गाउसीय कक्षीय: Difference between revisions
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जब <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> एक [[गोलाकार हार्मोनिक्स]] है तथा <math>l</math> और <math>m</math> कोणीय गति और उसके हैं व <math>z</math> घटक और <math>r,\theta,\phi</math> गोलाकार निर्देशांक हैं | |||
जबकि स्लेटर | जबकि स्लेटर कक्षक के लिए रेडियल भाग है | ||
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कहाँ <math>B(l,\alpha)</math> गॉसियन के अनुरूप सामान्यीकरण स्थिरांक | कहाँ <math>B(l,\alpha)</math> गॉसियन के अनुरूप सामान्यीकरण स्थिरांक है | ||
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:<math>\int _0 ^\infty \mathrm{d}r \, r^2 \left| R_l (r) \right|^2 = 1</math> | :<math>\int _0 ^\infty \mathrm{d}r \, r^2 \left| R_l (r) \right|^2 = 1</math> | ||
जो | जो अधिकतक रूढ़िवादिता को थोपता नहीं है | ||
क्योंकि एक व्यक्तिगत | क्योंकि एक व्यक्तिगत पहला गॉसियन कार्यक्रम नाभिक के पास विद्युतीय तरंग कार्यक्रम के लिए एक खराब विवरण देता है जिसमें गॉसियन आधार समूह लगभग हमेशा अनुबंधित होते हैं | ||
:<math>\ R_l(r) = r^l \sum_{p=1}^P c_p B(l,\alpha_p) \exp(-\alpha_p r^2)</math>, | :<math>\ R_l(r) = r^l \sum_{p=1}^P c_p B(l,\alpha_p) \exp(-\alpha_p r^2)</math>, | ||
कहाँ <math>c_p</math> प्रतिपादक | कहाँ <math>c_p</math> प्रतिपादक सर्वप्रथम संकुचन गुणांक है <math>\alpha_p</math>. गुणांक सामान्यीकृत के संबंध में दिए गए हैं क्योंकि असामान्य गुणांक परिमाण के कई आदेशों से भिन्न होंगे घातांक परमाणु इकाइयों में रिपोर्ट किए जाते हैं। | ||
बेसिक समूह रूपांतरण पोर्टल पर उपलब्ध | |||
विभिन्न मानदंडों के लिए अनुकूलित प्रकाशित गॉसियन आधार के समूहों की एक बड़ी पुस्तकालय है। | |||
=== कार्तीय निर्देशांक === | === कार्तीय निर्देशांक === | ||
कार्तीय निर्देशांक में गॉसियन-प्रकार के कक्षक को घातीय कारकों के संदर्भ में लिखा जा सकता है तथा <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z</math> दिशाओं के साथ-साथ एक घातीय कारक <math>\alpha</math> कक्षीय की चौड़ाई को नियंत्रित करता है तथा उचित सामान्यीकरण गुणांक के साथ कार्तीय गॉसियन-प्रकार कक्षीय के लिए अभिव्यक्ति है जो इस प्रकार है- | |||
:<math>\Phi(x,y,z;\alpha,i,j,k)=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{3/4}\left[\frac{(8\alpha)^{i+j+k}i!j!k!}{(2i)!(2j)!(2k)!}\right]^{1/2}x^i y^j z^k e^{-\alpha(x^2+y^2+z^2)}</math> | :<math>\Phi(x,y,z;\alpha,i,j,k)=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{3/4}\left[\frac{(8\alpha)^{i+j+k}i!j!k!}{(2i)!(2j)!(2k)!}\right]^{1/2}x^i y^j z^k e^{-\alpha(x^2+y^2+z^2)}</math> | ||
उपरोक्त अभिव्यक्ति में | उपरोक्त अभिव्यक्ति में <math>i</math>, <math>j</math>, और <math>k</math> पूर्णांक होना चाहिए अगर <math>i+j+k=0</math> तब कक्षीय में गोलाकार समरूपता होती है और इसे एक प्रकार का जीटीओ माना जाता है। अगर <math>i+j+k=1</math> जीटीओ में एक अक्ष के साथ अक्षीय समरूपता होती है और इसे पी प्रकार का जीटीओ माना जाता है तब <math>i+j+k=2</math> छह संभावित जीटीओ हैं जिनका निर्माण किया जा सकता है यह किसी दिए गए कोणीय क्वांटम संख्या के लिए पाँच विहित d कक्षीय कार्यों से एक अधिक है इसे संबोधित करने के लिए दो डी प्रकार जीटीओ के एक रैखिक संयोजन का उपयोग विहित डी कार्यक्रम को पुन: उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है इसी तरह 10 एफ प्रकार जीटीओ एकत्र हैं लेकिन 7 विहित एफ कक्षक कार्यक्रम हैं यह सांकेतिक चिन्ह उच्च कोणीय क्वांटम संख्या के लिए जारी है।<ref>{{cite book |last1=Cramer |first1=Christopher J. |title=Essentials of computational chemistry : theories and models |date=2004 |publisher=Wiley |location=Chichester, West Sussex, England |isbn=9780470091821 |pages=167 |edition=2nd}}</ref> | ||
== आणविक अभिन्न == | == आणविक अभिन्न == | ||
1966 ने गॉसियन आधार में आव्यूह तत्वों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणितीय समीकरण प्रस्तुत किए <ref>{{cite journal|last=Taketa|first=Hiroshi|author2=Huzinaga, Sigeru |author3=O-ohata, Kiyosi |title=आणविक इंटीग्रल के लिए गॉसियन-विस्तार के तरीके|journal=Journal of the Physical Society of Japan|year=1966|volume=21|issue=11|pages=2313–2324|doi=10.1143/JPSJ.21.2313|bibcode = 1966JPSJ...21.2313T }}</ref> तब से इन अभिन्नों के मूल्यांकन में तेजी लाने के लिए बहुत काम किया गया है जो कि कई क्वांटम रासायनिक गणनाओं का सबसे धीमा हिस्सा है ज़िवकोविक और मक्सिक ने 1968 में [[एकांतवासी]] गॉसियन कार्यक्रम का उपयोग करने का सुझाव दिया <ref>{{cite journal|last=Živković|first=T.|author2=Maksić, Z. B.|title=हर्मिट-गाऊसी फंक्शंस पर आणविक इंटीग्रल्स के लिए स्पष्ट सूत्र|journal=Journal of Chemical Physics|year=1968|volume=49|issue=7|pages=3083–3087|doi=10.1063/1.1670551 |bibcode = 1968JChPh..49.3083Z }}</ref> क्योंकि यह समीकरणों को सरल करता है मैकमर्ची और डेविडसन वे 1978 में पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की <ref>{{cite journal|last=McMurchie|first=Larry E.|author2=Davidson, Ernest R.|title=कार्तीय गाऊसी कार्यों पर एक- और दो-इलेक्ट्रॉन अभिन्न|journal=Journal of Computational Physics|year=1978|volume=26|issue=2|pages=218–31|doi=10.1016/0021-9991(78)90092-X|bibcode = 1978JCoPh..26..218M |url=https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc1057442/}}</ref> जो गणनाओं की मात्रा को बहुत कम कर देता है [[जॉन पोपल]] और हेहरे ने 1978 में एक स्थानीय समन्वय पद्धति विकसित की <ref>{{cite journal|last=Pople|first=J. A.|author2=Hehre, W. J.|title=अनुबंधित गॉसियन आधार कार्यों से जुड़े इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण इंटीग्रल की गणना।|journal=J. Comput. Phys.|year=1978|volume=27|issue=2|pages=161–168|doi=10.1016/0021-9991(78)90001-3|bibcode = 1978JCoPh..27..161P }}</ref> ओबरा और साइका ने 1985 में कुशल पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की <ref>{{cite journal|last=Obara|first=S.|author2=Saika, A.|title=कार्तीय गाऊसी कार्यों पर आणविक अभिन्न का कुशल पुनरावर्ती संगणना|journal=J. Chem. Phys.|year=1986|volume=84|issue=7|pages=3963–74|doi=10.1063/1.450106|bibcode = 1986JChPh..84.3963O }}</ref> जिसके बाद अन्य महत्वपूर्ण पुनरावृत्ति संबंधों का विकास हुआ गिल और पोपल ने 1990 में एक प्रिज्म प्रारूप पेश किया जिसने 20 अलग-अलग गणना पथों के कुशल उपयोग की अनुमति दी।<ref>{{cite journal|last=Gill|first=Peter M. W.|author2=Pople, John A.|title=दो-इलेक्ट्रॉन इंटीग्रल के लिए प्रिज्म एल्गोरिथम|journal=International Journal of Quantum Chemistry|date=December 1991|volume=40|issue=6|pages=753–772|doi=10.1002/qua.560400605|url=http://rscweb.anu.edu.au/~pgill/papers/026PRISM.pdf|accessdate=17 June 2011}}</ref> | |||
== पॉलीएटम सिस्टम == | == पॉलीएटम सिस्टम == | ||
पॉलीएटम | पॉलीएटम प्रणाली<ref>{{cite journal|first1=I.G.|last1=Csizmadia|first2=M.C.|last2=Harrison|first3=J.W.|last3=Moskowitz|first4=B.T.|last4=Sutcliffe|title=गॉसियन-प्रकार के कार्यों के साथ कार्बनिक अणुओं पर गैर-अनुभवजन्य एलसीएओ-एमओ-एससीएफ-सीआई गणना। परिचयात्मक समीक्षा और गणितीय औपचारिकता|journal=Theoretica Chimica Acta|volume=6|number=3|page=191|year=1966|doi=10.1007/BF02394698|s2cid=198176437 }}</ref> गॉसियन कक्षक का उपयोग करके प्रारंभिक गणनाओं के लिए पहला पैकेज था जिसे विभिन्न प्रकार के अणुओं पर लागू किया गया था <ref>A.C. Wahl, ''Chemistry by computer'', Scientific American, pages 54-70, April, 1970.</ref> यह एमआईटी में सहकारी गणितीय प्रयोगशाला के संसाधनों का उपयोग करके जॉन क्लार्क स्लेटर के ठोस राज्य और आण्विक सिद्धांत समूह एसएसएमटीजी में विकसित किया गया था<!-- verification in acknowledgements in TCA paper--> गणितीय अवसंरचना और परिचालन सॉफ्टवेयर इमरे सिजमाडिया द्वारा विकसित किए गए थे। <ref>[https://books.google.com/books?id=3xCzIQDYOvoC&dq=Imre+Csizmadia+quantum&pg=PA248 ''Imre Csizmadia'', Professor Emeritus of Chemistry, University of Toronto, in Reviews in Computational Chemistry, vol.15, p.248]</ref> | ||
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अभिकलन रसायन विज्ञान और आणविक भौतिकी में गॉसियन कक्षक जिसे गॉसियन प्रकार कक्षक जीटीओ या गॉसियन के रूप में भी जाना जाता है जो अणुओं में आणविक कक्षीय के प्रतिनिधित्व के लिए परमाणु कक्षक के रैखिक संयोजन में परमाणु के रूप में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रमिक गणित हैं तथा कई गुण जो इन पर निर्भर करते हैं।[1]
औचित्य
विद्युतीय संरचना सिद्धांत में गॉसियन कक्षक का उपयोग भौतिक स्लेटर-प्रकार की कक्षा की जगह पहले एस फ्रांसिस लड़कों द्वारा 1950 में प्रस्तावित किया गया था[2] आणविक क्वांटम रासायनिक गणना में गॉसियन बेसिस समूह रसायन विज्ञान के उपयोग का मुख्य कारण गाऊसी उत्पाद की प्रमेय है जो गारंटी देता है कि दो अलग-अलग परमाणुओं पर केंद्रित दो जीटीओ का उत्पाद गौसियन का एक परिमित योग है तथा उन्हें जोड़ने वाली धुरी के साथ एक बिंदु इस तरीके से चार-केंद्र समाकलों को दो-केन्द्रीय समाकलों के परिमित योगों में घटाया जा सकता है और अगले चरण में एक-केन्द्र समाकलों के योगों को परिमित किया जा सकता है स्लेटर कक्षक की तुलना में परिमाण के 4-5 आदेशों की गति अधिकतर गॉसियन गणना में आवश्यक आधार पर कार्यों की बड़ी संख्या से जुड़ी अतिरिक्त लागत से अधिक होती है।
सुविधा के कारणों से कई क्वांटम रसायन विज्ञान कार्यक्रम कार्तीय गॉसियन के आधार पर काम करते हैं जब गोलाकार गॉसियन का अनुरोध किया जाता है तब कार्तीय आधार में अभिन्न मूल्यांकन बहुत आसान हो जाता है और गोलाकार कार्यों को केवल कार्तीय कार्यों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।[3][4]
गणितीय रूप
गाऊसी आधार कार्य सामान्य रेडियल-कोणीय अपघटन का पालन करते हैं
जब एक गोलाकार हार्मोनिक्स है तथा और कोणीय गति और उसके हैं व घटक और गोलाकार निर्देशांक हैं
जबकि स्लेटर कक्षक के लिए रेडियल भाग है
एक सामान्यीकरण स्थिरांक होने की जगह गॉसियन के लिए रेडियल भाग है
कहाँ गॉसियन के अनुरूप सामान्यीकरण स्थिरांक है
सामान्यीकरण की स्थिति जो निर्धारित करती है या है
जो अधिकतक रूढ़िवादिता को थोपता नहीं है
क्योंकि एक व्यक्तिगत पहला गॉसियन कार्यक्रम नाभिक के पास विद्युतीय तरंग कार्यक्रम के लिए एक खराब विवरण देता है जिसमें गॉसियन आधार समूह लगभग हमेशा अनुबंधित होते हैं
- ,
कहाँ प्रतिपादक सर्वप्रथम संकुचन गुणांक है . गुणांक सामान्यीकृत के संबंध में दिए गए हैं क्योंकि असामान्य गुणांक परिमाण के कई आदेशों से भिन्न होंगे घातांक परमाणु इकाइयों में रिपोर्ट किए जाते हैं।
बेसिक समूह रूपांतरण पोर्टल पर उपलब्ध
विभिन्न मानदंडों के लिए अनुकूलित प्रकाशित गॉसियन आधार के समूहों की एक बड़ी पुस्तकालय है।
कार्तीय निर्देशांक
कार्तीय निर्देशांक में गॉसियन-प्रकार के कक्षक को घातीय कारकों के संदर्भ में लिखा जा सकता है तथा , , और दिशाओं के साथ-साथ एक घातीय कारक कक्षीय की चौड़ाई को नियंत्रित करता है तथा उचित सामान्यीकरण गुणांक के साथ कार्तीय गॉसियन-प्रकार कक्षीय के लिए अभिव्यक्ति है जो इस प्रकार है-
उपरोक्त अभिव्यक्ति में , , और पूर्णांक होना चाहिए अगर तब कक्षीय में गोलाकार समरूपता होती है और इसे एक प्रकार का जीटीओ माना जाता है। अगर जीटीओ में एक अक्ष के साथ अक्षीय समरूपता होती है और इसे पी प्रकार का जीटीओ माना जाता है तब छह संभावित जीटीओ हैं जिनका निर्माण किया जा सकता है यह किसी दिए गए कोणीय क्वांटम संख्या के लिए पाँच विहित d कक्षीय कार्यों से एक अधिक है इसे संबोधित करने के लिए दो डी प्रकार जीटीओ के एक रैखिक संयोजन का उपयोग विहित डी कार्यक्रम को पुन: उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है इसी तरह 10 एफ प्रकार जीटीओ एकत्र हैं लेकिन 7 विहित एफ कक्षक कार्यक्रम हैं यह सांकेतिक चिन्ह उच्च कोणीय क्वांटम संख्या के लिए जारी है।[5]
आणविक अभिन्न
1966 ने गॉसियन आधार में आव्यूह तत्वों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणितीय समीकरण प्रस्तुत किए [6] तब से इन अभिन्नों के मूल्यांकन में तेजी लाने के लिए बहुत काम किया गया है जो कि कई क्वांटम रासायनिक गणनाओं का सबसे धीमा हिस्सा है ज़िवकोविक और मक्सिक ने 1968 में एकांतवासी गॉसियन कार्यक्रम का उपयोग करने का सुझाव दिया [7] क्योंकि यह समीकरणों को सरल करता है मैकमर्ची और डेविडसन वे 1978 में पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की [8] जो गणनाओं की मात्रा को बहुत कम कर देता है जॉन पोपल और हेहरे ने 1978 में एक स्थानीय समन्वय पद्धति विकसित की [9] ओबरा और साइका ने 1985 में कुशल पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की [10] जिसके बाद अन्य महत्वपूर्ण पुनरावृत्ति संबंधों का विकास हुआ गिल और पोपल ने 1990 में एक प्रिज्म प्रारूप पेश किया जिसने 20 अलग-अलग गणना पथों के कुशल उपयोग की अनुमति दी।[11]
पॉलीएटम सिस्टम
पॉलीएटम प्रणाली[12] गॉसियन कक्षक का उपयोग करके प्रारंभिक गणनाओं के लिए पहला पैकेज था जिसे विभिन्न प्रकार के अणुओं पर लागू किया गया था [13] यह एमआईटी में सहकारी गणितीय प्रयोगशाला के संसाधनों का उपयोग करके जॉन क्लार्क स्लेटर के ठोस राज्य और आण्विक सिद्धांत समूह एसएसएमटीजी में विकसित किया गया था गणितीय अवसंरचना और परिचालन सॉफ्टवेयर इमरे सिजमाडिया द्वारा विकसित किए गए थे। [14]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Gill, Peter M.W. (1994). "गाऊसी आधार कार्यों पर आणविक अभिन्न" (PDF). Advances in Quantum Chemistry. 25: 141–205. Bibcode:1994AdQC...25..141G. doi:10.1016/S0065-3276(08)60019-2. ISBN 9780120348251. Retrieved 17 June 2011.
- ↑ Boys, S. F. (1950). "इलेक्ट्रॉनिक वेव फ़ंक्शंस। I. किसी भी आणविक प्रणाली की स्थिर अवस्थाओं के लिए गणना का एक सामान्य तरीका". Proc. R. Soc. Lond. A. 200 (1063): 542–554. Bibcode:1950RSPSA.200..542B. doi:10.1098/rspa.1950.0036. JSTOR 98423. S2CID 122709395.
- ↑ Schlegel, H.; Frisch, M. (1990). "कार्टेशियन और शुद्ध गोलाकार हार्मोनिक गॉसियन के बीच परिवर्तन". International Journal of Quantum Chemistry. 54 (2): 83–87. doi:10.1002/qua.560540202. S2CID 94417974.
- ↑ Mathar, Richard J. (2002). "Mutual Conversion of Three Flavors of Gaussian Type Orbitals". International Journal of Quantum Chemistry. 90 (1): 227–243. arXiv:physics/9907051. Bibcode:2002IJQC...90..227M. doi:10.1002/qua.10085. S2CID 119100125.
- ↑ Cramer, Christopher J. (2004). Essentials of computational chemistry : theories and models (2nd ed.). Chichester, West Sussex, England: Wiley. p. 167. ISBN 9780470091821.
- ↑ Taketa, Hiroshi; Huzinaga, Sigeru; O-ohata, Kiyosi (1966). "आणविक इंटीग्रल के लिए गॉसियन-विस्तार के तरीके". Journal of the Physical Society of Japan. 21 (11): 2313–2324. Bibcode:1966JPSJ...21.2313T. doi:10.1143/JPSJ.21.2313.
- ↑ Živković, T.; Maksić, Z. B. (1968). "हर्मिट-गाऊसी फंक्शंस पर आणविक इंटीग्रल्स के लिए स्पष्ट सूत्र". Journal of Chemical Physics. 49 (7): 3083–3087. Bibcode:1968JChPh..49.3083Z. doi:10.1063/1.1670551.
- ↑ McMurchie, Larry E.; Davidson, Ernest R. (1978). "कार्तीय गाऊसी कार्यों पर एक- और दो-इलेक्ट्रॉन अभिन्न". Journal of Computational Physics. 26 (2): 218–31. Bibcode:1978JCoPh..26..218M. doi:10.1016/0021-9991(78)90092-X.
- ↑ Pople, J. A.; Hehre, W. J. (1978). "अनुबंधित गॉसियन आधार कार्यों से जुड़े इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण इंटीग्रल की गणना।". J. Comput. Phys. 27 (2): 161–168. Bibcode:1978JCoPh..27..161P. doi:10.1016/0021-9991(78)90001-3.
- ↑ Obara, S.; Saika, A. (1986). "कार्तीय गाऊसी कार्यों पर आणविक अभिन्न का कुशल पुनरावर्ती संगणना". J. Chem. Phys. 84 (7): 3963–74. Bibcode:1986JChPh..84.3963O. doi:10.1063/1.450106.
- ↑ Gill, Peter M. W.; Pople, John A. (December 1991). "दो-इलेक्ट्रॉन इंटीग्रल के लिए प्रिज्म एल्गोरिथम" (PDF). International Journal of Quantum Chemistry. 40 (6): 753–772. doi:10.1002/qua.560400605. Retrieved 17 June 2011.
- ↑ Csizmadia, I.G.; Harrison, M.C.; Moskowitz, J.W.; Sutcliffe, B.T. (1966). "गॉसियन-प्रकार के कार्यों के साथ कार्बनिक अणुओं पर गैर-अनुभवजन्य एलसीएओ-एमओ-एससीएफ-सीआई गणना। परिचयात्मक समीक्षा और गणितीय औपचारिकता". Theoretica Chimica Acta. 6 (3): 191. doi:10.1007/BF02394698. S2CID 198176437.
- ↑ A.C. Wahl, Chemistry by computer, Scientific American, pages 54-70, April, 1970.
- ↑ Imre Csizmadia, Professor Emeritus of Chemistry, University of Toronto, in Reviews in Computational Chemistry, vol.15, p.248
बाहरी संबंध
- A visualization of all common and uncommon atomic orbitals, from 1s to 7g (Note that the radial part of the expressions given corresponds to Slater orbitals rather than Gaussians. The angular parts, and hence their shapes as displayed in figures, are the same as those of spherical Gaussians.)
- Explanation of Gaussian basis set
- Basis set exchange
- Petersson, T; Hellsing, B. (2010). "Detailed derivation of Gaussian orbital based matrix elements in electron structure calculations". Eur. J. Phys. 31 (1): 37. Bibcode:2010EJPh...31...37P. doi:10.1088/0143-0807/31/1/004. S2CID 122528581.
