समकोण: Difference between revisions

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बारीकी से संबंधित और महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणाएं लंबवत रेखाएं हैं, जिसका अर्थ है कि वे रेखाएं जो उनके चौराहे के बिंदु पर समकोण बनाती हैं, और [[ओर्थोगोनालिटी]], जो समकोण बनाने की गुण है, सामान्यतः [[यूक्लिडियन वेक्टर|वेक्टर]] (सदिश) पर लागू होती है। त्रिभुज में समकोण की उपस्थिति समकोण त्रिभुजों के लिए परिभाषित कारक है,<ref>Wentworth p. 40</ref> जो समकोण को त्रिकोणमिति का मूल बनाता है।[[Image:Right angle.svg|thumb|134px|एक समकोण 90 डिग्री के बराबर होता है।]]
बारीकी से संबंधित और महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणाएं लंबवत रेखाएं हैं, जिसका अर्थ है कि वे रेखाएं जो उनके चौराहे के बिंदु पर समकोण बनाती हैं, और [[ओर्थोगोनालिटी]], जो समकोण बनाने की गुण है, सामान्यतः [[यूक्लिडियन वेक्टर|वेक्टर]] (सदिश) पर लागू होती है। त्रिभुज में समकोण की उपस्थिति समकोण त्रिभुजों के लिए परिभाषित कारक है,<ref>Wentworth p. 40</ref> जो समकोण को त्रिकोणमिति का मूल बनाता है।[[Image:Right angle.svg|thumb|134px|एक समकोण 90 डिग्री के बराबर होता है।]]
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== व्युत्पत्ति ==
== व्युत्पत्ति ==
'''समकोण में समकोण का अर्थ संभवतः लैटिन विशेषण रेक्टस 'सीधा, सीधा, सीधा, सीधा' को दर्शाता है। [[ग्रीक भाषा|ग्रीक]] समकक्ष ऑर्थोस 'स्ट्रेट' है; लंबवत' (ऑर्थोगोनलिटी देखें)।'''
समकोण का अर्थ संभवतः लैटिन विशेषण रेक्टस 'खड़ा, सीधा, खड़ा स्तम्भ, लंबवत' को दर्शाता है। '''[[ग्रीक भाषा|ग्रीक]]''' समकक्ष ऑर्थोस 'सीधा है; लंबवत' (ऑर्थोगोनलिटी देखें)।


== प्रारंभिक ज्यामिति में ==
== प्रारंभिक ज्यामिति में ==
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आरेखों में, यह तथ्य कि कोण समकोण है, सामान्यतः छोटे से समकोण को जोड़कर व्यक्त किया जाता है, जो आरेख में कोण के साथ वर्ग बनाता है, जैसा कि समकोण त्रिभुज के आरेख में देखा गया है (ब्रिटिश अंग्रेजी में, समकोण त्रिभुज) दाईं ओर। मापे गए कोण के लिए प्रतीक, डॉट के साथ चाप, का उपयोग कुछ यूरोपीय देशों में किया जाता है, समकोण के लिए एक वैकल्पिक प्रतीक के रूप में, जिसमें जर्मन भाषी देश और पोलैंड सम्मिलित हैं।<ref>{{cite book |last1=Müller-Philipp|first2=Hans-Joachim|last2=Gorski |first1=Susanne  |year=2011 |title=ज्यामिति गाइड|trans-title=Handbook Geometry |url=https://books.google.com/books?id=PAdSPOBYHPUC |language=de |publisher=Springer |isbn=9783834886163}}</ref>
आरेखों में, यह तथ्य कि कोण समकोण है, सामान्यतः छोटे से समकोण को जोड़कर व्यक्त किया जाता है, जो आरेख में कोण के साथ वर्ग बनाता है, जैसा कि समकोण त्रिभुज के आरेख में देखा गया है (ब्रिटिश अंग्रेजी में, समकोण त्रिभुज) दाईं ओर। मापे गए कोण के लिए प्रतीक, डॉट के साथ चाप, का उपयोग कुछ यूरोपीय देशों में किया जाता है, समकोण के लिए एक वैकल्पिक प्रतीक के रूप में, जिसमें जर्मन भाषी देश और पोलैंड सम्मिलित हैं।<ref>{{cite book |last1=Müller-Philipp|first2=Hans-Joachim|last2=Gorski |first1=Susanne  |year=2011 |title=ज्यामिति गाइड|trans-title=Handbook Geometry |url=https://books.google.com/books?id=PAdSPOBYHPUC |language=de |publisher=Springer |isbn=9783834886163}}</ref>
== यूक्लिड ==
== यूक्लिड ==
यूक्लिड के तत्वों में समकोण मूलभूत हैं। उन्हें पुस्तक 1, परिभाषा 10 में परिभाषित किया गया है, जो लम्बवत रेखाओं को भी परिभाषित करता है। परिभाषा 10 संख्यात्मक डिग्री माप का उपयोग नहीं करती है, बल्कि समकोण के दिल को छूती है, अर्थात् दो सीधी रेखाएँ दो बराबर और आसन्न कोण बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती हैं।<ref>Heath p. 181</ref> वे सीधी रेखाएँ जो समकोण बनाती हैं, लंब कहलाती हैं।<ref>Heath p. 181</ref> यूक्लिड न्यून कोणों (जो समकोण से छोटे हैं) और अधिक कोण (जो समकोण से बड़े हैं) को परिभाषित करने के लिए 11 और 12 की परिभाषाओं में समकोण का उपयोग करता है।<ref>Heath p. 181</ref> दो कोण पूरक कहलाते हैं यदि उनका योग समकोण है।<ref>Wentworth p. 9</ref>
यूक्लिड के तत्वों में समकोण मूलभूत हैं। उन्हें पुस्तक 1, परिभाषा 10 में परिभाषित किया गया है, जो लम्बवत रेखाओं को भी परिभाषित करता है। परिभाषा 10 संख्यात्मक डिग्री माप का उपयोग नहीं करती है, बल्कि, यह इस सार को छूता है कि समकोण क्या है, अर्थात् जो दो सीधी रेखाएँ दो बराबर और आसन्न कोण बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती हैं।<ref>Heath p. 181</ref> वे सीधी रेखाएँ जो समकोण बनाती हैं, लंब कहलाती हैं।<ref>Heath p. 181</ref> यूक्लिड न्यून कोणों (जो समकोण से छोटे हैं) और अधिक कोण (जो समकोण से बड़े हैं) को परिभाषित करने के लिए 11 और 12 की परिभाषाओं में समकोण का उपयोग करता है।<ref>Heath p. 181</ref> दो कोण पूरक कहलाते हैं यदि उनका योग समकोण है।<ref>Wentworth p. 9</ref>


पुस्तक 1 अभिधारणा 4 कहती है कि सभी समकोण बराबर होते हैं, जो यूक्लिड को अन्य कोणों को मापने के लिए इकाई के रूप में समकोण का उपयोग करने की अनुमति देता है। यूक्लिड के भाष्यकार प्रोक्लस ने पिछली अभिधारणाओं का उपयोग करके इस अभिधारणा का प्रमाण दिया, लेकिन यह तर्क दिया जा सकता है कि यह प्रमाण कुछ छिपी हुई मान्यताओं का उपयोग करता है। सच्चरी ने प्रमाण भी दिया लेकिन अधिक स्पष्ट धारणा का उपयोग किया। ज्यामिति के [[डेविड हिल्बर्ट|हिल्बर्ट]] के अभिगृहीतीकरण में, यह कथन प्रमेय के रूप में दिया गया है, लेकिन केवल काफी आधारभूत कार्य के बाद है। कोई यह तर्क दे सकता है कि, भले ही अभिधारणा 4 को पिछले वाले से सिद्ध किया जा सकता है, जिस क्रम में यूक्लिड अपनी सामग्री प्रस्तुत करता है, उसे सम्मिलित करना आवश्यक है क्योंकि इसके बिना अभिधारणा 5 है, जो माप की इकाई के रूप में समकोण का उपयोग करता है, उसका कोई मतलब नहीं बनता है।<ref>Heath pp. 200-201 for the paragraph</ref>
पुस्तक 1 अभिधारणा 4 कहती है कि सभी समकोण बराबर होते हैं, जो यूक्लिड को अन्य कोणों को मापने के लिए इकाई के रूप में समकोण का उपयोग करने की अनुमति देता है। यूक्लिड के भाष्यकार प्रोक्लस ने पिछली अभिधारणाओं का उपयोग करके इस अभिधारणा का प्रमाण दिया, लेकिन यह तर्क दिया जा सकता है कि यह प्रमाण कुछ छिपी हुई मान्यताओं का उपयोग करता है। सच्चरी ने प्रमाण भी दिया लेकिन अधिक स्पष्ट धारणा का उपयोग किया। ज्यामिति के [[डेविड हिल्बर्ट|हिल्बर्ट]] के अभिगृहीतीकरण में, यह कथन प्रमेय के रूप में दिया गया है, लेकिन केवल काफी आधारभूत कार्य के बाद है। कोई यह तर्क दे सकता है कि, भले ही अभिधारणा 4 को पिछले वाले से सिद्ध किया जा सकता है, जिस क्रम में यूक्लिड अपनी सामग्री प्रस्तुत करता है, उसे सम्मिलित करना आवश्यक है क्योंकि इसके बिना अभिधारणा 5 है, जो माप की इकाई के रूप में समकोण का उपयोग करता है, उसका कोई अर्थ नहीं बनता है।<ref>Heath pp. 200-201 for the paragraph</ref>
== अन्य इकाइयों में रूपांतरण ==
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समकोण को विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जा सकता है:
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| caption1 = बिंदु P से अर्ध-पंक्ति h के लंबवत का निर्माण (न केवल समापन बिंदु A पर लागू होता है, बल्कि M भी स्वतंत्र रूप से चयन योग्य है), विराम के साथ अंत में एनीमेशन 10 s
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| image2 = 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis-II.gif
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| caption2 =  Alternative construction if P outside of the half-line h and the distance A to P' is small (B is freely selectable),<br>animation at the end with pause 10 s
| caption2 =  वैकल्पिक निर्माण यदि P आधी-पंक्ति h के बाहर है और A से P' की दूरी छोटी है (B स्वतंत्र रूप से चयन योग्य है),<br>रोक 10 सेकंड के साथ अंत में एनीमेशन
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*Euclid, commentary and trans. by [[T. L. Heath]] ''Elements'' Vol. 1 (1908 Cambridge) [https://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ Google Books]
*Euclid, commentary and trans. by [[T. L. Heath]] ''Elements'' Vol. 1 (1908 Cambridge) [https://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ Google Books]
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Latest revision as of 15:23, 5 September 2023

For other uses, see समकोण (disambiguation).

ज्यामिति और त्रिकोणमिति में, समकोण ठीक 90 डिग्री या /2 रेडियन [1] होता है जो एक चौथाई मोड़ के अनुरूप होता है।[2] यदि एक किरण को इस प्रकार रखा जाए कि उसका अंतिम बिंदु एक रेखा पर हो और निकटवर्ती कोण बराबर हों, तो वे समकोण होते हैं।[3] यह शब्द लैटिन एंगुलस रेक्टस का एक कैल्क है; यहाँ रेक्टस का अर्थ "सीधा" है, जो एक क्षैतिज आधार रेखा के लंबवत लंब को संदर्भित करता है।

Types of angles
2D angles

Right
Interior

Exterior
2D angle pairs

Adjacent
Vertical
Complementary
Supplementary

Transversal
3D angles
Dihedral

बारीकी से संबंधित और महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणाएं लंबवत रेखाएं हैं, जिसका अर्थ है कि वे रेखाएं जो उनके चौराहे के बिंदु पर समकोण बनाती हैं, और ओर्थोगोनालिटी, जो समकोण बनाने की गुण है, सामान्यतः वेक्टर (सदिश) पर लागू होती है। त्रिभुज में समकोण की उपस्थिति समकोण त्रिभुजों के लिए परिभाषित कारक है,[4] जो समकोण को त्रिकोणमिति का मूल बनाता है।

एक समकोण 90 डिग्री के बराबर होता है।
एक रेखाखंड (AB) इस प्रकार खींचा गया है कि यह एक रेखा (CD) के साथ समकोण बनाता है।

व्युत्पत्ति

समकोण का अर्थ संभवतः लैटिन विशेषण रेक्टस 'खड़ा, सीधा, खड़ा स्तम्भ, लंबवत' को दर्शाता है। ग्रीक समकक्ष ऑर्थोस 'सीधा है; लंबवत' (ऑर्थोगोनलिटी देखें)।

प्रारंभिक ज्यामिति में

आयत चार समकोणों वाला चतुर्भुज होता है। समान लंबाई वाली भुजाओं के अलावा वर्ग में चार समकोण होते हैं।

पायथागॉरियन प्रमेय बताता है कि कैसे निर्धारित किया जाए कि त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।

प्रतीक

समकोण वाले एक छोटे वर्ग के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज दिखाया गया है।
एक कोण वक्र और एक छोटी बिंदी का उपयोग करके आरेखीय रूप से एक समकोण का संकेत देने का एक अन्य विकल्प।

यूनिकोड में, समकोण के लिए प्रतीक U+221F ∟ RIGHT ANGLE (&angrt;) दायां कोण है। इसे इसी तरह के आकार के प्रतीक U+231E ⌞ BOTTOM LEFT CORNER (&dlcorn;, &llcorner;) निचला बायां किनारा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। संबंधित प्रतीक हैं। U+22BE ⊾ RIGHT ANGLE WITH ARC (&angrtvb;), U+299C ⦜ RIGHT ANGLE VARIANT WITH SQUARE (&vangrt;) वर्ग के साथ समकोण संस्करण और U+299D ⦝ MEASURED RIGHT ANGLE WITH DOT (&angrtvbd;) के साथ दायां कोण मापा गया है।[5]

आरेखों में, यह तथ्य कि कोण समकोण है, सामान्यतः छोटे से समकोण को जोड़कर व्यक्त किया जाता है, जो आरेख में कोण के साथ वर्ग बनाता है, जैसा कि समकोण त्रिभुज के आरेख में देखा गया है (ब्रिटिश अंग्रेजी में, समकोण त्रिभुज) दाईं ओर। मापे गए कोण के लिए प्रतीक, डॉट के साथ चाप, का उपयोग कुछ यूरोपीय देशों में किया जाता है, समकोण के लिए एक वैकल्पिक प्रतीक के रूप में, जिसमें जर्मन भाषी देश और पोलैंड सम्मिलित हैं।[6]

यूक्लिड

यूक्लिड के तत्वों में समकोण मूलभूत हैं। उन्हें पुस्तक 1, परिभाषा 10 में परिभाषित किया गया है, जो लम्बवत रेखाओं को भी परिभाषित करता है। परिभाषा 10 संख्यात्मक डिग्री माप का उपयोग नहीं करती है, बल्कि, यह इस सार को छूता है कि समकोण क्या है, अर्थात् जो दो सीधी रेखाएँ दो बराबर और आसन्न कोण बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती हैं।[7] वे सीधी रेखाएँ जो समकोण बनाती हैं, लंब कहलाती हैं।[8] यूक्लिड न्यून कोणों (जो समकोण से छोटे हैं) और अधिक कोण (जो समकोण से बड़े हैं) को परिभाषित करने के लिए 11 और 12 की परिभाषाओं में समकोण का उपयोग करता है।[9] दो कोण पूरक कहलाते हैं यदि उनका योग समकोण है।[10]

पुस्तक 1 अभिधारणा 4 कहती है कि सभी समकोण बराबर होते हैं, जो यूक्लिड को अन्य कोणों को मापने के लिए इकाई के रूप में समकोण का उपयोग करने की अनुमति देता है। यूक्लिड के भाष्यकार प्रोक्लस ने पिछली अभिधारणाओं का उपयोग करके इस अभिधारणा का प्रमाण दिया, लेकिन यह तर्क दिया जा सकता है कि यह प्रमाण कुछ छिपी हुई मान्यताओं का उपयोग करता है। सच्चरी ने प्रमाण भी दिया लेकिन अधिक स्पष्ट धारणा का उपयोग किया। ज्यामिति के हिल्बर्ट के अभिगृहीतीकरण में, यह कथन प्रमेय के रूप में दिया गया है, लेकिन केवल काफी आधारभूत कार्य के बाद है। कोई यह तर्क दे सकता है कि, भले ही अभिधारणा 4 को पिछले वाले से सिद्ध किया जा सकता है, जिस क्रम में यूक्लिड अपनी सामग्री प्रस्तुत करता है, उसे सम्मिलित करना आवश्यक है क्योंकि इसके बिना अभिधारणा 5 है, जो माप की इकाई के रूप में समकोण का उपयोग करता है, उसका कोई अर्थ नहीं बनता है।[11]

अन्य इकाइयों में रूपांतरण

समकोण को विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जा सकता है:

  • 1/4 घुमा
  • 90° (डिग्री (कोण)
  • π/2 रेडियंस
  • 100 ग्रेड (कोण) (जिसे ग्रेड, ग्रेडियन या गॉन भी कहा जाता है)
  • 8 पॉइंट्स (32-पॉइंट कंपास रोज़)
  • 6 घंटे (खगोलीय घंटे कोण)

3-4-5 का नियम

पूरे इतिहास में, बढ़ई और राजमिस्त्री इस बात की पुष्टि करने के लिए त्वरति विधि जानते हैं कि क्या कोई कोण सही मायने में "समकोण" है। यह सबसे व्यापक रूप से ज्ञात पायथागॉरियन ट्रिपल (3, 4, 5) पर आधारित है और तथाकथित "3-4-5 का नियम" है। विचाराधीन कोण से, एक तरफ सीधी रेखा को लंबाई में ठीक 3 यूनिट और दूसरी तरफ लंबाई में ठीक 4 यूनिट के साथ चलाने से, कर्ण (समकोण के विपरीत लंबी रेखा जो दो मापा अंत बिंदुओं को जोड़ती है) का निर्माण करेगी, ठीक 5 इकाइयों की लंबाई में। यह माप जल्दी और तकनीकी उपकरणों के बिना किया जा सकता है। माप के पीछे ज्यामितीय कानून पाइथागोरस प्रमेय है ("समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है")।

थेल्स प्रमेय

बिंदु P से अर्ध-पंक्ति h के लंबवत का निर्माण (न केवल समापन बिंदु A पर लागू होता है, बल्कि M भी स्वतंत्र रूप से चयन योग्य है), विराम के साथ अंत में एनीमेशन 10 s
वैकल्पिक निर्माण यदि P आधी-पंक्ति h के बाहर है और A से P' की दूरी छोटी है (B स्वतंत्र रूप से चयन योग्य है),
रोक 10 सेकंड के साथ अंत में एनीमेशन
Main article: थेल्स प्रमेय

थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि अर्धवृत्त में खुदा हुआ कोण (अर्धवृत्त पर शीर्ष के साथ और इसकी परिभाषित किरणें अर्धवृत्त के अंत बिंदुओं से होकर गुजरती हैं) समकोण है।

दो अनुप्रयोग उदाहरण जिसमें समकोण और थेल्स प्रमेय सम्मिलित हैं (एनीमेशन देखें)।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ "समकोण". Math Open Reference. Retrieved 26 April 2017.
  2. ↑ Wentworth p. 11
  3. ↑ Wentworth p. 8
  4. ↑ Wentworth p. 40
  5. ↑ Unicode 5.2 Character Code Charts Mathematical Operators, Miscellaneous Mathematical Symbols-B
  6. ↑ Müller-Philipp, Susanne; Gorski, Hans-Joachim (2011). ज्यामिति गाइड [Handbook Geometry] (in Deutsch). Springer. ISBN 9783834886163.
  7. ↑ Heath p. 181
  8. ↑ Heath p. 181
  9. ↑ Heath p. 181
  10. ↑ Wentworth p. 9
  11. ↑ Heath pp. 200-201 for the paragraph
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