लाफलिन वेवफंक्शन: Difference between revisions

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[[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में, लाफलिन वेवफंक्शन <रेफरी नाम= लाफलिन पीपी. 1395-1398 >{{cite journal | last=Laughlin | first=R. B. | title=विषम क्वांटम हॉल प्रभाव: आंशिक रूप से आवेशित उत्तेजनाओं के साथ एक असंगत क्वांटम द्रव| journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=50 | issue=18 | date=2 May 1983 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.50.1395 | pages=1395–1398| bibcode=1983PhRvL..50.1395L }}</ref><ref>{{cite book | author=Z. F. Ezewa    | title=क्वांटम हॉल प्रभाव, दूसरा संस्करण| publisher= World Scientific| year=2008 | isbn=978-981-270-032-2}} pp. 210-213</ref> रॉबर्ट बी. लॉफलिन द्वारा एक समान [[जेलियम]] पृष्ठभूमि की उपस्थिति में एक समान पृष्ठभूमि [[चुंबकीय क्षेत्र]] में रखी गई [[द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस]] की जमीनी अवस्था के लिए प्रस्तावित एक [[ansatz]] है, जब [[भरने का कारक (क्वांटम हॉल प्रभाव)]] निम्नतम लैंडौ स्तर का होता है है <math>\nu=1/n</math> कहाँ <math>n</math> विषम धनात्मक पूर्णांक है। इसका निर्माण के अवलोकन को समझाने के लिए किया गया था <math>\nu=1/3</math> [[आंशिक क्वांटम हॉल प्रभाव]], और अतिरिक्त के अस्तित्व की भविष्यवाणी की <math>\nu = 1/n</math> राज्यों के साथ-साथ फ्रैक्शनल इलेक्ट्रिक चार्ज के साथ क्वासिपार्टिकल एक्साइटमेंट <math>e/n</math>, दोनों को बाद में प्रायोगिक रूप से देखा गया। लाफलिन को इस खोज के लिए 1998 में भौतिकी का एक तिहाई नोबेल पुरस्कार मिला। ट्रायल वेवफंक्शन होने के नाते, यह सटीक नहीं है, लेकिन गुणात्मक रूप से, यह सटीक समाधान की कई विशेषताओं को पुन: उत्पन्न करता है और मात्रात्मक रूप से, इसमें छोटी प्रणालियों के लिए सटीक जमीनी स्थिति के साथ बहुत अधिक ओवरलैप होता है।
[[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में, '''लाफलिन वेवफंक्शन''' <ref>{{cite book | author=Z. F. Ezewa    | title=क्वांटम हॉल प्रभाव, दूसरा संस्करण| publisher= World Scientific| year=2008 | isbn=978-981-270-032-2}} pp. 210-213</ref> एन्सैट्ज है, जिसे रॉबर्ट लाफलिन द्वारा एक समान जेलियम पृष्ठभूमि की उपस्थिति में एक समान पृष्ठभूमि चुंबकीय क्षेत्र में रखी गई दो-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस की जमीनी स्थिति के लिए प्रस्तावित किया गया है। निम्नतम लन्दौ स्तर का भरण कारक (क्वांटम हॉल प्रभाव) <math>\nu=1/n</math> है जहाँ n विषम धनात्मक पूर्णांक है। इसका निर्माण <math>\nu=1/3</math> भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव के अवलोकन की व्याख्या करने के लिए किया गया था और अतिरिक्त <math>\nu = 1/n</math> अवस्थाओं के साथ-साथ भिन्नात्मक विद्युत आवेश <math>e/n</math> के साथ क्वासिपार्टिकल उद्दीपन के अस्तित्व की भविष्यवाणी की गई थी, दोनों बाद में प्रायोगिक तौर पर देखे गए थे। लाफलिन को इस खोज के लिए 1998 में भौतिकी के नोबेल पुरस्कार का एक तिहाई हिस्सा मिला था। ट्रायल वेवफंक्शन होने के नाते, यह सटीक नहीं है, लेकिन गुणात्मक रूप से, यह सटीक समाधान की कई विशेषताओं को पुन: पेश करता है और मात्रात्मक रूप से, छोटे प्रणाली के लिए सटीक जमीनी स्थिति के साथ इसका बहुत अधिक अतिव्यापन होता है।


यदि हम शून्य क्रम सन्निकटन के रूप में इलेक्ट्रॉनों के बीच जेलियम और आपसी [[कूलम्ब प्रतिकर्षण]] की उपेक्षा करते हैं, तो हमारे पास एक असीम रूप से निम्नतम लैंडौ स्तर (एलएलएल) है और 1/एन के भरने वाले कारक के साथ, हम उम्मीद करेंगे कि सभी इलेक्ट्रॉन झूठ बोलेंगे एलएलएल में। अंतःक्रियाओं को चालू करते हुए, हम अनुमान लगा सकते हैं कि सभी इलेक्ट्रॉन LLL में स्थित हैं। अगर <math>\psi_0</math> सबसे कम [[कोणीय गति ऑपरेटर]] के साथ एलएलएल राज्य का एकल कण तरंग है, तो मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन के लिए लाफलिन एनाट्ज़ है
यदि हम एक शून्य क्रम सन्निकटन के रूप में इलेक्ट्रॉनों के बीच जेलियम और आपसी [[कूलम्ब प्रतिकर्षण]] को अनदेखा करते हैं, तो हमारे पास एक असीम रूप से निम्नतम लैंडौ स्तर (LLL) है और 1/n के भरण कारक के साथ, हम उम्मीद करेंगे कि सभी इलेक्ट्रॉन LLL में स्थित होंगे। अन्योन्यक्रियाओं को चालू करते हुए, हम अनुमान लगा सकते हैं कि सभी इलेक्ट्रॉन LLL में हैं। यदि <math>\psi_0</math> सबसे कम कक्षीय [[कोणीय गति ऑपरेटर|कोणीय]] संवेग के साथ LLL अवस्था का एकल कण तरंग है, तो मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन के लिए लाफलिन एनाट्ज़ है।


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D \left[ \prod_{N \geqslant i > j \geqslant 1}\left( z_i-z_j \right)^n \right] \prod^N_{k=1}\exp\left( - \mid z_k \mid^2 \right)
D \left[ \prod_{N \geqslant i > j \geqslant 1}\left( z_i-z_j \right)^n \right] \prod^N_{k=1}\exp\left( - \mid z_k \mid^2 \right)
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और <math> x </math> और <math> y </math> xy तल में निर्देशांक हैं। यहाँ <math> \hbar </math> घटी हुई प्लैंक नियतांक है, <math> e </math> इलेक्ट्रॉन आवेश है, <math> N </math> कणों की कुल संख्या है, और <math> B </math> चुंबकीय क्षेत्र है, जो xy तल के लंबवत है। जेड पर सबस्क्रिप्ट कण की पहचान करते हैं। वेवफंक्शन के लिए [[फर्मियन]] का वर्णन करने के लिए, n एक विषम पूर्णांक होना चाहिए। यह वेवफंक्शन को पार्टिकल इंटरचेंज के तहत एंटीसिमेट्रिक होने के लिए मजबूर करता है। इस अवस्था का कोणीय संवेग है <math> n\hbar </math>.
और <math> x </math> और <math> y </math>, xy समतल में निर्देशांक हैं। यहाँ <math> \hbar </math> घटी हुई प्लैंक नियतांक है, <math> e </math> इलेक्ट्रॉन आवेश है, <math> N </math> कणों की कुल संख्या है, और <math> B </math> चुंबकीय क्षेत्र है, जो xy तल के लम्बवत् है। Z पर सबस्क्रिप्ट कण की पहचान करते हैं। वेव फंक्शन के लिए फ़र्मियन का वर्णन करने के लिए, n को एक विषम पूर्णांक होना चाहिए। यह कण इंटरचेंज के तहत वेव फ़ंक्शन को एंटीसिमेट्रिक होने के लिए मजबूर करता है। इस स्थिति के लिए कोणीय गति <math> n\hbar </math> है।


== दो कणों के लिए परस्पर क्रिया की ऊर्जा ==
== दो कणों के लिए परस्पर क्रिया की ऊर्जा ==
[[Image:101017 Expectation value vs l.jpg|thumb|250px|right|चित्रा 1. सहभागिता ऊर्जा बनाम। <math>{\mathit l}</math> के लिए <math>n=7</math> और <math>k_Br_B=20</math>. ऊर्जा की इकाइयों में है <math>{e^2 \over L_B}</math>. ध्यान दें कि न्यूनतम के लिए होता है <math>{\mathit l} =3</math> और <math>{\mathit l} =4</math>. सामान्य तौर पर मिनीमा होता है <math>{\mathit l \over n} = {1\over 2} \pm {1\over 2n}</math>.]]लॉफलिन वेवफंक्शन [[ quisiparticle ]]्स के लिए मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन है। क्वासिपार्टिकल्स की एक जोड़ी के लिए अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का अपेक्षित मूल्य है
[[Image:101017 Expectation value vs l.jpg|thumb|250px|right|चित्र 1. सहभागिता ऊर्जा बनाम। <math>{\mathit l}</math> के लिए <math>n=7</math> और <math>k_Br_B=20</math>. ऊर्जा की इकाइयों में है <math>{e^2 \over L_B}</math>. ध्यान दें कि न्यूनतम के लिए <math>{\mathit l} =3</math> होता है  और <math>{\mathit l} =4</math>. सामान्य तौर पर मिनीमा <math>{\mathit l \over n} = {1\over 2} \pm {1\over 2n}</math> होता है ]]लॉफलिन वेवफंक्शन क्वासिपार्टिकल्स के लिए मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन है। क्वासिपार्टिकल्स की एक जोड़ी के लिए अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का अपेक्षित मूल्य है।


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जहां स्क्रीन की क्षमता है (स्थैतिक बल और आभासी-कण विनिमय देखें # एक चुंबकीय क्षेत्र में एम्बेडेड दो मौजूदा छोरों के बीच कूलम्ब क्षमता)
जहां जांच की गई क्षमता है (चुंबकीय क्षेत्र में अंतर्निहित दो वर्तमान लूपों के बीच कूलम्ब क्षमता देखें)


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\; M \left ( \mathit l + 1, 1, -{k^2 \over 4} \right) \;M \left ( \mathit l^{\prime} + 1, 1, -{k^2 \over 4} \right) \;\mathcal J_0 \left ( k{r_{12}\over r_{B}} \right)
\; M \left ( \mathit l + 1, 1, -{k^2 \over 4} \right) \;M \left ( \mathit l^{\prime} + 1, 1, -{k^2 \over 4} \right) \;\mathcal J_0 \left ( k{r_{12}\over r_{B}} \right)
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कहाँ <math>M</math> एक मिला हुआ हाइपरज्यामितीय कार्य है और <math>\mathcal J_0</math> प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है। यहाँ, <math>r_{12}</math> दो मौजूदा लूप के केंद्रों के बीच की दूरी है, <math>e</math> इलेक्ट्रॉन आवेश का परिमाण है, <math>r_{B}= \sqrt{2} \mathit l_B</math> Larmor त्रिज्या का क्वांटम संस्करण है, और <math>L_B</math> चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में इलेक्ट्रॉन गैस की मोटाई है। दो अलग-अलग वर्तमान लूपों की कोणीय गति है <math>\mathit l \hbar</math> और <math>\mathit l^{\prime} \hbar</math> कहाँ <math>\mathit l + \mathit l^{\prime} = n</math>. व्युत्क्रम स्क्रीनिंग लंबाई (गाऊसी इकाइयों) द्वारा दी गई है
जहाँ <math>M</math> मिला हुआ हाइपरज्यामितीय फलन है और <math>\mathcal J_0</math> पहली तरह का बेसेल फलन है। यहाँ, <math>r_{12}</math> दो वर्तमान लूपों के केंद्रों के बीच की दूरी है, <math>e</math> इलेक्ट्रॉन आवेश का परिमाण है, <math>r_{B}= \sqrt{2} \mathit l_B</math> लार्मर त्रिज्या का क्वांटम संस्करण है, और <math>L_B</math>चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में इलेक्ट्रॉन गैस की मोटाई है। दो व्यक्तिगत वर्तमान लूपों का कोणीय संवेग <math>\mathit l \hbar</math> <math>\mathit l^{\prime} \hbar</math> है जहाँ <math>\mathit l + \mathit l^{\prime} = n</math> है। व्युत्क्रम स्क्रीनिंग लंबाई (गाऊसी इकाइयों) द्वारा दी गई है


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  k_B^2  = {4 \pi e^2 \over \hbar \omega_c A L_B}
  k_B^2  = {4 \pi e^2 \over \hbar \omega_c A L_B}
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कहाँ <math>\omega_c </math> [[साइक्लोट्रॉन आवृत्ति]] है, और <math>A </math> xy तल में इलेक्ट्रॉन गैस का क्षेत्र है।
जहाँ <math>\omega_c </math> [[साइक्लोट्रॉन आवृत्ति]] है, और <math>A </math> xy तल में इलेक्ट्रॉन गैस का क्षेत्रफल है।


अंतःक्रियात्मक ऊर्जा इसका मूल्यांकन करती है:
अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का मूल्यांकन:
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v_{12} = {z_1 + z_2 \over \sqrt{2} }
v_{12} = {z_1 + z_2 \over \sqrt{2} }
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और नोट किया गया (क्वांटम फील्ड थ्योरी में कॉमन इंटीग्रल्स देखें # मैग्नेटिक वेव फंक्शन पर इंटीग्रेशन)
और विख्यात (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सामान्य समाकलन देखें)


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:<math>{\mathit l \over n} ={2\over3}, {3\over 5}, {4\over 7}, \mbox{etc.} </math>
:<math>{\mathit l \over n} ={2\over3}, {3\over 5}, {4\over 7}, \mbox{etc.} </math>
कोणीय संवेग के अनुपात के इन मूल्यों के लिए, ऊर्जा को चित्र 2 में एक फलन के रूप में अंकित किया गया है <math>n </math>.
कोणीय संवेग के अनुपात के इन मानों के लिए, ऊर्जा को चित्र 2 में <math>n </math> के एक फलन के रूप में अंकित किया गया है।


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
<references/>
<references/>
== यह भी देखें ==


== यह भी देखें ==
* [[लैंडौ स्तर]]
* [[लैंडौ स्तर]]
* आंशिक क्वांटम हॉल प्रभाव
* फ्रैक्शनल क्वांटम हॉल इफेक्ट
* स्थैतिक बल और आभासी-कण विनिमय # एक चुंबकीय क्षेत्र में एम्बेडेड दो वर्तमान लूपों के बीच कूलम्ब क्षमता
* चुंबकीय क्षेत्र में एम्बेडेड दो वर्तमान लूपों के बीच कूलम्ब क्षमता
 
श्रेणी:हॉल प्रभाव
श्रेणी:संघनित पदार्थ भौतिकी
श्रेणी:क्वांटम चरण
 


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 25/04/2023]]
[[Category:Created On 25/04/2023]]
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Latest revision as of 15:26, 5 September 2023

संघनित पदार्थ भौतिकी में, लाफलिन वेवफंक्शन [1] एन्सैट्ज है, जिसे रॉबर्ट लाफलिन द्वारा एक समान जेलियम पृष्ठभूमि की उपस्थिति में एक समान पृष्ठभूमि चुंबकीय क्षेत्र में रखी गई दो-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस की जमीनी स्थिति के लिए प्रस्तावित किया गया है। निम्नतम लन्दौ स्तर का भरण कारक (क्वांटम हॉल प्रभाव) है जहाँ n विषम धनात्मक पूर्णांक है। इसका निर्माण भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव के अवलोकन की व्याख्या करने के लिए किया गया था और अतिरिक्त अवस्थाओं के साथ-साथ भिन्नात्मक विद्युत आवेश के साथ क्वासिपार्टिकल उद्दीपन के अस्तित्व की भविष्यवाणी की गई थी, दोनों बाद में प्रायोगिक तौर पर देखे गए थे। लाफलिन को इस खोज के लिए 1998 में भौतिकी के नोबेल पुरस्कार का एक तिहाई हिस्सा मिला था। ट्रायल वेवफंक्शन होने के नाते, यह सटीक नहीं है, लेकिन गुणात्मक रूप से, यह सटीक समाधान की कई विशेषताओं को पुन: पेश करता है और मात्रात्मक रूप से, छोटे प्रणाली के लिए सटीक जमीनी स्थिति के साथ इसका बहुत अधिक अतिव्यापन होता है।

यदि हम एक शून्य क्रम सन्निकटन के रूप में इलेक्ट्रॉनों के बीच जेलियम और आपसी कूलम्ब प्रतिकर्षण को अनदेखा करते हैं, तो हमारे पास एक असीम रूप से निम्नतम लैंडौ स्तर (LLL) है और 1/n के भरण कारक के साथ, हम उम्मीद करेंगे कि सभी इलेक्ट्रॉन LLL में स्थित होंगे। अन्योन्यक्रियाओं को चालू करते हुए, हम अनुमान लगा सकते हैं कि सभी इलेक्ट्रॉन LLL में हैं। यदि सबसे कम कक्षीय कोणीय संवेग के साथ LLL अवस्था का एकल कण तरंग है, तो मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन के लिए लाफलिन एनाट्ज़ है।

जहां स्थिति द्वारा दर्शाया गया है

(गाऊसी इकाइयों) में

और और , xy समतल में निर्देशांक हैं। यहाँ घटी हुई प्लैंक नियतांक है, इलेक्ट्रॉन आवेश है, कणों की कुल संख्या है, और चुंबकीय क्षेत्र है, जो xy तल के लम्बवत् है। Z पर सबस्क्रिप्ट कण की पहचान करते हैं। वेव फंक्शन के लिए फ़र्मियन का वर्णन करने के लिए, n को एक विषम पूर्णांक होना चाहिए। यह कण इंटरचेंज के तहत वेव फ़ंक्शन को एंटीसिमेट्रिक होने के लिए मजबूर करता है। इस स्थिति के लिए कोणीय गति है।

दो कणों के लिए परस्पर क्रिया की ऊर्जा

चित्र 1. सहभागिता ऊर्जा बनाम। के लिए और . ऊर्जा की इकाइयों में है . ध्यान दें कि न्यूनतम के लिए होता है और . सामान्य तौर पर मिनीमा होता है

लॉफलिन वेवफंक्शन क्वासिपार्टिकल्स के लिए मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन है। क्वासिपार्टिकल्स की एक जोड़ी के लिए अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का अपेक्षित मूल्य है।

जहां जांच की गई क्षमता है (चुंबकीय क्षेत्र में अंतर्निहित दो वर्तमान लूपों के बीच कूलम्ब क्षमता देखें)

जहाँ मिला हुआ हाइपरज्यामितीय फलन है और पहली तरह का बेसेल फलन है। यहाँ, दो वर्तमान लूपों के केंद्रों के बीच की दूरी है, इलेक्ट्रॉन आवेश का परिमाण है, लार्मर त्रिज्या का क्वांटम संस्करण है, और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में इलेक्ट्रॉन गैस की मोटाई है। दो व्यक्तिगत वर्तमान लूपों का कोणीय संवेग है जहाँ है। व्युत्क्रम स्क्रीनिंग लंबाई (गाऊसी इकाइयों) द्वारा दी गई है

जहाँ साइक्लोट्रॉन आवृत्ति है, और xy तल में इलेक्ट्रॉन गैस का क्षेत्रफल है।

अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का मूल्यांकन:

चित्र 2. सहभागिता ऊर्जा बनाम। के लिए और . ऊर्जा की इकाइयों में है

इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए हमने एकीकरण चर में परिवर्तन किया है

और

और विख्यात (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सामान्य समाकलन देखें)

अंतःक्रियात्मक ऊर्जा के लिए मिनिमा है (चित्र 1)

और

कोणीय संवेग के अनुपात के इन मानों के लिए, ऊर्जा को चित्र 2 में के एक फलन के रूप में अंकित किया गया है।

संदर्भ

  1. Z. F. Ezewa (2008). क्वांटम हॉल प्रभाव, दूसरा संस्करण. World Scientific. ISBN 978-981-270-032-2. pp. 210-213

यह भी देखें

  • लैंडौ स्तर
  • फ्रैक्शनल क्वांटम हॉल इफेक्ट
  • चुंबकीय क्षेत्र में एम्बेडेड दो वर्तमान लूपों के बीच कूलम्ब क्षमता