लांबिक फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 15:22, 4 September 2023

गणित में, लांबिक फलन फलन समष्टि से संबंधित होते हैं जो सदिश समष्टि होता है जो द्विरेखीय रूप से सुसज्जित होता है। अतः जब फलन समष्टि में फलन के प्रांत के रूप में अंतराल (गणित) होता है, तो द्विरैखिक रूप अंतराल पर फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग हो सकता है:

\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.

फलन $f$ और $g$ लांबिक होते हैं जब यह पूर्णांक शून्य होता है, अर्थात $\langle f,\,g\rangle =0$ जब भी $f\neq g$ होता है। इस प्रकार से परिमित-विमीय समष्टि में सदिश के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ, लांबिक फलन फलन समष्टि के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। अतः वैचारिक रूप से, उपरोक्त पूर्णांक सदिश बिंदु गुणनफल के समतुल्य है; यदि उनका बिंदु-गुणनफल शून्य है तो दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लांबिक) होते हैं।

अतः मान लीजिए $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ गैर-शून्य L²-मानदंड ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ के लांबिक फलनों का क्रम है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ L²-मानदंड एक के फलनों का है, जो एक लम्बवत अनुक्रम बनाता है। इस प्रकार से परिभाषित L²-मानदंड के लिए, पूर्णांक को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फलन को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।

त्रिकोणमितीय फलन

अतः लांबिक फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलन के लिए मानक आधार बन गए हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जब $m\neq n$ और n धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो ज्या फलन sin nx और sin mx अंतराल $x\in (-\pi ,\pi )$ पर लांबिक होते हैं। अतः तब

2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right)

के लिए, और दो ज्या फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग समाप्त हो जाता है।^[1] इस प्रकार से कोटिज्या फलन के साथ, इन लांबिक फलन को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फलन को अनुमानित करने के लिए त्रिकोणमितीय बहुपद में एकत्रित किया जा सकता है।

बहुपद

इस प्रकार से यदि कोई अंतराल $[-1,1]$ पर एकपदी अनुक्रम $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ से प्रारंभ करता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है,तो उसे लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। अतः लांबिक बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।

इस प्रकार से लांबिक बहुपदों के अध्ययन में भार फलन $w(x)$ सम्मिलित होते हैं जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला जाता है:

\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.

अतः $(0,\infty )$ पर लैगुएरे बहुपद के लिए भार फलन $w(x)=e^{-x}$ है।

इस प्रकार से भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों $(-\infty ,\infty )$ पर हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन $w(x)=e^{-x^{2}}$ या $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ है।

अतः चेबीशेव बहुपदों को $[-1,1]$ पर परिभाषित किया गया है और भार ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ या ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ का उपयोग किया गया है।

ज़र्निक बहुपद को इकाई चक्रिका पर परिभाषित किया गया है और इस प्रकार से इसमें त्रिज्यीय और कोणीय दोनों भागों की लंबिकता है।

बाइनरी-मान फलन

अतः वाल्श फलन और उसकी तरंगिका अलग-अलग श्रेणियों के साथ लांबिक फलन के उदाहरण हैं।

तर्कसंगत फलन

अतः इस प्रकार से x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों की रूप रेखा है।

इस प्रकार से लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए लांबिक वर्ग [−1, 1] प्रदान करते हैं जबकि कभी-कभी लांबिक वर्गों [0, ∞) की आवश्यकता होती है। अतः इस स्थिति में तर्क लाने के लिए पहले केली परिवर्तन वास्तविक होमोग्राफी [−1, 1] को लागू करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लांबिक फलन के वर्ग बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।

अवकल समीकरणों में

इस प्रकार से सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के हलों को प्रायः लांबिक हल फलनों (या आइगेनफलन ) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला बनती है।

यह भी देखें

आइगेनमान एवं आइगेनसदिश
हिल्बर्ट समष्टि
करहुनेन-लोवे प्रमेय
लॉरीसेला का प्रमेय
वानियर फलन

संदर्भ

↑ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

George B। Arfken & Hans J। Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press।
Price, Justin J. (1975). "Topics in orthogonal functions". American Mathematical Monthly. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
Giovanni Sansone (translated by Ainsley H। Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers।

बाहरी संबंध

Orthogonal Functions, on MathWorld।

[1] Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

[1]

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-गणित में, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस एक [[कार्य स्थान]] से संबंधित होते हैं जो एक [[ सदिश स्थल ]] होता है जो [[ द्विरेखीय रूप ]] से सुसज्जित होता है। जब फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में एक [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो बिलिनियर फॉर्म अंतराल पर कार्यों के उत्पाद का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
+गणित में, '''लांबिक फलन''' [[कार्य स्थान|फलन समष्टि]] से संबंधित होते हैं जो [[ सदिश स्थल |'''सदिश समष्टि''']] होता है जो [[ द्विरेखीय रूप |'''द्विरेखीय रूप''']] से सुसज्जित होता है। अतः जब फलन समष्टि में फलन के प्रांत के रूप में [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो द्विरैखिक रूप अंतराल पर फलनों के गुणनफल का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx  .</math>
-कार्य <math>f</math> और <math>g</math> जब यह इंटीग्रल शून्य होता है, तो द्विरेखीय रूप#रिफ्लेक्सिविटी और ऑर्थोगोनैलिटी होते हैं। <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब कभी भी <math>f \neq g</math>. परिमित-आयामी स्थान में वैक्टर के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन फ़ंक्शन स्थान के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। वैचारिक रूप से, उपरोक्त इंटीग्रल एक वेक्टर [[डॉट उत्पाद]] के समतुल्य है; यदि उनका डॉट-उत्पाद शून्य है तो दो वेक्टर परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) होते हैं।
+फलन <math>f</math> और <math>g</math> लांबिक होते हैं जब यह पूर्णांक शून्य होता है, अर्थात <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब भी <math>f \neq g</math> होता है। इस प्रकार से परिमित-विमीय समष्टि में सदिश के [[आधार (रैखिक बीजगणित)|'''आधार (रैखिक बीजगणित)''']] के साथ, लांबिक फलन फलन समष्टि के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। अतः वैचारिक रूप से, उपरोक्त पूर्णांक सदिश [[डॉट उत्पाद|'''बिंदु गुणनफल''']] के समतुल्य है; यदि उनका बिंदु-गुणनफल शून्य है तो दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लांबिक) होते हैं।
-कल्पना करना <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य L2-मानदंड|L के ऑर्थोगोनल कार्यों का एक क्रम है<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math>. यह क्रम इस प्रकार है <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> एल के कार्यों का है<sup>2</sup>-सामान्य एक, एक [[लम्बवत अनुक्रम]] बनाता है। एक परिभाषित एल होना<sup>2</sup>-मानदंड, इंटीग्रल को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फ़ंक्शंस को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।
+अतः मान लीजिए <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य L<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math> के लांबिक फलनों का क्रम है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> L<sup>2</sup>-मानदंड एक के फलनों का है, जो एक [[लम्बवत अनुक्रम]] बनाता है। इस प्रकार से परिभाषित L<sup>2</sup>-मानदंड के लिए, पूर्णांक को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फलन को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।
 ==त्रिकोणमितीय फलन==
-{{Main article|Fourier series|Harmonic analysis}}
+{{Main article|फूरियर श्रेणी|सुसंगत विश्लेषण}}
-ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के कई सेट अनुमानित फ़ंक्शंस के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन कार्य करता है {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}} अंतराल पर ऑर्थोगोनल हैं <math>x \in (-\pi, \pi)</math> कब <math>m \neq n</math> और n और m धनात्मक पूर्णांक हैं। तब के लिए
-:<math>2 \sin \left(mx\right) \sin \left(nx\right) = \cos \left(\left(m - n\right)x\right) - \cos\left(\left(m+n\right) x\right), </math>
+अतः लांबिक फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलन के लिए मानक आधार बन गए हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जब <math>m \neq n</math> और n धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो ज्या फलन {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}} अंतराल <math>x \in (-\pi, \pi)</math> पर लांबिक होते हैं। अतः तब
-और दो ज्या फलनों के गुणनफल का समाकलन लुप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ, इन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन को अनुमानित करने के लिए एक [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में इकट्ठा किया जा सकता है।
+:<math>2 \sin \left(mx\right) \sin \left(nx\right) = \cos \left(\left(m - n\right)x\right) - \cos\left(\left(m+n\right) x\right) </math>
+के लिए, और दो ज्या फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग समाप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> इस प्रकार से कोटिज्या फलन के साथ, इन लांबिक फलन को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फलन को अनुमानित करने के लिए [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में एकत्रित किया जा सकता है।
 ==बहुपद==
-{{main article|Orthogonal polynomials}}
+{{main article|लम्बिक बहुपद}}
-यदि कोई [[एकपद]]ी अनुक्रम से प्रारंभ करता है <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> अंतराल पर <math>[-1,1]</math> और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है, फिर लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।
-ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन कार्य शामिल होते हैं <math>w(x)</math> जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला गया है:
+इस प्रकार से यदि कोई अंतराल <math>[-1,1]</math> पर [[एकपद|एकपदी]] अनुक्रम <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> से प्रारंभ करता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है,तो उसे लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। अतः लांबिक बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।
+इस प्रकार से लांबिक बहुपदों के अध्ययन में भार फलन <math>w(x)</math> सम्मिलित होते हैं जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला जाता है:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int w(x) f(x) g(x)\,dx  .</math>
-[[लैगुएरे बहुपद]] के लिए <math>(0,\infty)</math> वज़न फ़ंक्शन है <math>w(x) = e^{-x}</math>.
+अतः <math>(0,\infty)</math> पर [[लैगुएरे बहुपद]] के लिए भार फलन <math>w(x) = e^{-x}</math> है।
-भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं <math>(-\infty,\infty)</math>, जहां वजन फ़ंक्शन है <math>w(x) = e^{-x^2}</math> या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math>.
+इस प्रकार से भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों <math>(-\infty,\infty)</math> पर हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन <math>w(x) = e^{-x^2}</math> या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math> है।
-[[चेबीशेव बहुपद]]ों को परिभाषित किया गया है <math>[-1,1]</math> और वज़न का उपयोग करें <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math>.
+अतः [[चेबीशेव बहुपद|चेबीशेव बहुपदों]] को <math>[-1,1]</math> पर परिभाषित किया गया है और भार <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math> का उपयोग किया गया है।
-ज़र्निक बहुपद को [[यूनिट डिस्क]] पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की ऑर्थोगोनलिटी है।
+ज़र्निक बहुपद को [[यूनिट डिस्क|इकाई चक्रिका]] पर परिभाषित किया गया है और इस प्रकार से इसमें त्रिज्यीय और कोणीय दोनों भागों की लंबिकता है।
-==बाइनरी-वैल्यू फ़ंक्शंस==
+==बाइनरी-मान फलन==
-[[वाल्श समारोह]] और [[ उसकी तरंगिका ]]्स अलग-अलग श्रेणियों के साथ ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं।
+अतः [[वाल्श समारोह|वाल्श फलन]] और [[ उसकी तरंगिका |उसकी तरंगिका]] अलग-अलग श्रेणियों के साथ लांबिक फलन के उदाहरण हैं।
-==तर्कसंगत कार्य==
+==तर्कसंगत फलन==
-[[File:ChebychevRational1.png|thumb|x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत कार्यों का प्लॉट।]]लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए ऑर्थोगोनल परिवार प्रदान करते हैं {{nowrap|[−1, 1]}} जबकि कभी-कभी ऑर्थोगोनल परिवारों की आवश्यकता होती है {{nowrap|[0, ∞)}}. इस मामले में तर्क लाने के लिए पहले केली ट्रांसफॉर्म#रियल होमोग्राफी को लागू करना सुविधाजनक है {{nowrap|[−1, 1]}}. इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन के परिवार बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फ़ंक्शन और चेबीशेव तर्कसंगत फ़ंक्शन कहा जाता है।
+[[File:ChebychevRational1.png|thumb|अतः इस प्रकार से x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों की रूप रेखा है।]]इस प्रकार से लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए लांबिक वर्ग {{nowrap|[−1, 1]}} प्रदान करते हैं जबकि कभी-कभी लांबिक वर्गों {{nowrap|[0, ∞)}} की आवश्यकता होती है। अतः इस स्थिति में तर्क लाने के लिए पहले केली परिवर्तन वास्तविक होमोग्राफी {{nowrap|[−1, 1]}} को लागू करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लांबिक फलन के वर्ग बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।
-==विभेदक समीकरणों में==
+==अवकल समीकरणों में==
-सीमा स्थितियों के साथ रैखिक [[अंतर समीकरण]]ों के समाधानों को अक्सर ऑर्थोगोनल समाधान कार्यों (a.k.a. [[eigenfunction]]s) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला]] बनती है।
+इस प्रकार से सीमा स्थितियों के साथ रैखिक [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] के हलों को प्रायः लांबिक हल फलनों (या [[eigenfunction|आइगेनफलन]] ) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला]] बनती है।
 ==यह भी देखें==
-* [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स]]
+* [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स|आइगेनमान एवं आइगेनसदिश]]
-* [[हिल्बर्ट स्थान]]
+* [[हिल्बर्ट स्थान|हिल्बर्ट समष्टि]]
 * करहुनेन-लोवे प्रमेय
 * लॉरीसेला का प्रमेय
-* [[वानियर फ़ंक्शन]]
+* [[वानियर फ़ंक्शन|वानियर फलन]]
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
-* George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) ''Mathematical Methods for Physicists'', 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, [[Academic Press]].
+* George B। Arfken & Hans J। Weber (2005) ''Mathematical Methods for Physicists'', 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, [[Academic Press]]।
 * {{cite journal|author=Price, Justin J.|authorlink=Justin Jesse Price|title=Topics in orthogonal functions|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=82|year=1975|pages=594–609|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/topics-in-orthogonal-functions|doi=10.2307/2319690}}
-* [[Giovanni Sansone]]  (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) ''Orthogonal Functions'', [[Interscience Publishers]].
+* [[Giovanni Sansone]] (translated by Ainsley H। Diamond) (1959) ''Orthogonal Functions'', [[Interscience Publishers]]।
 == बाहरी संबंध ==
-* [http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html Orthogonal Functions], on MathWorld.
+* [http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html Orthogonal Functions], on MathWorld।
-[[Category: कार्यात्मक विश्लेषण]] [[Category: कार्यों के प्रकार]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
 [[Category:Created On 03/07/2023]]
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