न्यूमैन सीमा स्थिति: Difference between revisions
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गणित में, न्यूमैन (या दूसरे प्रकार की) सीमा स्थिति प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम [[कार्ल न्यूमैन]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.enganabound.2004.12.001| title = सीमा तत्व विधि की विरासत और प्रारंभिक इतिहास| journal = Engineering Analysis with Boundary Elements| volume = 29| issue = 3| pages = 268| year = 2005| last1 = Cheng | first1 = A. H.-D. | last2 = Cheng | first2 = D. T. }}</ref> जब [[साधारण अंतर समीकरण | गणित में, '''न्यूमैन (या दूसरे प्रकार की) सीमा स्थिति''' प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम [[कार्ल न्यूमैन]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.enganabound.2004.12.001| title = सीमा तत्व विधि की विरासत और प्रारंभिक इतिहास| journal = Engineering Analysis with Boundary Elements| volume = 29| issue = 3| pages = 268| year = 2005| last1 = Cheng | first1 = A. H.-D. | last2 = Cheng | first2 = D. T. }}</ref> जब [[साधारण अंतर समीकरण|साधारण या आंशिक अंतर समीकरण]] पर लगाया जाता है, तो स्थिति [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)]] की [[सीमा (टोपोलॉजी)]] पर प्रयुक्त व्युत्पन्न के मूल्यों को निर्दिष्ट करती है। | ||
अन्य सीमा | अन्य सीमा स्थितियाँ का उपयोग करके समस्या का वर्णन करना संभव होता है | [[डिरिचलेट सीमा स्थिति]] सीमा पर स्वयं समाधान के मूल्यों को निर्दिष्ट करती है (इसके व्युत्पन्न के विपरीत), जबकि [[कॉची सीमा स्थिति]], मिश्रित सीमा स्थिति और [[रॉबिन सीमा स्थिति]] सभी न्यूमैन और डिरिचलेट सीमा स्थितियों के विभिन्न प्रकार के संयोजन हैं। | ||
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जहां {{math|∇<sup>2</sup>}} [[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास संचालक]], को दर्शाता है, यह डोमेन पर न्यूमैन सीमा स्थितियां {{math|Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup>}} का रूप लेती हैं | | |||
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जहां {{math|'''n'''}} सीमा (टोपोलॉजी) के लिए {{math|∂Ω}} के (सामान्यतः बाहरी) [[सामान्य वेक्टर|सामान्य सदिश]] को दर्शाता है, और {{mvar|f}} [[अदिश फलन]] दिया गया है। | |||
[[सामान्य व्युत्पन्न]], जो बाईं ओर दिखाई देता है, को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | [[सामान्य व्युत्पन्न]], जो बाईं ओर दिखाई देता है, को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | ||
:<math>\frac{\partial y}{\partial \mathbf{n}}(\mathbf{x}) = \nabla y(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{\hat{n}}(\mathbf{x}),</math> | :<math>\frac{\partial y}{\partial \mathbf{n}}(\mathbf{x}) = \nabla y(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{\hat{n}}(\mathbf{x}),</math> | ||
कहाँ {{math|∇''y''('''x''')}} के [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''y''('''x''')}}, {{math|'''n̂'''}} इकाई सामान्य है, और {{math|⋅}} आंतरिक उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। | '''कहाँ {{math|∇''y''('''x''')}} के [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''y''('''x''')}}, {{math|'''n̂'''}} इकाई सामान्य है, और {{math|⋅}} आंतरिक उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है।''' | ||
यह स्पष्ट हो जाता है कि सीमा पर्याप्त रूप से चिकनी होनी चाहिए ताकि सामान्य व्युत्पन्न मौजूद हो सके, उदाहरण के लिए, सीमा पर कोने बिंदुओं पर सामान्य वेक्टर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। | '''यह स्पष्ट हो जाता है कि सीमा पर्याप्त रूप से चिकनी होनी चाहिए ताकि सामान्य व्युत्पन्न मौजूद हो सके, उदाहरण के लिए, सीमा पर कोने बिंदुओं पर सामान्य वेक्टर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।''' | ||
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निम्नलिखित अनुप्रयोगों में न्यूमैन सीमा | निम्नलिखित अनुप्रयोगों में न्यूमैन सीमा स्थितियाँ का उपयोग शामिल है: | ||
* [[ ऊष्मप्रवैगिकी | ऊष्मप्रवैगिकी]] में, किसी सतह से निर्धारित ऊष्मा प्रवाह सीमा स्थिति के रूप में काम करेगा। उदाहरण के लिए, आदर्श इन्सुलेटर में कोई फ्लक्स नहीं होगा जबकि विद्युत घटक ज्ञात शक्ति पर नष्ट हो सकता है। | * [[ ऊष्मप्रवैगिकी | ऊष्मप्रवैगिकी]] में, किसी सतह से निर्धारित ऊष्मा प्रवाह सीमा स्थिति के रूप में काम करेगा। उदाहरण के लिए, आदर्श इन्सुलेटर में कोई फ्लक्स नहीं होगा जबकि विद्युत घटक ज्ञात शक्ति पर नष्ट हो सकता है। | ||
* [[magnetostatics]] में, अंतरिक्ष में चुंबक सरणी में चुंबकीय प्रवाह घनत्व वितरण को खोजने के लिए [[चुंबकीय क्षेत्र]] की तीव्रता को सीमा स्थिति के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए स्थायी चुंबक मोटर में। चूंकि मैग्नेटोस्टैटिक्स में समस्याओं में चुंबकीय स्केलर क्षमता के लिए लाप्लास के समीकरण या पॉइसन के समीकरण को हल करना शामिल है, सीमा स्थिति न्यूमैन स्थिति है। | * [[magnetostatics]] में, अंतरिक्ष में चुंबक सरणी में चुंबकीय प्रवाह घनत्व वितरण को खोजने के लिए [[चुंबकीय क्षेत्र]] की तीव्रता को सीमा स्थिति के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए स्थायी चुंबक मोटर में। चूंकि मैग्नेटोस्टैटिक्स में समस्याओं में चुंबकीय स्केलर क्षमता के लिए लाप्लास के समीकरण या पॉइसन के समीकरण को हल करना शामिल है, सीमा स्थिति न्यूमैन स्थिति है। | ||
Revision as of 00:08, 26 July 2023
गणित में, न्यूमैन (या दूसरे प्रकार की) सीमा स्थिति प्रकार की सीमा स्थिति है, जिसका नाम कार्ल न्यूमैन के नाम पर रखा गया है।[1] जब साधारण या आंशिक अंतर समीकरण पर लगाया जाता है, तो स्थिति डोमेन (गणितीय विश्लेषण) की सीमा (टोपोलॉजी) पर प्रयुक्त व्युत्पन्न के मूल्यों को निर्दिष्ट करती है।
अन्य सीमा स्थितियाँ का उपयोग करके समस्या का वर्णन करना संभव होता है | डिरिचलेट सीमा स्थिति सीमा पर स्वयं समाधान के मूल्यों को निर्दिष्ट करती है (इसके व्युत्पन्न के विपरीत), जबकि कॉची सीमा स्थिति, मिश्रित सीमा स्थिति और रॉबिन सीमा स्थिति सभी न्यूमैन और डिरिचलेट सीमा स्थितियों के विभिन्न प्रकार के संयोजन हैं।
उदाहरण
ओडीई
उदाहरण के लिए, साधारण अंतर समीकरण के लिए,
अंतराल [a,b] पर न्यूमैन सीमा स्थितियां रूप लेती हैं
जहां αऔर β संख्याएं दी गई हैं।
पीडीई
उदाहरण के लिए, आंशिक अंतर समीकरण के लिए,
जहां ∇2 लाप्लास संचालक, को दर्शाता है, यह डोमेन पर न्यूमैन सीमा स्थितियां Ω ⊂ Rn का रूप लेती हैं |
जहां n सीमा (टोपोलॉजी) के लिए ∂Ω के (सामान्यतः बाहरी) सामान्य सदिश को दर्शाता है, और f अदिश फलन दिया गया है।
सामान्य व्युत्पन्न, जो बाईं ओर दिखाई देता है, को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
कहाँ ∇y(x) के ग्रेडियेंट वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है y(x), n̂ इकाई सामान्य है, और ⋅ आंतरिक उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है।
यह स्पष्ट हो जाता है कि सीमा पर्याप्त रूप से चिकनी होनी चाहिए ताकि सामान्य व्युत्पन्न मौजूद हो सके, उदाहरण के लिए, सीमा पर कोने बिंदुओं पर सामान्य वेक्टर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।
अनुप्रयोग
निम्नलिखित अनुप्रयोगों में न्यूमैन सीमा स्थितियाँ का उपयोग शामिल है:
- ऊष्मप्रवैगिकी में, किसी सतह से निर्धारित ऊष्मा प्रवाह सीमा स्थिति के रूप में काम करेगा। उदाहरण के लिए, आदर्श इन्सुलेटर में कोई फ्लक्स नहीं होगा जबकि विद्युत घटक ज्ञात शक्ति पर नष्ट हो सकता है।
- magnetostatics में, अंतरिक्ष में चुंबक सरणी में चुंबकीय प्रवाह घनत्व वितरण को खोजने के लिए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता को सीमा स्थिति के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए स्थायी चुंबक मोटर में। चूंकि मैग्नेटोस्टैटिक्स में समस्याओं में चुंबकीय स्केलर क्षमता के लिए लाप्लास के समीकरण या पॉइसन के समीकरण को हल करना शामिल है, सीमा स्थिति न्यूमैन स्थिति है।
- स्थानिक पारिस्थितिकी में, प्रतिक्रिया-प्रसार प्रणाली पर न्यूमैन सीमा स्थिति, जैसे कि फिशर समीकरण, को प्रतिबिंबित सीमा के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जैसे कि सभी व्यक्तियों का सामना करना पड़ता है ∂Ω वापस परिलक्षित होते हैं Ω.[2]
यह भी देखें
- द्रव गतिकी में सीमा स्थितियाँ
- डिरिचलेट सीमा स्थिति
- रॉबिन सीमा स्थिति
संदर्भ
- ↑ Cheng, A. H.-D.; Cheng, D. T. (2005). "सीमा तत्व विधि की विरासत और प्रारंभिक इतिहास". Engineering Analysis with Boundary Elements. 29 (3): 268. doi:10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
- ↑ Cantrell, Robert Stephen; Cosner, Chris (2003). Spatial Ecology via Reaction–Diffusion Equations. Wiley. pp. 30–31. ISBN 0-471-49301-5.
