोल्ड में लिखी गई है।

एक मेरियोलॉजिकल प्रणाली के लिए कम से कम आदिम बाइनरी संबंध (युग्मकीय विधेय (तर्क)) की आवश्यकता होती है। अतः ऐसे संबंध के लिए सबसे पारंपरिक विकल्प भाग हुड (जिसे समावेशन भी कहा जाता है) है, x y का भाग है, जिसे Pxy लिखा जाता है। लगभग सभी प्रणालियों को ब्रह्मांड को आंशिक रूप से व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। निम्नलिखित परिभाषित संबंध, नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों के लिए आवश्यक हैं, अकेले भाग हुड से तुरंत अनुसरण करते हैं:

• एक तत्काल परिभाषित विधेय (तर्क) है x y का उचित भाग' है, जिसे PPxy लिखा गया है, जो मानता है (अर्थात, संतुष्ट है, सत्य निकलता है) यदि Pxy सत्य है और ' Pyx' असत्य है। भाग हुड (जो आंशिक क्रम है) की तुलना में, उचित भाग निश्चित आंशिक क्रम है।

$PPxy\leftrightarrow (Pxy\land \lnot Pyx).$ 3.3

जिस वस्तु में उचित भागों का अभाव हो वह परमाणु है। मेरियोलॉजिकल ब्रह्मांड में वे सभी वस्तुएं सम्मिलित हैं जिनके विषय में हम सोचना चाहते हैं, और उनके सभी उचित भाग:

• अतिव्यापत: x और y अतिव्यापत, Oxy लिखा जाता है, यदि कोई वास्तु z स्थित है जैसे कि Pzx और Pzy दोनों पकडे रखते हैं।

$Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land Pzy].$ 3.1

z के भाग, x और y का अतिव्यापत या उत्पाद, वस्तुतः वे वस्तुएं हैं जो x और y दोनों के भाग हैं।

• निम्नव्यापत: x और y निम्नव्यापत, Uxy लिखा जाता है, यदि कोई वस्तु z स्थित है जैसे कि x और y दोनों z के भाग हैं।

$Uxy\leftrightarrow \exists z[Pxz\land Pyz].$ 3.2

इस प्रकार से अतिव्यापत और निम्नव्यापत प्रतिवर्ती संबंध, सममित और असंक्रामी संबंध हैं।

अतः प्रणालियाँ इस बात में भिन्न होती हैं कि वे किन संबंधों को आदिम और परिभाषित मानते हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, विस्तारित मेरियोलॉजीज़ (नीचे परिभाषित) में, भाग हुड को अतिव्यापत से निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

$Pxy\leftrightarrow \forall z[Ozx\rightarrow Ozy].$ 3.31

अतः अभिगृहीत हैं:

• भाग हुड ब्रह्मांड का आंशिक क्रम:

M1, प्रतिवर्ती संबंध: वस्तु स्वयं का भाग है।

$\ Pxx.$ P1

M2, प्रतिसममिति संबंध: यदि Pxy और Pyx दोनों निर्धारित हैं, तो x और y ही वस्तु हैं।

$(Pxy\land Pyx)\rightarrow x=y.$ P .2

M3, सकर्मक संबंध: यदि Pxy और Pyz, तो Pxz।

$(Pxy\land Pyz)\rightarrow Pxz.$ P 3

• M4, दुर्बल अनुपूरण: यदि PPxy धारण करता है, तो z स्थित होता है जैसे कि Pzy धारण करता है परन्तु Ozx नहीं करता है।

$PPxy\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}z[Pzy\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}Oz$